【步步高】（江蘇專用）2017版高考數學一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其概率分布 12.2 古典概型 理 1基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型(1)所有的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件的發生都是等可能的3如果1試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發生的概率都是，如果某個事件a包含了其中m個等可能基本事件，那么事件a發生的概率為p(a).4古典概型的概率公式p(a).【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發芽”屬于古典概型，其基本事件是“發芽與不發芽”()(2)擲一枚硬幣兩次，出現“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事件()(3)從市場上出售的標準為5005 g的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型()(4)(教材改編)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為.()(5)從1,2,3,4,5中任取出兩個不同的數，其和為5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件a中基本事件構成集合a，且集合a中的元素個數為n，所有的基本事件構成集合i，且集合i中元素個數為m，則事件a的概率為.()1從1,2,3,4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是_答案解析基本事件的總數為6，構成“取出的2個數之差的絕對值為2”這個事件的基本事件的個數為2，所以所求概率p.2(2014陜西改編)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為_答案解析取兩個點的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為.3(2015課標全國改編)如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為_答案解析從1,2,3,4,5中任取3個不同的數共有如下10種不同的結果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數只有(3,4,5)，所以概率為.4(教材改編)同時擲兩個骰子，向上點數不相同的概率為_答案解析擲兩個骰子一次，向上的點數共6636種可能的結果，其中點數相同的結果共有6個，所以點數不同的概率p1.5從1,2,3,4,5,6這6個數字中，任取2個數字相加，其和為偶數的概率是_答案解析從6個數字中任取2個數字的可能情況有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種，其中和為偶數的情況有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6種，所以所求的概率是.題型一基本事件與古典概型的判斷例1袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區別于其他球的編號，從中摸出一個球(1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解(1)由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型(2)由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為a：“摸到白球”，b：“摸到黑球”，c：“摸到紅球”，又因為所有球大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為，而白球有5個，故一次摸球摸到白球的可能性為，同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為，顯然這三個基本事件出現的可能性不相等，所以以顏色為劃分基本事件的依據的概率模型不是古典概型思維升華一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型下列試驗中，是古典概型的個數為_向上拋一枚質地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；向正方形abcd內，任意拋擲一點p，點p恰與點c重合；從1,2,3,4四個數中，任取兩個數，求所取兩數之一是2的概率；在線段0,5上任取一點，求此點小于2的概率答案1解析中，硬幣質地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型的基本事件都不是有限個，不是古典概型符合古典概型的特點，是古典概型問題題型二古典概型的求法例2(1)(2015廣東)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為_答案解析從袋中任取2個球共有c105種取法，其中恰好1個白球1個紅球共有cc50種取法，所以所取的球恰好1個白球1個紅球的概率為.(2)(2015江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_答案解析基本事件共有c6種，設取出兩只球顏色不同為事件a.a包含的基本事件有cccc5種故p(a).(3)(2014四川)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字1,2,3，這三張卡片除標記的數字外完全相同隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數字依次記為a，b，c.求“抽取的卡片上的數字滿足abc”的概率；求“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”的概率解由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種設“抽取的卡片上的數字滿足abc”為事件a，則事件a包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種所以p(a).因此，“抽取的卡片上的數字滿足abc”的概率為.設“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”為事件b，則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種所以p(b)1p()1.因此，“抽取的卡片上的數字a，b，c不完全相同”的概率為.引申探究1本例(2)中，將4個球改為顏色相同，標號分別為1,2,3,4的四個小球，從中一次取兩球，求標號和為奇數的概率解基本事件數仍為6.設標號和為奇數為事件a，則a包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，所以p(a).2本例(2)中，條件不變改為有放回地取球，取兩次，求兩次取得球的顏色相同的概率解基本事件數為cc16種，顏色相同的事件數：cccc6種，所求概率為.思維升華求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數和事件a包含的基本事件的個數，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應用時可根據需要靈活選擇將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，求：(1)兩數中至少有一個奇數的概率；(2)以第一次向上的點數為橫坐標x，第二次向上的點數為縱坐標y的點(x，y)在圓x2y215的外部或圓上的概率解由題意，先后拋擲2次，向上的點數(x，y)共有n6636種等可能結果，為古典概型(1)記“兩數中至少有一個奇數”為事件b，則事件b與“兩數均為偶數”為對立事件，記為.事件包含的基本事件數m339.p()，則p(b)1p()，因此，兩數中至少有一個奇數的概率為.(2)點(x，y)在圓x2y215的內部記為事件c，則表示“點(x，y)在圓x2y215上或圓的外部”又事件c包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8種p(c)，從而p()1p(c)1.點(x，y)在圓x2y215的外部或圓上的概率為.題型三古典概型與統計的綜合應用例3從某地高中男生中隨機抽取100名同學，將他們的體重(單位：kg)數據繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)由圖中數據可知體重的平均值為_ kg；若要從體重在60,70)，70,80)，80,90三組內的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項活動，再從這12人中選兩人當正副隊長，則這兩人體重不在同一組內的概率為_答案64.5解析由頻率分布直方圖可知，體重在40,50)內的男生人數為0.005101005，同理，體重在50,60)，60,70)，70,80)，80,90內的人數分別為35,30,20,10，所以體重的平均值為 64.5.利用分層抽樣的方法選取12人，則從體重在60,70)，70,80)，80,90三組內選取的人數分別為126,124,122，則兩人體重不在同一組內的概率為.思維升華有關古典概型與統計結合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點概率與統計結合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決(2014山東)海關對同時從a，b，c三個不同地區進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區進口此種商品的數量(單位：件)如下表所示工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.地區abc數量50150100(1)求這6件樣品中來自a，b，c各地區商品的數量；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區的概率解(1)因為樣本容量與總體中的個體數的比是，所以樣本中包含三個地區的個體數量分別是501,1503,1002.所以a，b，c三個地區的商品被選取的件數分別是1,3,2.(2)設6件來自a，b，c三個地區的樣品分別為：a；b1，b2，b3；c1，c2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構成的所有基本事件為：a，b1，a，b2，a，b3，a，c1，a，c2，b1，b2，b1，b3，b1，c1，b1，c2，b2，b3，b2，c1，b2，c2，b3，c1，b3，c2，c1，c2，共15個每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現是等可能的記事件d：“抽取的這2件商品來自相同地區”，則事件d包含的基本事件有：b1，b2，b1，b3，b2，b3，c1，c2，共4個所以p(d)，即這2件商品來自相同地區的概率為.六審細節更完善典例(14分)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求nm2的概率(1)基本事件為取兩個球(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取兩個球的所有結果列舉出來1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4兩球編號之和不大于4(注意：和不大于4，應為小于4或等于4)1,2，1,3利用古典概型概率公式求解p(2)兩球分兩次取，且有放回(兩球的編號記錄是有次序的，用坐標的形式表示)基本事件的總數可用列舉法表示(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(注意細節，m是第一個球的編號，n是第2個球的編號)nm2的情況較多，計算復雜(將復雜問題轉化為簡單問題)計算nm2的概率nm2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(2,4)p1(注意細節，p1是nm2的概率，需轉化為其對立事件的概率)nm2的概率為1p1.規范解答解(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6個從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1,2，1,3,2個因此所求事件的概率p.6分(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個8分又滿足條件nm2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，所以滿足條件nm2的事件的概率為p1.12分故滿足條件nm2的事件的概率為1p11.14分溫馨提醒(1)本題在審題時，要特別注意細節，使解題過程更加完善如第(1)問，注意兩球一起取，實質上是不分先后，再如兩球編號之和不大于4，即兩球編號之和小于或等于4等；第(2)問，有先后順序(2)在列舉基本事件空間時，可以利用列舉、畫樹狀圖等方法，以防遺漏同時要注意細節，如用列舉法，第(1)問寫成1,2的形式，表示無序，第(2)問寫成(1,2)的形式，表示有序(3)本題解答時，存在格式不規范，思維不流暢的嚴重問題如在解答時，缺少必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件在第(2)問中，由于不能將求事件n90的概率是_答案解析(m，n)(1,1)mnn.基本事件總共有6636(個)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515(個)p.5如圖，三行三列的方陣中有九個數aij(i1,2,3；j1,2,3)，從中任取三個數，則至少有兩個數位于同行或同列的概率是_答案解析從九個數中任取三個數的不同取法共有c84種，因為取出的三個數分別位于不同的行與列的取法共有ccc6種，所以至少有兩個數位于同行或同列的概率為1.6有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本，若將其隨機地抽取并排擺放在書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是_答案解析語文、數學只有一科的兩本書相鄰，有2aaa48種擺放方法；語文、數學兩科的兩本書都相鄰，有aaa24種擺放方法；而五本不同的書排成一排總共有a120種擺放方法故所求概率為1.7用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是_答案解析由于只有兩種顏色，不妨將其設為1和2，若只用一種顏色有111；222.若用兩種顏色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8種又相鄰顏色各不相同的有2種，故所求概率為.8連續2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數字之和等于m”為事件a，則p(a)最大時，m_.答案7解析112,123,134,145,156,167,213,224,235,246,257,268依次列出m的可能的值，知7出現次數最多9設連續擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3)(1)求使得事件“ab”發生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”發生的概率解(1)由題意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36種ab，即m3n0，即m3n，共有2種：(3,1)，(6,2)，所以事件ab的概率為.(2)|a|b|，即m2n210，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6種，其概率為.10某地區有小學21所，中學14所，大學7所，現采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調查(1)求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目；(2)若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數據分析，求抽到小學、中學各一所的概率解(1)由分層抽樣定義知，從小學中抽取的學校數目為63；從中學中抽取的學校數目為62；從大學中抽取的學校數目為61.故從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目為3,2,1.(2)記“抽到小學、中學各一所”為事件a，則事件a共有基本事件mcc6(種)抽法，又從6所學校任抽取2所有nc15(種)抽法因此，所求事件的概率p.b組專項能力提升(時間：25分鐘)11從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于_答案解析如圖所示，從正六邊形abcdef的6個頂點中隨機選4個頂點，可以看作隨機選2個頂點，剩下的4個頂點構成四邊形，有a、b，a、c，a、d，a、e，a、f，b、c，b、d，b、e，b、f，c、d，c、e，c、f，d、e，d、f，e、f，共15種若要構成矩形，只要選相對頂點即可，有a、d，b、e，c、f，共3種，故其概率為.12在二項式()n的展開式中，前三項的系數成等差數列，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為_答案解析注意到二項式()n的展開式的通項是tr1c()nr()r依題意有cc222c21n，即n29n80，(n1)(n8)0(n2)，因此n8，因為二項式()8的展開式的通項是，其展開式中的有理項共有3項，所以所求的概率等于.13一個袋子中裝有六個大小形狀完全相同的小球，其中一個編號為1，兩個編號為2，三個編號為3.現從中任取一球，記下編號后放回，再任取一球，則兩次取出的球的編號之和等于4的概率是_答案解析基本事件數為6636，編號之和為4的有：10種，所求概率為.14甲、乙兩人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4