無窮級數一、無窮項級數的概念和性質 如果給定一個數列 則由這數列構成的表達式 叫做（常數項）無窮級數記為 其中第n項un叫做級數的一般項。 作前n項的和 定義如果級數的部分和數列Sn有極限S，即 則稱無窮級數收斂，這時極限S叫做這個級數的和，并寫成 如果Sn沒有極限，則稱無窮級數發散。例1判斷下面無窮級數的收斂性解：如果q1，則部分和 當|q|1時，從而 這時，次數發散 |q|=1，當q=1時，Sn=Sn=na級數發散 當q=1時，級數變為aa+aa+ 從而Sn的極限不存在，從而級數發散例2 判斷無窮級數 的收斂性解：由于 故 從而 所以級數收斂，它的和是1。性質：1. 如果級數收斂于和S，則它的各項同乘以一個常數k，所得的級數也收斂，且其和為kS。2. 如果級數，分別收斂于S，則級數也收斂，且其和為S + 。性質3 在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性。性質4 （級數收斂的必要條件）如果級數 收斂，則它的一般項un趨于零，即二、常數項級數斂散性判別 1. 正項級數 各項都是正數或零的級數，稱為正項級數，對于正項級數有 若Sn有界，則級數必收斂。定理1 正項級數收斂的充分必要條件是：它的部分和序列Sn有界。定理（比較判別法） 設和都是正項級數，且（n=1,2,）若級數收斂，則級數收斂，反之，若級數發散，則級數發散。例3 討論p級數 的收斂性，其中常數p0解：設p1則 由于級數發散。 所以級數發散。設p1，因為當n1xn，有所以 （n=2，3，）考慮 其部分和 因所以級數收斂由比較判別法 級數當p1時收斂綜上述結果，得出：p一級數當p1時收斂，當p1時發散。比較判別法的極限形式（定理 ）： 設和都是正項級數，如果 （0l） 則級數和級數同時收斂或同時發散。注：調和級數是發散的例4 證明級數是發散的證：因為 由定理知此級數發散。例5 判別級數的收斂性 解：因為 所以級數發散。 又級數發散。 所以級數發散定理（比值判別法，達朗貝爾判別法） 若正項級數的后項與前項的比值的極限等于，即 則當1（或）時，級數發散 =1時，級數可能收斂也可能發散例6 判別級數 的收斂性解：因為 由比值判別法知所給級數發散。定理（根值判別法，柯西判別法） 設為正項級數，如果它的一般項un的n次根的極限等于，即 則當1（或）時級數發散； =1時級靈敏可能收斂也可能發散；例7 證明級數 收斂。證明，因 （n） 所以由根值判另法知所給級數收斂。交錯級數及其判別法 交錯級數 或 其中都是正數。萊布尼茨定理如果交錯級數滿足條件： （1） （n=1,2,3,） （2）則級數收斂，且共和，其余項rn的絕對值例8 判斷級數的斂散性解： 所以級數收斂。絕對收斂和條件收斂 對于一般級數 如果正項級數收斂，則稱級數絕對收斂；如果級數收斂，而發散，則稱級數條件收斂。定理 如果級數絕對收斂，則級數必定收斂。例9 判別級數的收斂性。解：因為而級數收斂，所以級數收斂，從而級數絕對收斂。三、冪級數 1. 函數項級數的概念 如果給定一個定義在區間I上的函數列 則由這函數列構成的表達式 稱為定義在區間I上的（函數項）無窮級數，簡稱（函數項）級數。 2. 冪級數及其收斂性 冪級數的形式： 其中叫做冪級數的系數。阿貝爾定理 如果級數當時收斂，則適合不等式 的一切x使這冪級數絕對收斂，反之，如果級數當x=x0時發散，則適合不等式的一切x使這冪級數發散。推論（收斂半徑） 如果冪級數不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數R存在，使得 當時，冪級數絕對收斂。 當時，冪級數發散。 當x=R與x=R時，冪級數可能收斂也可能發散。 正數R通常叫做冪級數的收斂半徑。 由冪級數在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂區間（R，R）,可能含端點。收斂半徑的求法定理 如果 其中是冪級數的相鄰兩項的系數，則這冪級數的收斂半徑。 例10 求冪級數 的收斂半徑與收斂區間。 解：因為 所以收斂半徑 對于端點x=1，級數為交錯級數 級數收斂 對于端點x=1級數成為 級數發散，因此，收斂區間為（1，1），且含端點1例11 求冪級數 的收斂區間 解：因為 所以收斂半徑R=+，從而收斂區間是（，+）例3 求冪級的收斂半徑（記號0！=1）解 因為 所以收斂半徑R=0，即級數僅在x=0處收斂。冪級數和函數的重要性質性質1 設冪級數的收斂半徑為R（R0）則其和函數S（x）在區間（R，R）內連續，如果冪級數在x=R（或x=R）也收斂，則和函數S（x）在（R，R）連續。性質2 設冪級數的收斂半徑為R（R0）則其和函數S(x)在區間（R，R）內可導的，且有逐項求導公式。 其中|x|0），則其和函數S(x)在區間（R，R）內可積，且有逐項積分公式： 其中|x|R，逐項積分后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。例14 在收斂半徑內求級數的和函數 解 因 所以 故級數在（1，1）內收斂。令由性質3 有 兩邊求導得 函數展開成冪級數。 應收斂區間內用泰勒展式。