第1講空間幾何體考情考向分析1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側面展開圖及簡單的組合體問題熱點一三視圖與直觀圖1一個物體的三視圖的排列規則俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖的長度一樣，側視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣即“長對正、高平齊、寬相等”2由三視圖還原幾何體的步驟一般先依據俯視圖確定底面再利用正視圖與側視圖確定幾何體例1(1)(2018全國)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是()答案A解析由題意可知帶卯眼的木構件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應選A.(2)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，則這塊菜地的面積為_答案2解析如圖，在直觀圖中，過點A作AEBC，垂足為點E，則在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四邊形AECD為矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可還原原圖形如圖所示在原圖形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，這塊菜地的面積為S(ADBC)AB22.思維升華空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先根據俯視圖確定幾何體的底面，然后根據正視圖或側視圖確定幾何體的側棱與側面的特征，調整實線和虛線所對應的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結果在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮跟蹤演練1(1)(2018浙江省臺州中學模擬)在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應的側視圖可以為()答案D解析由正視圖和俯視圖得該幾何體可以為一個底面為等腰三角形的三棱錐和一個與三棱錐等高，且底面直徑等于三棱錐的底面等腰三角形的底的半圓錐的組合體，則其側視圖可以為D選項中的圖形，故選D.(2)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分別為棱CD，CC1，A1B1的中點，用過點E，F，G的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側視圖為()答案C解析取AA1的中點H，連接GH，則GH為過點E，F，G的平面與正方體的面A1B1BA的交線延長GH，交BA的延長線與點P，連接EP，交AD于點N，則NE為過點E，F，G的平面與正方體的面ABCD的交線同理，延長EF，交D1C1的延長線于點Q，連接GQ，交B1C1于點M，則FM為過點E，F，G的平面與正方體的面BCC1B1的交線所以過點E，F，G的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形EFMGHN.故可得位于截面以下部分的幾何體的側視圖為選項C所示熱點二幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積和體積計算是高考中常見的一個考點，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規則幾何體分割成幾個規則幾何體的技巧，把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧例2(1)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A848 B244C820 D28答案A解析由三視圖可知，該幾何體的下底面是長為4，寬為2的矩形，左右兩個側面是底邊為2，高為2的三角形，前后兩個側面是底邊為4，高為的平行四邊形，所以該幾何體的表面積為S4222224848.(2)(2018杭州質檢)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_，表面積是_答案6(6)解析由三視圖知，該幾何體是由四分之一球與半個圓錐組合而成，則該組合體的體積為V23223，表面積為S4222243226.思維升華(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個計算各個面的面積，然后求和(2)求簡單幾何體的體積時，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式求解；求組合體的體積時，若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，常用轉換法、分割法、補形法等進行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時，應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解跟蹤演練2(1)(2018寧波期末)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為1620，則r等于()A1 B2 C4 D8答案B解析由三視圖得該幾何體為一個半球和一個半圓柱的組合體，且半圓柱的底面和半球體的一半底面重合，則其表面積為4r2r22r2r2r2r4r25r21620，解得r2，故選B.(2)(2018紹興質檢)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A2 B3 C4 D6答案A解析將俯視圖的對角線的交點向上拉起，結合正視圖與側視圖知，此空間幾何體是底面為正方形(邊長)，高為3的正四棱錐，則其體積VSh()232，故選A.熱點三多面體與球與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑球與旋轉體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心(或“切點”“接點”)作出截面圖例3(1)已知正三棱錐SABC的頂點均在球O的球面上，過側棱SA及球心O的平面截三棱錐及球面所得截面如圖所示，已知三棱錐的體積為2，則球O的表面積為()A16 B18C24 D32答案A解析設正三棱錐的底面邊長為a，外接球的半徑為R，因為正三棱錐的底面為正三角形，邊長為a，則ADa，則AOADa，所以aR，即aR，又因為三棱錐的體積為2，所以a2R2R2，解得R2，所以球的表面積為S4R216.(2)如圖是某三棱錐的三視圖，則此三棱錐內切球的體積為()A. B. C. D.答案D解析把此三棱錐嵌入長、寬、高分別為20,24,16的長方體ABCDA1B1C1D1中，三棱錐BKLJ即為所求的三棱錐，其中KC19，C1LLB112，B1B16，則KC1LLB1B，KLB90，故可求得三棱錐各面面積分別為SBKL150，SJKL150，SJKB250，SJLB250，故表面積為S表800.三棱錐體積VSBKLJK1 000，設內切球半徑為r，則r，故三棱錐內切球體積V球r3.思維升華三棱錐PABC可通過補形為長方體求解外接球問題的兩種情形(1)點P可作為長方體上底面的一個頂點，點A，B，C可作為下底面的三個頂點(2)PABC為正四面體，則正四面體的每條棱都可作為正方體的一條面對角線跟蹤演練3(1)在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，則該三棱錐的外接球的表面積為()A13 B20 C25 D29答案D解析把三棱錐PABC放到長方體中，如圖所示，所以長方體的體對角線長為，所以三棱錐外接球的半徑為，所以外接球的表面積為4229.(2)已知一個圓錐的側面積是底面積的2倍，記該圓錐的內切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則等于()A12 B13 C14 D18答案C解析如圖，由已知圓錐側面積是底面積的2倍，不妨設底面圓半徑為r，l為底面圓周長，R為母線長，則lR2r2，即2rR2r2，解得R2r，故ADC30，則DEF為等邊三角形，設B為DEF的重心，過B作BCDF，則DB為圓錐的外接球半徑，BC為圓錐的內切球半徑，則，故.真題體驗1(2018全國改編)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在側視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為_答案2解析先畫出圓柱的直觀圖，根據題中的三視圖可知，點M，N的位置如圖所示圓柱的側面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑ON164，OM2，MN2.2(2017北京改編)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為_答案2解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱由三視圖可知，正方體的棱長為2，故SD2.3(2017天津)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為_答案解析設正方體的棱長為a，則6a218，a.設球的半徑為R，則由題意知2R3，R.故球的體積VR33.4(2017全國)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_答案36解析如圖，連接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC為球O的直徑知，OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OA平面SCA，OA平面SCB.設球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r，三棱錐SABC的體積VSCOBOA，即9，r3，球O的表面積S4r236.押題預測1一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為()A16 B88C228 D448押題依據求空間幾何體的表面積或體積是立體幾何的重要內容之一，也是高考命題的熱點此類題常以三視圖為載體，給出幾何體的結構特征，求幾何體的表面積或體積答案D解析由三視圖知，該幾何體是底面邊長為2的正方形，高PD2的四棱錐PABCD，因為PD平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形，易得BCPC，BAPA，又PC2，所以SPCDSPAD222，SPABSPBC222.所以幾何體的表面積為448.2在正三棱錐SABC中，點M是SC的中點，且AMSB，底面邊長AB2，則正三棱錐SABC的外接球的表面積為()A6 B12 C32 D36押題依據靈活運用正三棱錐中線與線之間的位置關系來解決外接球的相關問題，是高考的熱點答案B解析因為三棱錐SABC為正三棱錐，所以SBAC，又AMSB，ACAMA，AC，AM平面SAC，所以SB平面SAC，所以SBSA，SBSC，同理SASC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB2，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面積S4R212，故選B.3已知半徑為1的球O中內接一個圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的體積與圓柱的體積的比值為_押題依據求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內容之一，也是高考的熱點問題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡單組合體的體積本題通過球的內接圓柱，來考查球與圓柱的體積計算，命題角度新穎，值得關注答案解析如圖所示，設圓柱的底面半徑為r，則圓柱的側面積為S2r24r42.所以當r時，.A組專題通關1.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為BD1的中點，則PAC在該正方體各個面上的正投影可能是()A B C D答案B解析P點在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以PAC在上底面或下底面的投影為，在前、后面以及左、右面的投影為.2. (2018浙江省金麗衢十二校聯考)某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為2的正方形，則此四面體的最大面的面積是()A2 B2 C2 D4答案C解析由三視圖得該幾何體如圖中的三棱錐ABCD所示，則SABD(2)22，SBCD222，SABCSADC222，所以最大面的面積為2，故選C.3(2018浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A2 B4C6 D8答案C解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，直角梯形的上、下底邊長分別為2,1，高為2，該幾何體的體積為V26.故選C.4某幾何體的正視圖和側視圖如圖(1)所示，它的俯視圖的直觀圖是ABC，如圖(2)所示，其中OAOB2，OC，則該幾何體的表面積為()A3612 B248C2412 D368答案C解析由題圖(2)可知，該幾何體的俯視圖是一個底面邊長為4，高為2的等腰三角形，即該三角形為等邊三角形，在如圖所示的長方體中，長、寬、高分別為4,2，6，三視圖還原為幾何體是圖中的三棱錐PABC，且SPABSPBC4612，SABC424，PAC是腰長為，底邊長為4的等腰三角形，SPAC8.綜上可知，該幾何體的表面積為212482412.故選C.5.已知如圖所示的三棱錐DABC的四個頂點均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂直，AB3，AC，BCCDBD2，則球O的表面積為()A4 B12C16 D36答案C解析如圖所示，AB2AC2BC2，CAB為直角，即ABC外接圓的圓心為BC的中點O.ABC和DBC所在的平面互相垂直，則球心在過DBC的圓面上，即DBC的外接圓為球的大圓，由等邊三角形的重心和外心重合，易得球半徑R2，球的表面積為S4R216，故選C.6已知正四棱錐PABCD的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為()A. B. C. D.答案C解析如圖所示，設底面正方形ABCD的中心為O，正四棱錐PABCD的外接球的球心為O，底面正方形的邊長為，OD1，正四棱錐的體積為2，VPABCD()2PO2，解得PO3，OO|POPO|3R|，在RtOOD中，由勾股定理可得OO2OD2OD2，即(3R)212R2，解得R，V球R33.7在三棱錐SABC中，側棱SA底面ABC，AB5，BC8，ABC60，SA2，則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B.C. D.答案B解析由題意知，AB5，BC8，ABC60，則在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC，解得AC7，設ABC的外接圓半徑為r，則ABC的外接圓直徑2r，r，又側棱SA底面ABC，三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離dSA，則外接球的半徑R，則該三棱錐的外接球的表面積為S4R2.8某幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示，在下列圖形中，可能是該幾何體側視圖的圖形是_(寫出所有可能的序號)答案解析如圖a三棱錐CABD，正視圖與俯視圖符合題意，側視圖為；如圖b四棱錐PABCD，正視圖與俯視圖符合題意，側視圖為；如圖c三棱錐PBCD，正視圖與俯視圖符合題意，側視圖為.9如圖1所示是一種生活中常見的容器，其結構如圖2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD平面CDEF，現測得AB20 cm，AD15 cm，EF30 cm，AB與EF間的距離為25 cm，則幾何體EFABCD的體積為_cm3.答案3 500解析在EF上，取兩點M，N(圖略)，分別滿足EMNF5，連接DM，AM，BN，CN，則該幾何體就被分割成兩個棱錐和一個棱柱，根據柱、錐體的體積公式以及題中所給的相關量，可以求得V2015202201553 500.10. (2018浙江省杭州二中等五校聯考)一個三棱錐的三視圖如圖所示，則其表面積為_，其外接球的體積為_答案262解析由三視圖得該幾何體是一個底面為直角邊分別為3,4的直角三角形，高為5的三棱錐，且三棱錐的頂點在底面的投影為底面直角三角形中邊長為4的直角邊所對的頂點，則其表面積為3435554262，其外接球的半徑為，則外接球的體積為3.11(2018全國)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45，若SAB的面積為5，則該圓錐的側面積為_答案40解析如圖，SA與底面所成角為45，SAO為等腰直角三角形設OAr，則SOr，SASBr.在SAB中，cosASB，sinASB，SSABSASBsinASB(r)25，解得r2，SAr4，即母線長l4，S圓錐側rl2440.12已知二面角l的大小為，點P，點P在 內的正投影為點A，過點A作ABl，垂足為點B，點Cl，BC2，PA2，點D，且四邊形ABCD滿足BCDDAB.若四面體PACD的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積為_答案8解析BCDDAB，A，B，C，D四點共圓，直徑為AC.PA平面，ABl，易得PBl，即PBA為二面角l的平面角，即PBA，PA2，BA2，BC2，AC2.設球的半徑為R，則2，R，V()38.B組能力提高13若四棱錐PABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.答案C解析根據三視圖還原幾何體為一個四棱錐PABCD，如圖所示，平面PAD平面ABCD，由于PAD為等腰三角形，PAPD3，AD4，四邊形ABCD為矩形，CD2，過PAD的外心F作平面PAD的垂線，過矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂線，兩條垂線交于一點O，則O為四棱錐外接球的球心，在PAD中，cosAPD，則sinAPD，2PF，PF，PE，OHEF，BH，OB，所以S4.14.如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，切去陰影部