PAGEPAGE8第一章解三角形章末復習學習目標1.整合學問結構，進一步鞏固、深化所學學問.2.駕馭解三角形的基本類型，并能在幾何計算、測量應用中敏捷分解組合.3.能解決三角形與三角變換、平面對量的綜合問題．1．正弦定理及其推論設△ABC的外接圓半徑為R，則(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(4)在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB.2．余弦定理及其推論(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2<a2＋b2?C為銳角．3．三角形面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.4．應用舉例(1)測量距離問題；(2)測量高度問題；(3)測量角度問題.題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)若銳角△ABC的面積為10eq\r(3)，且AB＝5，AC＝8，則BC＝.答案7解析由題意知eq\f(1,2)×5×8×sinA＝10eq\r(3)，即sinA＝eq\f(\r(3),2)，又△ABC為銳角三角形，所以A＝60°，cosA＝eq\f(1,2)，所以BC＝eq\r(52＋82－2×5×8×\f(1,2))＝7.(2)已知△ABC中，若cosB＝eq\f(3,5)，C＝eq\f(π,4)，BC＝2，則△ABC的面積為．答案eq\f(8,7)反思感悟利用正弦、余弦定理尋求三角形各元素之間的關系來解決三角形及其面積問題．跟蹤訓練1(1)在△ABC中，∠A＝45°，AB＝1，AC＝2，則S△ABC的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D．2eq\r(3)答案B(2)已知銳角△ABC的面積為3，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為()A．75°B．60°C．45°D．30°答案D解析S＝eq\f(1,2)BC·AC·sinC＝eq\f(1,2)×4×3×sinC＝3，∴sinC＝eq\f(1,2)，∵三角形為銳角三角形．∴C＝30°.題型二幾何計算例2如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，則ED＝.答案eq\f(\r(21),2)解析在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝eq\r(3)，所以∠BAC＝60°.因為BE⊥AC，AB＝eq\r(3)，所以AE＝eq\f(\r(3),2).在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝eq\f(3,4)＋9－2×eq\f(\r(3),2)×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(21,4)，故ED＝eq\f(\r(21),2).反思感悟正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運算是解題要點，擅長應用正弦定理、余弦定理，只需通過解三角形，一般問題便能很快解決．跟蹤訓練2在△ABC中，∠B＝120°，AB＝eq\r(2)，∠A的平分線AD＝eq\r(3)，則AC等于()A．1B．2C.eq\r(6)D．2eq\r(2)答案C解析如圖，在△ABD中，由正弦定理，得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴sin∠ADB＝eq\f(\r(2),2).由題意知0°<∠ADB<60°，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，BC＝AB＝eq\r(2).在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，∴AC＝eq\r(6).題型三實際應用例3如圖，已知在東西走向上有AM，BN兩個放射塔，且AM＝100m，BN＝200m，一測量車在塔底M的正南方向的點P處測得放射塔頂A的仰角為30°，該測量車向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)m后到達點Q，在點Q處測得放射塔頂B的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經計算，tanθ＝2，求兩放射塔頂A，B之間的距離．解在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100m，所以PM＝100eq\r(3)m，連接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100eq\r(3)m，所以△PQM為等邊三角形，所以QM＝100eq\r(3)m.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200m.在Rt△BNQ中，因為tanθ＝2，BN＝200m，所以BQ＝100eq\r(5)m，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ，所以BA＝100eq\r(5)m.故兩放射塔頂A，B之間的距離是100eq\r(5)m.反思感悟實際應用問題的解決過程實質上就是抽象成幾何計算模型，在此過程中留意術語如“北偏西60°”、“仰角”的精確翻譯，并轉換為解三角形所需邊、角元素．跟蹤訓練3如圖，從無人機A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時無人機的高是60m，則河流的寬度BC等于()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m答案C解析如圖，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60eq\r(3)(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－eq\r(3))(m)．所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．故選C.題型四三角形中的綜合問題例4a，b，c分別是銳角△ABC的內角A，B，C的對邊，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p∥q，已知a＝eq\r(7)，△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，求b，c的大小．解p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，又p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)·(sinA－cosA)＝0，即4sin2A－3＝0，又∠A為銳角，則sinA＝eq\f(\r(3),2)，∠A＝60°，∵△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，∴eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3),2)，即bc＝6，①又a＝eq\r(7)，∴7＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝13，②①②聯立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3.))反思感悟解三角形綜合問題的方法(1)三角形中的綜合應用問題經常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等學問聯系在一起，要留意選擇合適的方法、學問進行求解．(2)解三角形常與向量、三角函數及三角恒等變換學問綜合考查，解答此類題目，首先要正確應用所學學問“翻譯”題目條件，然后依據題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解．跟蹤訓練4在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，4sin2eq\f(B＋C,2)－cos2A＝eq\f(7,2).(1)求A的度數；(2)若a＝eq\r(3)，b＋c＝3，求b和c的值．解(1)由4sin2eq\f(B＋C,2)－cos2A＝eq\f(7,2)及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝eq\f(7,2)，4(1＋cosA)－4cos2A＝5，即4cos2A－4cosA＋1＝0，∴(2cosA－1)2＝0，解得cosA＝eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝60°.(2)由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).∵cosA＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，化簡并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，將a＝eq\r(3)，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝3，,bc＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝1.))

1．若△ABC的周長等于20，面積是10eq\r(3)，A＝60°，則角A的對邊長為()A．5B．6C．7D．8答案C解析設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∵a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，即b2＋c2＋2bc＝400＋a2－40a，∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc，①又cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∴b2＋c2－a2＝bc.②又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝10eq\r(3)，∴bc＝40.③由①②③可知a＝7.2．在△ABC中，已知cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，則c＝.答案eq\f(14,5)解析在△ABC中，∵cosA＝eq\f(3,5)>0，∴sinA＝eq\f(4,5).∵cosB＝eq\f(5,13)>0，∴sinB＝eq\f(12,13).∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(56,65).由正弦定理知eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(3×\f(56,65),\f(12,13))＝eq\f(14,5).3．在△ABC中，coseq\f(A,2)＝eq\r(\f(1＋cosB,2))，推斷△ABC的形態．解由已知得cos2eq\f(A,2)＝eq\f(1＋cosB,2)，∴2cos2eq\f(A,2)－1＝cosB，∴cosA＝cosB，又0<A<π，0<B<π，∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形．4．設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))的值．解(1)因為A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理得a＝2b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac).因為b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2eq\r(3).(2)由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋1－12,6)＝－eq