/廣東省揭陽市2023?2024學年高一下學期教學質量測試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則的虛部為（

）A． B． C． D．72．已知由小到大排列的4個數據的極差是它們中位數的2倍，則（

）A．5 B．6 C．7 D．83．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在平行四邊形中，點滿足，則（

）A． B．C． D．5．已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．中國南北朝時期數學家?天文學家祖沖之?祖暅父子總結了魏晉時期著名數學家劉徽的有關工作，提出“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.詳細點說就是，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.如圖，一個上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為的正六棱臺與一個不規則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規則幾何體的體積為（

）A．24 B． C． D．7．已知，則（

）A． B．C． D．8．在中，內角的對邊分別為，已知的平分線交于點，且，則的最小值是（

）A．4 B．6 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，則（

）A． B．C．在上的投影向量的模為 D．與的夾角為鈍角10．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于點成中心對稱C．在區間上單調遞增D．若的圖象關于直線對稱，則11．已知函數的定義域為，且，若，則（

）A． B．C．有最大值 D．函數是奇函數三、填空題（本大題共3小題）12．已知集合，則的所有元素之和為.13．若函數的值域為，則實數的取值范圍為.14．一個三棱錐形木料，其中底面是的等腰直角三角形，底面，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內角所對的邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求.16．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面.(1)設分別為的中點，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正切值.17．某校舉辦“奮進新征程，建功新時代”知識能力測評，共有1000名學生參加，隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成4組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)用分層隨機抽樣的方法從這兩個區間共抽取5名學生，則每個區間分別應抽取多少人？(2)在（1）的條件下，該校決定在這5名學生中隨機抽取2名依次進行交流分享，求第二個交流分享的學生成績在區間的概率；(3)現需根據學生成績制定評價標準，評定成績較高的前70%的學生為良好，請根據頻率分布直方圖估計良好的最低分數線.（精確到1）18．已知是定義域上的奇函數，且.(1)求的解析式；(2)判斷并用定義證明在區間上的單調性；(3)設函數，若對任意的，，求實數的最小值.19．“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出的，該問題是“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小."意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：已知的內角所對的邊分別為，且.(1)求；(2)設點為的費馬點，若，求的最小值；(3)設點為的費馬點，，求實數的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】，則其虛部為，故選：B.2．【答案】D【詳解】由小到大排列的4個數據1，3，4，，則，這4個數據的極差為，中位數為，因為這4個數據的極差是它們中位數的2倍，所以，解得．故選：D.3．【答案】A【詳解】由，則，故充分性成立，由，則，無法推出，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A4．【答案】C【詳解】因為為平行四邊形，則有，∴.故選：C.5．【答案】A【詳解】由于二次函數的二次項系數為正數，對稱軸為直線，其對稱軸左側的圖象是下降的，∴，故，因此，實數的取值范圍是.故選：A.6．【答案】D【詳解】由祖暅原理，該不規則幾何體體積與正六棱臺體積相等，設該正六棱臺的上下底面積分別為，高為，則，，，故.故選：D7．【答案】C【詳解】構造函數，，所以，，因為均為上增函數，則函數，為增函數.函數，與函數的圖象，如下圖所示：由圖可知，.又，，所以.綜上，.故選：C8．【答案】D【詳解】，由正弦定理得，因為，所以，故，如圖所示，則的面積為，即，因為，．．當且僅當，結合得時等號成立，所以，的最小值為．故選：D．9．【答案】AC【詳解】A：由題意可得，故A正確；B：因為，所以，故B錯誤；C：在上的投影向量的模為，故C正確；D：與的夾角的余弦值為，所以夾角不是鈍角，故D錯誤；故選：AC.10．【答案】BCD【詳解】對A，由，最小正周期，A錯；對B，由，即是對稱中心，B對；對C，由，則，顯然在區間上單調遞增，C對；對D，由題意，故，D對.故選：BCD.11．【答案】ABD【詳解】對于A：因為且，令，則，解得，令，則，令，，則，解得，故A正確；對于B：令，可得，即，所以，故B正確；對于C：令，且，則，可得，若時，時，，此時函數為單調遞增函數；若時，時，，此時函數為單調遞減函數，所以函數不一定有最大值，故C錯誤；對于D：令，可得，可得，即，所以函數是奇函數，故D正確；故選：ABD.12．【答案】【詳解】由題知，，所以，所以的所有元素之和為.故答案為：.13．【答案】【詳解】當時，，此時，因為函數的值域為，所以當時，有恒成立，即在時恒成立，所以，解得.故答案為：.14．【答案】【詳解】由是的等腰直角三角形，取的中點為，則，又因為底面，底面，所以，，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，即就是二面角的平面角，因為二面角的大小為，所以，又因為，，所以，由于這個四面體是直角四面體，它可以補形為一個長方體，從而可得它的外接球半徑滿足：則三棱錐的外接球表面積為：故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由余弦定理，因為，所以.（2）因為，由正弦定理可得，所以，所以，所以.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，因為底面為平行四邊形，為的中點，所以，且為的中點，由為的中點，所以，又平面，平面，所以平面；（2）取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，連接，所以為直線與平面所成角，因為為等邊三角形，，所以，又平面，故，在中，因為，所以，所以，所以直線與平面所成角的正切值為.17．【答案】(1)依次抽取人、人(2)(3)【詳解】（1）依題意，設區間中應抽人，區間中應抽人，得成績在區間樣本中的學生人數為：；成績在區間樣本中的學生人數為：；所以，解得，所以區間中應抽人，區間中應抽人.（2）由（1）得，不妨記區間中人為，區間中人為，則從中抽取2名學生（注意分先后）的基本事件為共20件，其中第二個交流分享的學生成績在區間[90,100]（記為事件）的基本事件為共12件，故，即第二個交流分享的學生成績在區間的概率為.（3）由頻率分布直方圖易得，的頻率為，的頻率為，所以成績良好的最低分數線落在區間中，不妨記為，故，解得，所以成績良好的最低分數線為.18．【答案】(1)(2)函數在上單調遞減，在上單調遞增，證明見解析(3)【詳解】（1）因為是定義域上的奇函數，且，所以，所以，解得，即．經檢驗，是奇函數，滿足題意，所以.（2）函數在上單調遞減，在上單調遞增，證明如下：任取，且，則，當，且，則，，∴，∴，即，所以函數在上單調遞減．當，且，則，，∴，∴，即，所以函數在上單調遞增．（3）由題意知，令，則，由（2）可知函數在上單調遞減，∴，因為函數的對稱軸方程為，∴函數在上單調遞增，當時，取得最小值，；當時，取得最大值，．所以，，又因為對任意的，都有恒成立，∴，即，解得，又∵，所以的取值范圍是，則實數的最小值為．19．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為，又，所以，