2025年中考數學第一次模擬考試（廣西卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.2025的相反數是（）

1

A.B.2025C.-2025

20252025

2.保護環境，人人有責.下列四個圖形是生活中常見的垃圾回收標志，屬于中心對稱圖形的是（）

/\其他垃圾D.）（有害垃圾

A.廚余垃圾B.可回收物C.

3.截止目前，電影《哪吒之魔童鬧每》以111.7億元票房領跑2025年春節檔電影票房，其中數據111.7億

用科學記數法表示為（）

A.0.1117x10"B.11.17x10sC.111.7x10sD.1.117x10'°

4.下列運算正確的是（）

34n

A.a-a=aB.（叫:/Q-A-D./+/=/

5.把一塊含有45。角的三角尺與兩條長邊平行的直尺按如圖所示方式放置（直角頂點在直尺的一條邊

上）.若/2=25。，貝|N1=（）

A.50°B.60°C.70°D.65°

6.在一個不透明的盒子中裝有紅球和白球共50個，這些球除顏色外都相同.現從中隨機摸出一個球，記

下顏色后放回，搖勻再從中隨機摸出一個球...，通過大量重復試驗后發現摸出白球的頻率逐漸穩定在0.4,

則盒子中白球的個數最有可能是（）

A.10B.20C.30D.40

7.不等式x+2>4的解集在數軸上表示正確的是（）

A————11'>R，，，—I~c,1———?D—1——1——'——I——-

-10123-10123-10123-10123

8.若分式比f的值為0,則（）

x-2

A.x=±2B.x=2C.x=_2D.x=0或一2

fx+y=6

9.二元一次方程組:）的解是（）

[x-3y=-2

[x=-4fx=4（x=5（x=-5

A.B.C.D.

[y=-92[7=2[y=i[y=-^

2

10.對于反比例函數）=-，下列說法不正確的是（）

x

A.點（2,1）在它的圖象上B.它的圖象在第一、三象限

C.當x>0時，V隨x的增大而減小D.當x<-l時，y<-2

11.某超市1月份的營業額為100萬元，第一季度的營業額為>萬元，如果每月平均增長率為％,那么y

與X的函數關系式是（）

A.y=100（l+x）2B.y=100+100x2xC.^=100+100x3xD.y=ioo[l+（l+x）+（l+x）[

第5題圖第12題圖

12.如圖，二次函數^="2+區+。的圖象關于直線x=l對稱，與X軸交于/國,。），3（3,0）兩點，若

2

-2<x,<-l,則下列四個結論：（1）3<X2<4@3a+2Z）>0（3）Z>>a+c+4ac@3b-c>0,正確結論的個數

為（）

A.1個B.2個C.3個D.0個

第n卷

二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）

13.若代數式函在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為.

14.學校舉辦了以“不負青春，強國有我”為主題的演講比賽.已知某位選手的演講內容、語言表達、舉止形

態這三項的得分分別為90分、85分、82分，若依次按照35%,40%,25%的比例確定成績，則該選手的

成績是分.

15.如圖，在RtZSZBC中，ZC=90°,/C=l,點。是8c上一點，B.ZG4D=ZB,tanZBAD=~,則C￡）

2

的長為

16.如圖，在平面直角坐標系中，按如圖所示放置正方形。岱C,。為。4上一點，其坐標為（1,3）,將正方

形繞坐標原點。順時針旋轉，每秒旋轉90。，旋轉2025秒后點D的對應點坐標為

A

第15題圖第16題圖

三、解答題（本大題共7個小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本題滿分8分）計算：-『-3（獷一］

18.（本題滿分10分）先化簡，再求值：4a2b+3ab~+5ab—3^—a"b+ab^—Sab,其中a=—2,b———.

19.（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標系中，443c的三個頂點分別三個是/（4，0），鞏1，3）,

C（3,3）.

⑴把A48c繞原點。旋轉180°后得到對應的請畫出旋轉后的“5C；

（2）若點P為MBC的外心，請直接寫出點P的坐標.

第19題圖

20.(本題滿分10分)以人工智能、大數據、物聯網為基礎的技術創新促進了新業態蓬勃發展，新業態發展

對人才的需求更加旺盛.某大型科技公司上半年新招聘軟件、硬件、總線、測式四類專業的畢業生，現隨

機調查了m名新聘畢業生的專業情況，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖.請根據統計圖提供

的信息，解答下列問題.

A人數/名

25

20總線

1530%

10硬件

540%

0

軟件硬件總線測試專業類別、-----/

(1)m=,n=；

(2)請補全條形統計圖，并直接寫出這組數據的眾數；

(3)若該公司新招聘600名畢業生，請你估計總線專業的畢業生的人數.

21.(本題滿分10分)如圖，在A/8C中，AB=BC,以8C為直徑作。。，交4S于點。，交AB于點、E,

過點。作。尸，幺8于F.*一

⑴求證：DF是。。的切線；//\\

⑵若47=12,。。的半徑為5,求加'的長.為\)

AFE

第21題圖

22.(本題滿分12分)某商品的進價為每件30元.當售價為每件50元時，每星期可賣出80件.現需降價處

理，且經市場調查：每降價1元，每星期可多賣出10件.在確保盈利的前提下，解答下列問題：

(1)若設每件降價x元，每星期售出商品的利潤為y元，請寫山y與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的

取值范圍；

(2)當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？

23.（本題滿分12分）【綜合與實踐】

【實踐背景】在學習幾何變換旋轉知識的過程中，同學們對于由幾何變換引起幾何圖形的變化有了更深入

的了解，并對此產生濃厚的興趣.興趣小組同學決定利用手中的三角板進行各種變換操作，通過操作觀察

分析，發現并提出系列有趣的數學問題.

【實踐過程】如圖1,A48C是等腰直角三角形，且AC=BC,點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不

重合），連接CD,將CD繞點C逆時針旋轉90。得到CE,連接DE,BE.

【猜想證明】經過觀察分析，大家猜想A/CD與ABCE是全等的關系，請你說明理由.（1）求證：

△ACD蘭ABCE；

【拓展應用】

（2）繼續探究，作點C關于DE的對稱點F,連接DF,EF（如圖2）,若AC=4日

①求四邊形CDFE面積的最小值；

②請在圖2中連接BF,當BF=2時，直接寫出AD的長度.

第23題圖

2025年中考數學第一次模擬考試（廣西卷）

全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.2025的相反數是（）

A-/B.2025C.-2025D?一盛

1.C

【分析】本題主要考查了求一個數的相反數，只有符號不同的兩個數互為相反數，據此可得答案.

【詳解】解：2025的相反數是-2025,

故選：C.

2.保護環境，人人有責.下列四個圖形是生活中常見的垃圾回收標志，屬于中心對稱圖形的是（）

A.、匕廚余垃圾B.產、可回收物其他垃圾D,，（有害垃圾

2.D

【分析】本題考查了中心對稱圖形的識別，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解題的關鍵：把一個圖形繞著

某一個點旋轉180。,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形稱為中心對稱圖形，這個點

就是它的對稱中心,中心對稱圖形是一種特殊的旋轉對稱圖形，常見的中心對稱圖形有：平行四邊形、矩

形、菱形、正方形、圓、線段、相交直線等.根據中心對稱圖形的概念逐項分析判斷即可得出答案.

【詳解】

解：A▼.廚余垃圾，不是中心對稱圖形,故選項A不符合題意;

B.?八■可回收物，不是中心對稱圖形,故選項B不符合題意;

C.其他垃圾，不是中心對稱圖形，故選項C不符合題意;

z\是中心對稱圖形,故選項D符合題意;

故選：D.

3.截止目前，電影《哪吒之魔童鬧每》以111.7億元票房領跑2025年春節檔電影票房，其中數據111.7億

用科學記數法表示為()

A.0.1117X1011B.11.17xl09C.111.7x10sD.1.117xlO10

3.D

【分析】本題考查用科學記數法表示較大的數.科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其中1V忖＜1°，

〃為整數.確定〃的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，"的絕對值與小數點移動的位數相

同.

【詳解】解：數據111.7億用科學記數法表示為1.117x101°.

故選：D.

4.下列運算正確的是()

342662341

A.a-a=aB.(1)=ac.a=aD.a+a=a

4.B

【分析】本題主要考查同底數塞的乘除法，幕的乘方，合并同類項，掌握整式的混合運算法則是解題的關

鍵.

同底數暴的乘法，底數不變，指數相加；同底數累的除法，底數不變，指數相減；暴的乘方，底數不變，

指數相乘；合并同類項，底數相同，指數也相同，合并同類項時，字母及指數不變，系數相加或相減，由

此即可求解.

【詳解】解：A、故此選項不符合題意；

B、(/)'=/,故此選項符合題意；

C、a6^a3=a3,故此選項不符合題意；

D、/與/不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意；

故選：B.

5.把一塊含有45。角的三角尺與兩條長邊平行的直尺按如圖所示方式放置(直角頂點在直尺的一條邊

上).若/2=25。，則Nl=()

A.50°B.60°C.70°D.65°

5.C

【分析】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，掌握平行線的性質，三角形內角和定理的內容是

解題的關鍵.

根據三角板的性質得到/4BC=90。,//=ZC=45°，由直尺得到BD\\EF,則NAFE=ZABD=65。，在^AEF

中，由三角形內角和定理得到/Z+44尸E+/l=180。，由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，ZABC=90°,ZA=ZC=45°,BD\\EF,

ZABD=/ABC-/2=90。-25。=65°,

NAFE=NABD=65°,

在A/E尸中，/4+//FE+Zl=180°,

.?.21=180°-//尸￡-//=180°-65°-45°=70°,

故選：C.

6.在一個不透明的盒子中裝有紅球和白球共50個，這些球除顏色外都相同.現從中隨機摸出一個球，記

下顏色后放回，搖勻再從中隨機摸出一個球...，通過大量重復試驗后發現摸出白球的頻率逐漸穩定在04

則盒子中白球的個數最有可能是（）

A.10B.20C.30D.40

6.B

【分析】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并

且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似

值就是這個事件的概率.利用頻率估計概率可估計摸到白球的概率，然后求出這個口袋中白球的個數.

【詳解】解：利用頻率估計概率可得，摸到白球的概率為0.4,

則這個口袋中白球的個數最有可能是：50x0.4=20（個）.

故選：B.

7.不等式1+2>4的解集在數軸上表示正確的是（）

A———■——'——L一》R,I.—ICIIIII>D—11'!IA

^,-101230-10123^,-10123-10123

7.D

【分析】本題主要考查了解不等式并把解集在數軸上表示，熟練的掌握不等式的性質，會求不等式的解集,

是解題的關鍵.注意：“〉、<”在數軸上是空心小圓圈，"之、5’在數軸上是實心小圓點.

根據不等式的性質，求出不等式的解集，進而判定在數軸上表示正確選項即可.

【詳解】解：?.，x+2〉4

x>2.

在數軸上表示D選項是正確的.

故選：D.

8.若分式口的值為0,貝U（）

x-2

A.x=±2B.x=2C.x=_2D.x=0或一2

8.C

【分析】此題主要考查了分式的值為零的條件，熟練掌握分式的值為零的條件是解題的關鍵;

根據分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零得慟-2=0且x-2w0即可解答.

【詳解】解：由題意得：國-2=0且x-2w0,

解得：x=-2,

故選C.

fx+y=6

9.二元一次方程組；0的解是（）

[x-3y=-2

fx=-4fx=41x—5\x=-5

A.b=-2B.c.D.

b=2=-l

9.B

【分析】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法并靈活運用是解答的關鍵.利用用

加減消元法解方程組即可.

【詳,解】解A：[（x二+y「=6?2②’

①-②得：>=2,

把>=2代入①中得：x=4,

[x=4

???原方程組的解為C，

U=2

故選：B.

2

10.對于反比例函數y=4,下列說法不正確的是（）

X

A.點（2,1）在它的圖象上B.它的圖象在第一、三象限

C.當x〉0時，N隨X的增大而減小D.當x<-l時，><-2

10.D

【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質，根據反比例函數的圖象與性質逐一判斷即可，熟練掌

握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵.

【詳解】解：A、當x=2時，y=l,

???點（2,1）在它的圖象上，故原選項正確，不符合題意；

2_

B、由》=一可知，2〉0,

x

則它的圖象在第一、三象限，故原選項正確，不符合題意；

2_

C、由>=—可知，2>0,

x

.?.當x>o時，y隨x的增大而減小，故原選項正確，不符合題意；

D、當時，y>-2,故原選項錯誤，符合題意；

故選：D.

H.某超市1月份的營業額為io。萬元，第一季度的營業額為>萬元，如果每月平均增長率為％,那么v

與X的函數關系式是（）

A.j=100（l+x）2B.y=100+100x2xC.y=100+100x3xD.y=ioo[l+（l+x）+（l+x）[

第5題圖第12題圖

11.D

【分析】本題考查了二次函數的應用，根據題意正確列出二次函數解析式是解題的關鍵.

根據題意列出二次函數解析式即可.

【詳解】解：由題意得，了與x的函數解析式為y=ioo[i+（i+x）+（i+x）[,

故選：D.

12.如圖，二次函數丁="2+樂+。的圖象關于直線X=1對稱，與X軸交于4（40）,3（9,0）兩點，若

-2<xl<-l,則下列四個結論：①3<尤2<4②3a+26>0③〃>q+c+4ac④3b-c>0,正確結論的個數

為（）

A.1個B.2個C.3個D.0個

12.B

【分析】結合所給函數圖象，拋物線的開口方向、對稱性及二次函數與一元二次方程之間的關系對所給結

論進行依次判斷即可.

【詳解】解：,??二次函數y=af+6x+c的圖象關于直線x=l對稱，與x軸交于A,B兩點，

:.A,3兩點關于直線x=l對稱，

*.*—2<再<—1,

3<x2<4,

結論①正確；

???直線X=1是二次函數對稱軸，

二.--—=1,即b=—2a,

2a

3a+2b=3a-4a=-a,

由函數圖象可知，該二次函數開口向上，Q〉0,

/.3a+2b=-a<0,

「?結論②錯誤；

v該二次函數與1軸有兩個交點，

人2—4。。>0,

由圖可知，當工二一1時，丁<0,

即a+c<b,

b=-2a<0,

a+c<Q<b2-Aac,

BPb1>Q+c+4ac，

???結論③正確；

a-b+c<0,即3Q+C<0,

c<-3a,

,/b--2a,

:.b>c,即b—c〉O,

3b-c>2b,

*/Z）<0,

??.3b-c〉0不一定正確,

「?結論④錯誤；

綜上，正確結論為①③，共2個.

故選：B.

【點睛】本題考查的知識點是二次函數圖象與性質、二次函數的圖象與系數的關系、二次函數與一元二次

方程的關系，解題關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與系數的關系.

第n卷

二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）

13.若代數式Jx-2025在實數范圍內有意義,則x的取值范圍為.

13.x>2025

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據二次根式的被開方數為非負數，進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：x-2025>0,

解得：x22025；

故答案為：x22025

14.學校舉辦了以“不負青春，強國有我”為主題的演講比賽.已知某位選手的演講內容、語言表達、舉止形

態這三項的得分分別為90分、85分、82分，若依次按照35%,40%,25%的比例確定成績，則該選手的

成績是分.

14.86

【分析】本題考查了加權平均數的運用，熟練掌握加權平均數的計算方法.是解題的關鍵.若〃個數

再，x,叼…，5的權分別為嗎，叱，嗎，…，叱，則；\,〃"叫做這〃個數的加權平均數.

2“+叱+嗎+…+嗎

根據加權平均數的計算公式列出算式，進行計算即可得出答案.

90x35%+85x40%+82x25%31.5+34+20.5

【詳解】解:

35%+40%+25%

故答案為：86.

15.如圖，在RtZX/BC中，ZC=90°,/C=l,點。是8c上一點，S.ZCAD=ZB,tanZBAD=1,則C￡)

的長為

-1+V5

-2-

【分析】本題考查了解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理，解一元二次方程.作△/AD的外接圓。。，

作。。的直徑NE,作ONLa)于點N,利用圓周角定理求得/C4E=90。，證明四邊形NCNO是矩形，推

出CW=NC=1,利用垂徑定理結合圓周角定理求得NOON=N24D,求得BD=1,證明

利用相似三角形的性質求得CD2+CD-l=0,據此求解即可.

【詳解】解：作△48。的外接圓。。，作。。的直徑4E,作加18。于點"，連接OB,ED,如

圖，

AD=AD>

：.NE=ZABD,

???/E是。。的直徑，

ZADE=90°,

；./DAE+NE=90°,

???ACAD=ZABD,

■.ZCAD+ZE=90°,即ZCAE=90°,

■：ZC=90°,ON1BD,

.??四邊形/CNO是矩形，

.-.ON=AC=\,

；OD=OB,ON1BD,

BD=2DN=2BN,/DON=/BON=-/BOD=/BAD,

2

tsmZBAD=—,

2

/.tanZDON=-=~,

ON2

：.DN=~,

2

?*-BD=1,

?.,/CAD=/ABC,ZACD=ZBCA=90°,

???△ACDs^BCA,

ACCD1CD

???——=——，Rn即---=——，

BCACCD+\1

整理得CZ)2+CZ)—1=0,

解得CD=士@(負值己舍)，

2

故答案為：T+W

2

16.如圖，在平面直角坐標系中，按如圖所示放置正方形048C,。為。/上一點，其坐標為(1,3),將正方

形048C繞坐標原點。順時針旋轉，每秒旋轉90。，旋轉2025秒后點。的對應點坐標為

第15題圖第16題圖

16.(3,-1)

【分析】本題主要考查了點坐標規律的探索，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，正方形的性質，正

確找到旋轉2025秒后點。'的位置是解題的關鍵.根據旋轉4秒恰好旋轉360。，說明旋轉2025秒后點。'在

x軸下方，且4000=90。，再求出點。，的坐標即可.

【詳解】解：將正方形CM2C繞坐標原點。順時針旋轉，每秒旋轉90。，旋轉4秒恰好旋轉360。，

20254-4=506...1,

.?.點。在X軸下方，且2000=90。，

過點D作軸于點E,過點D作。戶_Lx軸于點F,

「點。坐標為(1,3),

0E=1,DE=3,

ADOE+ND'OF=ZDOE+ZODE=90°,

AD'OF=/ODE,

ZDEO=ZOFD'=90°,DO=D'O,

^DEO^OFD'(AAS),

...D'F=OE=1,OF=DE=3,

.??點。'(3,T),

故答案為：(3,-1).

三、解答題(本大題共7個小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本題滿分8分)計算：-12-1X[(-2)3^4]

17.-0.6

【分析】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

先算乘方，再算括號內，再算乘法，最后算加減即可解答.

【詳解】解：-12-1X[(-2)3^4]

5'7

=—1+0.4

=—0.6.

18.（本題滿分10分）先化簡，再求值：4a2b+3ab2+5ab—3^—a2b+ab1j—5ab,其中Q=—2,b=——.

18.7/6,-4

【分析】本題考查的知識點是整式的加減一化簡求值，解題關鍵是熟練掌握合并同類項法則.注意去括號

時符號的變化，原式去括號，再合并同類項進行化簡，最后將a、b的值代入計算即可.

【詳解】解：4/6+3ab2+Sab-3（^-a2b+ab1）一Sab,

=4a2b+3ab2+5ab+3a2b—3晶1-5ab，

=（4+3）a%+（3-3）ab?+（5-5）ab,

=7a2b,

a=-2,b=~—,

7

.??原式=7x（一2）2x=T.

19.（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標系中，入43c的三個頂點分別三個是幺（4,0）,5（1,3）,

C（3,3）.

（1）把AA8C繞原點。旋轉180°后得到對應的AN?C'，請畫出旋轉后的”0C;

（2）若點P為“BC的外心，請直接寫出點P的坐標

第19題圖

19.(1)見解析

(2)(2,1)

【分析】本題考查了旋轉的作圖，三角形的外心，掌握旋轉的作圖方法，以及三角形的外心是三邊垂直平

分線是交點，是解題的關鍵.

（1）連接N。,8。,。。并延長，使/O=HO,BO=8'O,CO=C'。，再依次連接點N',8',C'即可；

（2）找出2C,N8垂直平分線的交點，即可解答.

【詳解】（1）解：如圖1所示：AHQC即為所求；

圖1

（2）解：如圖2,點P為△4BC的外心,

圖2

?.?四邊形為正方形，

MN為AB的垂直平分線，

???8（1,3）,C（3,3）,

???BC的垂直平分線為直線x=2,

由圖可知，8c的垂直平分線與4B的垂直平分線相交于點（2,1）,

.?.點（2,1）為aABC外心,

點尸坐標為（2,1）.

故答案為：（2,1）.

20.(本題滿分10分)以人工智能、大數據、物聯網為基礎的技術創新促進了新業態蓬勃發展，新業態發展

對人才的需求更加旺盛.某大型科技公司上半年新招聘軟件、硬件、總線、測式四類專業的畢業生，現隨

機調查了m名新聘畢業生的專業情況,并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖.請根據統計圖提供

(2)請補全條形統計圖，并直接寫出這組數據的眾數；

(3)若該公司新招聘600名畢業生，請你估計總線專業的畢業生的人數.

20.(1)50,10

(2)這組數據的眾數為硬件，圖見解析

(3)180人

【分析】本題主要考查了扇形統計圖與條形統計圖信息相關聯，用樣本估計總體，正確讀懂統計圖是解題

的關鍵.

(1)用總線的人數除以其人數占比即可求出加，再用測試的人數除以總人數即可求出"；

(2)先求出硬件的人數，再補全統計圖即可；

(3)用600乘以樣本中總線的人數占比即可得到答案.

【詳解】(1)解：由題意得，7〃=15+30%=50,

=AxlOo%=io%,

50

n=10,

故答案為：50,10；

(2)解：由(1)得硬件的人數為50x40%=20(人)，

???補全統計圖如下所示：

人數/名

這組數據的眾數為硬件.

(3)解：600x30%=180(名),

.??估計“總線”專業的畢業生有180名.

21.(本題滿分10分)如圖，在A中，AB=BC,以5C為直徑作。。，交47于點D,交AB于點、E,

過點D作DF_L43于尸.

⑴求證：。歹是。。的切線；

⑵若47=12,。。的半徑為5,求的長.

第21題圖

21.⑴見解析

24

⑵二

【分析】(1)連接OD,貝UOO=OC,所以/ODC=/C,由=得/Z=/C,則=

所以則尸=//FD=90。，即可證明。尸是。。的切線；

(2)連接5Z),由3C是。。的直徑，。。的半徑為5,得45=50=10,NBDC=90。,貝!J

AD=CD=-AC=6,求得507-AD28，由=5x100^=5x6x8,即可求得。歹二行.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OD,則OD=OC,

.../ODC=/C,

?1-AB=BC,

/A=/C,

ZODC=,

:.OD\\AB,

:DF于點,F,

ZODF=ZAFD=90°,

,.?0。是。。的半徑，且。尸10口,

尸是G>O的切線.

(2)解：如圖，連接2D,

??,3C是。。的直徑，/C=12,。。的半徑為5,

r.A8=8C=2x5=10,ZBDC=90°,

BDLAC,

ZADB=90°,AD=CD=-AC=-x12=6,

22

BD=^AB2-AD2=7102-62=8，

e.*S■=—xlODF=—x6x8,

^ADL>22，

24

二.DF=——

5

??.Q尸的長是莖24.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、切線的判定定理、勾股定理、直徑所對的圓周角為直角、平

行線的判定和性質，根據面積等式求線段的長度等知識，熟練掌握其性質并能正確地作出輔助線是解決此

題的關鍵.

22.（本題滿分12分）某商品的進價為每件30元.當售價為每件50元時，每星期可賣出80件.現需降價處

理，且經市場調查：每降價1元，每星期可多賣出10件.在確保盈利的前提下，解答下列問題：

（1）若設每件降價x元，每星期售出商品的利潤為了元，請寫山y與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的

取值范圍；

（2）當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？

22.（l）y=-10x2+120x+1600（0<x<20）

（2）當降價6元時，每星期的利潤最大，為1960元

【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是找出等量關系和掌握二次函數的性質.

（1）根據總利潤=單件利潤x數量即可列出函數解析式，根據確保盈利列式求出x的取值范圍；

（2）根據二次函數的性質進行解答即可得.

【詳解】（1）解：根據題意可得y=（50-30-x）（80+10x）=T0x2+120x+1600,

???降價要確保盈利，

30<50-x<50,

解得：0<x<20,

y——10x2+120x+1600（0<x<20）；

（2）解：???=-10x2+120^+1600=-10（x-6）2+1960,

.?.當x=6時，了有最大值1960,

即當降價6元時，每星期的利潤最大，為1960元.

23.（本題滿分12分）【綜合與實踐】

【實踐背景】在學習幾何變換旋轉知識的過程中，同學們對于由幾何變換引起幾何圖形的變化有了更深入

的了解，并對此產生濃厚的興趣.興趣小組同學決定利用手中的三角板進行各種變換操作，通過操作觀察

分析，發現并提出系列有趣的數學問題.

【實踐過程】如圖1,兒48c是等腰直角三角形，且AC=BC,點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不

重合），連接CD,將CD繞點C逆時針旋轉90。得到CE,連接DE,BE.

【猜想證明】經過觀察分析，大家猜想A/CD與是全等的關系，請你說明理由.（1）求證：

AACD=ABCE；

【拓展應用】

（2）繼續探究，作點C關于DE的對稱點F,連接DF,EF（如圖2）,若4C=4啦.

①求四邊形CDFE面積的最小值；

②請在圖2中連接BF,當BF=2時，直接寫出AD的長度.J.

第23題圖

23.（1）證明見解答過程；（2）①16；②4-夜

【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質得乙4。8=90。,//=//3。=45。，根據旋轉的性質得

NDCE=90。,CD=CE,進而得/4CZ）=/8CE,由此可依據“S/S”判定A/CD和A2C￡全等；

（2）①過點C作于點打，連接C尸，先求出48=8,則C"=NH=2H=4,證明四邊形形

是正方形，得四邊形CDFE面積的為CD2,根據“垂線段最短”得CD4C",即當點。與點H重合時，CD為

最小，此時四邊形CDFE面積的為最小，由此即可