品淘奧數（高年段 老師用）第七講：盈虧問題專題簡析：盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數量的物品平均分給固定的對象，如果按某種標準分，則分配后會有剩余（盈）；按另一種標準分，分配后又會有不足（虧），求物品的數量和分配對象的數量。這種一盈一虧的情況，就是我們通常據說的標準的盈虧問題。盈虧問題的基本數量關系是：（盈+虧）兩次所分之差=人數；還有一些非標準的盈虧問題，它們被分為四類：1、兩盈：兩次分配都有多余；2、兩不足：兩次分配都不夠；3、盈適足：一次分配有余，一次分配夠分；3、不足適足：一次分配不夠，一次分配正好。一些非標準的盈虧問題都是由標準的盈虧問題演變過來的。解題時我們可以記住：1、“兩盈”問題的數量關系是：兩次盈數的差兩次分得的差=參與分配對象總數；2、“兩虧”問題的數量關系是：兩次虧數的差兩次分得的差=參與分配對象總數；3、“一盈一虧”問題的數量關系是：盈與虧的和兩次分得的差=參與分配對象總數。小試牛刀1、老猴子給小猴子分梨。每只小猴子分6個梨，就多出12個梨；每只小猴子分7個梨，就少11個梨。有幾只小猴子和多少個梨？分析與解答：每只小猴子分6個梨則多12個梨；每只小猴子分7個梨就少11個梨，這說明小猴子的總只數為：121123（只），也就是說：不足的個數多余的個數小猴子的只數。即：小猴子的只數為：121123（只）梨子的個數為：23612150（個）或：23711150（個）2、麗麗阿姨給幼兒園小朋友分蘋果。如果每人分3個，多16個；如果每人分5個，那么就差4個。有多少個小朋友？有多少個蘋果？分析與解答：先比較兩種分法中各個量之間的關系：每人分3個，余16個蘋果。每人分5個，還差4個蘋果。這兩次分蘋果，每人相差的個數為：532（個）。第1次余16個，第2次少4個，那么第2次與第1次總共相差蘋果的個數為：41620（個）。每人相差2個，結果總數就相差20個。即：有小朋友的人數為：20210（人）有蘋果的個數為：3101646（個）或510446（個）綜合算式：（416）（53）10（人），3101646（個）。3、小朋友分糖果，若每人分4粒則多9粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個小朋友分多少粒糖？分析與解答：由題目條件可以知道，小朋友的人數與糖的粒數是不變的。比較兩種分配方案，第一種方案每人分4粒就多9粒，第二種方案每人分5粒就少6粒，兩種不同的方案一多一少相差9615（粒）。相差的原因在于兩種方案的分配數不同，第一種方案每人分4粒，第二種方案每人分5粒，兩次分配數之差為541（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人數為15115（人），糖果的粒數為：415969（粒）。即：（96）（5-4）15（人），415969（粒）。4、泉州實驗小學學生乘汽車到西湖公園去春游。如果每車坐65人，則有15人不能乘車。如果每車多坐5人，恰好多余了一輛車。一共有幾輛汽車？有多少學生？分析與解答：每車多坐5人，也就是每車坐70人，恰好多余了一輛車，也就是還差一輛車的人，即70人。因此，問題轉化為：如果每車坐65人，則有15人不能乘車。如果每車坐70人，則還差70人。求有多少人和多少輛汽車。即：（1570）（7065）17（輛），6517151120（人）。5、老師拿來一批樹苗，分給一些同學去栽，每人每次分給一棵，一輪一輪往下分，當分剩下12棵時不夠每人分一棵了，如果再拿來8棵，那么每個同學正好栽10棵。問參加栽樹的有多少名同學？原有樹苗多少棵？分析與解答：當分剩下12棵時不夠每人分一棵了，如果再拿來8棵，那么每個同學正好栽10棵。通過這一句話，我們可以知道參加種樹的同學一共有12+8=20人，加上再拿來的8棵，一共有2010=200棵。所以，原有樹苗=200-8=192棵。即：有同學12+8=20名，原有樹苗2010-8=192棵。挑戰自我1、少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？分析與解答：這是一個典型的盈虧問題，關鍵在于要將第二句話“如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑”統一一下。即：應該統一成每人挖6個樹坑，形成統一的標準。那么它就相當于每人挖6個樹坑，就要差（6-4）2=4個樹坑。這樣，盈虧總數就是3+4=7，所以，有少先隊員7（6-5）=7名，共挖了57+3=38個坑。即：盈虧總數等于3+（6-4）2=7，少先隊員有7（6-5）=7名，共挖了57+3=38個樹坑。2、某班學生去劃船，如果增加一條船，那么每條船正好坐6人；如果減少一條船，那么每條船就要坐9人。問：學生有多少人？分析與解答：本題也是盈虧問題，為清楚起見，我們將題中條件加以轉化。假設船數固定不變，題目的條件“如果增加一條船，那么每條船正好坐6人”表示“如果每船坐6人，那么有6人無船可坐”；“如果減少一條船，那么每條船就要坐9人”表示“如果每船坐9人，那么就空出一條船”。這樣，用盈虧問題來做，盈虧總額為69=15（人），兩次分配的差為9-63（人）。即：（69）（9-6）5（條），656=36（人）。3、王師傅加工一批零件，每天加工20個，可以提前1天完成。工作4天后，由于改進了技術，每天可多加工5個，結果提前3天完成。問：這批零件有多少個？分析與解答：每天加工20個，如果一直加工到計劃時間，那么將多加工20個零件；改進技術后，如果一直加工到計劃時間，那么將多加工（205）375（個）。盈虧總額為75-055（個）。兩種加工的速度比較，每天相差5個。根據盈虧問題的公式，從改進技術時到計劃完工的時間是55511（天），計劃時間為11415（天），這批零件共有20（15-1）280（個）。4、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的小朋友每人5個則余10個；如果分給小班的小朋友每人8個則缺2個。已知大班比小班多3個小朋友，問這筐蘋果共有多少個？分析與解答：分給大班的小朋友每人5個則余10個，大班比小班多3個小朋友，相當于分給小班的小朋友每人5個則余10+35=25個，盈虧總數=25+2=27，小班人數=27（8-5）=9人，蘋果有95+25=70個。5、同學們暑假前到圖書館借書，如果每人借4本，則最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，這些圖書恰好借完，書的總數是多少？分析與解答：第二種借法中如果每人借3本，則余下：（83）210（本）； 兩種借法每人相差：431（本）；兩種借法相差本數：10212（本） 借書的總人數：12112（人）；書的總數：412246（本）智慧一加一1、張宇上午7時25分從家里出發到校上課。如果每分鐘走50步，離上課還有7分鐘；如果每分鐘走35步，就要遲到5分鐘。求學校的上課時間。分析與解答：這種盈虧問題的另一種比較常見的類型。主要是在計算盈虧總數時必須注意量的單位的統一。這里，盈虧總數不是7+5=12分，而是750+535=525步。所以，準點到校用時為525（50-35）=35分鐘。所以，上課時間是8點。 即：準點到校的用時=（750+535）（50-35）=35分鐘，學校上課時間為8點。2、有兩根同樣長的繩子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段長2米。原來每根繩子長多少米？分析與解答：第一根剪成的每段比第二根剪成的每段長2米。那么，如果同樣是5段的話，第二種就要比第一種少52=10米，現在第二種7段和第一種5段一樣長，說明第二種的兩段長是10米，也就是說每一段為102=5米。所以，繩子長為57=35米。即：原來每根繩子長為7（252）=35米。3、小明的爺爺買回一筐梨，分給全家人。如果小明和小紅每人分4個梨，其余每人分2個梨，還多出4個梨。如果小明1人分6個梨，其余每人分4個梨，又差12個梨。小明家有多少人？這筐梨子有多少個？分析與解答：第一種分法是小明、小紅各4個梨，其余每人2個梨，多余4個梨。假設小明、小妹也分2個梨，那么會多多少個梨呢？很容易想，多出：2248（各）。第二種分法是小明一人得6個梨，其余每人4個梨，差12個梨。假設小明也只分4個，那么就只差：12210（個）。即：小明家的人數為：224（122）2182=9（人）。梨子的個數為：422（92）426（個）或：64（91）1226（個）。4、蘋果和梨各有若干只。如果5只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果還多4只，梨恰好裝完；如果7只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果恰好裝完，梨還多12只。那么蘋果和梨共有多少只？分析與解答：7只蘋果和3只梨裝一袋比5只蘋果和3只梨裝一袋多了2只蘋果，梨從剛好到多12只，相當于把原來裝好的袋拿出了123=4袋，抽出