高等數學基礎歸類復習一、單項選擇題1-1下列各函數對中，（ C ）中的兩個函數相等 A. ， B. ， C.， D. ，1-設函數的定義域為，則函數的圖形關于（C ）對稱A. 坐標原點 B. 軸 C. 軸 D. 設函數的定義域為，則函數的圖形關于（D ）對稱A. B. 軸 C. 軸 D. 坐標原點.函數的圖形關于（ A ）對稱(A) 坐標原點 (B) 軸 (C) 軸 (D) 1-下列函數中為奇函數是（ B ）A. B. C. D. 下列函數中為奇函數是（A ）A. B. C. D. 下列函數中為偶函數的是（ D ）A B C D 2-1 下列極限存計算不正確的是（ D ） A. B. C. D. 2-2當時，變量（ C ）是無窮小量A. B. C. D. 當時，變量（ C ）是無窮小量A B C D .當時，變量（D ）是無窮小量A B C D 下列變量中，是無窮小量的為（ B ） A B C D.3-1設在點x=1處可導，則（ D ）A. B. C. D. 設在可導，則（ D ）A B C D 設在可導，則（ D ）A. B. C. D. 設，則（ A ） A B. C. D. 3-2. 下列等式不成立的是（D ）A. B C. D.下列等式中正確的是（B ）A. B. C. D.4-1函數的單調增加區間是（ D ） A. B. C. D. 函數在區間內滿足（A ） A. 先單調下降再單調上升 B. 單調下降 C. 先單調上升再單調下降 D. 單調上升.函數在區間（5，5）內滿足（ A ）A 先單調下降再單調上升 B 單調下降 C先單調上升再單調下降 D 單調上升. 函數在區間內滿足（D ）A. 先單調下降再單調上升 B. 單調下降 C. 先單調上升再單調下降 D. 單調上升5-1若的一個原函數是，則（D ） A. B. C. D. .若是 的一個原函數，則下列等式成立的是（ A ）。 A B C D5-2若，則（ B ） A. B. C. D. 下列等式成立的是（D ） A. B. C. D. （ B ） A. B. C. D. （ D ） A B C D -3若，則（ B ） A. B. C. D. 補充： , 無窮積分收斂的是 函數的圖形關于 y 軸 對稱。二、填空題函數的定義域是（3，+） 函數的定義域是 （2，3） （3，4 函數的定義域是（5，2）若函數，則 1 2若函數，在處連續，則e .函數在處連續，則 2 函數的間斷點是x=0 函數的間斷點是 x=3 。函數的間斷點是 x=0 3-曲線在處的切線斜率是1/2 曲線在處的切線斜率是 1/4 曲線在（0，2）處的切線斜率是 1 .曲線在處的切線斜率是 3 3-2 曲線在處的切線方程是y = 1 切線斜率是 0 曲線y = sinx 在點 (0,0)處的切線方程為 y = x 切線斜率是 1 4.函數的單調減少區間是（，0 ） 函數的單調增加區間是（0，+） .函數的單調減少區間是 （，1 ） .函數的單調增加區間是 （0，+） 函數的單調減少區間是 （0，+） 5-1 . tan x +C 若，則9 sin 3x 5-2 3 0 0 下列積分計算正確的是（ B ）A B C D 三、計算題（一）、計算極限（1小題，11分）（1）利用極限的四則運算法則，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用連續函數性質：有定義，則極限類型1： 利用重要極限 ， ， 計算1-1求 解： 1-2 求 解： 1-3 求 解：=類型2： 因式分解并利用重要極限 ， 化簡計算。2-1求 解： =2-2 解： 2-3 解： 類型3：因式分解并消去零因子，再計算極限3-1 解： =3-2 3-3 解 其他： ， ， （0807考題）計算 解： =（0801考題. ）計算 解 （0707考題.）= （二） 求函數的導數和微分（1小題，11分）（1）利用導數的四則運算法則 （2）利用導數基本公式和復合函數求導公式 類型1：加減法與乘法混合運算的求導，先加減求導，后乘法求導；括號求導最后計算。1-1 解：1-2 解：1-3 設，求解： 類型2：加減法與復合函數混合運算的求導，先加減求導，后復合求導2-1 ，求 解：2-2 ，求 解：2-3 ，求， 解：類型3： 乘積與復合函數混合運算的求導，先乘積求導，后復合求導，求 。 解：其他：，求。 解：0807.設，求 解：0801.設，求 解：0707.設，求 解：0701.設，求 解：（三）積分計算：（2小題，共22分）湊微分類型1： 計算 解：0707.計算 解： 0701計算 解： 湊微分類型2：.計算 解： 0807.計算 解：0801.計算 解： 湊微分類型3：， 計算 解：.計算 解： 5 定積分計算題，分部積分法類型1：計算 解： ， 計算 解： ， 計算 解：，=0807 0707 類型2 （0801考題） 類型3： 四、應用題（1題，16分）類型1： 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為l，問當底半徑與高分別為多少時，圓柱體的體積最大？l解：如圖所示，圓柱體高與底半徑滿足 圓柱體的體積公式為 求導并令 得，并由此解出即當底半徑，高時，圓柱體的體積最大類型2：已知體積或容積，求表面積最小時的尺寸。2-1（0801考題） 某制罐廠要生產一種體積為V的有蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最省？解：設容器的底半徑為，高為，則其容積表面積為， 由得，此時。由實際問題可知，當底半徑與高 時可使用料最省。一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最小？ 解： 本題的解法和結果與2-1完全相同。生產一種體積為V的無蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最省？ 解：設容器的底半徑為，高為，則無蓋圓柱形容器表面積為 ，令 ， 得 ，由實際問題可知，當底半徑與高 時可使用料最省。2-2欲做一個底為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？（0707考題）解： 設底邊的邊長為，高為，用材料為，由已知，表面積 ，令，得， 此時=2由實際問題可知，是函數的極小值點，所以當，時用料最省。欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？ 解： 本題的解法與2-2同，只需把V=62.5 代入即可。類型3 求求曲線上的點，使其到點的距離最短曲線上的點到點的距離平方為 ， 3-1在拋物線上求一點，使其與軸上的點的距離最短 解：設所求點P（x，y），則滿足 ，點P 到點A 的距離之平方為令，解得是唯一駐點，易知是函數的極小值點，當時，或，所以滿足條件的有兩個點（1，2）和（1，2）3-2求曲線上的點，使其到點的距離最短解：曲線上的點到點A（2，0） 的距離之平方為令，得， 由此， 即曲線上的點（1，）和（1，）到點A（2，0）的距離最短。08074 求曲線上的點，使其到點A（0，2）的距離最短。解： 曲線上的點到點A（0，2）的距離公式為 與在同一點取到最大值，為計算方便求的最大值點， 令 得，并由此解出，即曲線上的點（）和點（）到點A（0，2）的距離最短高等數學（1）學習輔導(一)第一章 函數理解函數的概念；掌握函數中符號f ( )的含義；了解函數的兩要素；會求函數的定義域及函數值；會判斷兩個函數是否相等。兩個函數相等的充分必要條件是定義域相等且對應關系相同。了解函數的主要性質，即單調性、奇偶性、有界性和周期性。若對任意，有，則稱為偶函數，偶函數的圖形關于軸對稱。若對任意，有，則稱為奇函數，奇函數的圖形關于原點對稱。掌握奇偶函數的判別方法。掌握單調函數、有界函數及周期函數的圖形特點。熟練掌握基本初等函數的解析表達式、定義域、主要性質和圖形。基本初等函數是指以下幾種類型： 常數函數： 冪函數： 指數函數： 對數函數： 三角函數： 反三角函數：了解復合函數、初等函數的概念，會把一個復合函數分解成較簡單的函數。如函數可以分解，。分解后的函數前三個都是基本初等函數，而第四個函數是常數函數和冪函數的和。會列簡單的應用問題的函數關系式。例題選解一、填空題設，則。解：設，則，得故。函數的定義域是。解：對函數的第一項，要求且，即且；對函數的第二項，要求，即。取公共部分，得函數定義域為。函數的定義域為，則的定義域是。解：要使有意義，必須使，由此得定義域為。函數的定義域為 。解：要使有意義，必須滿足且，即成立，解不等式方程組，得出，故得出函數的定義域為。設，則函數的圖形關于對稱。解：的定義域為 ，且有即是偶函數，故圖形關于軸對稱。二、單項選擇題下列各對函數中，（）是相同的。A.；B.；C.；D.解：A中兩函數的對應關系不同, ， B, D三個選項中的每對函數的定義域都不同，所以A B, D都不是正確的選項；而選項C中的函數定義域相等，且對應關系相同，故選項C正確。設函數的定義域為，則函數的圖形關于（）對稱。A.yx；B.x軸；C.y軸；D.坐標原點解：設，則對任意有即是奇函數，故圖形關于原點對稱。選項D正確。 3設函數的定義域是全體實數，則函數是（）A.單調減函數； B.有界函數；C.偶函數； D.周期函數解：A, B, D三個選項都不一定滿足。設，則對任意有即是偶函數，故選項C正確。函數（ ） A.是奇函數； B. 是偶函數；C.既奇函數又是偶函數； D.是非奇非偶函數。解：利用奇偶函數的定義進行驗證。 所以B正確。若函數，則（ ） A.； B. ；C.； D. 。解：因為所以則，故選項B正確。第二章 極限與連續知道數列極限的“”定義；了解函數極限的描述性定義。理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運算性質及其與無窮大量的關系；知道無窮小量的比較。無窮小量的運算性質主要有： 有限個無窮小量的代數和是無窮小量； 有限個無窮小量的乘積是無窮小量； 無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。熟練掌握極限的計算方法：包括極限的四則運算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運算性質，有理化根式，兩個重要極限，函數的連續性等方法。求極限有幾種典型的類型（1）（2）（3）熟練掌握兩個重要極限：（或）重要極限的一般形式：（或）利用兩個重要極限求極限，往往需要作適當的變換，將所求極限的函數變形為重要極限或重要極限的擴展形式，再利用重要極限的結論和極限的四則運算法則，如理解函數連續性的定義；會判斷函數在一點的連續性；會求函數的連續區間；了解函數間斷點的概念；會對函數的間斷點進行分類。間斷點的分類：已知點是的間斷點，若在點的左、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點；若在點的左、右極限有一個不存在，則稱為的第二類間斷點。理解連續函數的和、差、積、商（分母不為0）及復合仍是連續函數，初等函數在其定義域內連續的結論，知道閉區間上連續函數的幾個結論。典型例題解析一、填空題 極限。解：注意：（無窮小量乘以有界變量等于無窮小量），其中=1是第一個重要極限。函數的間斷點是。解：由是分段函數，是的分段點，考慮函數在處的連續性。因為 所以函數在處是間斷的，又在和都是連續的，故函數的間斷點是。設，則。解：，故函數的單調增加區間是。二、單項選擇題函數在點處（）A.有定義且有極限； B.無定義但有極限；C.有定義但無極限； D.無定義且無極限解：在點處沒有定義，但（無窮小量有界變量=無窮小量）故選項B正確。下列函數在指定的變化過程中，（）是無窮小量。A.； B.；C. ；D.解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以而A, C, D三個選項中的極限都不為0，故選項B正確。 三、計算應用題計算下列極限： （4） 解： = 題目所給極限式分子的最高次項為分母的最高次項為，由此得 （4）當時，分子、分母的極限均為0，所以不能用極限的除法法則。求解時先有理化根式在利用除法法則和第一個重要極限計算。 =2.設函數 問（1）為何值時，在處有極限存在？（2）為何值時，在處連續？解：（1）要在處有極限存在，即要成立。因為所以，當時，有成立，即時，函數在處有極限存在，又因為函數在某點處有極限與在該點處是否有定義無關，所以此時可以取任意值。（2）依函數連續的定義知，函數在某點處連續的充要條件是 于是有，即時函數在處連續。第三章 導數與微分 導數與微分這一章是我們課程的學習重點之一。在學習的時候要側重以下幾點：理解導數的概念；了解導數的幾何意義；會求曲線的切線和法線；會用定義計算簡單函數的導數；知道可導與連續的關系。在點處可導是指極限存在，且該點處的導數就是這個極限的值。導數的定義式還可寫成極限 函數在點處的導數的幾何意義是曲線上點處切線的斜率。曲線在點處的切線方程為函數在點可導，則在點連續。反之則不然，函數在點連續，在點不一定可導。了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。熟記導數基本公式，熟練掌握下列求導方法（1）導數的四則運算法則（2）復合函數求導法則（3）隱函數求導方法（4）對數求導方法（5）參數表示的函數的求導法正確的采用求導方法有助于我們的導數計算，如一般當函數表達式中有乘除關系或根式時，求導時采用取對數求導法，例如函數，求。在求導時直接用導數的除法法則是可以的，但是計算時會麻煩一些，而且容易出錯。如果我們把函數先進行變形，即 再用導數的加法法則計算其導數，于是有 這樣計算不但簡單而且不易出錯。又例如函數 ，求。顯然直接求導比較麻煩，可采用取對數求導法，將上式兩端取對數得兩端求導得整理后便可得若函數由參數方程的形式給出，則有導數公式能夠熟練地利用導數基本公式和導數的四則運算法則、復合函數的求導法則計算函數的導數，能夠利用隱函數求導法，取對數求導法，參數表示的函數的求函數的導數。熟練掌握微分運算法則微分四則運算法則與導數四則運算法則類似 一階微分形式的不變性微分的計算可以歸結為導數的計算，但要注意它們之間的不同之處，即函數的微分等于函數的導數與自變量微分的乘積。了解高階導數的概念；會求顯函數的二階導數。函數的高階高數即為函數的導數的導數。由此要求函數的二階導數就要先求函數的一階導數。要求函數的階導數就要先求函數的階導數。第三章 導數與微分典型例題選解一、填空題設函數在鄰近有定義，且，則。解： 故應填1。曲線在點（1，1）處切線的斜率是。解：由導數的幾何意義知，曲線在處切線的斜率是，即為函數在該點處的導數，于是故應填。設，則。解：，故故應填二、單項選擇題設函數，則（）。A.；B.2； C.4；D不存在解：因為，且，所以，即C正確。設，則（）。A.；B. ；C. ；D. 解：先要求出，再求。因為，由此得，所以即選項D正確。 3設函數，則（）A.0； B.1；C.2； D. 解：因為，其中的三項當時為0，所以故選項C正確。 4曲線在點（）處的切線斜率等于0。A.；B.；C.；D.解：，令得。而，故選項C正確。5 ，則（）。A.；B.；C.；D.解：故選項C正確。三、計算應用題設，求解：由導數四則運算法則和復合函數求導法則由此得設，其中為可微函數，求。解 = =求復合函數的導數時，要先搞清函數的復合構成，即復合函數是由哪些基本初等函數復合而成的，特別要分清復合函數的復合層次，然后由外層開始，逐層使用復合函數求導公式，一層一層求導，關鍵是不要遺漏，最后化簡。3.設函數由方程確定，求。解：方法一：等式兩端對求導得整理得方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端右端由此得整理得4.設函數由參數方程確定，求。 解：由參數求導法5設，求。解 第四章 導數的應用典型例題一、填空題1.函數的單調增加區間是.解：，當時.故函數的單調增加區間是.2.極限.解：由洛必達法則3.函數的極小值點為 。解：，令，解得駐點，又時，；時，所以是函數的極小值點。二、單選題1.函數 在區間上是（ ）A） 單調增加 B）單調減少 C）先單調增加再單調減少 D）先單調減少再單調增加解：選擇D，當時，；當時，；所以在區間上函數先單調減少再單調增加。2. 若函數滿足條件（ ），則在內至少存在一點，使得成立。 A）在內連續； B）在內可導； C）在內連續，在內可導； D）在內連續，在內可導。 解：選擇D。 由拉格朗日定理條件，函數在內連續，在內可導，所以選擇D正確。3. 滿足方程的點是函數的（ ）。A）極值點 B）拐點C）駐點 D）間斷點解：選擇C。依駐點定義，函數的駐點是使函數一階導數為零的點。4.設函數在內連續，且，則函數在處（ ）。A）取得極大值 B）取得極小值C）一定有拐點 D）可能有極值，也可能有拐點解：選擇D函數的一階導數為零，說明可能是函數的極值點；函數的二階導數為零，說明可能是函數的拐點，所以選擇D。三、解答題 1.計算題求函數的單調區間。解：函數的定義區間為，由于 令，解得，這樣可以將定義區間分成和兩個區間來討論。當時，；當是，。由此得出，函數在內單調遞減，在內單調增加。 2.應用題欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最省？解：設底邊邊長為，高為，所用材料為且 令得，且因為，所以為最小值.此時。于是以6米為底邊長，3米為高做長方體容器用料最省。3證明題：當時，證明不等式 證 設函數，因為在上連續可導，所以在上滿足拉格朗日中值定理條件，有公式可得 其中，即 又由于，有故有 兩邊同時取以為底的指數，有即 所以當時，有不等式 成立.第5章學習輔導（2）典型例題解析一、填空題曲線在任意一點處的切線斜率為，且曲線過點，則曲線方程為。解：，即曲線方程為。將點代入得，所求曲線方程為已知函數的一個原函數是，則。解： 已知是的一個原函數，那么。解：用湊微分法 二、單項選擇題設，則（）。A. ； B. ；C. ； D. 解：因故選項A正確 設是的一個原函數，則等式（）成立。A.；B.；C.；D.解：正確的等式關系是故選項D正確 設是的一個原函數，則（）。A. ； B. ；C. ； D. 解：由復合函數求導法則得 故選項C正確三、計算題計算下列積分：解：利用第一換元法 利用第二換元法，設， 計算下列積分：解：利用分部積分法 利用分部積分法 高等數學（1）第六章學習輔導 綜合練習題（一）單項選擇題 （1）下列式子中，正確的是（ ）。A. B. C. D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） A. B. C. D. (3) 下列廣義積分收斂的是（ ）。 A .B. C. D. (4) 若是上的連續偶函數，則 。A. B 0C D (5) 若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積( ).A. B. C. D. 答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。 解：（1）根據定積分定義及性質可知 A正確。 而 B不正確。在（0，1）區間內 C 不正確。 根據定積分定義可知，定積分值與函數及定積分的上、下限有關，而與積分變量的選取無關。 故D不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 A、C不正確。 由定積分定義知 B不正確。 D正確。 (3) A不正確。 B。不正確。 C。不正確。 DD正確（4）由課本344頁 （642）和345頁（643）知C。正確。（5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數減去在下面的函數 A正確。 （二） 填空題(1) (2) (3) 在區間上，曲線和軸所圍圖形的面積為_。 (4) (5) (a0 p0 )答案：解：（1） （2） （2） 所圍圖形的面積S=（3） 由定積分的幾何意義知: 定積分的值等于（4） y= 所圍圖形的面積（5） p1時 無窮積分發散。（三）計算下列定積分(1）(2）（3） （4） （5）答案：(1）(2）（3） （4） (5) （四）定積分應用 求由曲線,及直線所圍平面圖形的面積 x解：畫草圖 求交點 由 y=x, xy=1得x=1 .y=1y 2 y=2 y=x 0 xy=1 第七章綜合練習題（一）單項選擇題 1、若（ ）成立，則級數發散，其中 表示此級數的部分和。A、； B、單調上升；C、 D、不存在2、當條件（ ）成立時，級數一定發散。A、發散且收斂； B、發散；C、發散； D、和都發散。3、若正項級數收斂，則（ ）收斂。A、 B、C 、 D、4、若兩個正項級數、滿足，則結論（ ），是正確的。A、發散則發散； B、收斂則收斂；C、發散則收斂； D、收斂則發散。5、 若f(x)= , 則 = ( )。A、 B 、 C D、答案：1、D 2、A 3、B 4、A 5、C（二）填空題1、 當_時，幾何級數收斂。2、 級數是_級數。3、 若級數收斂，則級數_。4、 指數函數f(x