專題15分類討論甩想在五種題型中的應用

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一、等腰三角形的存在問題分類討論

i.假設結論成立；

2.找點：當所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：

①當定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧,

若所畫弧與坐標軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐

標軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；

②當定長為底邊時，根據尺規作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線

有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線無交點時，滿足條件的點

不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.

3.計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添

加輔線構造相似三角形，有時也可利用其角三角形的性質進行求解

題型二、直角三角形的存在問題分類討論

1.設出所求點的坐標，用變量表示出所求三角形三邊的長的平方的代數式，如本題，設點F（l,f）,

△BCF三邊長為：B戶=4+干,<7^=/+6^10,BC=18；

2.找點：根據直角頂點的不確定性，分情況討論：

①當定長（己知的兩個點連線所成的線段）為直角三角形的直邊時（如本題（4）中的邊BC）,分

別過定長的某一端點（B和C）做其垂線，與所求點滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對稱軸）有

交點時，此交點即為符合條件的點；

②當定長為直角角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所有點滿足條件的直線或拋物線有交

點時，此交點即為符合條件的點.

3.計算：把圖形中的點的坐標用含有自變量的代數式表示出來，從而表示出三角形各邊（表示線段

時，注意代數式的符號），再利用相似三角形得比例線段關系或利用勾股定理進行計算.

題型三、不等式（組）中的分類討論思想

分類討論思想在不等式（組）中主要體現在含有字母系數的一元一次不等式（組）的解法問題，在

求其解集時要對字母進行分類討論。

對含字母系數的不等式或不等式組，在求解時一定要注意字母系數的取值范圍，要進行分類討論。

題型四、方程（組）和函數中的分類討論思想

在函數問題中，分類有兩種情況：一種是對概念進行分類，一種是分情況討論問題，對概念進行分

類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對概念的理解與掌握；分情況討論問題，可以幫助我們全

面考察一個對象，得出可能的結論，也可以使問題更容易人手，分類思想方法對于中學生來是比較

難掌握的一種數學思想方法，在對概念進行分類時，往往把握不住標準，不能堅持用同一個標準進

行分類，出現“重”或"漏"的現象，從而容易導致錯誤的發生

題型五、圓中的分類討論思想

由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且具有旋轉不變性，因此有不少題目會出現多解問

題。這類題目重在考查同學們對基礎知識的掌握與運用情況，它有利于培養同學們嚴謹周密的邏輯

思維能力。如果解題時考慮不嚴密，理解不透切，形成思維定勢，就會漏解，從而造成錯誤。在圓

中解這類問題時，需要利用分類討論思想，在解題時可以多考慮將圓進行折疊或旋轉。

壓軸題預測

題型一、等腰三角形的存在問題分類討論

1.（2023?廣安）如圖，一次函數y=fcc+2（人為常數，左20）的圖象與反比例函數>（加為常數，加N0）

"4x

的圖象在第一象限交于點，與尤軸交于點8（-3,0）.

（1）求一次函數和反比例函數的解析式.

（2）點尸在無軸上，AASP是以至為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標.

2.（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線y=-d+bx+c與x軸交于點4（-1,0）、B,與y軸交于點C（0,3）,直

線,是拋物線的對稱軸.

（1）求拋物線的函數解析式;

（2）在對稱軸/上是否存在點使AM4c為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點M的坐標;

若不存在，請說明理由.

3.（2023?婺城區模擬）在矩形ABCD中，AB=4,AD=10,E是距上的一點，且北=2,又是直線

上一點，射線ME交直線CD于點尸，成?_1〃￡1交直線3。于點6,連結MG、FG,直線FG交直線4）于

點N.

（1）①當點〃為中點時，求正與EG的長;

②求貶的值.

FG

（2）若AEGN為等腰三角形時，求滿足條件的A"的長.

4.(2023?濮陽縣模擬)在等腰直角三角形A5c中，ZACB=90°,AC=3C,點尸為直線Afi上一個動點,

繞點C將射線CP逆時針旋轉45。，交直線于點Q.

圖1圖2

在圖1中，將AAPC繞點C逆時針旋轉90。得到ABMC,連接MQ,

???ZACP+NBCQ=45°,ZACP=NBCM,

:.ZMCQ=45°=ZPCQ,

又*:CP=CM,CQ=CQ,

:.APCQ=AMCQ.

請閱讀上述過程，并完成以下問題:

(1)得出APCQMAMCQ的依據是(填序號).

①)SSS

②SAS

③A4s

@HL

(2)在以上條件下，如圖2,當點尸在線段54的延長線上時，求證：P^^AP'+BQ2.

(3)在等邊三角形ABC中，3c=2,點尸為射線84上一個動點，將射線CP繞點C逆時針旋轉30。交直

線54于點。，將AAPC繞點C逆時針旋轉60。得到ABMC,連接MQ,當ABM0為直角三角形時，請直接

寫出”的長.

5.(2023?武侯區校級模擬)如圖，在矩形MCD中，AB=kBC(0<k<l),將線段至繞點A逆時針旋轉

口度(0<0<90)得到線段過點E作AE的垂線交射線CD于點交射線AD于點M.

備用圖

［嘗試初探］

(1)當點M在AD延長線上運動時，NS4E與44ME始終相等，且AAE0與A/iD暇始終相似，請說明理

由；

［深入探究］

1Q

(2)若％=—,隨著線段AE的旋轉，點〃的位置也隨之發生變化，當CH=±CD時，求tan。的值；

24

［拓展延伸］

(3)連接￡D,當AEDM為等腰三角形時，求tana的值(用含左的代數式表示).

3

6.(2023?虹口區一模)如圖，在AABC中，AB=AC=1O,sinB=-,點、D、E分別在邊AB、3c上,

5

滿足NCDE=N3.點P是DE延長線上一點，且NECF=NACD.

(1)當點。是”的中點時，求tan/BCD的值;

CF

(2)如果AD=3,求J的值；

DE

(3)如果AfiDE是等腰三角形，求CF的長.

7.(2023?文成縣一模)如圖，HE,尸分別為矩形ABCD邊4),CD上的點，以3E為直徑作0。交所

于點G,且EF與。。相切，連結EG.

(1)若AE=EG,求證：AABE=AGBE.

(2)若AB=2,tanZEBF=-.

2

①求的長.

②連結AG,若A4BG是以AG為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的3c的長.

(3)連結CG,若CG的延長線經過點A,且ED=EG,求生的值.

EF

D

BC

8.(2023?涪城區模擬)如圖，已知：在AA5c中，NC=90。，點P是3c邊上的動點，PD_LBC交AB于D,

以PD為直徑的OO分別交AB,AP于點E,F.

(1)求證：ZEFP=ZEPB.

3

(2)若AB=20,sinB=—.

5

①當ZAPB=4ZAPD,求PC的長.

②當APEF為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的APEF的腰長.

(3)若sin5=正，且O,尸，。在一條直線上，則。尸與AC的比值為

2

9.(2023?河南模擬)如圖所示，在RtAABC中，ZABC=90°,點￡＞為射線AC上一動點，作=,

過點3作交DE于點、E,連接CE.(點A、E在BD的兩側)

【問題發現】

(1)如圖1所示，若NA=45。時，AD.CE的數量關系為,直線"＞、CE的夾角為；

【類比探究】

(2)如圖2所示，若24=60。時，(1)中的結論是否成立，請說明理由；

【拓展延伸】

(3)若ZA=30。，AC=2百，且AABD是以AB為腰的等腰三角形時，請直接寫出線段CE的長.

圖1圖2備用圖

題型二、直角三角形的存在問題分類討論

1.（2022?大連模擬）如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,點尸在邊鉆上，過點尸作至

的垂線與邊AC或BC相交于點。，將點。繞點尸順時針旋轉90。得點E,過點E作AB的垂線與邊AC或

3c相交于點P.設好的長為x（cm）,四邊形DPEF的面積為y（cm2）.

（1）求A3的長；

（2）求y關于x的函數解析式，并直接寫出自變量尤的取值范圍.

（備用圖）

2.（2022?蓮池區校級二模）如圖，RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4.動點P從點A出發，以

每秒3個單位長度的速度沿AC-CB-54方向繞行AASC一周，與BC垂直的動直線/從AC開始.以每秒

1個單位長度的速度向右平移，分別交回，CB于D,E兩點.當點P運動到點A時，直線/也停止運動，

設點P的運動時間為f秒.

(1)當點尸在AC上運動時，過點P作PFLDE于尸，

①當PD=PE時,求證：APDF=AEPC；

②設APDE的面積為S,用含f的代數式表示S,并求當f為何值時，S有最大值；

(2)當直線/等分AABC的面積時求f的值，并判斷此時點P落在AABC的哪條邊上；

(3)直接寫出/>￡>=/>￡時f的值.

3.(2022?濟南二模)如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A坐標為(3,0),四邊形Q4BC為平

行四邊形，反比例函數y=￡(x>0)的圖象經過點C,與邊AB交于點。，若OC=20,tanZAOC=l.

管用圖

(1)求反比例函數解析式；

(2)點尸(a,0)是x軸上一動點，求|PC-PD|最大時。的值；

(3)連接C4,在反比例函數圖象上是否存在點平面內是否存在點N,使得四邊形C4AW為矩形，若

存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

4.(2022?海口模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>="+加：+3("0)與)；軸交于點。，與無軸交

于A(-2,0)、B(4,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點〃從A點出發，在線段4?上以每秒3個單位長度的速度向3點運動，同時點N從5點出發，在線

段3c上以每秒2個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設AMBN

的面積為S,點以運動時間為f秒，試求S與f的函數關系，并求S的最大值；

(3)在點M運動過程中，是否存在某一時刻f,使AMBN為直角三角形？若存在，求出/的值；若不存在，

請說明理由.

5.(2023?乳山市二模)過四邊形ABCD的頂點A作射線AM,P為射線A0上一點，連接DP.將AP繞

點A順時針方向旋轉至4。，記旋轉角=連接2。.

(1)【探究發現】如圖1,數學興趣小組探究發現，如果四邊形ABCD是正方形，且&=90。.無論點P在

何處，總有2。=。尸，請證明這個結論.

(2)【類比遷移】如圖2,如果四邊形ABCD是菱形，ND48=c=6()0,NAMD=15。，連接PQ.當尸Q_L3Q,

AB=#+夜時，求AP的長；

(3)【拓展應用】如圖3,如果四邊形ABCD是矩形，AD=6,AB=8,All平分NZMC,a=90°.在

4

射線AQ上截取4?,使得4?=-AP.當AP以是直角三角形時,請直接寫出AP的長.

。Q

圖1圖2

/M/M

-----------\B----------'B

圖3備用圖

題型三、不等式（組）中的分類討論思想

1.（2023?淄博）某古鎮為發展旅游產業，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉村振興，決定在“五一”期間

對團隊*旅游實行門票特價優惠活動，價格如下表：

購票人數加（人）1噫M505談加100m>100

每人門票價（元）605040

*題中的團隊人數均不少于10人.

現有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于

50人.

（1）如果兩個團隊分別購票，一共應付5580元，問甲、乙團隊各有多少人？

（2）如果兩個團隊聯合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節省的費用不少于1200元，

問甲團隊最少多少人？

2.（2021?商河縣校級模擬）閱讀下面材料，根據要求解答問題：求不等式（2*-1）。+3）>0的解集.

解：根據“同號兩數相乘，積為正”可得：①產二[°或②

[x+3>0[x+3<0

解不等式組①得：解不等式組②得x<-3.

2

不等式（2x-l）（x+3）>0的解集為尤或x<-3.

請你仿照上述方法解決下列問題：

（1）求不等式（2尤-3）（x+l）<。的解集.

-1X—1

（2）求不等式^—..0的解集.

%+2

3.（2024?江門校級一模）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：

例題：解一元二次不等式尤2-4>0.

2

解:VX-4=（X+2）（X-2）,

.?.尤2_4>0可化為（》+2）（》，2）>0.

由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，得

fx+2>0fx+2<0

①〈，②1,

[x-2>0[x-2<0

解不等式組①，得無>2,解不等式組②，得x<-2,

.?.（x+2）（x-2）>0的解集為x>2或x<—2,即一元二次不等式爐-4>0的解集為x>2或x<—2.

（1）一元二次不等式爐-16>0的解集為—；

（2）分式不等式士的解集為_；

x-3

（3）解一元二次不等式-5X<0.

4.（2022?泰安三模）某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價是荔枝味飲料每

瓶售價的9倍.4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷售60000瓶，桔子味飲料銷售額為250000元，荔枝味

4

飲料銷售額為280000元.

（1）求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價；

（2）五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷活動，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味

飲料的銷量不少于桔子味飲料銷量的3;不多于桔子味飲料的2倍.桔子味飲料每瓶7折銷售，荔枝味飲

2

料每瓶降價2元銷售，問：該公司銷售多少瓶荔枝味飲料使得總銷售額最大？最大銷售額是多少元?

題型四、方程（組）和函數中的分類討論思想

1.（2024?鐘樓區校級模擬）共享電動車是一種新理念下的交通工具；主要面向的出行市場，現

有A,3兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費y（元）與騎行時間x（加〃）之間的對應關系，其中

A品牌收費方式對應％,3品牌的收費方式對應當，請根據相關信息，解答下列問題：

（1）說出圖中函數以、%的圖象交點尸表示的實際意義；

（2）求為、為關于x的函數解析式；

（3）①如果小明每天早上需要騎行A品牌或3品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的

平均行駛速度均為300m/〃血，小明家到工廠的距離為%m那么小明選擇—品牌共享電動車更省錢？（填

“A”或"6”）

②當x為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差3元?

y/元

2.（2023?西華縣三模）如圖1,拋物線y=gd+6x+c與x軸交于A、B兩點（點A在點3左邊），與y軸

交于點C.直線y=』x-2經過3、C兩點.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的一動點，過點P且垂直于x軸的直線與直線3c及x軸分別交于點D、M.設MO,0）.

①點尸在拋物線上運動，若點。恰為線段的中點，求此時機的值；

②當點尸在拋物線上運動時，是否存在一點P,使NPCB=NACO.若存在，請直接寫出點P的坐標；若

3.（2023?池州三模）在平面直角坐標系中，點（2,㈤和點（6,〃）在拋物線了=加+法（"0）上.

（1）若加=4,n=-l2,求拋物線的解析式；

（2）已知點4（1,%）,8（4,弟）在該拋物線上,且〃如=0.

①比較%,%，0的大小，并說明理由；

②將線段沿水平方向平移得到線段A，8,若線段A8與拋物線有交點，直接寫出點A，的橫坐標x的取值

范圍.

4.（2023?河北模擬）在平面直角坐標系中，拋物線y=or（尤-6）+1（中。）的頂點為A,與x軸相交于3、C

兩點（C點在3點的右側）.

（1）判斷點（0,1）是否在拋物線'=60-6）+1（。/0）上，并說明理由；

（2）若點A到x軸的距離為5,求a的值；

（3）若線段3c的長小于等于4,求。的取值范圍.

5.（2023?鹽城二模）已知點/）,N（尤2，%）在二次函數>=。（無一3）2+2（。R0）的圖象上，且滿足

%2一玉=5.

（1）如圖，若二次函數的圖象經過點（1,0）.

①求這個二次函數的表達式；

②若乂=為，此時二次函數圖象的頂點為點尸，求NPMN的正切值；

③在M、N之間的二次函數圖象上的最低點的縱坐標為-6,請直接寫出此時點對、N的坐標；

（2）當王皴衣尤2時,二次函數的最大值與最小值的差為3,點M,N在對稱軸的異側,則a的取值范圍為

6.（2023?錦州）如圖，拋物線>=-&2+法+,交x軸于點A（T0）和3,交y軸于點C（0,3石），頂點

為D.

（1）求拋物線的表達式；

（2）若點E在第一象限內對稱軸右側的拋物線上，四邊形。￡>￡?的面積為7g,求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，若點尸是對稱軸上一點，點X是坐標平面內一點，在對稱軸右側的拋物線上是否

存在點G,使以點E,F,G,"為頂點的四邊形是菱形，且NEFG=60。，如果存在，請直接寫出點G的

7.（2024?肇東市模擬）綜合與實踐

3

如圖，二次函數y=+云+。的圖象與x軸交于點A和B,點B的坐標是(4.0),與y軸交于點C(0.-3).點

。在拋物線上運動.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖2.當點。在第四象限的拋物線上運動時，連接BD,CD,BC,當ABCD的面積最大時，求點

。的坐標及ABCD的最大面積；

(3)當點E在x軸上運動時，借助圖1探究以點3,C,D,E為頂點的四邊形是平行四邊形，并直接寫

圖1圖2

8.(2023?扶余市二模)如圖，拋物線＞=/+公+。與x軸交于點4(1,0)，8(5,0),頂點為尸.

(1)求該拋物線的解析式，并直接寫出點P的坐標；

(2)如圖，把原拋物線無軸下方的部分沿無軸翻折到x軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線x軸上方的部

分記作圖形在圖形M中，回答：

①點A,3之間的函數圖象所對應的函數解析式為—；

②當:系皿4時，求y的取值范圍；

③當^m+2,且加時，若最高點與最低點的縱坐標的差為”，直接寫出機的值.

24

3

9.(2024?南丹縣一模)如圖，拋物線弘=加+云+；與九軸交于點A(-3,0),點5,點。是拋物線刃的頂

點，過點。作X軸的垂線，垂足為點C(-1,0).

(1)求拋物線h所對應的函數解析式；

(2)如圖1,點M是拋物線乂上一點，且位于x軸上方，橫坐標為機，連接MC,

若ZMCB=ZDAC,求m的值；

(3)如圖2,將拋物線％平移后得到頂點為3的拋物線%.點尸為拋物線為上的一個動點，過點P作y軸

的平行線，交拋物線為于點。，過點。作x軸的平行線，交拋物線必于點R.當以點P,Q,R為頂點的

三角形與AACD全等時，請直接寫出點尸的坐標.

10.(2022?長春二模)在平面直角坐標系中，拋物線y=f-277U+1與y軸的交點為A,過點A作直線/垂

直于y軸.

（1）求拋物線的對稱軸（用含機的式子表示）；

（2）將拋物線在y軸右側的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點%）,Ng,%）

為圖形G上任意兩點.

①當〃2=0時，若占<%，判斷％與y2的大小關系，并說明理由；

②若對于占=相-1,x2=m+l,都有％>%，求機的取值范圍；

（3）當圖象G與直線>=租+2恰好有3個公共點時，直接寫出機的取值范圍.

題型五、圓中的分類討論思想

1.（2023?花都區一模）如圖1,已知NM4N=60。，在射線AVf、⑷V上分別截取點3、C,使AB=AC=8.

（1）求證：AB=BC；

（2）如圖2,以3c為直徑在BC的上方作一個半圓,點。為半圓上的一個動點，連接4）交3C于點E.

①當時，求的＞的長.

②在線段AC上取一點F，連接■交4）于點G,若BF=AE,當點。在半圓BC上從點B運動到點C時,

求點G經過的路徑長.

2.（2023?裕華區二模）如圖1,平行四邊形ABCD中，AD=2-^3,DC=4^3,NO=60。，點M在3c延

長線上且CM=CD,EF為半圓。的直徑且莊,FE=6,如圖2,點E從點M處沿MB方向運動,

帶動半圓。向左平移，每秒3個單位長度，當點尸與點。重合時停止平移，如圖3,停止平移后半圓O立

即繞點E逆時針旋轉，每秒轉動5。，點廠落在直線3