歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 2011 年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷） 數學 試題 （文史類） 本試題卷共 4 頁，三大題 21 小題。全卷滿分 150 分，考試用時 120 分鐘。 祝考試順利 注意事項： 1答卷前，考生務必將自己的姓名、 準考證 號填寫在 試題卷和 答題卡上。并將準考證號條形碼粘 貼 在答題卡 上 的指定位置。 用 2B 鉛筆將答題卡上試卷類型 A 后的方框涂黑。 2選擇題的作答：每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案標號 涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在試題卷、草稿紙上無效。 3填空題和解 答題的作答：用 0 5 毫米黑色 黑水 簽字筆直接在答題卡上對應的答題區域內。答在試題卷、草稿紙上無效。 4考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后， 請 將 本試題卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1 已知 1,2,3,4,5,6,7,8, 1,3,5,7, 2,4,5,U A B 則 U ABA 6, 8B 5, 7C4,6,7D 1 3,5,6,82若向量 1,2 , 1, 1ab ，則 2a+b 與的夾角等于 A 4B 6C 4D343若定義在 R 上的偶函數()fx和奇函數gx滿足( ) ( ) xf x g x e，則 = AxxeeB12 xxeeC12 x x D 2xxee4將兩個頂點在拋物線2 2 ( 0)y px p上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數記為n，則 A0nB1nC2D35有一個容量為 200 的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，根據樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數據落在區間10,1內的頻數為 A 18 B 36 C 54 D 72 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 6已知函數( ) 3sin cos ,f x x xx R ，若( ) 1fx，則 x 的取值范圍為 A|2 2 ,3x k x k k Z B|,3x k x k k Z C5|2 2 ,66x k x k k Z D5x k x k k Z 7設球的體積為1V，它的內接正方體的體積為2V，下列說法中最合適的是 A1比2大約多一半 B1比2V大約多兩倍半 C1V比2大約多一倍 D1比2大約多一倍 半 8直線2 10 0xy 與不等式組0024 3 2 0xyxyxy 表示的平面區域的公共點有 A 0 個 B 1 個 C 2 個 D無數個 9九章算術“竹九節”問題：現有一根 9 節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面 4 節的容積共 3 升，下面 3 節的容積共 4 升，則第 5 節的容積為 A 1 升 B6766升 C4744升 D3733升 10若實數 a， b 滿足0, 0ab，且0，則稱 a 與 b 互補，記22( , ) ,a b a b a b 那么( , ) 0ab 是 a 與 b 互補的 A必要 而 不充分 的 條件 B充分 而 不必要的條件 C充要條件 D既不充分也不必 要 的 條件 二、填空題：本大題共 5小題，每小題 5分，共 25分，請將答案填在答題卡對應題號的位置上，一題兩空的題，其答案按先后次序填寫，答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分。 11某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家。為掌握各類超市的營業情況，現按分層抽樣方法抽取一個容量為 100 的樣本，應抽取中型超市 _家。 121813x x的展開式中含15x的項的系數為 _。（結果用數值表示） 13在 30 瓶飲料中，有 3 瓶已過了保質期，從這 30 瓶飲料中任取 2 瓶，則至少取到 1 瓶已過 保質期飲料的概率為 _。 （結果用最簡分數表示） 14過點（ 1, 2）的直線 l 被圓22 2 2 1 0x y x y 截得的弦 長 為 2 ，則直線 l 的斜率為_。 15里氏震級 M 的計算公式為：0lg lgM A A，其中 A 是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，0A是相應的標準地震的振幅。假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是 1000，此時標準地歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 震的 振幅 為 0.001，則此次地震的震級為 級； 9 級地震的最大振幅是 5 級地震最大振幅的 倍。 三、解答題：本大題共 6小題，共 75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 16（本小題滿分 12 分） 設ABC的內角 A、 B、 C 所對的邊分別為 a、 b、 c，已知11, 2,cos 4a b C （ I） 求 的周長； （ II）求cos( )AC的值。 17（本小題滿分 12 分） 成等差數列的三個正數的和等于 15，并且這三個數分別加上 2、 5、 13 后成為等比數列 nb中的3b、4、5b。 （ I） 求數列 nb的通項公式； （ II） 數列 n的前 n 項和為nS，求證：數 列54nS是等比數列。 18（本小題滿分 12 分） 如圖，已知正三棱柱ABC-1 1 1ABC的底面邊長為 2，側棱長為32，點 E 在側棱1AA上 ，點 F 在 側棱1BB上 ，且 22AE,2BF （ I） 求證：1C CE； （ II） 求二面角1E CF C的大小。 19（本小題滿分 12 分） 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米 /小時）是車流密度 x（單位：輛 /千米）的函數，當橋上的車流密度 達到 200 輛 /千米時，造成堵塞，此時車流速度為 0；當車流密度不超過 20 輛 /千米時，車流速度為 60 千米 /小時，研究表明：當2 200x時，車流速度 v 是車流密度 x 的一次函數。 （ I）當0 20x時，求函數 v（ x） 的表達式； （ II）當車流密度 x 為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛 /小時）( ) ( )f x vx可以達到最大，并求出最大值。（精確到 1 輛 /小時）。 20（本小題滿分 13 分） 設函數32( ) 2f x x ax bx a ，2( ) 3 2g x x ，其中xR， a、 b 為常數，已知曲線 ()y f與y g x在點（ 2,0）處有相同的切線 l。 （ I） 求 a、 b 的值，并寫出切線 l 的方程； （ II）若方程( ) ( )f x gx mx有三個互不相同的實根 0、1、2x，其中12xx，且對任意的 ,x x，( ) ( ) ( 1)f x 恒成立，求實數 m 的取值范圍。 21（本小題滿分 14 分） 平面內與兩定點 1 ,0Aa、2（0a）連線的斜率之積等于非零常數 m 的點的軌跡，加上1A、 A22A兩點所成的曲線 C 可以是圓、橢圓或雙曲線。 （ ）求曲線 C 的方程，并討論 C 的形狀與 m 值的 關系； （）當 1m 時，對應的曲線為1C；對給定的 ),0()0,1( m ，對應的曲線為2C，設1F、2F是2C的兩個焦點。試問：在1C上 ，是否存在點 N ，使得1FN 2F 的面積 2|S m a 。若存在，求 tan1FN 2F 的值；若不存在，請說明理由。 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 參考答案 一、選擇題：本題主要考查基礎知識和基本運算。每小 題 5 分，滿分 50 分。 A 卷： 1 5ACDCB 6 10ADBBC B 卷： 1 5DCABC 6 10ADBBC 二、填空題：本題主要考查基礎知識和基本運算，每小題 5 分，滿分 25 分。 11 20 12 17 13 2814514 1 或 17715 6， 10000 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 16本小題主要考查三角函數的基本公 式和解斜三角形的基礎知識，同時考查基本運算能力。（滿分12 分） 解： （） 2 2 2 12 c o s 1 4 4 44c a b a b C Q2.c ABC 的周長為 1 2 2 5 .abc （） 221 1 1 5c o s , s i n 1 c o s 1 ( ) .4 4 4C C C Q15s i n 1 54s i n28aCAc ,a c A C Q ，故 A 為銳角， 22 1 5 7c o s 1 s i n 1 ( ) .88AA 7 1 1 5 1 5 1 1c o s ( ) c o s c o s s i n s i n .8 4 8 8 1 6A C A C A C 17本小題主要考查等差數列，等比數列及其 求 和公式等基礎知識，同時考查基本運算能力。（滿分12 分） 解：（）設成等差數列的三個正數分別為 ,a d a a d 依題意，得 1 5 , 5 .a d a a d a 解 得 所以 nb中的345,b b b依次為 7 ,1 0 ,1 8 .dd 依題意，有 ( 7 ) ( 1 8 ) 1 0 0 , 2 1 3d d d d 解 得 或（舍去） 故 nb的第 3 項為 5，公比為 2。 由 223 1 1 152 , 5 2 , .4b b b b 即 解 得歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 所以 nb是以 54為首項， 2 為以比的等比數列，其通項公式為 135 2 5 24 nnnb （）數列 nb的前 n 項和 25 ( 1 2 )54 521 2 4nnnS ，即 22545 nnS 所以 111 255 5 5 24, 2 .542 524nnnnSSS 因此 5542nS 是 以為首項，公比為 2 的等比數列。 18本小題主要考查空間直線與平面的位置關系和二面角的求法，同時考查空間想象能力和推理論證能力。（滿分 12 分） 解法 1：（）由已知可得 22113 2 , 2 ( 2 2 ) 2 3C C C E C F 2 2 2 2 21( ) , 2 ( 2 ) 6E F A B A E B F E F C E 于是有 2 2 2 2 2 21 1 1 1,E F C E C F C E C E C C 所以11,C E E F C E C E又1,.E F C E E C E C E F 所 以 平 面由1,.C F C E F C F C E平 面 故（）在 CEF 中，由（）可得 6 , 2 3E F C F C E 于是有 EF2+CF2=CE2，所以 .CF EF 又由（）知 CF C1E，且1EF C E E，所以 CF 平面 C1EF， 又1CF平面 C1EF，故 CF C1F。 于是1EFC即為二面角 E CF C1 的平面角。 由（）知1CEF是等腰直角三角形，所以1 45BFC ，即所求二面角 E CF C1 的大小為 45 。 解法 2：建立如圖所示的空間直角坐標系，則由已知可得 1( 0 , 0 , 0 ) , ( 3 , 1, 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 3 2 ) , ( 0 , 0 , 2 2 ) , ( 3 , 1, 2 )A B C C E F（）1 ( 0 , 2 , 2 ) , ( 3 , 1, 2 )C E C F u u uur u u ur1 0 2 2 0C E C F uuuur uuur歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 1 .CF C E（） ( 0 , 2 , 2 2 )CE uuur ，設平面 CEF 的一個法向量為( , , )m x y z 由 0,0,m C Em C E m C Fm C F u u uru u ur u u uru u ur得 即 2 2 2 0 , ( 0 , 2 , 1 )3 2 0yz mx y z 可 取設側面 BC1 的一個法向量為1, , , ( 3 , 1, 0 )n n B C n C C C B u u u r u u u u r u u u r由 及)0,3,1(),23,0,0(1 nCC 可取 設二面角 E CF C1 的大小為，于是由為銳角可得 | | 6 2c o s| | | | 232mnmn ，所以 45 即所求二面角 E CF C1 的大小為 45 。 19本小題主要考查函數、最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力。（滿分12 分） 解：（）由題意：當 0 2 0 , ( ) 6 0x v x 時 ；當 2 0 2 0 0 , ( )x v x a x b 時 設 再由已知得1 ,2 0 0 0 , 32 0 6 0 , 2 0 0 .3aabab b 解 得 故函數 ()vx 的表達式為 6 0 , 0 2 0 ,() 1( 2 0 0 ) , 2 0 2 0 03xvx xx （）依題意并由（）可得 6 0 , 0 2 0 ,() 1( 2 0 0 ) , 2 0 2 0 03xxfx x x x 當 0 2 0 , ( )x f x 時 為增函數，故當 20x 時，其最大值為 60 20=1200； 當 20 200x 時， 21 1 ( 2 0 0 ) 1 0 0 0 0( ) ( 2 0 0 ) 3 3 2 3xxf x x x 當且僅當 200xx，即 100x 時，等號成立。 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 所以，當 1 0 0 , ( )x f x 時 在區間 20， 200上取得最大值 10000.3綜上，當 100x 時， ()fx在區間 0， 200上取得最大值 10000 33333 。 即當車流密度為 100輛 /千米時， 車流量可以達到最大，最大值約為 3333輛 /小時。 20本題主要考查函數、導數、不等式等基礎知識，同時考查綜合運用數學知識進行推理論證的能力，以及函數與方程和特殊與一般的思想，（滿分 13 分） 解：（） 2( ) 3 4 , ( ) 2 3 .f x x a x b g x x 由于曲線 ( ) ( )y f x y g x與 在點（ 2， 0）處有相同的切線， 故有 ( 2 ) ( 2 ) 0 , ( 2 ) ( 2 ) 1 .f g f g 由此得 8 8 2 0 , 2 ,1 2 8 1 , 5 .a b a aa b b 解 得所以 2, 5ab ，切線 l 的方程為 20xy （）由（）得 32( ) 4 5 2f x x x x ，所以 32( ) ( ) 3 2 .f x g x x x x 依題意，方程 2( 3 2 ) 0x x x m 有三個互不相同的實數120, ,xx， 故12,xx是方程 2 3 2 0x x m 的兩相異的實根。 所以 19 4 ( 2 ) 0 , .4mm 即又對任意的12 , , ( ) ( ) ( 1 )x x x f x g x m x 成立， 特別地，取1xx時，1 1 1( ) ( )f x g x m x m 成立，得 0.m 由韋達定理，可得1 2 1 2 1 23 0 , 2 0 , 0 .x x x x m x x 故對任意的1 2 2 1 , , 0 , 0 , 0x x x x x x 有 x-x則1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0f x g x m x x x x x x f x g x m x 又所以函數12( ) ( ) , f x g x m x x x x 在的最大值為 0。 于是當 0m 時，對任意的12 , , ( ) ( ) ( 1 )x x x f x g x m x 恒成立， 綜上， m 的取值范圍是 1( ,0).420本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整合和數形結合的思想。（滿分 14 分） 解：（ I）設動點為 M，其坐標為 ( , )xy ， 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 歡迎訪問豆丁網：免費文檔下載 當 xa 時，由條件可得12222 ,M A M Ay y yk k mx a x a x a 即 2 2 2 ()m x y m a x a ， 又12( , 0 ) , ( , 0 )A a A A的坐標滿足 2 2 2 ,m x y m a 故依題意，曲線 C 的方程為 2 2 2 .m x y m a 當 1,m時 曲線 C 的方程為 22 1,xy Ca m a是焦點在 y 軸上的橢圓； 當 1m 時，曲線 C 的方程為 2 2 2x y a， C 是圓心在原點的圓； 當 10m 時，曲線 C 的方程為 221xya m a， C 是焦點在 x 軸上的橢圓； 當 0m 時，曲線 C 的方程為 221,xya maC 是焦點在 x 軸上的雙曲線。 （ II）由（ I）知，當 m=-1 時， C1 的方程為 2 2 2 ;x y a 當 ( 1 , 0 ) ( 0 , )m U 時， C2 的兩個焦點分別為12( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) .F a m F a m 對于給定的 ( 1 , 0 ) ( 0 , )m U ， C1 上存在點0 0 0(