專題12 導數概念及其運算一、【知識精講】1.函數yf(x)在xx0處的導數(1)定義：稱函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率為函數yf(x)在xx0處的導數，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)幾何意義：函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(x0，f(x0)處的切線的斜率.相應地，切線方程為yy0f(x0)(xx0).2.函數yf(x)的導函數如果函數yf(x)在開區間(a，b)內的每一點處都有導數，其導數值在(a，b)內構成一個新函數，函數f(x)稱為函數yf(x)在開區間內的導函數.3.基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)c(c為常數)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.導數的運算法則若f(x)，g(x)存在，則有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.復合函數的導數復合函數yf(g(x)的導數和函數yf(u)，ug(x)的導數間的關系為yxyuux.微點提醒1.f(x0)代表函數f(x)在xx0處的導數值；(f(x0)是函數值f(x0)的導數，且(f(x0)0.2.3.曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.4.函數yf(x)的導數f(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.二、【典例精練】考點一導數的運算角度1根據求導法則求函數的導數例1. 分別求下列函數的導數：(1)yexln x；(2)yx；(3)f(x)ln .【解析】(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex.(2)因為yx31，所以y3x2.(3)因為yln ln，所以y(12x).角度2抽象函數的導數計算例2. (2019福州聯考)已知函數f(x)的導函數是f(x)，且滿足f(x)2xf(1)ln ，則f(1)()A.e B.2 C.2 D.e【答案】B【解析】由已知得f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，則f(1)2f(1)2.【解法小結】1.求函數的導數要準確地把函數分割成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導.2.復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.3.抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.考點二導數的幾何意義角度1求切線方程例3. (2018全國卷)設函數f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)為奇函數，則曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為()A.y2xB.yxC.y2xD.yx【答案】D【解析】因為函數f(x)x3(a1)x2ax為奇函數，所以a10，則a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為yx.角度2求切點坐標例4.)設曲線yex在點(0，1)處的切線與曲線y(x0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為_.【答案】(1，1)【解析】函數yex的導函數為yex，曲線yex在點(0，1)處的切線的斜率k1e01.設P(x0，y0)(x00)，函數y的導函數為y，曲線y(x0)在點P處的切線的斜率k2，由題意知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又點P在曲線y(x0)上，y01，故點P的坐標為(1，1).角度3求參數的值或取值范圍例5. (2018全國卷)曲線y2ln(x1)在點(0，0)處的切線方程為_.【答案】y2x.【解析】由題意得y.在點(0，0)處切線斜率ky|x02.曲線y2ln(x1)在點(0，0)處的切線方程為y02(x0)，即y2x.例6.(2016山東高考)若函數的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質.下列函數中具有T性質的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由函數的圖象在兩點處的切線互相垂直可知，存在兩點處的切線斜率的積，即導函數值的乘積為負一.當時，有，所以在函數圖象存在兩點使條件成立，故A正確；函數的導數值均非負，不符合題意，故選A【解法小結】1.求切線方程時，注意區分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線，曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求過某點的切線方程，需先設出切點坐標，再依據已知點在切線上求解.2.處理與切線有關的參數問題，通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程并解出參數：切點處的導數是切線的斜率；切點在切線上；切點在曲線上.【思維升華】1.對于函數求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則.求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤.對于復合函數求導，關鍵在于分清復合關系，適當選取中間變量，然后“由外及內”逐層求導.2.求曲線的切線方程要注意分清已知點是否是切點.若已知點是切點，則可通過點斜式直接寫方程，若已知點不是切點，則需設出切點.3.處理與切線有關的參數問題時，一般利用曲線、切線、切點的三個關系列方程求解.【易錯注意點】1.求導常見易錯點：公式(xn)nxn1與(ax)axln a相互混淆；公式中“”“”號記混，如出現如下錯誤：，(cos x)sin x；復合函數求導分不清內、外層函數.2.求切線方程時，把“過點切線”問題誤認為“在點切線”問題.三、【名校新題】1.(2018日照質檢)已知f(x)xln x，若f(x0)2，則x0等于()A.e2B.e C.D.ln 2【答案】B【解析】f(x)的定義域為(0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.2 (2019鄭州月考)已知曲線y3ln x的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為()A.3 B.2C.1 D.【答案】A【解析】設切點的橫坐標為x0(x00)，曲線y3ln x的一條切線的斜率為，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合題意)，即切點的橫坐標為3.3.（2019開封市高三定位考試）曲線y=ex+1在x=1處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積是（ ）A. 12e B. e2 C. 2e2 D.94e2【答案】A【解析】由y=ex+1，得y=ex,曲線y=ex+1在x=1處的切線斜率k=e,所以曲線y=ex+1在x=1處的切線方程是y-(e+1)=e(x-1),令x=0,則y=1,令y=0,得x=-1e,所以所求圍成的三角形面積為1211e=12e.故選A4.(2019合肥一模)函數f(x)xg(x)的圖象在點x2處的切線方程是yx1，則g(2)g(2)()A.7 B.4 C.0 D.4【答案】A【解析】f(x)xg(x)，f(x)1g(x)，又由題意知f(2)3，f(2)1，g(2)g(2)2f(2)1f(2)7.5.已知e為自然對數的底數，曲線yaexx在點(1，ae1)處的切線與直線2exy10平行，則實數a()A.B.C.D.【答案】B【解析】yaex1，在點(1，ae1)處的切線的斜率為y|x1ae1，又切線與直線2exy10平行，ae12e，解得a.6.（2019福建五校第二次聯考）已知函數fx=ln-x+1,x0)既在曲線yxln x上又在直線ykx2上，kx02x0ln x0，kln x0，則ln x0ln x01，x02，kln 21.8.(2018深圳二模)設函數f(x)xb，若曲線yf(x)在點(a，f(a)處的切線經過坐標原點，則ab()A.1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由題意可得，f(a)ab，f(x)1，所以f(a)1，故切線方程是yab(xa)，將(0，0)代入得ab(a)，故b，故ab2.9.（2019荊州市八校聯考）已知函數 ，在函數圖象上任取兩點，若直線的斜率的絕對值都不小于，則實數的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】，在單調遞減， 設設則在上單調遞減則對恒成立 則對恒成立 則解之得或 又，所以10（2019濟南市三模）已知函數，若對任意的實數，總存在，使得成立，則實數的取值范圍是【答案】m12【解析】記的最大值為，則由題意知，. 所以 .借助縱向距離法（切比雪夫最佳逼近線）記，則對于，可以看作橫坐標相同時，與圖像上點的縱向距離（或鉛錘距離）.記連接，則圖中直線的斜率為，則直線的方程為;直線與直線平行，且與切于點，由當直線與直線平行且與兩直線距離相等時，即恰好處于兩直線正中間的位置時，與圖像上點的縱向距離的最大值最小.此時,另：11. (2019東北三省四校聯考)已知曲線f(x)xb(x0)在點(1，f(1)處的切線方程為y2x5，則ab_.【答案】-8【解析】f(x)1，f(1)1a，又f(1)1ab，曲線在(1，f(1)處的切線方程為y(1ab)(1a)(x1)，即y(1a)x2ab，根據題意有解得ab178.12.已知函數f(x)的導函數為f(x)，且滿足關系式f(x)x23xf(2)ln x，則f(2)_.【答案】【解析】因為f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)3f(2)，所以f(2).13.已知函數yf(x)的圖象在點(2，f(2)處的切線方程為y2x1，則曲線g(x)x2f(x)在點(2，g(2)處的切線方程為_.【答案】6xy50【解析】由題意，知f(2)2213，g(2)437，g(x)2xf(x)，f(2)2，g(2)2226，曲線g(x)x2f(x)在點(2，g(2)處的切線方程為y76(x2)，即6xy50.14.(2019西安一模)定義1：若函數f(x)在區間D上可導，即f(x)存在，且導函數f(x)在區間D上也可導，則稱函數f(x)在區間D上存在二階導數，記作f(x)f(x).定義2：若函數f(x)在區間D上的二階導數恒為正，即f(x)0恒成立，則稱函數f(x)在區間D上為凹函數.已知函數f(x)x3x21在區間D上為凹函數，則x的取值范圍是_.【答案】【解析】因為f(x)x3x21，因為f(x)3x23x，f(x)6x3，令f(x)0，解得x，故x的取值范圍是.15（2019江西七校第一次聯考）（本小題滿分12分）已知函數f（x）=x2axalnx（aR）（）若函數f（x）在x=1處取得極值，求a的值（）在（）的條件下，求證：f（x）+4x+【解析】（1）解：，由題意可得f（1）=0，解得a=1；經檢驗，a=1時f（