2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,第三節(jié),一、 變力沿直線所作的功,二、 液體的側(cè)壓力,三、 引力問題,四、 轉(zhuǎn)動慣量 (補充),定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用,第六章,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,一、 變力沿直線所作的功,設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動到,力的方向與運動方向平行,求變力所做的功 .,在其上所作的功元,素為,因此變力F(x) 在區(qū)間,上所作的功為,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,例1.,一個單,求電場力所作的功 .,解:,當(dāng)單位正電荷距離原點 r 時,由庫侖定律電場力為,則功的元素為,所求功為,說明:,位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處 (a b) ,在一個帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,例2.,體,求移動過程中氣體壓力所,解:,由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為S 的活塞從,點 a 處移動到點 b 處 (如圖),作的功 .,建立坐標(biāo)系如圖.,由波義耳馬略特定律知壓強,p 與體積 V 成反比 , 即,功元素為,故作用在活塞上的,所求功為,力為,在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,例3.,試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,在任一小區(qū)間,上的一薄層水的重力為,這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為,故所求功為,( KJ ),設(shè)水的密度為,(KN),一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,面積為 A 的平板,二、液體的側(cè)壓力,設(shè)液體密度為 ,深為 h 處的壓強:,當(dāng)平板與水面平行時,當(dāng)平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .,平板一側(cè)所受的壓力為,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,小窄條上各點的壓強,例4., 的液體 , 求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,所論半圓的,利用對稱性 , 側(cè)壓力元素,端面所受側(cè)壓力為,方程為,一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,說明:,當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強為,側(cè)壓力元素,故端面所受側(cè)壓力為,奇函數(shù),2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,三、 引力問題,質(zhì)量分別為,的質(zhì)點 , 相距 r ,二者間的引力 :,大小:,方向:,沿兩質(zhì)點的連線,若考慮物體對質(zhì)點的引力, 則需用積分解決 .,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,例5.,設(shè)有一長度為 l, 線密度為 的均勻細直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M,該棒對質(zhì)點的引力.,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,細棒上小段,對質(zhì)點的引力大小為,故鉛直分力元素為,在,試計算,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,利用對稱性,棒對質(zhì)點引力的水平分力,故棒對質(zhì)點的引力大小為,棒對質(zhì)點的引力的鉛直分力為,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,說明:,2) 若考慮質(zhì)點克服引力沿 y 軸從 a 處,1) 當(dāng)細棒很長時,可視 l 為無窮大 ,此時引力大小為,方向與細棒垂直且指向細棒 .,移到 b (a b) 處時克服引力作的功,則有,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,引力大小為,注意正負號,3) 當(dāng)質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,四、轉(zhuǎn)動慣量 (補充),質(zhì)量為 m 的質(zhì)點關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為,的質(zhì)點系,若考慮物體的轉(zhuǎn)動慣量 , 則需用積分解決 .,關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,例6., 求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 ;, 求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量 .,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,設(shè)圓盤面密度為 .,小圓環(huán)質(zhì)量,對應(yīng)于,的小圓環(huán)對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為,故圓盤對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為,設(shè)有一個半徑為 R , 質(zhì)量為 M 的均勻圓盤 ,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,平行 y 軸的細條,關(guān)于 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為,細條質(zhì)量:,故圓盤對y 軸的轉(zhuǎn)動慣量為, 取旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸, 建立坐標(biāo)系如圖.,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,內(nèi)容小結(jié),(1) 先用元素法求出它的微分表達式 dQ,一般元素的幾何形狀有:,扇、片、殼 等.,(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計算之.,1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:,2.定積分的物理應(yīng)用:,變力作功 ,側(cè)壓力 ,引力,轉(zhuǎn)動慣量等.,條、段、環(huán)、帶、,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,(1999考研),思考與練習(xí),提示: 作 x 軸如圖.,1.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每,在提升過程中污泥,以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為3m /s ,問,克服重力需作多少焦耳( J ) 功?,已知井深30 m ,抓斗自重400N ,將抓起污泥的抓斗由,抓起污,x 提升 dx 所作的功可分為三部分:,米重50N ,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,提升抓斗中的污泥:,井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為3ms, 污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉,克服纜繩重:,抓斗升至 x 處所需時間 :,克服抓斗自重:,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,2. 設(shè)星形線,上每一點處線密,度的大小等于該點到原點距離的立方,提示: 如圖.,在點O 處有一單,位質(zhì)點 ,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,同理,故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的,習(xí)題課,引力大小為,作業(yè): P291 2 , 3 , 5 , 9 , 12,2019/6/29,同濟高等數(shù)學(xué)課件,銳角 取多大時, 薄板所受的壓力 P 最大 .,備用題,