2.5 指數與指數函數,基礎知識 自主學習,課時作業,題型分類 深度剖析,內容索引,基礎知識 自主學習,1.分數指數冪 (1)我們規定正數的正分數指數冪的意義是 (a0，m，nN*，且n1).正數的負分數指數冪的意義與負整數指數冪的意義相仿，我們規 定 (a0，m，nN*，且n1).0的正分數指數冪等于 ；0的負分數指數冪 . (2)有理數指數冪的運算性質：asatast，(as)tast，(ab)tatbt，其中s，tQ，a0，b0.,知識梳理,0,沒有意義,2.指數函數的圖象與性質,(0，),R,幾何畫板展示,(0，1),y1,0y1,0y1,y1,增函數,減函數,1.指數函數圖象畫法的三個關鍵點 畫指數函數yax(a0，且a1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，(1， ). 2. 指數函數的圖象與底數大小的比較 如圖是指數函數(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的 圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為cd1ab. 由此我們可得到以下規律：在第一象限內，指數函數y ax(a0，a1)的圖象越高，底數越大.,判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”),(4)函數yax是R上的增函數.( ) (5)函數y (a1)的值域是(0，).( ) (6)函數y2x1是指數函數.( ),考點自測,1.(教材改編)若函數f(x)ax(a0且a1)的圖象經過點P(2， )，則f(1)_.,答案,解析,2.(2016蘇州模擬)已知函數f(x)ax22的圖象恒過定點A，則A的坐標為_.,由a01知，當x20， 即x2時，f(2)3， 即圖象必過定點(2，3).,答案,解析,(2，3),3.已知 則a，b，c的大小關系是_.,答案,解析,cba,即ab1，,cba.,2,原式 1 2.,答案,解析,5.若函數y(a21)x在(，)上為減函數，則實數a的取值范圍是_.,由y(a21)x在(，)上為減函數，得0a211，,答案,解析,題型分類 深度剖析,題型一 指數冪的運算 例1 化簡下列各式： (1) 0；,解答,原式,(2),原式,解答,(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：必須同底數冪相乘，指數才能相加；運算的先后順序. (2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數. (3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.,思維升華,跟蹤訓練1 化簡 _.,答案,解析,原式2 213101 .,題型二 指數函數的圖象及應用 例2 已知f(x)|2x1|. (1)求f(x)的單調區間；,解答,因此函數f(x)在(，0)上遞減，在(0，)上遞增.,(2)比較f(x1)與f(x)的大小；,解答,在同一坐標系中，分別作出函數f(x)、f(x1)的圖象如圖所示. 由圖象知，當 ，即x0log2 時，兩圖象相交， 由圖象可知，當xf(x1)； 當xlog2 時，f(x)f(x1)； 當xlog2 時，f(x)f(x1).,幾何畫板展示,(3)試確定函數g(x)f(x)x2的零點的個數.,解答,將g(x)f(x)x2的零點個數問題轉化為函數f(x)與yx2的圖象的交點個數問題， 在同一坐標系中，分別作出函數f(x)|2x1|和yx2的圖象(圖略)， 有四個交點，故g(x)有四個零點.,(1)已知函數解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷所給的圖象是否過這些點，若不滿足則排除. (2)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論. (3)有關指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解.,思維升華,跟蹤訓練2 已知函數f(x) 設ab0，若f(a)f(b)，則 bf(a)的取值范圍是_.,答案,解析,函數的圖象如圖所示. 因為ab0，f(a)f(b)， 所以0.5b1且1.5f(a)2. 所以0.75bf(a)2.,幾何畫板展示,題型三 指數函數的性質及應用 命題點1 指數函數單調性的應用 例3 (1)(2016徐州模擬)下列各式比較大小正確的是_. 1.72.51.73； 0.610.62； 0.80.11.250.2； 1.70.30.93.1.,中，y0.6x是減函數， 0.610.62.,答案,解析,(2)設函數f(x) 若f(a)1，則實數a的取值范圍是_.,答案,解析,(3，1),當a0時，不等式f(a)1可化為( )a71，,又a0，3a0. 當a0時，不等式f(a)1可化為 1. 所以0a1，,所以a3.,綜上，a的取值范圍為(3，1).,幾何畫板展示,命題點2 復合函數的單調性 例4 (1)已知函數f(x) (m為常數)，若f(x)在區間2，)上是增函數，則m的取值范圍是_.,答案,解析,令t|2xm|，則t|2xm|在區間 ，)上單調遞增， 在區間(， 上單調遞減. 而y2t為R上的增函數， 所以要使函數f(x)2|2xm|在2，)上單調遞增，則有 2， 即m4，所以m的取值范圍是(，4.,(，4,(2)函數 的單調減區間為_.,答案,解析,(，1,設ux22x1，y u在R上為減函數，,函數f(x) 的減區間即為函數ux22x1的增區間.,又ux22x1的增區間為(，1，,f(x)的減區間為(，1.,引申探究 函數f(x)4x2x1的單調增區間是_.,設t2x，則yt22t的單調增區間為1，)， 令2x1，得x0， 函數f(x)4x2x1的單調增區間是0，).,答案,解析,0，),命題點3 函數的值域(或最值) 例5 (1)函數y 1在區間3，2上的值域是_.,答案,解析,因為x3，2，,(2)如果函數ya2x2ax1(a0，a1)在區間1，1上的最大值是14， 則a的值為_.,答案,解析,令axt，則ya2x2ax1t22t1,(t1)22.,當a1時，因為x1，1，所以t ，a，,又函數y(t1)22在 上單調遞增，,所以ymax(a1)2214，解得a3(負值舍去).,當0a1時，因為x1，1，所以ta， ，,又函數y(t1)22在a， 上單調遞增，,則ymax( 1)2214，解得a (負值舍去).,綜上，a3或a .,(1)在利用指數函數性質解決相關綜合問題時，要特別注意底數a的取值范圍，并在必要時進行分類討論. (2)與指數函數有關的指數型函數的定義域、值域(最值)、單調性、奇偶性的求解方法，要化歸于指數函數來解.,思維升華,跟蹤訓練3 (1)已知函數f(x) 的值域是8，1， 則實數a的取值范圍是_.,答案,解析,3，0),當0x4時，f(x)8，1，,當ax0時，f(x)( )a，1)，,所以 ，1)8，1，,即8 1，即3a0，,所以實數a的取值范圍是3，0).,幾何畫板展示,當x0時，g(x)f(x)2x 為單調增函數，,當xg(0)0， 所以函數g(x)的最小值是0.,所以g(x)g(0)0；,0,答案,解析,典例 (2016南京模擬)已知函數 (a，b為常數，且a0，a1)在區間 ，0上有最大值3，最小值 ， 則a，b的值分別為_.,與指數函數、對數函數的單調性有關的問題，要對底數進行討論.,指數函數底數的討論,現場糾錯系列2,錯解展示,現場糾錯,糾錯心得,解析 令tx22x(x1)21， x0，1t0.,答案 2，2,返回,解析 令tx22x(x1)21， x ，0，t1，0. 若a1，函數f(x)at在1，0上為增函數，,若0a1，函數f(x)at在1，0上為減函數，,返回,課時作業,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.(2016蘇州模擬)設2x8y1，9y3x9，則xy的值為_.,答案,解析,27,2x8y123(y1)，x3y3， 9y3x932y，x92y， 解得x21，y6，xy27.,2.函數f(x)2|x1|的圖象是_.,答案,解析,|x1|0，f(x)1，排除、. 又x1時，|f(x)|min1，排除.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.已知a40.2，b0.40.2，c0.40.8，則a，b，c的大小關系為_.,由0.20.40.8，即bc. 又a40.2401，b0.40.2b，綜上，abc.,答案,解析,abc,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.已知f(x)3xb(2x4，b為常數)的圖象經過點(2，1)，則f(x)的值域為_.,由f(x)過定點(2，1)可知b2， 因為f(x)3x2在2，4上是增函數， 所以f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.,答案,解析,1，9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.(2015山東改編)若函數f(x) 是奇函數，則使f(x)3成立的x的取值范圍為_.,答案,解析,(0，1),f(x)為奇函數，f(x)f(x)，,當x0時，2x10，2x132x3，解得0x1； 當x0時，2x10，2x132x3，無解.,x的取值范圍為(0，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2016浙江改編)已知函數f(x)滿足f(x)2x，xR.若f(a)2b，則a，b的大小關系為_.,依題意得f(a)2a， 若f(a)2b，則2af(a)2b，2a2b， 又y2x是R上的增函數，ab.,答案,解析,ab,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.設函數f(x) 則使得f(x)2成立的x的取值范圍是_.,當x1時，由ex12得x1ln 2， x1時恒成立； 當x1時，由 2得x8，1x8. 綜上，符合題意的x的取值范圍是x8.,答案,解析,(，8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.若直線y2a與函數y|ax1|(a0且a1)的圖象有兩個公共點，則a的 取值范圍是_.,(數形結合法) 由圖象可知02a1，0a .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.(2016鎮江模擬)已知yf(x)是定義在R上的奇函數且當x0時，f(x) ，則此函數的值域為_.,答案,解析,yf(x)是定義在R上的奇函數，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.已知函數f(x)2ax2(a為常數)， (1)求函數f(x)的定義域；,函數f(x)2ax2對任意實數都有意義， 所以定義域為實數集R.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若a0，試證明函數f(x)在R上是增函數；,任取x1，x2R，且x10，得ax12ax22. 因為y2x在R上是增函數， 所以有 ， 即f(x1)f(x2). 所以函數f(x)在R上是增函數.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(3)當a1時，求函數yf(x)，x(1，3的值域.,由(2)知， 當a1時，f(x)2x2在(1，3上是增函數. 所以f(1)f(x)f(3)， 即2f(x)32. 所以函數f(x)的值域為(2，32.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.已知函數f(x)( )|x|a. (1)求f(x)的單調區間；,解答,令t|x|a，則f(x)( )t， 不論a取何值，t在(，0上單調遞減， 在0，)上單調遞增， 又y( )t是單調遞減的， 因此f(x)的單調遞增區間是(，0， 單調遞減區間是0，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若f(x)的最大值等于 ，求a的值.,解答,所以g(x)|x|a應該有最小值2，即g(0)2， 從而a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.已知函數f(x) . (1)若a1，求f(x)的單調區間；,解答,當a1時，f(x) ，,令tx24x3，,由于函數tx24x3在(，2)上單調遞增，,在(2，)上單調遞減，而y t 在R上單調遞減，,所以f(x)在(，2)上單調遞減，在(2，)上單調遞增， 即函數f(x)的單調遞增區間是(2，)， 單調遞減區間是(，2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若f(x)有最大值3，求a的值.,解答,令g(x)ax24x3，則f(x) g(x)，,由于f(x)有最大值3，所以g(x)應有最小值1，,即當f(x)有最大值3時，a的值為1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若函數f(x)的最小值是1，求實數的值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由(1)得g(t)t22t3,(t)232( t2)，,當 2時，g(t)ming()23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,當2時，g(t)ming(2)47，,令471，得 2，不符合舍去.,綜上所述，實