第五章數列 數列 分類 表示方法 性質 等差數列 等比數列 1 數列的概念及簡單表示法 1 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法 列表 圖象 通項公式 2 了解數列是自變量為正整數的一類函數 2 等差數列 等比數列 1 理解等差數列 等比數列的概念 2 掌握等差數列 等比數列的通項公式與前n項和公式 3 能在具體的問題情境中識別數列的等差關系或等比關系 并能用有關知識解決相應的問題 4 了解等差數列與一次函數 等比數列與指數函數的關系 1 數列是 的一列數 數列的一般形式為 簡記為 其中an是數列的第 項 2 數列有三種表示法 分別是 和 3 形如an kan 1 b的關系式稱為數列的 按一定次序排列 a1 a2 an n 列表法 圖象法 解析法 遞推公 式 an 4 數列的分類 有限 無限 1 設數列 an 中 a1 1 an an 1 n 則a5 a 10b 14c 15d 16解析 由an an 1 n a1 1 得a2 1 2 3 a3 3 3 6 a4 6 4 10 a5 10 5 15 答案 c 答案c 3 數列 1 1 3 5 7 的通項公式an 解析 由前n項易知通項公式 答案 2n 3 4 若數列 an 的前n項和sn n2 1 則an 1 觀察法求通項公式可從項的符號 前后項的大小變化 分子 分母的大小與項數的關系入手 2 利用sn求an時一定先求a1 s1 3 遞推關系式求an時 注意利用聯立方程組思想求解 考點一觀察法求通項 案例1 寫出下面各數列的一個通項公式 即時鞏固詳解為教師用書獨有 關鍵提示 1 拆分成整數與分數兩部分再求和 2 0 999 1 0 001 1 10 3 3 奇數項與偶數項分別考慮 4 可以把每一項分為分子和分母兩部分來考慮 即時鞏固1 寫出下列各數列的一個通項公式 考點二根據sn求an 案例2 設數列 an 的前n項和sn 3n 2 則數列 an 的通項公式為 關鍵提示 注意步驟n 1的情況 解析 當n 2時 an sn sn 1 3n 2 3n 1 2 2 3n 1 而a1 s1 1不適合上式 即時鞏固2 已知下列數列 an 的前n項和 求 an 的通項公式 1 sn n2 b 2 an 1 2sn n 1 2 且a1 1 解 1 當n 1時 a1 s1 1 b n 2時 an sn sn 1 n2 b n 1 2 b 2n 1 當b 0時 an 2n 1 n n 考點三遞推關系式求an 案例3 根據下列條件求數列的通項公式 1 a1 2 an 1 3an 2 2 a1 2 an 1 an n 關鍵提示 1 構造新的等比數列 2 借助聯立方程組構造等差數列 解 1 由已知得an 1 1 3 an 1 且a1 1 3 所以 an 1 構成以3為首項 3為公比的等比數列 所以an 1 3n an 3n 1 n n 2 因為an an 1 n 1 an 1 an 2 n 2 a2 a1 1 即時鞏固3 根據下列條件求數列的通項公式 1 a1 4 an 1 4an 3 2 a1 2 an 1 an 2n 1 3 a1 1 2n 1an an 1 n 2 解 1 由已知得an 1 1 4 an 1 且a1 1 3 所以 an 1 構成以3為首項 公比q 4的等比數列 所以an 1 3 4n 1 an 3 4n 1 1 n n 2 因為an an 1 2n an 1 an 2 2n 1 a2 a1 22 a1 2 兩邊分別相加得an 2 22 2n an 2n 1 2 考點四數列的函數性質 案例4 已知數列 an 的通項公式為an n2 5n 4 1 數列中有多少項是負數 2 n為何值時 an有最小值 請求出最小值 關鍵提示 1 求關于n的不等式的整數解 2 利用二次函數圖象求最值 注意整點 解 1 由n2 5n 4 0 解得1 n 4 因為n n 所以n 2 3 所以數列有兩項是負數 即時鞏固4 已知數列 an 中 an