2014年第四屆全國學而思綜合能力測評小學六年級（2014年4月7日）一、填空題（每題4分，共分）1的分子加上8，要使分數的大小不變，分母應加上_22014年上半年出臺規定用空氣質量指數（Air Quality Index，簡稱）描述空氣質量狀況，空氣狀況優良標準為，越低，空氣質量越優2014年3月北京空氣質量狀況是輕度污染，的平均值超出優良標準的，那么北京2014年3月的的平均值是_3右面圖 是邊長為1的正三角形，圖是邊長為2的正三角形，圖是邊長為3的正三角形按此規律，邊長為4的正三角形中有_個邊長為1的正三角形4甲要完成一批零件，原計劃10天完成實際上甲每天比原計劃多做16個，結果8天完成這批零件共有_個5如右圖，正六邊形面積是2014平方厘米，在、上分別取中點、 ，四邊形的面積是_平方厘米6在一個國家里的錢幣只有3元和5元，有一些正整數價格無法用這兩種錢幣直接支付（不設找贖），那么在10元以內，不能直接支付的最大整數價格是_元7有濃度為的鹽水若干，加入100克水后濃度變為20%，原有濃度的鹽水_克8有一組式子：，從左往右數的第10個式子是下面算式的第_個（1） （2） （3） （4） 二、填空題（每題6分，共分）9老師在黑板上按順序寫了10個非0自然數，排成一排，其中第1個數是16，并且任意相鄰的3個數的和是100，那么，第8個數最大可以是_10填入合適的數字，使右面乘法豎式成立兩個乘數的和是_11學而思要舉行語文、數學、英語公益診斷，語文每隔1天進行一次，數學每隔2天進行一次，英語，每隔3天進行一次，3月31日晚上他們同時在進行診斷，以后則按上述規定進行，從不間斷4月一共有_天是沒有進行過任何科目診斷的12如右圖所示，一個圓，半徑是厘米，繞點順時針旋轉90度，掃過的面積（即整個圖形的面積）是_平方厘米（ ）13甲、乙、丙、丁四個人在比賽前就對名次進行了預測，下表是四個人的預測：甲的預測乙的預測丙的預測丁的預測第1名乙甲丙乙第2名丙乙丁丙第3名甲丁甲丁第4名丁丙乙甲比賽結束之后，當對比預測和實際結果時，發現乙和丁預測對了兩個人的名次，而甲和丙只預測對了一個人的名次如果甲、乙、丙、丁分別獲得第、名，那么四位數_14一個自然數恰有48個約數，并且其中有10個連續的自然數，那么這個數的最小值是_15甲、乙在地，丙在地同時出發，相向而行，到達目的地后立即返回當甲丙相遇時，乙恰好走到 兩地的中點；當乙丙相遇時，甲恰好走到當甲乙相遇時，丙走了2014米，兩地相距_米16如下左圖，一個圓柱形玻璃杯內放有一個半徑和高都與圓柱相等的圓錐形鐵塊現在向杯內倒水，當水面高度是杯高的三分之二時，還需再倒260立方厘米的水才能將被子倒滿這個圓錐形鐵塊的體積是_立方厘米三、解答題（本大題共6題）17計算：（1） （2） （3） （4）解方程組： 18列方程（組）解應用題：有一筐桔子和蘋果，桔子個數是蘋果的3倍現將它們分給小朋友們，每人分5個桔子和2個蘋果，最后還剩下11個桔子和1個蘋果原來桔子、蘋果各有多少個？19如圖，在一個正方形環形跑道上，甲乙丙三人同時從點出發，逆時針環行已知，甲、乙、丙跑一圈的時間分別為6、10、16分鐘（1）出發后多少分鐘后，甲乙丙第一次同時經過點？（2）出發后多少分鐘（分鐘數為整數）后，以甲乙丙所在的位置為頂點所組成三角形的面積第一次恰好為正方形面積的一半？20如下圖所示，的面積是210，、分別是、的中點，分別是的四等分點（靠近 點）（1） 求的面積是多少？（2） 求；（3） 求的面積是多少？21定義符號“”，稱做的絕對值絕對值的幾何意義是：如下圖所示，表示數的點到原點（下圖中的0）的距離：距離不能小于0如：3的到原點距離是3，所以3的絕對值是3；同樣的絕對值也是3；（1） 若，且，則_（2） 若，則_22在中，三邊存在一定的不等關系，具體表示為：“三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”如下圖所示，有（1）村莊和村莊之間，有一座水庫，為了測得水庫的寬度，小強想了一個辦法他先另找了一個點測得到的距離為3千米，測得到的距離為2千米，如下圖所示，則水庫的寬度可能的取值為（ ）A5千米 B4千米 C6千米 D以上都不可能（2）如下圖，點為內部一點試用三角形三邊關系證明：（3） 令三角形三邊長分別為、，其中最大，由三角形三邊關系可以得到：（為三角形周長）請用這個結論來解決下題：現有一根鐵絲，總長度為20厘米，小張將鐵絲剪成三段，且三段長度均為整數厘米，如果這三段恰好能構成一個三角形，那么，一共有多少種剪法？（數字之間調換順序算同一種剪法）2014年第四屆全國學而思綜合能力測評小學六年級參考答案12345678910111415016640100772002839251012131415161718192021222251423252050352702014；45；0； 桔子51個；蘋果17個240；36105；83；12B；見解析；8部分解析一、填空題（每題4分，共分）1的分子加上8，要使分數的大小不變，分母應加上_【考點】速算巧算，分數計算 【難度】【答案】14【解析】分子變為12，即變為原來的3倍，要使分數值不變，分母也應變為原來的3倍，及分母變為21，即分母增加1422014年上半年出臺規定用空氣質量指數（Air Quality Index，簡稱）描述空氣質量狀況，空氣狀況優良標準為，越低，空氣質量越優2014年3月北京空氣質量狀況是輕度污染，的平均值超出優良標準的，那么北京2014年3月的的平均值是_【考點】應用題，分數應用題 【難度】 【答案】150【解析】3右面圖 是邊長為1的正三角形，圖是邊長為2的正三角形，圖是邊長為3的正三角形按此規律，邊長為4的正三角形中有_個邊長為1的正三角形【考點】組合，幾何計數，找規律 【難度】 【答案】16【解析】（個）4甲要完成一批零件，原計劃10天完成實際上甲每天比原計劃多做16個，結果8天完成這批零件共有_個【考點】應用題，工程問題【難度】 【答案】640【解析】量率對應求總量，（個）5如右圖，正六邊形面積是2014平方厘米，在、上分別取中點、 ，四邊形的面積是_平方厘米【考點】幾何特殊圖形 【難度】【答案】1007【解析】如圖，對正六邊形進行合理的等積分割：可見整體是24份，陰影占12份，故所求面積為（平方厘米）6在一個國家里的錢幣只有3元和5元，有一些正整數價格無法用這兩種錢幣直接支付（不設找贖），那么在10元以內，不能直接支付的最大整數價格是_元【考點】數論，整數分拆【難度】 【答案】7 【解析】，無非負整數解，故答案是77有濃度為30%的鹽水若干，加入100克水后濃度變為20%，原有濃度的鹽水_克【考點】應用題，濃度問題【難度】 【答案】200 【解析】設原有的鹽水克，根據題意，化為整式方程，解得8有一組式子：，從左往右數的第10個式子是下面算式的第_個（1） （2） （3） （4） 【考點】計算，數列，通項歸納【難度】 【答案】2【解析】偶數項為負，分母的通項為，指數的通項為，故（2）正確二、填空題（每題6分，共分）9老師在黑板上按順序寫了10個非0自然數，排成一排，其中第1個數是16，并且任意相鄰的3個數的和是100，那么，第8個數最大可以是_【考點】組合、最值問題【難度】 【答案】83 【解析】設第1、2、3、410個數分別為、，則，化簡得，同理可得，故，可見的理論最大值為83舉例：、10填入合適的數字，使右面乘法豎式成立兩個乘數的和是_【考點】數字謎，乘法豎式謎【難度】 【答案】925 【解析】由于第一個乘數是兩位數，范圍分析知第一部分積為，且為偶數，同時可知第一個乘數為50或51或52或53或54由于第二個部分的末位是1是奇數，這說明第一個乘數只能是奇數，故排除50、52、54，第一個乘數可能為51或53，但若是51，則只有 的個位是1，但這個乘積不是三位數，故知51錯誤第一個乘數是，；第三部分積末位為，只有的末位為4，故知第二個乘數為872，所求的和為11學而思要舉行語文、數學、英語公益診斷，語文每隔1天進行一次，數學每隔2天進行一次，英語，每隔3天進行一次，3月31日晚上他們同時在進行診斷，以后則按上述規定進行，從不間斷4月一共有_天是沒有進行過任何科目診斷的【考點】組合，周期問題，容斥原理【難度】 【答案】10 【解析】依題意，語、數、英的診斷日期分別是2的倍數、3的倍數、4的倍數，可見進行英語診斷時也一定在進行語文診斷，故只考慮語文和數學即可，可見每天一周期方法一（周期法）：從1號開始，每一周期6天中只有第1天和第5天沒有任何診斷，故有5個完整周期，答案是（天）方法二（容斥原理）：30以內即不是2的倍數也不是3的倍數的數有（個）12如右圖所示，一個圓，半徑是厘米，繞點順時針旋轉90度，掃過的面積（即整個圖形的面積）是_平方厘米（）【考點】幾何，圓與扇形，勾股定理【難度】 【答案】225 【解析】如圖所示，所求面積即為大扇形的面積加上小扇形的面積：根據勾股定理，故大扇形的面積是；小扇形的面積是，故總面積是13甲、乙、丙、丁四個人在比賽前就對名次進行了預測，下表是四個人的預測：甲的預測乙的預測丙的預測丁的預測第1名乙甲丙乙第2名丙乙丁丙第3名甲丁甲丁第4名丁丙乙甲比賽結束之后，當對比預測和實際結果時，發現乙和丁預測對了兩個人的名次，而甲和丙只預測對了一個人的名次如果甲、乙、丙、丁分別獲得第、名，那么四位數_【考點】邏輯推理【難度】【答案】1423 【解析】對于第4名的預測各不相同，可知必有1個人預測對過，對第3名的預測要么對2個，要么沒人對，但若沒人對，全部預測正確的次數最大為，與共預測對了6次的事實相矛盾，可見第3名要么是甲，要么是丁若第3名是甲，則甲的預測已有一個正確，故知甲的其它3個預測都是錯誤的，其中第1名不是乙，進而丁的4個預測中第1、3名都預測錯了，故第2、4名預測對了，所以甲是第4名，這與假設矛盾，故假設錯誤，若有正確答案，第3名應該是丁若第3名是丁，則甲對第3、4名的預測就都錯了，故知甲對第1、2名的預測中有1個事正確預測；但同時丁對第1、2名的預測與甲完全相同，故知丁在第1、2、3名的預測中已經對了2個，可見丁對第4名的預測是錯誤的，即甲不是第4名；若甲是第2名，則四人對第2名的預測全錯，進而無法滿足共預測對了6次這個條件，可見甲不是第2名，故甲為第1名；進而由甲的預測可知丙第2名，進而乙第4名，完全符合條件綜上可知本題有唯一答案142314一個自然數恰有48個約數，并且其中有10個連續的自然數，那么這個數的最小值是_【考點】數論，因數個數定理，最小公倍數【難度】【答案】2520 【解析】這個數的理論最小值是，同時，根據因數個數定理，它確實有個因數15甲、乙在地，丙在地同時出發，相向而行，到達目的地后立即返回當甲丙相遇時，乙恰好走到 兩地的中點；當乙丙相遇時，甲恰好走到當甲乙相遇時，丙走了2014米，兩地相距_米【考點】行程，比例行程【難度】【答案】5035 【解析】根據“當甲丙相遇時，乙恰好走到兩地的中點”可知；根據“當乙丙相遇時，甲恰好走到地”可知，故可解得；故甲乙相遇時，甲走了3份，乙走了2份，丙走了1份可見每份是2014米那么甲乙共走的兩個全長，同時甲乙共走了5份，故知全長為米 16如下左圖，一個圓柱形玻璃杯內放有一個半徑和高都與圓柱相等的圓錐形鐵塊現在向杯內倒水，當水面高度是杯高的三分之二時，還需再倒260立方厘米的水才能將被子倒滿這個圓錐形鐵塊的體積是_立方厘米【考點】幾何，比例型立體幾何【難度】【答案】270 【解析】水面之上的小圓錐，半徑和高都是大圓錐的 ，故體積是大圓錐體積的，設小圓錐體積為 立方厘米，則大圓錐體積為立方厘米，有方程；易見， 三、解答題（本大題共6題）17計算：（1） （2） （3）（4）解方程組： 【考點】計算（提取公因數，平方差公式，分數裂項），解方程組【難度】【答案】（1）2014 （2）45 （3）0 （4） 【解析】（1）原式 （2）原式（3）原式 （4）化為整式方程，再化為最簡整式方程：；上式與下式的2倍相加，消去，得到，解得 ，帶回原式得到18列方程（組）解應用題：有一筐桔子和蘋果，桔子個數是蘋果的3倍現將它們分給小朋友們，每人分5個桔子和2個蘋果，最后還剩下11個桔子和1個蘋果原來桔子、蘋果各有多少個？【考點】列方程（組）解應用題【難度】【答案】桔子51個，蘋果17個 【解析】設有名小朋友，則桔子有個，蘋果有個，故有方程，解得，故桔子有個，蘋果有個19如圖，在一個正方形環形跑道上，甲乙丙三人同時從點出發，逆時針環行已知，甲、乙、丙跑一圈的時間分別為6、10、16分鐘（1）出發后多少分鐘后，甲乙丙第一次同時經過點？（2）出發后多少分鐘（分鐘數為整數）后，以甲乙丙所在的位置為頂點所組成三角形的面積第一次恰好為正方形面積的一半？【考點】數論（最小公倍數），行程（比例行程），幾何（比例面積）【難度】【答案】（1）240；（2）36 【解析】（1）分鐘（2）引理：長方形的內接三角形面積不超過此長方形面積的一半，等號成立的條件是三角形某兩個頂點恰在長方形的兩個相鄰頂點處，第三個頂點在長方形的對邊上證明如下：若此三角形只有1個頂點在長方形頂點上，適當割補圖形，能證明面積必然小于一半；若此三角形有某兩點在同一條邊上，易見面積不超過一半，且等號成立條件恰如上述條件：若此三角形的3個頂點分屬長方形的三條邊，則可轉化成情形，面積一定小于一半；若此三角形某有兩個頂點恰在長方形的兩個對頂點上，而此三角形的第3個頂點不在長方形頂點處，也易見面積小于一半；若此三角形某有兩個頂點恰在長方形的兩個相鄰頂點處，則第3個頂點若不在對邊上，則面積小于一半；若在對邊上（含頂點處）則面積等于一半；綜合以上幾種情況，引理得證下面求解原題根據引理的等號成立條件，可知甲、乙、丙必須有某兩人站在相鄰的頂點處，第三人在對邊上時，才能滿足“三角形面積恰為正方形一半”這個條件甲、乙、丙的速度比為，下面以甲乙、乙丙、甲丙站在相鄰頂點的時刻來分類討論：尋找甲乙站在相鄰頂點處的時刻：由于甲乙速度比為，故甲跑個邊長時，乙必然跑了個邊長，兩人之間的路程差距是個邊長，但 ，故知甲站在頂點處時，乙要么站在頂點處，要么和甲站在同一位置，故知不可能有甲乙站在相鄰頂點處的時刻尋找乙丙站在相鄰頂點處的時刻：由于乙丙速度比為，故乙跑個邊長時，丙必然跑了個邊長，兩人之間的路程差距是個邊長，解同余方程，得當乙跑8個邊長在點，丙跑5個邊長在點時，甲跑了個邊長在上，不符引理要求；當乙跑24個邊長在點，丙跑15個邊長在點時，甲跑了40個邊長在點上，不符引理要求；當乙跑40個邊長在點，丙跑25個邊長在點時，甲跑了個邊長在上，符合引理要求，用時（分鐘）尋找甲丙站在相鄰頂點處的時刻：由于甲丙速度比為，故甲跑個邊長時，丙必然跑了個邊長，兩人之間的路程差距是個邊長，解同余方程，得當甲跑8個邊長在點，丙跑3個邊長在點時，乙跑了個邊長在上，不符引理要求；當甲跑24個邊長在點，丙跑9個邊長在點時，乙跑了個邊長在上，符合引理要求，用時（分鐘）綜上，由于，故第一次符合條件的時刻是在36分鐘之后20如下圖所示，的面積是210，、分別是、的中點，分別是的四等分點（靠近 點）（1）求的面積是多少？（2）求；（3）求的面積是多少？【考點】幾何，直線型比例模型【難度】【答案】（1）105；（2） （3）8 【解析】（1）根據等高模型， （2）連接，則根據風箏模型，；（3）利用（1）（2）問的結論，可知，用類似的方法也可以求出和；連接，根據風箏模型，故；連接，根據風箏模型，；故21定義符號“”，稱做的絕對值絕對值的幾何意義是：如下圖所示，表示數的點到原點（下圖中的0）的距離：距離不能小于0如：3的到原點距離是3，所以3的絕對值是3；同樣的絕對值也是3；（1）若，且，則_（2）若，則_【考點】小升初銜接知識絕對值【難度】【答案】（1）3；（2）