1.2.3 空間幾何體的直觀圖教學目標通過用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和空間幾何體的直觀圖，提高學生識圖和畫圖的能力，培養探究精神和意識，以及轉化與化歸的數學思想方法.教學重、難點教學重點：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖.教學難點：直觀圖和三視圖的互化.教學準備多媒體課件教學過程一、導入新課：正投影主要用于繪制三視圖，在工程制圖中被廣泛采用，但三視圖的直觀性較差，因此繪制物體的直觀圖一般采用斜投影或中心投影.中心投影雖然可以顯示空間圖形的直觀形象，但作圖方法比較復雜，又不易度量，因此在立體幾何中通常采用斜投影的方法來畫空間圖形的直觀圖.把空間圖形畫在紙上，是用一個平面圖形來表示空間圖形，這樣表達的不是空間圖形的真實形狀，而是它的直觀圖.二、講授新課：提出問題 如何用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖？ 上述畫直觀圖的方法稱為斜二測畫法，請總結其步驟. 探求空間幾何體的直觀圖的畫法.用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長方體ABCDABCD的直觀圖. 用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和幾何體的直觀圖有什么不同？并總結畫幾何體的直觀圖的步驟.活動：和教師首先示范畫法，并讓學生思考斜二測畫法的關鍵步驟,讓學生發表自己的見解，教師及時給予點評.根據上述畫法來歸納.讓學生比較兩種畫法的步驟.討論結果：畫法：1如圖1（1），在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，對稱軸MN所在直線為y軸，兩軸相交于點O.在圖1(2)中，畫相應的x軸與y軸，兩軸相交于點O，使xOy=45. 2在圖1(2)中，以O為中點，在x軸上取AD=AD，在y軸上取MN=MN.以點N為中點畫BC平行于x軸，并且等于BC；再以M為中點畫EF平行于x軸，并且等于EF. 3連接AB，CD，DE，FA，并擦去輔助線x軸和y軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖ABCDEF圖1(3).圖1步驟是：1在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x軸與y軸，兩軸交于點O，且使xOy=45(或135)，它們確定的平面表示水平面.2已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段.3已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.畫法：1畫軸.如圖2，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使xOy=45，xOz=90.圖22畫底面.以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN=4 cm;在y軸上取線段PQ，使PQ=cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.3畫側棱.過A、B、C、D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA、BB、CC、DD.4成圖.順次連接A、B、C、D，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到長方體的直觀圖.點評：畫幾何體的直觀圖時，如果不作嚴格要求，圖形尺寸可以適當選取，用斜二測畫法畫圖的角度也可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感. 畫幾何體的直觀圖時還要建立三條軸，實際是建立了空間直角坐標系，而畫水平放置平面圖形的直觀圖實際上建立的是平面直角坐標系.畫幾何體的直觀圖的步驟是： 1在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox、Oy，再作Oz軸，使xOy=90,yOz=90. 2畫出與Ox、Oy、Oz對應的軸Ox、Oy、Oz，使xOy=45，yOz=90,xOy所確定的平面表示水平平面. 3已知圖形中，平行于x軸、y軸和z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸和z軸的線段，并使它們在所畫坐標軸中的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同. 4已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. 5擦除作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖. 斜二測畫法的作圖技巧: 1在已知圖中建立直角坐標系，理論上在任何位置建立坐標系都行，但實際作圖時，一般建立特殊的直角坐標系，盡量運用原有直線為坐標軸或圖形的對稱直線為坐標軸或圖形的對稱點為原點或利用原有垂直正交的直線為坐標軸等. 2在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中依然與x軸或y軸平行，原圖中不與坐標軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線，畫端點時作坐標軸的平行線為輔助線.原圖中的曲線段可以通過取一些關鍵點，利用上述方法作出直觀圖中的相應點后，用平滑的曲線連接而畫出. 3在畫一個水平放置的平面時，由于平面是無限延展的，通常我們只畫出它的一部分表示平面，一般地，用平行四邊形表示空間一個水平平面的直觀圖.應用示例例1 用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖.活動：學生回顧討論斜二測畫法的步驟，自己畫出來后再互相交流.教師適當點評.解：（1）如圖3(1)，在O上取互相垂直的直徑AB、CD，分別以它們所在的直線為x軸與y軸，將線段AB n等分.過各分點分別作y軸的平行線，交O于E，F，G，H，畫對應的x軸和y軸，使xOy=45.圖3(2)如圖3(2)，以O為中點，在x軸上取AB=AB，在y軸上取CD=CD，將AB n等分，分別以這些分點為中點，畫與y軸平行的線段EF，GH，使EF=,GH=，.（3）用光滑曲線順次連接A，D，F，H，B，G，E，C，A并擦去輔助線，得到圓的水平放置的直觀圖圖3(3).點評：本題主要考查用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.變式訓練1.畫水平放置的等邊三角形的直觀圖.答案：略.2.關于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是（ ）A.原圖形中平行于x軸的線段，其對應線段平行于x軸，長度不變B.原圖形中平行于y軸的線段，其對應線段平行于y軸，長度變為原來的C.在畫與直角坐標系xOy對應的xOy時，xOy必須是45D.在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同分析：在畫與直角坐標系xOy對應的xOy時，xOy也可以是135，所以C不正確.答案：C例2 如圖4，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖.圖4活動：讓學生由三視圖還原為實物圖，并判斷該幾何體的結構特征.教師分析： 由幾何體的三視圖知道，這個幾何體是一個簡單組合體，它的下部是一個圓柱，上部是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合.我們可以先畫出下部的圓柱，再畫出上部的圓錐.解：畫法：（1）畫軸.如圖5（1），畫x軸、y軸、z軸，使xOy=45,xOz=90. (1) (2)圖5（2）畫圓柱的兩底面，仿照例2畫法，畫出底面O.在z軸上截取O，使OO等于三視圖中相應高度，過O作Ox的平行線Ox,Oy的平行線Oy,利用Ox與Oy畫出底面O（與畫O一樣）.（3）畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P，使PO等于三視圖中相應的高度.（4）成圖.連接PA，PB，AA，BB，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖圖5(2).點評： 空間幾何體的三視圖與直觀圖有著密切的聯系，我們能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖.同時，也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖.變式訓練 圖6所示是一