郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1994 年數學試題詳解及評分參考 1994 年 第 1 頁 1994 年全國碩士研究生入學統一考試年全國碩士研究生入學統一考試 數學試題詳解及評分參考數學試題詳解及評分參考 數數 學（試卷一）學（試卷一） 一、填空題： （本題共一、填空題： （本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分）分） (1) 0 11 lim cot () sin x x xx = . 【答】 應填 1/6. 【解】 原式 2 0 sin limcos sin x xx x xx = 2 1 2 322 000 sin1 cos1 limlimlim. 366 xxx xxxx xxx = (2) 曲面32=+xyez z 在點)0 , 2 , 1 (處的切平面方程為 . 【答】 應填 240.xy+= 【解】 記( , , )23 z F x y zzexy= +，則(1,2,0)4 x F =，(1,2,0)2 y F =，(1,2,0)0 z F = 于是過點)0 , 2 , 1 (的切平面方程為4(1)2(2)0xy+=，即240.xy+= (3) 設sin x x ue y =，則 yx u 2 在 1 (2,) 點處的值為 . 【答】 應填 2 () . e 【解】 因 11 sincos(cossin) xxx uxxxx eee xyy yyyy = += ，故 2 222 11 cossin()cos() x uxxxxx e x yyyyyyyy = ，于是 2 22322 1 (2,) (cos22sin22cos2 )() . u e x ye =+= (4) 設區域D為 222 xyR+，則 + D dxdy b y a x )( 2 2 2 2 = . 【答】 應填 4 22 111 (). 4 R ab + 【解】 因D關于直線yx=對稱，故 2222 2222 ()() DD xyyx dxdydxdy abab +=+ ，于是 222222 222222 1 ()()() 2 DDD xyxyyx dxdydxdydxdy ababab +=+ 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1994 年數學試題詳解及評分參考 1994 年 第 2 頁 2 2224 222222 00 111111111 ()()()(). 224 R D xydxdydrrdrR ababab =+=+=+ (5) 已知(1,2,3)=， 1 1 (1, ) 2 3 =， 設A =， 其中是的轉置， 則 n A = . 【答】 應填 11/ 21/3 212/3 . 33/ 21 【解】 由(1,2,3)=， 1 1 (1, ) 2 3 =，知3 = ，于是有 1 ()()()()()()() nn A =? 11 111/ 21/3 11 32 (1)3212/3 . 23 333/ 21 nn = 二、選擇題： （本題共二、選擇題： （本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分）分） (1) 設 434234 222 2 222 sin cos,(sincos),(sincos), 1 x Mxdx Nxx dx Pxxx dx x =+= + 則有 (A) NPM ，則)(xf在1x =處的 (A) 左、右導數都存在 (B) 左導數存在，但右導數不存在 (C) 左導數不存在，但右導數存在 (D) 左、右導數都不存在 【答】 應選 (B) . 【解】 由 3 22 2 33 111 ( )(1)2 limlimlim(1)2 113 xxx xf xf xx xx =+= ，及 2 2 3 11 ( )(1) limlim 11 xx xf xf xx + = ，知(1)2f=，(1)f+不存在，故選 (B) . (3) 設)(xfy =是滿足微分方程0“ sin =+ x eyy的解，且0)( 0 =xf，則)(xf在 (A) 0 x的某個鄰域內單調增加 (B) 0 x某個鄰域內單調減少 (C) 0 x處取得極小值 (D) 0 x處取得極大值 【答】 應選 (C) . 【解】 由題意，)(xf滿足方程 sin ( )( )0 x fxfxe+=，故由0)( 0 =xf，知 00 sinsin 00 ()()0 xx fxefxe=，可見)(xf在駐點 0 x處取得極小值. 故選 (C) . (4) 曲線 2 1 2 1 (1) (2) x xx ye arctan xx + = + 的漸近線有 (A) 1條 (B) 2條 (C) 3條 (D) 4條 【答】 應選 (B) . 【解】 由 0 limarctan1 4 x ye =，知曲線有一條水平漸近線 4 y =，且沒有斜漸近線； 又易見函數只可能在0,1,2xxx= =處間斷，而 0 1 limarctan() 2 x y = += ， 1 limarctan() 2 x yee = = ， 1 limarctan() 2 x yee + = + =， 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1994 年數學試題詳解及評分參考 1994 年 第 12 頁 11 44 2 limarctan() 2 x yee = = ， 11 44 2 limarctan() 2 x yee + =+ =， 所以曲線只有一條鉛直漸近線0x =，因而曲線共有兩條漸近線，故選 (B) . (5) 【 同數學一 第二、 （1）題 】 三、 （本題共三、 （本題共 5 小題，每小題小題，每小題 5 分，滿分分，滿分 25 分）分） (1) 設)(yxfy+=，其中f具有二階導數，且其一階導數不等于 1，求 2 2 dx yd . 解：解： (1), 1 f yyfy f =+= 2 分 2 2 3 (1) (1), 1(1) yff yyfy fy ff + =+= . 5 分 (2) 計算 dxxx 1 0 2 3 4) 1 (. 解：解：設 2 sinxt=，則0x =時，0t =；1x =時， 2 t =. 1 分 3 1 44 22 00 1 (1)cos 2 xxdxtdt = 3 分 133 2 4 2 232 = . 5 分 (3) 計算) 2 4 (lim n tg n n + . 解：解： 22 12 2 limln()lim lnlim ln1 22 4 11 n nnn tgtg nn tgnn n tgtg nn + +=+ 2 分 22 2 4 limlim4 222 11 nn tgtg nn n tgtg nnn = , 4 2 lim() 4 n n tge n +=. 5 分 (4) 【 同數學一 第三、(4) 題】 (5) 如圖,設曲線方程為 2 1 2 += xy,梯形 OABC 的面積為 D，曲邊 梯形 OABC 的面積為 D1， 點 A 的坐標為 （)0 , a，0a， 證明： 2 3 1 D D . 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1994 年數學試題詳解及評分參考 1994 年 第 13 頁 證：證： 32 2 1 0 1(23) () 2326 a aaaa Dxdx + =+=+= 2 分 2 2 11 (1) 22 22 a aa Da + + = 3 分 2 2 2 2 1 (1) 31 2 3 (23)2 2 6 aa Da aaD a + + = + + . 2 2 1 13 1, 3 2 2 aD D a + . 3 分 (1) 當0k 時，( )0fx ，知(- ,0),(0,+ )為凹區間，且無拐點 4 分 (3) 由 3 2 0 4 lim x x x + = +知，0x =為垂直漸近線， 又由 33 32 44 lim1,lim()0 xx xx abx xx + = 知yx=為斜漸近線. (4) 令0y =，得零點 3 4x = . 6 分 于是其圖形如圖所示. 9 分 六、 （本題滿分六、 （本題滿分 9 分）分） 求微分方程xyaysin“ 2 =+的通解，其中常數0a. 解：解：對應的齊次方程的通解為 12 cossinycaxcax=+. 1 分 (1) 當1a 時，設原方程的特解為 *sincosyAxBx=+ 2 分 代入原方程得 22 (1)sin(1)cossin ,A axB axx+= 比較等式兩端對應項的系數得 22 11 ,0,*sin 11 AByx aa = 所以. 4 分 (2) 當1a 時，設原方程的特解為 *( sincos )yx AxBx=+ 5 分 代入原方程得2cos2 sinsin ,AxBxx= 比較等式兩端對應項的系數得 11 0,*cos . 22 AByxx= = 所以 8 分 綜上所述，當1a 時，原方程的通解為 12 2 1 cossinsin 1 ycaxcaxx a =+ 當1a =時，原方程的通解為 12 1 cossincos 2 ycxcxxx=+. 9 分 七、 （本題滿分七、 （本題滿分 9 分）分） 設)(xf在0，1上連續且遞減，證明：當10，因此 12 (1) ( )()0ff，即原不等式成立 9 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1994 年數學試題詳解及評分參考 1994 年 第 15 頁 八、 （本題滿分八、 （本題滿分 9 分）分） 求曲線|1|3 2 =xy與x軸圍成的封閉圖形繞直線3=y旋轉所得的旋轉體體積. 解：解：如圖，?AB和?BC的方程分別為 22 2(01)4(12)yxxyxx=+=, 3 分 設旋轉體在區間0,1上的體積為 1 V，在區間1,2上的體積為 2 V， 則它們的體積元素分別： 222 1 33(2) dVxdx=+ 222 2 33(4) .dVxdx= 7 分 由對稱性得 12 222222 12 01 2()233(2) 233(4) VVVxdxxdx=+=+ 2 24352 0 0 21488 2(82)2 (8) 3515 xxdxxxx=+=+= . 9 分 數數 學（試卷四）學（試卷四） 一、填空題： （本題共一、填空題： （本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分）分） (1) = + + dx x xx 2 2 2 2 | . 【答】 應填 ln3. 【解】 2222 2222 2220 | 02 2222 xxxxx dxdxdxdx xxxx + =+=+ + 2 222 0 2 0 1 (2)ln(2)ln6ln2ln3. 2 dxx x =+=+= + (2) 已知1)( 0 =xf，則 0 00 lim (2 )() x x f xxf xx = . 【答】 應填 1. 【解】 由1)( 0 =xf，知 00 0 ()() lim1 x f xxf x x + = ，于是有 000000 00 (2 )()(2 )()()() limlim xx f xxf xxf xxf xf xxf x xx + = 0000 000 00 (2 )()()() 2limlim2()()()1 2 xx f xxf xf xxf x fxfxfx xx + = += += = 因而 0 00 lim (2 )() x x f xxf xx = 1 1. 1 = 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1994 年數學試題詳解及評分參考 1994 年 第 16 頁 (3) 設方程 2 cos xy eyx+=確定的y為x的函數，則 dx dy = . 【答】 應填 sin . 2 xy xy yex xey + + 【解】 方程兩邊對x求導，得()2sin xy eyxyyyx+= ，解得 sin . 2 xy xy yex y xey + = + (4) 設 1 2 1 00.0 00.0 , 000. 00.0 n n a a A a a = ?其中0,1,2, i ain=?,則 1 A= . 【答】 應填 1 2 1 00.01/ 1/0.00 01/.00. 00. 1/0 n n a a a a ? 【解】 根據分塊求逆公式 1 1 1 1 1 1 1 00 00 AB BA = ，可見 1 1 21 1 2 1 1 00.000.01/ 00.01/0.00 01/.00 000. 00.000. 1/0 n n nn aa aa Aa a aa = ? ? (5) 設隨機變量X的概率密度為 2 ,01 ( ) 0, xx f x ，證明)(xF在),(a內單調增加. 證證: : 2 ( )() ( )( ) ( ) () fx xaf xf a F x xa = 2 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1994 年數學試題詳解及評分參考 1994 年 第 20 頁 1( )( ) ( ) f xf a fx xaxa = . 由中值定理知，存在()ax,即)(xF單調增加6 分 九、 （本題滿分九、 （本題滿分 11 分）分） 設線性方程組 23 112131 23 122232 23 132333 23 142434 xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa += += += += ， (1) 證明，若 4321 ,aaaa兩兩不相等，則此線性方程組無解； (2) 設)0(, 4231 =kkaakaa，且已知 21 是該方程組的兩個解，其中 = 1 1 1 1 , = 1 1 1 2 . 寫出此方程組的通解. 解：解：(1) 增廣矩陣A的行列式 23 111 23 222 434241323121 23 333 23 444 1 1 ()()()()()() 1 1 aaa aaa Aaaaaaaaaaaaa aaa aaa =， 4 分 由 1234 ,a a a a兩兩不相等，知| 0A ，從而矩陣A的秩( )4R A =. 但系數矩陣A的秩( )3R A ，故( )( )R AR A，因此原方程組無解. 6 分 (2) 當 )0(, 4231 =kkaakaa時，方程組為 23 123 23 123 23 123 23 123 xkxk xk xkxk xk xkxk xk xkxk xk += += += += ，即 23 123 23 123 xkxk xk xkxk xk += += . 因 1 20 1 k k k = ，故( )( )2R AR A= ， 從而方程組相容且對應的導出方程組的基礎解系應含有 321 個解向量. 8 分 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1994 年數學試題詳解及評分參考 1994 年 第 21 頁 又因 12 , 是原非齊次方程組的兩個解，故 12 112 110 112 = 是對應齊次線 性方程組的解；且0，因此是導出方程組的基礎解系. 10 分 于是原非齊次方程組的通解為 1 12 10 12 Xcc =+=+ ， （c為任意常數.） 11 分 十、 （本題滿分十、 （本題滿分 8 分）分） 設 001 1 100 Axy = 有三個線性無關的特征向量，求x和y應滿足的條件. 解：解：解特征方程 322 |1(1) (1)0EA=+ =+=， 得特征值 1 1=（二重） ， 2 1= . 3 分 欲使 1 1=有二個線性無關的特征向量，矩陣EA的秩必須等于1， 而 101101 ()00 1 01000 EAxyxy = ，故 11 0yx xy = = ，即0xy+=. 6 分 因為不同特征值所對應的特征向量線性無關，所以矩陣A要有三個線性無關的特征向量， 必須滿足條件0xy+=. 8 分 十一、 （本題滿分十一、 （本題滿分 8 分）分） 假設隨機變量 4321 ,XXXX相互獨立，且同分布 00.6, 10.4 (1,2,3,4). ii P XP Xi= 求行列式 12 34 XX X XX =的概率分布. 解：解：記 114 YX X=， 223 YX X=，則 12 XYY=，且 12 ,Y Y獨立同分布； 2 分 又 1223 111,10.16P YP YP XX=. 3 分 12 001 0.160.84P YP Y= =. 4 分 于是隨機變量 12 XYY=有三個可能值1,0,1，且易見 5 分 12 10,10.84 0.160.1344P XP YY= =， 12 11,00.16 0.840.1344P XP YY=， 012 0.13440.7312P X = =. 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1994 年數學試題詳解及評分參考 1994 年 第 22 頁 于是X的概率分布為 12 34 101 0.13440.73120.1344 XX X XX = . 8 分 十二、 （本題滿分十二、 （本題滿分 8 分）分） 假設由自動生產線加工的某種零件的內徑X(毫米)服從正態分布) 1,(N，內徑小于 10 或大于 12 的為不合格品， 其余為合格品， 銷售每件合格品獲利， 銷售每件不合格品虧損， 已知銷售利潤T(單位：元）與銷售零件的內徑X有如下關系： ， 則方程 1 ( )0 ( ) xx ab f t dtdt f t += 在開區間( , )a b內的根有 (A) 0個 (B) 1個 (C) 2個 (D) 無窮多個 【答】 應選 (B) . 【解】 記 1 ( )( ) ( ) xx ab F xf t dtdt f t =+ ，知 1 ( )( )0 ( ) F xf x f x =+，故( )F x在閉區 間 , a b上單調遞增，從而( )F x在開區間( , )a b內至多有一個根； 又 11 ( )( )0 ( )( ) aab aba F af t dtdtdt f tf t =+= ，所以由零點定理，知( )F x在開區間 ( , )a b至少有一個根. 故選（B）. (3) 設,A B都是n階非零矩陣，且0AB =，則A和B的秩 (A) 必有一個等于零 (B) 都小于n (C) 一個小于n,一個等于n (D) 都等于n 【答】 應選 (B) . 【解】 因,A B都是非零矩陣， 故( )1r A ，( )1r B ， 又由0AB =， 知( )( )r Ar Bn+， 于是有( )( )r Anr Bna. 求使產魚總量最大的放 養數. 解：解：設產魚總量為z，則 22 3422zxyaxayxy=+ 1 分 由極值的必要條件，得方程組3220,4420 zz axyayx xy = . 3 分 由于0，知其系數行列式 22 4(2-)0 =，故方程組有唯一解： 00 2222 3243 , 22(2) xy = . 4 分 記 222 22 2 ,2 ,4 zzz ABC xx yy = = = ，知 222 4(2)0BAC= 且 0 000 0000 3 (3)0 2 (42)20 x xyx xyyy = = . 郝海龍：考研數學復習大全配套光盤1994 年數學試題詳解及評分參考 1994 年 第 25 頁 綜上所述, 0 x和 0 y分別為所求甲和乙兩種魚的房養數. 8 分 七、 （本題滿分七、 （本題滿分 8 分）分） 已知曲線)0( ,=axay與曲線xyln=在點 )00, (yx處有公共切線，求： (1) 常數a及切點),( 00 yx； (2) 兩曲線與x軸圍成的平面圖形的平面圖形的面積S. 解：解：(1)【 見數學四 第七、(1) 題 】 (2) 1 222 0 () y See ydy= 6 分 2123 12 00 1111 2362 y ee ye=. 8 分 八、 （本題滿分八、 （本題滿分 7 分）分） 設函數)(xf可導，且 1 0 (0)0,( )() x nnn