運用直接開平方法，即根據平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程 教學目標 理解一元二次方程“降次”轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題 提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程 重難點關鍵 1重點：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；領會降次轉化的數學思想 2難點與關鍵：通過根據平方根的意義解形如x2=n，知識遷移到根據平方根的意義解形如（x+m）2=n（n0）的方程 教學過程 一、復習引入 學生活動：請同學們完成下列各題 問題1填空 （1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2 問題2如圖，在abc中，b=90，點p從點b開始，沿ab邊向點b以1cm/s的速度移動，點q從點b開始，沿bc邊向點c以2cm/s的速度移動，如果ab=6cm，bc=12cm，p、q都從b點同時出發，幾秒后pbq的面積等于8cm2？ 老師點評： 問題1：根據完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ ）2 問題2：設x秒后pbq的面積等于8cm2 則pb=x，bq=2x 依題意，得： x2x=8 x2=8 根據平方根的意義，得x=2 即x1=2 ，x2=-2 可以驗證，2 和-2 都是方程 x2x=8的兩根，但是移動時間不能是負值 所以2 秒后pbq的面積等于8cm2 二、探索新知 上面我們已經講了x2=8，根據平方根的意義，直接開平方得x=2 ，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？ 老師點評：回答是肯定的，把2t+1變為上面的x，那么2t+1=2 即2t+1=2 ，2t+1=-2 方程的兩根為t1= - ，t2=- -例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為（x+2）2=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接開平方，得：x+2=1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3 例2市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率 分析：設每年人均住房面積增長率為x一年后人均住房面積就應該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：設每年人均住房面積增長率為x， 則：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接開平方，得1+x=1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2=-2.2應舍去 所以，每年人均住房面積增長率應為20% 解一元二次方程，它們的共同特點是什么？ 共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉化思想” 三、應用拓展 例3某公司一月份營業額為1萬元，第一季度總營業額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業額平均增長率是多少？ 分析：設該公司二、三月份營業額平均增長率為x，那么二月份的營業額就應該是（1+x），三月份的營業額是在二月份的基礎上再增長的，應是（1+x）2 解：設該公司二、三月份營業額平均增長率為x 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）當成一個數，配方得： （1+x+ ）2=2.56，即（x+ ）2=256 x+ =1.6，即x+ =1.6，x+ =-1.6 方程的根為x1=10%，x2=-3.1 因為增長率為正數， 所以該公司二、三月份營業額平均增長率為10% 四、歸納小結 本節課應掌握： 由應用直接開平方法解形如x2=p（p0），那么x= 轉化為應用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n= ，達到降次轉化之目的 五、作業： 一、選擇題 1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ） ap=4，q=2 bp=4，q=-2 cp=-4，q=2 dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根為（ ） a3 b-3 c3 d無實數根 3用配方法解方程x2- x+1=0正確的解法是（ ） a（x- ）2= ，x= b（x- ）2=- ，原方程無解 c（x- ）2= ，x1= + ，x2= d（x- ）2=1，x1= ，x2=- 二、填空題 1若8x2-16=0，則x的值是_ 2如果方程2（x-3）2=72，那么，這個一元二次方程的兩根是_ 3如果a、b為實數，滿足 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、綜合提高題 1解關于x的方程（x+m）2=n 2某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊*墻（墻長25m），另三邊用木欄圍成，木欄長40m （1）雞場的面積能達到180m2