有限元法 學院 機械電子工程學院專業 機械制造及其自動化姓名 李淑磊班級 17 1班學號 201782050009 一 有限元法的概念二 基本計算步驟三 發展與應用 基本思想 一 幾個基本概念 有限元法是把要分析的連續體假想地分割成有限個單元所組成的組合體 簡稱離散化 這些單元僅在頂角處相互聯接 稱這些聯接點為節點 離散化的組合體與真實彈性體的區別在于 組合體中單元與單元之間的聯接除了結點之外再無任何關聯 但是這種聯接要滿足變形協調條件 即不能出現裂縫 也不允許發生重疊 顯然 單元之間只能通過結點來傳遞內力 通過結點來傳遞的內力稱為節點力 作用在結點上的荷載稱為節點荷載 當連續體受到外力作用發生變形時 組成它的各個單元也將發生變形 因而各個結點要產生不同程度的位移 這種位移稱為節點位移 單元節點節點力節點荷載節點位移 在有限元中 常以結點位移作為基本未知量 并對每個單元根據分塊近似的思想 假設一個簡單的函數近似地表示單元內位移的分布規律 再利用力學理論中的變分原理或其他方法 建立結點力與位移之間的力學特性關系 得到一組以結點位移為未知量的代數方程 從而求解結點的位移分量 然后利用插值函數確定單元集合體上的場函數 顯然 如果單元滿足問題的收斂性要求 那么隨著縮小單元的尺寸 增加求解區域內單元的數目 解的近似程度將不斷改進 近似解最終將收斂于精確解 有限元法的基本計算步驟 物體離散化單元特性分析分析單元的力學性質選擇位移模式計算等效節點力單元組集求解未知節點位移 物體離散化單元選擇 應根據連續體的形狀選擇最能完滿地描述連續體形狀的單元 常見的單元有 桿單元 梁單元 三角形單元 矩形單元 四邊形單元 曲邊四邊形單元 四面體單元 六面體單元以及曲面六面體單元等等 單元劃分 進行單元劃分 單元劃分完畢后 要將全部單元和結點按一定順序編號 每個單元所受的荷載均按靜力等效原理移植到結點上 并在位移受約束的結點上根據實際情況設置約束條件 3維實體的4面體單元劃分 平面的三角形單元劃分 3維實體的6面體單元劃分 將某個工程結構離散為由各種單元組成的計算模型 這一步又稱作單元剖分或網格劃分 離散后單元于單元之間利用單元的節點相互連接起來 單元節點的設置 性質 數目等應視問題的性質 描述變形形態的需要和計算進度而定 用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的 如果劃分單元數目非常多而又合理 則所獲得的結果就與實際情況相符合 網格劃分的好壞將直接影響到計算結果的準確性和計算進度 甚至會因為網格劃分不合理而導致計算不收斂 網格的劃分主要取決于專業知識和經驗積累 一個水平高的FEA工程師 80 的時間是用在網格劃分上 對于一般的問題 各種FEA均能自動的進行合理的網格劃分 hypermesh最目前好的劃分網格工具 單元特性分析分析單元的力學性質根據單元的材料性質 形狀 尺寸 節點數目 位置及其含義等 找出單元節點力和節點位移的關系式 這是單元分析中的關鍵一步 此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式 從而導出單元剛度矩陣 這是有限元法的基本步驟之一 平面問題的三角形單元的例子 單元有三個結點I J M 每個結點有兩個位移u v和兩個結點力U V 節點位移 節點力 取決于材料性質 形狀 尺寸 選擇位移模式 在反映力和位移的關系式中 依據那一個量是未知量 可建立不同的模型 位移法 選擇節點位移作為基本未知量稱為位移法 力法 選擇節點力作為基本未知量時稱為力法 混合法 取一部分節點力和一部分節點位移作為基本未知量時稱為混合法 位移法易于實現計算自動化 所以 在有限單元法中位移法應用范圍最廣 計算等效節點力 將外在的負載力等效到各個節點上 物體離散化后 假定力是通過節點從一個單元傳遞到另一個單元 但是 對于實際的連續體 力是從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去的 因而 這種作用在單元邊界上的表面力 體積力和集中力都需要等效的移到節點上去 也就是用等效的節點力來代替所有作用在單元上得力 彈性體 有限元模型 有限元法的基本計算步驟 單元組集利用結構力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結構重新連接起來 形成整體的有限元方程 對由各個單元組成的整體進行分析 建立節點外載荷與結點位移的關系 以解出節點位移 這個過程為整體分析 i節點的節點力 i節點的平衡方程 集中力 單元節點力 單元組集 最終 將所有單元組合起來得到整體的方程 K R K 整體剛度矩陣 全部結點位移組成的列陣 R 全部結點荷載組成的列陣 在位移法中 只有 是未知的 求解該線性方程組就可得到各結點的位移 將結點位移代入相應方程中可求出單元的應力分量 有限元法不僅可以求結構體的位移和應力 還可以對結構體進行穩定性分析和動力分析 例如 結構體的整體動力方程 M C K F M 整體質量矩陣 C 整體阻尼矩陣 K 整體剛度矩陣 整體結點位移向量 F 整體結點荷載向量 求出結構的自激振動頻率 振型等動力響應 以及動變形和動應力等 求解未知節點位移 可以根據方程組的具體特點來選擇合適的計算方法 傳統有限元分析的數值計算方法之中 有直接計算法 DirectSolver 與迭代法 Iterative 兩種 由于在過去的經驗中 迭代法一直無法直接而有效的保證數值計算的收斂性 因此 直接計算法在多數有限元素分析軟件中 仍然是一種主流的計算方法 線性靜力分析的基本矩陣方程 單元剛度矩陣 K 剛度矩陣 F 力向量 已知 u 由 F 引起的未知位移向量 總體剛度矩陣 例子 1 建立結構有限元模型 2 形成單元剛度矩陣 3 總裝剛度矩陣 4 施加邊界條件 5 施加作用載荷 6 求解矩陣方程 7 計算單元應力 三 有限元法的發展與與應用 在大力推廣CAD技術的今天 從自行車到航天飛機 所有的設計制造都離不開有限元分析計算 FEA在工程設計和分析中將得到越來越廣泛的重視 國際上早在20世紀50年代末 60年代初就投入大量的人力和物力開發具有強大功能的有限元分析程序 其中最為著名的是由美國國家宇航局 NASA 在1965年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統公司開發的NASTRAN有限元分析系統 該系統發展至今已有幾十個版本 是目前世界上規模最大 功能最強的有限元分析系統 目前應用較多的通用有限元軟件如下表所列 另外還有許多針對某類問題的專用有限元軟件 例如金屬成形分析軟件Deform Autoform 轉向機構支架的強度分析 劉道勇 東風汽車工程研究院動 用MSC Nastran完成 金屬成形過程分析 用Deform軟件完成 分析金屬成形過程中的各種缺陷 型材擠壓成形的分析 型材在擠壓成形的初期 容易產生形狀扭曲 螺旋齒輪成形過程的分析 T形鍛件的成形分析 焊接殘余應力分析 用Sysweld完成 結構與焊縫布置 焊接過程的溫度分布與軸向殘余應力 有限元方法的應用 BMW曲軸的感應淬火 用SysWeld軟件完成 有限元方法的應用 復雜形狀工件的組織轉變預測 石偉 用NSHT3D完成 預測工件的組織分布和機械性能 二分之一工件的有限元模型 淬火3 06min時的溫度分布 淬火3 06min時的馬氏體分布 其他的應用還包括 電磁學 流體力學 電磁場等等等等等等等等等 1 從單純結構力學計算發展到求解許多物理場問題有限元分析方法最早是從結構化矩陣分析發展而來 逐步推廣到板 殼和實體等連續體固體力學分析 實踐證明這是一種非常有效的數值分析方法 有限元方法已發展到流體力學 溫度場 電傳導 磁場 滲流和聲場等問題的求解計算 最近又發展到求解幾個交叉學科的問題 例如當氣流流過一個很高的鐵塔產生變形 而塔的變形又反過來影響到氣流的流動 這就需要用固體力學和流體動力學的有限元分析結果交叉迭代求解 即所謂 流固耦合 的問題 發展趨勢 2 由求解線性工程問題進展到分析非線性問題線性理論已經遠遠不能滿足設計的要求 例如 航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應力 要考慮材料的非線性問題 諸如塑料 橡膠和復合材料等各種新材料的出現 只有采用非線性有限元算法才能解決 非線性的數值計算是很復雜的 很難為一般工程技術人員所掌握 為此近年來國外一些公司花費了大量的人力和投資開發諸如MARC ABQUS和ADINA等專長于求解非線性問題的有限元分析軟件 并廣泛應用于工程實踐 3 增強可視化的前置建模和后置數據處理功能隨著數值分析方法的逐步完善 尤其是計算機運算速度的飛速發展 整個計算系統用于求解運算的時間越來越少 而數據準備和運算結果的表現問題卻日益突出 在現在的工程工作站上 求解一個包含10萬個方程的有限元模型只需要用幾十分鐘 工程師在分析計算一個工程問題時有80 以上的精力都花在數據準備和結果分析上 與CAD軟件的無縫集成當今有限元分析系統的另一個特點是與通用CAD軟件的集成使用 即 在用CAD軟件完成部件和零件的造型設計后 自動生成有限元網格并進行計算 如果分析的結果不符合設計要求則重新進行造型和計算 直到滿意為止 從而極大地提高了設計水平和效率 當今所有的商業化有限元系統商都開發了和著名的CAD軟件 例如Pro ENGINEER Unigraphics SolidEdge SolidWorks IDEAS Bentley和AutoCAD等 的接口 有限元軟件使用的基本步驟 三個步驟 前處理 PREPROCESSION 求解 SOLUTION 后處理POSTPROCES