2014 年寒假 高一理科精英班 導學 （第 二 次） 資料 說明 本 導學用于學員在實際授課之前，了解授課方向及重難點。同時還附上部分知識點的詳細解讀。本班型導學共由 2 次書面資料構成。此次發布的為第 2 次導學。 2 次導學的相應關聯以及課程詳細授課內容，請參見相應班型的詳細授課大綱。寒假授課即將開始，除現場授課及答疑外，歡迎大家參加寒假之后的在線答疑活動。祝大家在寒假中收獲良多，學習進步！ 自主招生郵箱： 數學競賽郵箱： 物理競賽郵箱： 化學競賽郵箱： 生物競賽郵箱： 理科精英郵箱： 清北學堂集中 培訓課程 導學資料 （ 2014 年寒假集中培訓 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-4-3 2013-12-25 發布 清北學堂教學研究部 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 1 頁 2014 年寒假 高一理科精英班 導學 (數學 部分 ) 目錄 知識框架 . 3 重點難點 . 4 知識梳理 . 5 一、 函數問題 . 5 1. 函數的基本要素及性質 . 5 2. 函數的值域（最值）的求法 . 5 3. 函數不等式問題 . 6 二、 數列問題 . 6 1. 等差數列及其性質 . 6 2. 等比數列及其性質 . 6 3. 等差乘等比數列的前 n 項和 nS 的求法 . 7 4. 幾種數列遞推關系求通項方法 . 7 三、 不等式 . 8 1. 常用不等式 . 8 2. 常用不等式證明方法 . 10 3. 利用不等式求最值 . 10 四、 平面幾何 . 11 1. 基本定理 . 11 2. 三角形的心 . 12 3. 多點共圓問題 . 13 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 4. 面積問題 . 14 五、 數論基礎 . 14 1. 整除問題 . 14 2. 整除 . 15 3. 染色、博弈問題 . 16 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 知識框架 函數問題 基本內容 函數的性質 函數的導數與極值 函數不等式 經典方法 換元法、構造法、反函數法、 判別式法 數列問題 基本內容 等差數列及其性質 等比數列及其性質 數列前 n 項和求法 數列通項求法 經典方法 不動點法、構造法 不等式 基本內容 常用不等式 不等式求極值 不等式證明 不等式的綜合應用 經典方法 換元法、放縮法、反證法、 比較法、調整法 空間幾何 基本內容 常用定理及證明方法 三角形的心 多點共圓問題 面積問題 經典方法 作圖法、反證法、等積變換 數論基礎 基本內容 整數問題 整除問題 染色及博弈問題 經典方法 假設法、反證法、排列組合方法 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 重點難點 函數問題是高中數學問題的基礎，要求同學們能夠熟練掌握。其中函數 單調性 、 周期性 、常用初等函數 的形式是該部分的重點； 可導性及導數的應用 、 函數極值 、 函數不等式 是該部分的難點。 在數列部分中， 等差數列 及其性質 、 等比數列及其性質 、 數列前 n 項和求法 、 通項公式的求法 、 遞歸數列處理方法 是該部分的重點；數列相關 不等式的證明技巧 、 新數列構造等問題是該部分的難點。 在 不等式部分 中 ， 常用不等式 、 應用不等式求極值 、不 等式證明 技巧是該部分的重點；其中 柯西不等式 、 排序不等式 、 不等式證明中的換元法 、 不等式的綜合應用 是不等式學習的難點。 平面幾何的基本知識一般出現在競賽大綱中，題目的難度超出了高考的大綱范圍。但一些 基本的定理和方法 應該當做難點來學習掌握。 數論問題是近些年加入考綱的內容，其重點為 整除 和 同余問題 。在學習中應重點掌握考慮問題的 方法和思路 ，難點是準確快速地運用相關的 定理 。 而在解題中最終將轉換為排列組合的知識，因此在本文中不做具體介紹。 函數和數列 的知識是自主招生及高考中的 壓軸 所在，需要同學們能夠靈活運用解題方法，綜合多種解題技巧，在平日練習中更要注重方法的積累，舉一反三。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 知識梳理 一、 函數問題 1. 函數的基本要素及性質 a) 定義： 函數 ()y f x 可以看做實數域 A 到實數域 B 的 映射 。其中 A 為 f 的 定義域 ，B 為 f 的 值域 。 b) 基本性質： 連續性 、 單調性 、 奇偶性 、 周期性 。 c) 有界性 ：函數 ( ),y f x x D，若存在 ,mM R ，使得 , ( )x D m f x M ，則稱 f 有界， m 為其下界， M 為其上界。有時函數只有上界或只有下界。當函數無界時，不存在關于原點對稱的確定區間可包含函數的值域。 d) 可導性 ：函數 ( ),y f x x D。 0xD ，若 000( ) ( )limxf x x f xx 存在，稱 f在 0x 點可導，記為 00() dyf x x xdx為 f 0x 點的導數。 e) 高階導數 ：如果函數 ()y f x 的導函數可導，稱 ()fx為 f 的二階導數。高階導數類似定義。 f) 凸性 ： ()y f x 在區間 I 上 有 定 義 ， 若 12(0 ,1), ,x x I ，有1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x ，則稱 ()y f x 為區間 I 上凸函數。 若 ()y f x 的二階導數存在，則 ()y f x 為區間 I 上凸函數 , ( ) 0x I f x 2. 函數的值域（最值）的求法 a) 配方法 ：如果所給的函數是 二次函數或可化為二次函數的形式 ，一般采用配方法，但在求解時，要注意作為二次函數形式的自變量的取值范圍。 b) 判別式法 ：將所給函數 y f x 看作是關于 x 的方程。若是關于 x 的一元二次方程則可利用 判別式大于等于 0 來求 y 的取值范圍 ，但要注意取等號的問題。 c) 換元法 ：將一個復雜的函數中某個式子當作 整體 ，通過換元可化為我們熟知的表達式，這里要注意所換元的表達式的取值范圍。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 d) 單調性法 ：如果所給的函數是熟悉的 已知函數的形式 ，則可利用函數的單調性來示值域，但要注意其單調區間。 e) 反函數法 ：若某函數 存在反函數 ，則可利用互為反函數兩個函數的定義域與值域互換，改求反函數的定義域。 f) 均值不等式法 。 （在不等式中介紹） g) 構造法 ：通過構造相應圖形， 數形結合 求出最值。 3. 函數不等式問題 a) 凸性 ： 對于 定義域 ,ab 上 的凸函數，若 11 ni ia，則 ni iini ii xfaxaf 11 b) 單調性 ：利用函數單調性 證明不等式，如：求證 ( ) ( )f x g x ，可證 ( ) ( )f x g xee c) 配方法 ：配方法 證明函數不等式：求證 22, , 3 3 3 0x y R x y x y x y d) 求導法 ： 利用導函數及單調性證明：求證 0, 1xx e x 二、 數列問題 1. 等差數列及其性質 a) 如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個 常數 ，這個數列就叫做 等差數列 ，而這個常數叫做等差數列的 公差 ，公差常用 d 字母表示 。 遞推公式 為： 1 ()nna a d const 。 任意兩項間有關系 式 ()mna a m n d 。 b) 等差數列 前 n 項和公式 11 ()( 1 )22 nn n a annS n a d 。 2. 等比數列及其性質 a) 如果一個 數列 從第 二 項起，每一項與它的前一項的比等于同一個 常數 ，這個數列就叫做 等比數列 。這個常數叫做等比數列的 公比 ，公比通常用字母 q 表示 ( 0)q 。遞推公式 為： 1 ( , 0 )nna q const qa 。當 1q 時，數列為常數列。 任意兩項間有關系 式 mnmna qa 。 b) 要注意的是， 等比數列一般 不含 0 元素項 。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 7 頁 c) 等比數列前 n 項和公式 11(1 ) ,11,1nnaq qS qna q 3. 等差乘等比數列的前 n 項和 nS 的求法 1: ( 1)nna a a n d ， 11: ( 0 , 1 )nnnb b b q q q ， :n n n nc c a b 1111 1 1 ( 1 )n n n kn k k kk k kS c a b a k d b q 1 11 1 1 112( 1 ) ( 2 )nn kkn kkq S a k d b q a k d b q 1 1 11 1 1 1 12 ( 1 )1nn knn k d b q qS q S a b d b q a b q 故 1 1 12(1 ) ,1 (1 )nn a b d b q qS n Nq q 4. 幾種數列遞推關系求通項方法 a) 11, , ,nna pa q a p q 已 知1 ( ) ,1 1 1n n nq q qa p a ap p p 為 一 個 新 的 等 比 數 列 故 11()11nn qqa a ppp b) 1 1 1 2, , , ,n n na p a q a a a p q 已 知 該遞推關系式對應的特征方程為 2x px q，如果方程有不等兩根 12,xx，那么212nna Ax Bx，由 12,aa定得 ,AB，從而確定數列通項公式；如果特征方程有重根 12xx ，那么 1()nna An B x ，由 12,aa定得 ,AB，從而確定數列通項公式。 c) 不動點法 求數列通項 對于一個函數 ()y f x ，該函數的不動點指的是方程 ()x f x 的根，也就是()y f x 與直線 yx 的交點。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 8 頁 假設1 nn naa ba ca d ，已知 1, , , ,abc d a 令 () ax bfx cx d ，可求函數 ()y f x 的不動點滿足 ax bx cx d ，即2 ( ) 0cx d a x b ，令方程的兩根為 12,xx （ 1） 若 12xx ，則有1 1 11 1 2()nncppa x a x a d 其 中 （ 2） 若 12xx ，則有 1 1 1 11 2 2 2()nna x a x a c xqqa x a x a c x 其 中 從而可以求出 na 的通項公式。 總之，在已知數列前后項之間的遞推關系時，我們首要的任務就是 嘗試構造新數列 ，使新數列滿足等差或等比數列的性質 ，繼而求得數列的通項公式。 三、 不等式 1. 常用不等式 a) 均值不等式 12, na a a R，有 22111111 nnn nna a a an aannaa 常用形式： , 0 , 2x y x y xy b) 柯西不等式 若 , , 1, 2, ,iia b R i n ，則 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )n n ni i i ii i ia b a b ，等號成立當且僅當1212nnaaab b b 常用變形一： 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 9 頁 RbRa ii ，若 (i=1,2,n) ，則 niniiniiiibaba11212 注：要求 bi 為正數 常用變形二： 若 Rba ii， (i=1,2,n) ，則 niiiniini iibaaba1211 c) 排序不等式 設有兩個有序數組 12 na a a 及 12 nb b b ，則 1 1 2 2 ()nna b a b a b 同 序 和 1 1 2 2 ()j j n jna b a b a b 亂 序 和 1 2 1 1 ()n n na b a b a b 逆 序 和 其中 12,nj j j 為 1,2, ,n 的任意一個排列。當且僅當 12 na a a 或12 nb b b 時等號（對任一排列 12,nj j j ）成立。 d) 琴生不等式 （了解即可） 如果在定義域 ,ab 上函數 ()y f x 為上凸函數，則 12, , , ,nx x x a b，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn ； 如果在定義域 ,ab 上函數 ()y f x 為下凸函數，則 12, , , ,nx x x a b，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn 。 加權的琴生不等式 : 對于 定義域 ,ab 上 的 上 凸函數，若 11 ni ia，則 ni iini ii xfaxaf 11 e) 車比雪夫不等式 （了解即可） 若 1 2 1 2,nna a a b b b ，則 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 10 頁 1 1 2 2 1 2 1 2n n n na b a b a b a a a b b bn n n f) 絕對值不等式 a b a b a b 1 2 1 2nna a a a a a 2. 常用不等式證明方法 a) 比較法 ：依據實數的運算性質及大小順序之間的關系，通過兩個實數的差或商的符號（范圍）確定兩個數的大小關系的方法。基本解題步驟是： 作差（商） 變形 判號（范圍） 定論 。證題時常用到 配方、因式分解、換元、乘方、恒等式、重要不等式、優化假設、放縮 等變形技巧。 b) 分析綜合法 ：所謂 “綜合 ”指由 “因 ”導 “果 ”，從已知條件出發，依據不等式的性質、函數的性質、重要不等式等逐步推進，證得所要證的不等式。所謂 “分析 ”指的是執“果 ”索 “因 ”， 從欲證不等式出發，層層推求使之成立的充分條件 ，直至已知事實為止。一般先用分析法分析證題思路，再用綜合法書寫證明過程。 c) 換元法 ：適當 引入新變量 ，通過代換簡化原有結構，實現某種變通，給證明的成功帶來新的轉機。具體地講， 就是化超越式為代數式，化無理式為有理式，化分式為整式，化高次式為低次式 等等。比較常見的有三角代換、均值代換、增量代換、對稱代換、復數代換、局部代換、整體代換、比值代換、常量 代換等。至于到底如何代換，因題而異。應用換元法時， 要注意新變量的取值范圍，即代換的等價性 。 d) 放縮法 ：要證 AB（或 AB） , 可以先證明 AC（或 AC），再證明 CB（或 CB），由傳遞性得證。證明不等式的實質就是如何把不等式的一邊經過適當放縮得到另一邊。放縮法的 常用技巧 ： 在恒等式中舍掉或添加一些項； 在分式中放大或縮小分子或分母； 應用函數的性質（如單調性、有界性等）進行放縮； 應用基本不等式進行放縮。運用放縮法證明不等式時，要注意目標明確和放縮適度。 e) 數學歸納法 ：運用數學歸納法證明與正整數 有關的不等式。對于某些較弱的不等式，可以加強命題后再作歸納法證明。 f) 構造法 ：針對要證的不等式的結構特點，展開類比、聯想，抓住知識間的橫向聯系，構造出數列、函數、圖形等輔助模型 ，通過轉化達到目的。 g) 反證法 ：通過否定結論 ,導出矛盾 ,從而肯定結論 。 一般用于證明否定性、唯一性、存在性命題，或用于直接證明比較困難的命題 。 3. 利用不等式求最值 利用平均值不等式求函數的最值時，要特別注意 “正數、定值和相等 ”三個條件缺一不可，清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 11 頁 有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件 。 為了用好該不等式，首先要正確理解該不等式中的三個條件（三要素）： 正（各項或各因式均為正值）、定（和或積為定值）、等（各項或各因式都能取得相等的值，即具備等號成立的條件） ，簡稱 “一正、二定、三相等 ”，這三條缺一不可，當然還要牢記結論： 積定 和最小，和定 積最大 。但是在具體問題中，往往所給條件并非 “標準 ”的正、定、等（或隱含于所給條件之中），所以還必須作適當地變形，通過湊、拆（拼）項、添項等技巧，對 “原始 ”條件進行調整、轉化，使其符合標準的正、定、等，以保證使用該不等式。 四、 平面幾何 1. 基本定理 a) 梅捏勞斯（ Menelaus）定理（梅式線） ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 或其延長線上有點 P、 Q、R，則 P、 Q、 R 共線的充要條件 是 1BP CQ ARPC QA RB 。 說明： 恰當選擇三角形的截線或作出截線，是應用梅涅勞斯定理的關鍵，其逆定理常應用于證明三點共線問題。 b) 賽瓦（ Ceva）定理（塞瓦點） ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 上有點 P、 Q、 R，則 AP、 BQ、CR 三線共點的充要條件是 1BP CQ ARPC QA RB 。 說明： 對較復雜的問題，要注意梅涅勞斯定理和塞瓦定理的聯合應用。 c) 托勒密 (Ptolemy)定理 四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積 （如圖，即A B C D B C D A A C B D ） 的充要條件是該四邊形內接于一圓。 說明： 托勒密定理可作如下推廣：在凸四邊形 ABCD 中，有A B C D B C D A A C B D ，等號成立的充要條件是 ABCD 為圓的內接四邊形，稱為廣 義托勒密定理。 d) 西姆松 (Simson)定理（西姆松線） 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 12 頁 從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 e) 其它定理 i. 內角平分線定理 如圖，如果 1= 2，則有 BD ABDC AC 。 ii. 外角平分線定理 如果， AD 是 ABC 中 A 的外角平分線，交 BC 的延長線于 D，則有 BD ABDC AC 。 iii. 余弦定理推論 推論 1：平行四邊形兩對角的平方和等于四邊平方和。 推論 2：設 ABC 三邊長分別為 a， b， c，對應邊上的中線分別為 ma， mb， mc，則： 2 2 21 222am b c a ； 2 2 21 222bm a c b ； 2 2 21 222cm a b c iv. 斯德瓦特定理 如圖， ABC 的 BC 邊上有一點 P，則可滿足下列關系： 2 2 2A B P C A C B P A P B C B P P C B C v. 張角定理 由 P 點出發的三條射線 ,PAPBPC ，設 APC ， CPB ，180APB ，則 ,ABC 三 點 共 線 的 充 要 條 件 是 ：s in s in s in ( )P B P A P C 2. 三角形的心 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 13 頁 三角形的外心、重心、垂心、內心及旁心，統稱為三角形的五心 。 a) 外心 三角形中垂線的交點，三角形外接圓的圓心，簡稱外心 .與外心關系密切的有圓心角定理和圓周角定理 。 b) 重心 三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心 .掌握重心將每條中線都分成定比 2:1及中線長度公式，便于解題 。 c) 垂心 三角形三條高的交戰，稱為三角形的垂心 .由三角形的垂心造成的四個等 (外接 )圓三角形，給我們解題提供了極大的便利 。 d) 內心 三角形角平分線的交點，三角形內切圓的圓心，簡稱為內心 .對于內心，要掌握張角公式 。 e) 旁心 三角形的一條內角平分線與另兩個內角的外角平分線相交于一點，是旁切圓的圓心，稱為旁心 .旁心常常與內心聯系在一起，旁心還與三角形的半周長關系密切 。 3. 多點共圓問題 a) 利用圓的定義證明 即要證 A、 B、 C、 D 四點共圓，只需要找到一點 P，證得 PA=PB=PC=PD 即可 。 b) 利用圓內接四邊形性質定理的逆定理 i. 若四邊形的兩個對角互補，則四點共圓 。 ii. 若四邊形的一個外角等于它的內對角，則四點共圓 。 c) 利用圓周角定理的逆定理證明 即兩三角形有公共底邊，且在公共底邊同側又有相等的頂角，則四頂點共圓 。 d) 利用圓冪定理的逆定理證明 即 i. 若二線段 AB 和 CD 相交與 E，且 AE EB CE ED 則 A、 B、 C、 D 四點共圓。 ii. 若相交于 P 點的二線段 PB、 PD 上各有一點 A、 C，且 ,PA PB PC PD 則 A、B、 C、 D 四點共圓。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 14 頁 e) 利用托勒密定理的逆定理證明 即 如果四邊形 ABCD 的兩組對邊乘積的和等于它的兩條對角線的乘積：,A B C D B C D A A C B D 則 A、 B、 C、 D 四點共圓 。 f) 多點（大于 4 點）共圓 i. 通常先證其中四點共圓，再證其余點中一一與共圓四點組中的三點共圓。 ii. 直接利用位似變換證明。 4. 面積問題 面積的等積變換 等積變換是處理有關面積問題的 重要方法之一，它的特點是 利用間面積相等而進行相互轉換證（解）題 。 面積法是一個很強大的工具，它可以讓你在看不清應該如何去算的時候，提供一個有力的方法，尤其在處理線段比例上，它有著很強大的功能 .在后面很多地方都會用到面積的比例來轉化邊 的比例，這也正是面積法的真正作用所在 。 我們先來熟悉一下這些定理，比如先證明在右圖 的圖形中要證明 AH AFHB BF， 就 可 以 由 AGE AGEBGE ABESSAHHB S S，ABEBGES DG ACS BC CG得到：只要證明 1DG AC BFBD CG AF 即可，這即是以 ABG 關于直線 DCF 的梅氏定理 .于是我們要證明的東西就出來了，其中用到的只有共邊定理，再加上梅氏定理作為一個輔助的工具 。 面積法決不是那種能獨當一面的方法，它一定是作為配角來使用的，而在證明過程中起到一個過渡的作用 。 五、 數論基礎 1. 整除問題 a) 整數與其進位制 ： 在集合觀點下，整數是整數集合的簡稱，記為 Z ， =n|n=0, 1, 2, Z 。 整數對 “加、減、乘”三種運算封閉 ，對 “除、開方”運算不封閉 。 正整數有無窮多個，為了用有限的個數符號表示出無限個正整數，前人發明了進位制。 10 是十進制的基， 任何大于 1 的整數 r 均可作為 r 進位制的基 。 自然數 N 的 r 進制是把 N 表示成 r 的 n 次多項式的形式，即圖 1 - 4GCA FEBDH清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 15 頁 11 1 0nnnnN a r a r a r a ，其中 0 , 1 , 2 , , 1 , 0 , 1 , 2 , . 0ina r i n a ，并記作1 1 0()n n rN a a a a 。 r 進制記數法的基本原則是“逢 r 進 1” 。 不同進位制的數可以相互轉換，如 324 1 0(1 0 2 1 ) 1 4 0 4 2 4 1 ( 7 3 ) 。十進制數轉換成 P進制數是“除 P取余”法，例如 4 3 21 3 7 1 3 + 2 3 + 0 3 + 0 3 + 2 ，故 3137 (12002) 。a 進制數轉為 b 進制數，只需先把 a 進制數轉換為十進制數，再由十進制數轉換為b 進制數。 b) 整數的奇偶性 ： 將全體整數分為兩類， 凡是 2 的倍數的數稱為偶數，否則稱為奇數 ，因此，任意偶數可表示成 2 ( )mm Z ，任意奇數可表示為 21m 的形式。奇數偶數具有如下性質： 奇數 奇數 =偶數；偶數 偶數 =偶數；奇數 偶數 =奇數；偶數 偶數 =偶數；奇數 偶數 =奇數；奇數 奇數 =奇數。 奇數的平方都可以表示為 81m 的形式，偶數的平方都可以表示為 8m 或 84m的形式。任何一個正整數 n，都可以寫成 2mnl 的形式，其中 m 為非負整數， l 為奇數。 c) 質數與合數、算術基本定理 ： 大于 1 的整數按它具有因數的情況可以分為 質數 和 合數 兩類。 一個大于 1 的整數，如果除了 1 和它自身外沒有任何正因子，則稱此數為質數或素數，否則，稱為合數。 顯然， 1 既不是質數也不是合數 ； 2 是最小的且是唯一的偶質數 。 算術基本定理 ：任何大于 1 的整數 A 都可以分解成質數的乘積，若不計這些質數額次序，則這種質因子分解表達式是唯一的，進而 A 可以寫成標準分解式：12 naaa nA p p p ，其中 12 np p p ， ip 為質數， ia 為非負整數， 1,2, ,in 。 合數的因子個數計算公式：若 12 naaa nA p p p 為標準分解式，則 A 的所有因子（包括 1 和 A 本身）的個數為1( 1)n ii a 。 2