北師版九年級數學下冊第二章綜合測試卷

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（母題：教材P30隨堂練習T。下列函數是二次函數的是（）

14

A.y=3x2+9B.y=2x-3C.y=2x2+~~2D.

2.（母題：教材P58復習題T2（3））拋物線y=（x+l）2—1的頂點坐標是（）

A.（1,-1）B.（-1,-1）C.（1,1）D.（-1,1）

3.[2022.蘭州]已知二次函數丁=2——4x+5,當函數值y隨x值的增大而增大時，

x的取值范圍是（）

A.x<lB.x>1C.x<2D.x>2

4.[2023?華南師大附中月考]如圖，二次函數丁=。（元+2）2+左的圖象與％軸交于A,

0）兩點，則下列說法正確的是（）

A.a<0

B.點A的坐標為（一4,0）\

C.當x<0時，y隨X的增大而減小X

D.圖象的對稱軸為直線x=—2

5.[2022?紹興]已知拋物線尸好十座的對稱軸為直線x=2,則關于x的方程％2+

mx=5的根是（）

A.Xi=0,%2=4B.xi=1,X2=5

C.xi=1,Xi=5D.xi=1,X2=5

6.（母題：教材P45習題T1】已知拋物線y=ax2+0x+c上的部分點的橫坐標x與

縱坐標y的對應值如下表：

A.拋物線y=ax2+》x+c的開口向下

B.當x<3時，y隨x的增大而增大

C.方程ax2-\-bx-\-c=0的根為0和2

D.當y>0時，x的取值范圍是0<x<2

1

7.[2023?瀘州]已知二次函數2依+3（其中x是自變量），當0<x<3時對應

的函數值y均為正數，則。的取值范圍為（）

A.0<G<1B.tz<—1或。>3

C.—3<。<0或0<a<3D.—lga<0或0<。<3

8.[2023?安徽]已知反比例函數厚0）在第一象限內的圖象與一次函數尸-%

+6的圖象如圖所示，則函數丁=必一法+左一1的圖象可能為（）

SV/\/\/\I

。1iABCD

9.[2023?河南實驗中學模擬]如圖，拋物線y=o?+fcv+c的對稱軸為直線x=l,

則下列結論中，錯誤的是（）

A.ac<0B.b2~^ac>Q

C.2a——Z?=0D.a——Z?+c=0

（第9題）（第10期）

10.[2023?大慶]如圖①，在平行四邊形A8CD中，ZABC=120°,已知點尸在邊

A3上，以lm/s的速度從點A向點3運動，點。在邊3c上，以小m/s的速度

從點3向點C運動.若點P,。同時出發，當點尸到達點3時，點Q恰好到

達點C處，此時兩點都停止運動.圖②是ABP。的面積y（n?）與點P的運動時

間f（s）之間的函數關系圖象（點M為圖象的最高點），則平行四邊形ABCD的面

積為（）

A.12m2B.125n?C.24m2D.24/n?

二、填空題（每題3分，共24分）

11.一個二次函數丁=0?+樂+。的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分

是上升的，那么這個二次函數的表達式可以是.

12.[2023?包頭]已知二次函數y=—af+2ax+3（a>0）,若點P（m,3）在該函數的

圖象上，且m#0,則m的值為.

13.已知點A（4,yi）,B（l,yi）,C（~3,*）在函數y=—3（%—2>+加（加為常數）的

圖象上，則>1,”，券的大小關系是（由小到大排列）.

14.[2023?蘇州中學月考]將拋物線先向右平移1個單位長度，再向下平移3

個單位長度后得到新的拋物線，則新拋物線對應的函數表達式是.

15.（母題：教材P53習題T2）拋物線y=N+6x+根與x軸只有一個公共點，則機的

值為____..

16.已知二次函數,=加+笈+<?（存0）的圖象如圖所示，則不等式加+。%+°>0

的解集是_____.

-AV

\|/

t?\：L

\ioT-

V

5rcx

(X16XI)（17JU）（第18題）

17.如圖，某大橋有一段拋物線形的拱梁，拋物線的表達式為丁二^/十笈.小強騎

自行車從拱梁一端。沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC,當小強騎自行車行

駛10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面

OC共需秒.

18.[2023?南京外國語學校月考]已知二次函數7=加+法+。（分0）圖象的對稱軸為

直線》=一1,部分圖象如圖所示，下列結論：①a"c>0；②廿一4ac>0；③4a+

00；④若/為任意實數，則有。一6層d+。；⑤當圖象經過點2）時，方程

3.

af+Ax+c—ZuO的兩根為xi,x2（xi<X2）,則XI+2X2=—].其中正確的結論有

.（填序號）

三、解答題（19題8分，20題10分，其余每題12分，共66分）

19.（母題：教材P43習題T。已知二次函數的圖象經過點（0,-4）,且當x=2時，

y有最大值一2.求該二次函數的表達式.

20.已知二次函數y=af(a于0)的圖象經過點(2,-1).

(1)求該函數表達式及對稱軸；

(2)試判斷點P(—1,2)是否在此函數的圖象上.

21.直播作為一種新的營銷方式，已經被越來越多的人所接受.近年來，許多特色

農產品隨著直播漫步“云端”，被銷售到全國各地.某農戶在直播間銷售一種成

本為10元/kg的農產品，經調查發現，該農產品每天的銷售量y(kg)與銷售單

價式元/kg)gio)滿足如圖所示的函數關系，設銷售這種農產品每天的利潤為

W(元).

(1)求W與x之間的函數關系式；

(2)若銷售單價不低于15元/kg,且每天至少銷售140kg時，求W的最大值.

22.如圖，一次函數丁=丘+6的圖象與二次函數丁=奴2的圖象交于點A(l,附和

點3(—2,4),與y軸交于點C

(1)求左,b,a的值;

⑵求“03的面積.

4

23.某課外科技活動小組研制了一種航模飛機，通過實驗，收集了飛機相對于出發

點的飛行水平距離式單位：m）、飛行高度y（單位：m）隨飛行時間/（單位：s）變

化的數據如表.

飛行時間t/s02468

飛行水平距離x/m010203040

飛行高度y/m022405464

探究發現：x與3y與/之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述.直

接寫出x關于。的函數解析式和y關于t的函數解析式（不要求寫出自變量的取

值范圍）.

問題解決：如圖，活動小組在水平安全線上A處設置一個高度可以變化的發射

平臺試飛該航模飛機.根據上面的探究發現解決下列問題.

（1）若發射平臺相對于安全線的高度為0m,求飛機落到安全線時飛行的水平距離;

（2）在安全線上設置回收區域MN,AM=125m,MN=5m.若飛機落到MN內（不

包括端點N）,求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍.

水平安全線

24.[2023?蘇州中學月考]已知拋物線y=—f+6x+c(c>0)過點C(—1,0),且與直

線y=7—2x只有一個交點.

(1)求拋物線的表達式.

(2)若直線>=—尤+3與拋物線相交于兩點AQi,yi),3(x2,則在拋物

線的對稱軸上是否存在點Q,使AAB。是等腰三角形？若存在，求出Q點坐標;

若不存在，說明理由.

6

答案

、1.A2.B3.B

4.D點撥：由題圖可知拋物線開口向上，故a>0,A錯誤；

?表達式為丁=。。+2)2+左，.?.該函數圖象的對稱軸為直線x=—2,D正確.

?."(—I,0),...A點坐標為(一3,0),故B錯誤；

由題圖可知當x<—2時，y隨x的增大而減小，故C錯誤.

故選D.

5.D6.C

7.D點撥：當。>0,/<0時，滿足當0<x<3時對應的函數值y均為正數，

.?./=(—202—4?x3<0,

解得0<。<3；

當a<0時，令x=0,則y=3,

二次函數的圖象與y軸的交點坐標為(0,3),

???二次函數圖象的對稱軸是直線x=—鬻=1，

當尤=3時，心0即可滿足條件，即9a—6o+3N0,

解得aN—1,—l<tz<0.

綜上，a的取值范圍為一lMz<0或0<aV3.

故選D.

8.A點撥：一次函數y=—x+5的圖象與y軸交于正半軸，則6>0；反比例函

數尸多勺圖象的一支位于第一象限，則Q0,

b

易知函數y=/—法+左一1的圖象開口向上，對稱軸為直線x=]>0.

由圖象可知，反比例函數丁=9與一次函數y=—x+6的圖象有兩個交點(1,k)

和(左，1),

-1-\-b=k.

：.b=k+l.

...對于函數y=x2—bx+k-l,

當x=l時，y=1—b+k-1=1-(左+1)+左一1=-1.

，函數Ox+左一1的圖象過點(1,-1).

?；反比例函數與Ji一次函數尸一x+6的圖象有兩個交點，

??.方程§=—x+6有兩個不相等的實數根.

即方程x2-bx+k=Q有兩個不相等的實數根.

A=bz—(k+L)2—4k-(k-1)2>0.

:.k—1^0.

...在丁=/一區+左一1中，當x=0時，y=左一件0.

函數y=f—法+左一1的圖象不過原點.

符合以上條件的只有A選項.故選A.

9.C點撥：A.由拋物線的開口向下知a<0,與y軸的交點在y軸的正半軸上，

可得c>0,因此ac<0,故本選項正確；

B.由拋物線與x軸有兩個交點，可得。2—4ac>0,故本選項正確；

b

C.由對稱軸為直線X=—五=1,得2a=—1),即2a+Z?=0,故本選項錯誤；

D.由對稱軸為直線x=l及拋物線過點(3,0),可得拋物線與x軸的另外一個

交點是(一1,0),將x=—1,y=0代入表達式，得a—6+c=0,故本選項正確.

故選C.

10.C點撥：如圖，過點尸作尸ELC5交底的延長線于點E,過點A作AfU

CB交CB的延長線于點F.

由題意可知AP=/m,3Q=小/m,AB:BC=1：y[3,

設貝PB=(a—t)m,

在R3P3E中，ZPBE=180°-ZABC=60°,

-J3

PE=￥(a—/)ni,

/.y=/x小機為-(〃—/)=

由二次函數圖象可知，函數圖象的頂點縱坐標為3,

〃、2

_L=1_，

y\~i6aP=3,

4x1

a2=16.

8

,.'a為正數，.*.a=4,.,.AB=4m,BC=44m.

在RtZkABR中，ZABF=60°,

：.AF=^x4=2y[3(m),

：.S°ABCD=3CXAR=45x2小=24(n?).

二、11.y=一—+1（答案不唯一）

12.2點撥：：點尸（機，3）在二次函數y=—af+2ax+3（a>0）的圖象上,

.*.3=—a"+2a"z+3.

-am（m-2）=Q,

解得m=2或機=0（舍去），

故答案為2.

1,

13.”勺1勺214.y=2（x—1）2—3

15.9點撥：由題意可得對于一元二次方程N+6x+機=0有兩個相等的實根,

4ac=0,即可得到關于機的方程，解出即可.

16.-l<x<317.36

18.②③④⑤點撥：???拋物線開口向上，

?.?拋物線的對稱軸為直線X=—1,即一或=—1，

:?Z?=2〃>0.

???拋物線與y軸的交點在x軸的下方，

/.c<0,

/.abc<0,①錯誤.

???拋物線與無軸有2個交點，

2

/.b~4ac>09②正確.

由題圖知％=1時，y>0,.,.a+b+c〉。，

?：b=2a,3a~\~c>0.

Va>0,/.4a-\~c>0,③正確.

;圖象的對稱軸為直線x=-L

?,?當％=—1時，y有最小值，

.\a-b+c^al2+bt+c（t為任意實數），

9

即a—bt<ar+b,④正確.

?當圖象經過點Q,2)時，方程OX2+加;+。-2=0的兩根為XI,X2(X1<X2),

.?.二次函數y=o?+fec+c的圖象與直線y=2的一個交點為2)

???拋物線的對稱軸為直線x=-L

???二次函數尸加十法+c的圖象與直線尸2的另一個交點為卜|,2),即

5_1

xi一_九2—5,

513

/.xi+2x2=一］+2x-=⑤正確.

其中正確的結論為②③④⑤.

三、19.解：???當x=2時，y有最大值一2,

.e?設所求的二次函數的表達式為2)2—2(〃邦).

???二次函數的圖象經過點(0,-4),

/.-4=〃(0—2戶一2,解得a——去

**y——2(x—2)2-2.

20.解：(1『,二次函數尸加(存0)的圖象經過點(2,—1),.Ma—1,?"=—；,

二次函數圖象的對稱軸為y軸.

k1

利

機

當1-

=-X-X=-4

???點P(—1,2)不在此函數圖象上.

21.解：(1)當10W爛20時，y=200,

止匕時W=(x-10)^=200(x-10)=200x-2000；

當x>20時，設y與x的函數關系式為y=kr+Z?.

?.?點(20,200),(25,180)在該函數圖象上，

20左+6=200,優=—4,

1解得，

〔25左+。=180,匕=280,

.*.y與x的函數關系式為y=-4x+280,

此時W=(X-10)V=(-4X+280)(X-10)=-4X2+320X-2800.

10

'200x—2000（10圣20）,

???W與x的函數關系式為W=<

、一4/+320X—2800（20位70）.

(2)由題可知，,

t-4x+280>140,

15<x<35.

①當15W芯20時，W=200x-2000,

此時W隨x的增大而增大，

.,.當X=20時，Wmax=2000；

②當20〈忘35時，卬=一41+320%—2800,

?.7=—4<0,其函數圖象的對稱軸為直線

320…

詬R_40,

???當立40時，W隨尤的增大而增大,

.,.當X=35時，Wmax=3500.

V3500>2000,

???W的最大值是3500.

22.解：(1)把點3(—2,4)的坐標代入中，得4=4°,.?“=1..?.二次函數的

表達式是丁=在

把點A(l,附的坐標代入中，得m=l,

/.A(l,1).

k+b=l,

把點A(l,1)和點3(—2,4)的坐標分別代入丁=入+人中，得,”解

[—2k+b=4,

k=-l,

得《

[b=2.

?k=—1,6=2.

(2)由(1)知一次函數的表達式為y=—x+2,令x=0,

則y=2,.*.C（0,2）.：.OC=2.

SAAOC=；0cli|=；x2xl=1,SABOC=；OC|—2|=；x2x2=2,

S^AOB=5AAOC+SABOC=1+2=3.

23.解：探究發現：x=5t,y=-^+nt.

問題解決：（1）依題意，得一gp+lZ/uO,

解得力=0（舍去），念=24,

當。=24時，x=120.

答：飛機落到安全線時飛行的水平距離為120m.

（2）設發射平臺相對于安全線的高度為“m,則飛機相對于安全線的飛行高度

y'=—^+12t+