4 8中學數學教學2 0 1 4 年第6 期 l 復習 考試 k 求解一道2 0 1 4 年高考數學壓軸題的心路歷程 湖北省武漢市黃陂六中梅磊 郵編 4 3 0 3 0 0 作為高考數學理科壓軸題歷來都是社會關 注的熱點 當2 0 1 4 年高考落下帷幕之時 筆者嘗 試探究今年湖北卷理科壓軸題 在親歷求解這道 題的過程之中 真切地感悟到命題人用心良苦 愿與大家交流 題目丌為圓周率 e 一2 7 1 8 2 8 為自然 對數的底數 工 求函數 z 一墮的單調區問 3 7 求e 3 3 e 7 c 3 7 c 3 這6 個數中 的最大數與最小數 將e 3 3 e 7 c 8 3 7 c 3 這6 個數按 從小到大的順序排列 并證明你的結論 初讀試題 穩中求變出新的命題風格撲面而 來 與2 0 1 1 2 0 1 3 年湖北高考理科數學壓軸題 相比 雖然第 I 問還是利用導數研究函數性態 的常見題型 但第 1 1 問和第 1 l I 問卻一改往年 證明不等式的套路 改為與不等式相關的求最值 和比較大小 穩中求變出新 命題人用心良苦 1 解法探究 解答高考數學壓軸題的歷程是富有挑戰性 的 不僅要有扎實的數學功底 而且需要細心和 耐心 在細心中對題設條件 有關提取 在細心 中對隱含關系 有用捕捉 在細心中對所求結論 有效轉化 根據題設條件擬定解題方向要有耐 心 解題過程中不斷修正解題方案要有耐心 把 解題過程用數學語言表達出來要有耐心 1 1 在穩定中起步 第 I 問求函數廠 z 一些的單調區間 正 有一種似曾相識的感覺 命題形式和求解方法都 與課本例題完全相同 起步段的解題心情是愉 快的 解函數廠 z 的定義域為 0 因為 廠 z 一墼 所以廠7 z 一上 7 C Z 當 廠 z 0 即0 z e 時 函數廠 z 單 調遞增 當 廠 z e 時 函數 z 單調 遞減 故函數 z 的單調遞增區間為 o e 單 調遞減區間為 e 感悟作為湖北課改后高考的第三年 今年 理科壓軸題的第 I 問比2 0 1 1 2 0 1 3 年湖北高 考理科數學壓軸題第 工 問求函數的最值起點 還要低 有著積極的導向作用 這種命題風格也 倍受教學一線的廣大高中數學教師的歡迎 1 2 在變化中承接 從第 工 問到第 I I 問有一個思維跨越 從 試題的字里行間里好像看不到解題方向 首先搜 索知識儲備 分析結論 要 求e 3 3 e 7 c e 3 丌3 這6 個數中的最大數與最小數 注意到 這6 個數都是指數形式和冪形式 容易想到要利 用指數函數和冪函數的單調性 接著打開記憶閘 門 聯想到經典試題 1 9 8 3 年高考理科數學壓軸 題第 I 問如下 已知握 b 為實數 并且 e 口 擴 第 1 I 問與上面的經典試題極為相似 解題 方法也應該相似 而上面試題就可以利用函數 廠 z 墮的單調性來證明 函數廠 z 一坐 上Z 的單調性正是第 I 問的終點 也是第 問的 起點 這也與以往的解題經驗相符 承接段的解 題心情是興奮的 解根據指數函數y e x y 一礦在定義域 上單調遞增 可得e 3 e 丌 7 c 3 根據冪函數y z Y z 在定義域上單 調遞增 可得3 8 7 e 3 萬方數據 2 0 1 4 年第6 期中學數學教學 4 9 從而3 丌 7 3 e 3 e 3 故這6 個數的最大數在兀3 與3 之中 最小 數在3 與e 3 之中 由e 3 丌及 I 的結論 得f T r 3 廠 e 即l n T t 掣 l n e 由警 警 得l n 兀3 由掣 些 得l n 3 e l n e 3 所以3 e e 3 綜上 6 個數中的最大數是3 最小數 是3 8 感悟第 I I 問一改往年證明不等式的傳 統模式 改為求最值 而利用函數的單調性既可 以證明不等式 也可以求最值 命題人不一味迎 合高中數學教學題型模式 規避題型套路 拓展 命題空間 穩中求變出新 變而不怪 新而不難 可謂用心良苦 在解題過程中 我們發現 經典的 1 9 8 3 年高考理科數學壓軸題就是今年這道壓軸 題的命題之源 1 3 在創新中收官 從第 I I 問到第 1 1 1 問是一個自然的拓展 求出了 e 3 3 e 兀 3 7 c 3 這6 個數中的 最大數與最小數 我們自然想到能否 將e 3 3 8 釅 兀 3 x 兀3 這6 個數按從小到大的順序 排列 利用第 1 I 問方法 不難得到 3 兀 7 3 3 3 e 3 e 3 且7 r e e 3 e 7 r e e 8 e 3 7 r 3 7 c 7 c 3 不能判斷e 3 與7 c 的大小 嘗試失 敗 嘗試2 分別取對數 要比較e 3 與7 c 的大 小 只需比較3 與e l l l r 的大小 于是要找出含有 l 叼的等式或不等式 注意到當0 z e 時 廠 z 廠 e 一 即警 在上式中 令z 1 n 旦 一旦 則 旦 從而1 一l n 丌 7 r 三 e 7 r 1 一土 e l n 丌 e f l 一上1 不能判斷3 與P l n r 的 丌 7 r 大小 嘗試失敗 嘗試3 嘗試2 雖然失敗了 但是找出了構 造含有l 衄的不等式的一條途經 稍作調整 令z e 2 I n 一芏 則 乒 上 從而2 一I n 丌 7 r e C7 2 一旦 e l n 7 c e 2 一旦1 3 進而兀e e 3 7 f 丌 類似可得e 兀3 收官段的解題心情是喜 悅的 解由 1 I 知 3 2 兀e 7 c 3 3 3 e 3 7 r e 故只需比較e 3 與兀8 和e 與兀3 的大小 由 I 知 當0 z e 時 z e 一 三 即l n x 1 1e 2 在上式中 令z 一竺 則 I n 乒 從而2 0 1 r e e l n 7 c 2 一旦 由 得 e l n 7 c e 2 一旦 2 7 2 一 篇 2 7 2 o 8 8 司0 2 4 3 即e l n c 3 亦即l n 丁 l n e 3 故e 3 6 3 e 6 一e 兀 即 3 l 眥 7 c 所以e 8 7 c 3 綜上可得6 個數從小到大的順序為3 8 e 3 7 e 7 c 3 3 感悟第 問圍繞比較六個特殊數的大 小關系 要求考生借助所給函數模型的單調性進 行推理判斷 尋找合理簡潔的比較途徑 在比較 大小的過程中 體現著算法思想 化歸與轉化的 思想和分類與整合的思想 比較方法的多樣性和 選擇性 又包含著對推理論證能力 運算求解能 力和合情探究能力的要求以及思維品質的甄別 萬方數據 5 0中學數學教學2 0 1 4 年第6 期 一道選擇壓軸題的模型分析與拓展 安徽省定遠縣第一初級中學韓敬 郵編 2 3 3 2 0 0 試題如圖1 正方形A B C D 的對角線B D 的長為2 2 若直線z 滿足 點D 到直線z 的距 離為 3 A C 兩點到直線z 的距離相等 則符 合題意的直線z 的條數為 A 1B 2C 3 D 4 這道題是2 0 1 4 安徽省中考選擇題的壓軸 題 既考查了正方形的性質與點到直線距離相關 性質 也考查了學生動手操作能力 分析與解決 問題的能力 難度不大 小巧新穎 是一道好題 值得研究 本文有別于常規解法 用模型法對此 問題進行分析 探索中也發4 現了一些結論 在解答本題前 先探索 雙點到直線的等距離模型 模型1 與已知M N 兩點 距離相等且在直線M N 同 側的直線有2 條 分別為 圖1 z z 如圖2 顯然M N l z 這是靜態 的 從動的角度來看 點M N 兩點到某直線的距 離相等 距離的不斷變化 就是直線的平移變化 既能讓優秀考生脫穎而出 又不會讓一般考生望 題生畏 試題在降低起點的同時 穩中求變出 新 立足基礎的同時 強調能力立意 突出導向的 同時 確保甄別功能 再次感悟命題人的良苦 用心 2 解后反思 長期以來 高考理科數學壓軸題給人的印象 是相當難 而2 0 1 4 年高考數學湖北卷理科壓軸 題明顯比往年簡單 看似意料之外 實在情理 之中 從壓軸題的功能看 應該具有必要的難度和 較強的區分度 有利于高校選拔優秀人才 為此 命題組擔心的是壓不壓得住的問題 而高中師生 考慮的則是做不做的問題 命題與應試之間的矛 盾凸顯無疑 在認同命題者水平的前提下 值得 引起我們注意和反思的一個誤區 就是部分高中 數學教師指導學生復習備考的 異化 現象 即明 確告訴學生不要在壓軸題上浪費過多的時間 甚 至干脆讓學生放棄壓軸題 在這種應試意識的影 響下 教師自己也疏于對壓軸題的研究 不愿意 或舍不得花時間去領悟壓軸題的味道 從而也就 難以指導學生去研究壓軸題 挑戰壓軸題 征服 壓軸題 這種消極的影響造成考生對壓軸題的心 理畏懼是可想而知的 每年總有部分考生因為時 間關系無暇顧及壓軸題 這是正常的 但不少考 生在時間允許的情況下完全放棄壓軸題 甚至考 后連壓軸題是什么樣的題都不知道 這就不正常 了 如果今年湖北考生完全放棄壓軸題的話 恐 怕是要吃大虧了 2 0 1 4 年高考數學湖北卷理科壓軸題發出的 信號是強烈的 不要完全放棄壓軸題 而要勇敢 挑戰壓軸題 壓軸題一般都會設置層次分明的臺 階 人口寬 上手易 只是深入難 解到底難 但即 使難 解題所用的方法也是通性通法和常規 常法 因此 對于考生而言 只要消除對壓軸題的 心理障礙 樹立解答壓軸題信心 冷靜思考 仔細 分析 努力一把 往往就可以迎刃而解 對于教師 而言 更