2011精品無窮遞縮等比數列的和1.教材分析本節課題取材于人教版普通高中數學第三冊（選修）第二章“數列”閱讀材料-無窮等比數列的和，其主要內容是無窮遞縮等比數列的求和公式及簡單應用。教材在前面已介紹了數列的有限項的和，利用極限這個工具，不難將有限和轉化到“無限和”。這樣引伸，既符合學生的認知規律，也有助于加深體會從有限認識無限、從已知認識未知、從近似認識精確的極限思想。本課內容蘊涵著豐富的數學思想方法和廣泛的實際應用，對于開擴學生思路，激發學習數學的興趣，都能起到較好的作用。新編教科書增加“閱讀材料”，不僅是為了擴展學生的知識，培養學生學習數學的興趣，更重要的是為了充分展現數學的科學價值和人文價值。如何指導學生自學閱讀并深入研究，最大限度地發揮其功能，是教師應該認真思考和對待的問題。2.學情分析無窮遞縮等比數列及其它無窮數列的求和問題，主要用到數列求和方法、等比數列的求和公式、數列極限的概念及運算法則等知識，這些內容學生理解起來并不困難。無窮遞縮等比數列求和公式的應用也十分廣泛，對本節內容進行適當的拓展研究，通過學習、總結、探究和反思，挖掘出具有較深層次的知識，既豐富知識內容，完善知識結構，提高解題能力，也符合“源于教材，高于教材”的教學原則。3.教學目標1、理解數列的前的和與所有項的和的聯系與區別，掌握無窮遞縮等比數列的求和公式的推導，能利用無窮遞縮等比數列的求和公式解決某些簡單問題；2、進一步提高學生的學習自覺性和學習數學的能力，提高學生的閱讀能力、觀察能力、歸納能力，培養學生獲取數學知識和應用數學的能力，培養交流合作精神；3、培養學生勇于探索、敢于質疑的精神，在解題教學中揭示生活哲理，體會數學的人文價值，豐富學生的人文素養。4.重點難點本課的重點是通過問題的探討和公式的推導及應用，培養學生掌握運用在獲取數學知識中的重要數學思想方法，體會數學的價值；難點是引導學生進行思維創新，在不斷探索中發現問題、解決問題；關鍵是創設問題情景，激發學習興趣，把教學過程設計為一個實踐探索的過程。5.設計思想本課設計的指導思想是著眼于提高學生的學習自覺性和學習數學的能力，充分展現數學的人文價值，增強課堂教學的啟發性和探究性，改變傳統的“灌輸式”學習模式，采用學生動手、討論、探索，教師指導嘗試的方法，通過故事引入、小組合作、交流討論、閱讀材料、自編習題、歸納分析等多種形式，發揮學生的主體作用，精心設計，創造良好情景，去深入體會數學中的一些重要思想方法和數學的文化價值，提高學生的思維品質和學習能力。6.教學過程師：我們先來了解著名的古印度“分牛傳說”。古代的印度，有一位老人，他在彌留之際，把三個兒子叫到床前，對他們說：“我就要去見真主了，辛苦了一輩子，沒有其它珍貴遺產留給你們，只有19頭牛，你們自己去分吧，老大分總數的1/2，老二分總數的1/4，老三分總數的1/5。”話音甫落，老人就咽了氣。按照印度的教規，牛被視為神靈，不準宰殺，只能整頭地分，而先人的遺囑必須無條件遵從。那么，這19頭牛怎樣分呢？這道題著實難壞了兄弟三人。他們請教了許多有才學的人，人們總是搖頭，表示愛莫能助。兄弟三人無法可想，只得訴諸官府，請求公斷，官府老爺也是目瞪口呆，一推了之。三兄弟急得走投無路，卻計無所出師：同學們，我們能否用學過的數學知識幫助三兄弟解決這一難題？（學生討論、交流、發言）師：這個故事有的同學曾經聽說過，結局是這樣的：三兄弟為分牛一事絞盡腦汁，有一天，一位老農牽著一頭牛路過，看到兄弟三人愁眉苦臉，便動問原由。老農聽后思索了片刻說：“這件事好辦，我把自己的一頭牛借給你們，這樣總共就有了20頭牛，老大可分得10頭，老二可分得5頭，老三可分得4頭，你們三人分去了19頭牛，剩下的一頭再還給我！”真是妙極了！一個曾使多少人費盡心機無法解決的大難題竟這樣干脆利落的解決了，不用說，這件事也被當作佳話而廣為流傳。師：同學們對故事中的老農有何評價？生：“智慧老人”！生：稱得上一位數學家。師：都不錯！但同學們更應看到，這雖是一道數學題，卻隱藏著豐富的社會和人生奧秘，社會乃至人生中的許多難題，有時只靠自身的元素或力量是難以解決的，這時，我們若能打開視野，借助一個外來的力量，難解的問題也許會變得出奇的簡單！【評注】數學教學的形式多種多樣，教師如果僅滿足于就題論題，學生的解題水平或許會有所提高，但學生的人文素養難免“營養不良”。教師要善于抓住時機，利用一些經典案例，去揭示生活中蘊涵的深邃哲理，給學生以啟迪。生：我對這個分牛方案有疑議，老大似乎只該分9.5頭，最后他怎么得了10頭呢？師：這位同學問得好！我相信其他同學也會有此疑問，運用無窮遞縮等比數列求和的知識，可以驗證分牛方案是否合理。請同學們先看課本P93-P94上的閱讀材料。（學生看書、討論、交流）出示課題：無窮遞縮等比數列（）的和設有無窮數列,即，記數列的前項的和為，即，如果數列存在極限，則稱是數列的和，記作.師：注意，與一般的不同，表示數列前項的和，是有限項的和，而是這個數列前項和的極限，它表示數列所有項的和。對于無窮遞縮等比數列（）由 可得即 .無窮遞縮等比數列各項的和只與首項、公比有關。師：現在，我們再回過頭來看看分牛問題中三兄弟到底可以得多少頭牛。我們知道，19頭牛中，老大分頭，老二分頭，老三分 頭，加起來是19(+)=1919，兄弟三人并未把牛分完，還余下19(1)= （頭）。對余下的 頭牛，按遺囑規定比例再分，老大分頭，老二分頭，老三分頭。這樣，還余下(1)=頭沒有分完，按遺囑規定比例繼續分下去，老大分頭，老二分頭，老三分頭，可見還余下(1)=頭沒有分完從以上分析可知，這樣分下去永遠沒有窮盡，但每次的剩余越來越少。不妨設老大分得S1頭牛，則.這就說明老大分得10頭牛是符合遺囑規定的。類似地，我們可以驗證，老二、老三各分得5頭、4頭牛也是符合遺囑規定的。因此，這種分牛方案是完全合理和公平的。師：“分牛傳說”給你有何啟示？生：有助于我們認識 “有限”與“無限”的辯證關系，深入體會極限的概念和思想。師：很好！從閱讀材料來看，無窮遞縮等比數列的求和公式又有哪些應用？請各小組自己編題，并加以解答。（小組活動，教師巡視）生：應用之1，求無窮遞縮等比數列的和，如無窮等比數列各項之和。師：不錯，我們還可從右上圖示中看到，圖中各個矩形和小正方形的面積之和（圖中陰影部分）的極限等于正方形面積。生：應用之2，循環小數化分數，如； ；師：很好！從以上幾個小題大家是否發現循環小數化分數的一般性規律？生：循環小數的小數部分化分數，分母中9的個數等于循環節的個數，未循環的小數位數用0替補，分子的值等于小數點后整數部分減去未循環的整數部分。師：非常棒！這位同學的觀察能力和歸納能力值得我們好好學習。生：應用之3，求一類幾何圖形的面積之和，如下圖正三角形的邊長等于1，連結正三角形各邊中點得到一個小正三角形，又連結小正三角形各邊中點得到一個更小的正三角形，如此無限繼續下去，則這些正三角形面積構成以為首項、為公比的無窮等比數列，所有這些正三角形面積的和是。小結：本節課我們從著名的“分牛傳說”入手，對無窮等比數列的求和問題進行了深入探討，并通過構造習題說明其簡單應用“閱讀材料”不僅可以擴展我們的知識結構，還可以幫助我們充分領略數學的科學價值和人文價值，提高學習自覺性和培養學習數學的興趣我們要善于閱讀，深入體會內中蘊涵的一些重要數學思想方法，培養交流合作精神在解題中揭示生活哲理，豐富人文素養，提高思維品質和學習能力。練習與作業：1計算；比較與1的大小；求數列前n項之和與所有項之和；4一個公比絕對值小于1的無窮等比數列的所有項和等于2，它的各項平方所組成的數列的所有項和等于 ，求這個數列各項立方所組成的數列的所有項和。5正方形內接于單位圓，圓內切于正方形，正方形內接于單位圓，圓內切于正方形，正方形內接于單位圓，如此無限繼續下去，求所有這些正方形的面積之和。7.知識結構明線：數列求和數列極限無窮數列的和無窮遞縮等比數列的和無窮等比數列求和循環小數化分數幾何圖形面積求和其它應用初始問題暗線：通過學習培養能力，發展智力，體會數學的價值.8.問題探討(1)這節課的內容來源于不作教學要求的“閱讀材料”。本人以為，“閱讀材料”與本套教科書的另兩個專題性欄目“研究性課題”、“實習作業”，有一定的共同之處。在教學中安排一定的時間給予關注，引導學生把數學知識應用到相關學科和社會生活、生產的實際中去，對于擴大學生的知識面，提高學習數學的興趣，培養他們解決實際問題的能力,體會數學的價值，無疑是大有裨益的。(2)古印度的“分牛傳說”學生可能并不陌生，分牛方案的數學原理就是無窮遞縮等比數列的求和問題，教師如果只把它作為一個數