專題02函數（一次二次反比例）、方程與不等式的實際應用

目錄

熱點題型歸納.........................................................................................1

題型01—元一次方程的實際應用.......................................................................1

題型02二元一次方程組的實際應用.....................................................................4

題型03一元二次方程的實際應用.......................................................................6

題型04一次函數的實際應用...........................................................................8

題型05反比例函數的實際應用........................................................................13

題型06二次函數的實際應用..........................................................................16

中考練場............................................................................................21

題型01一元一次方程的實際應用

01題型綜述______________________________________

一元一次方程的實際應用是初中數學代數部分的重要內容，它是將數學知識與實際生活緊密相連的關鍵環節，在初中

數學整體分值占比中，約為5%-10%o

考查重點：考查如何從實際問題中抽象出數學模型，準確找出等量關系并列出一元一次方程求解。

高頻題型：常見高頻題型包括行程問題、工程問題、銷售問題、調配問題以及方案選擇問題等。

高頻考點：主要考點集中在根據不同實際情境構建方程，求解方程以及對解的合理性進行檢驗與解釋。

能力要求：要求學生具備較強的閱讀理解能力、分析問題能力、數學建模能力以及計算求解能力。

易錯點：易錯點在于審題不清導致等量關系找錯，解方程過程中運算錯誤，以及對解的實際意義判斷失誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

L列方程解實際應用題的步驟:

①審題一一仔細審題，找出題目中的等量關系。②設未知數一一根據問題與等量關系直接或間接設未知數。

③列方程：根據等量關系與未知數列出一元一次方程。④解方程一一按照解方程的步驟解一元一次方程。

④答一一檢驗方程的解是否滿足實際情況，然后作答。

2.常見的基本等量關系：

①行程問題基本等量關系：

路程=時間*速度；時間=路程+速度；速度=路程小時間。

順行：順行速度=自身速度+風速（水速）；逆行速度=自身速度一風速（水速）

②工程問題：工作總量=工作時間X工作效率。

③配談問題：實際生產比=配套比。

④商品銷售問題：利潤=售價一成本；售價=標價義0.1折扣；利潤率=利潤+進價X100%

⑤圖形的周長，面積，體積問題。

3.常見的建立方程的方法：

①基本等量關系建立方程。②同一個量的兩種不同表達式相等。

【典例分析】

例L（2023?浙江?中考真題）古代中國的數學專著《九章算術》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩.今

有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中國1斤等于16兩）.今有干

絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為斤.

例2.（2022?浙江紹興?中考真題）元朝朱世杰的《算學啟蒙》一書記載：“良馬日行二百四十里，鷲馬日行一百五十里，

弩馬先行一十二日，問良馬幾何追及之.”其題意為：“良馬每天行240里，劣馬每天行150里，劣馬先行12天，良馬

要幾天追上劣馬？”答：良馬追上劣馬需要的天數是.

例3.（2024?浙江?中考真題）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉.小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中間

休息了兩次.跑步機上C檔比8檔快40米/分、8檔比A檔快40米/分.小明與小麗的跑步相關信息如表所示，跑步累

計里程s（米）與小明跑步時間/（分）的函數關系如圖所示.

時間里程分段速度檔跑步里程

小明16:00?16:50不分段A檔4000米

小麗16:10~16:50第一段2檔1800米

第一次休息

第二段B檔1200米

第二次休息

第三段C檔1600米

八a（米）-----小明-----小麗

⑴求A,B,C各檔速度（單位：米/分）；

（2）求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；

（3）小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，求。的值.

【變式演練】

1.（2024?浙江杭州?一模）《孫子算經》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶分一頭鹿后，還有剩余，將

剩下的鹿按每3戶共分一頭，恰好分完，問：有多少戶人家？若設有x戶人家，則下列方程正確的是（）

A.x+3=100B.x+-=100C.x+3x=100D.x+-x=100

33

2.（2024?浙江嘉興?三模）已知物體自由下落的距離可以表示為v底表示物體下落的末速度，/表示物體下

落的時間，聲音傳播的速度為340米/秒.若將一塊石頭從井口自由落下，7秒后聽到它落水的聲音，測得限=60米/

秒，設石頭下落的時間為x,則可列得方程（）

A.30^=340x7B.30x=340（7-%）

C.30（7-^）=340xD.30（7+x）=340x7

3.（2024?浙江溫州?二模）一組同學一起去種樹，如果每人種4棵，還剩下3棵樹苗；如果每人種5棵，那么缺少5

棵樹苗.則需種植的樹苗數為棵.

4.（2024?浙江嘉興?二模）將飛鏢投向如圖所示的靶盤.計分規則如下：每次投中A區得5分，投中2區得3分，脫

靶扣2分.小曹玩了兩局，每局投10次飛鏢，在第一局中，小曹投中A區2次，B區4次，脫靶4次.

⑴求小曹第一局的得分，

(2)第二局，小曹投中A區上次，8區5次，其余全部脫靶.若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求上的值.

5.(2024?浙江?三模)如圖，將若干條完全相同的塑料板凳疊放成一摞.如圖1,測得一條板凳的高度為45cm；如圖

2,測得五條板凳的總高度為63cm.

圖1圖2

(1)求六條板凳疊放成一摞的總高度.

(2)運送時，板凳總高度限制為不超過90cm,則運送時最多可以將幾條板凳疊放成一摞?

題型02二元一次方程組的實際應用

01題型綜述________________________________________

二元一次方程組的實際應用是初中數學代數板塊中解決復雜實際問題的有力工具，它承接一元一次方程，進一步拓展

學生運用方程思想處理多變量問題的能力。在初中數學試卷中，這部分內容的分值占比通常在5%-10%。

考查重點：核心考查學生依據實際情境，精準分析出兩個獨立的等量關系，進而構建二元一次方程組并求解。

高頻題型：行程問題中的相遇與追及、工程合作與分工問題、商品買賣中的價格與利潤問題，以及資源分配與方案

設計等問題較為常見。

高頻考點：主要圍繞根據不同場景正確列出方程組、熟練運用代入消元法或加減消元法準確求解，同時對解是否符

合實際情況進行驗證與說明。

能力要求：需要學生擁有出色的閱讀理解能力，能從冗長文字中提煉關鍵信息；具備較強邏輯思維，梳理出變量間

關系；掌握消元技巧，實現準確計算。

易錯點：容易因對題目條件理解偏差，錯誤設定等量關系；在消元求解過程中，因計算粗心產生錯誤；還可能忽略

解在實際問題中的合理性，未對結果進行有效檢驗。

02解題攻略

【提分秘籍】

列方程解實際應用題的步驟：

①審題一一仔細審題，找出題目中的等量關系。

②設未知數一一根據問題與等量關系直接或間接設未知數。

③列方程：根據等量關系與未知數列出二元一次方程。

④解方程一一按照解方程的步驟解二元一次方程。

⑤答一一檢驗方程的解是否滿足實際情況，然后作答。

高頻題型包括行程問題、工程問題、利潤問題、比例問題和混合問題，這些題型通常以應用題的形式出現，要求學生

靈活運用方程組知識解決實際問題。

秘籍：熟記常見題型的解題套路，如行程問題中的“路程=速度x時間”，利潤問題中的“利潤=售價-成本”等

【典例分析】

例1.（2023?浙江紹興?中考真題）《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.問

大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛（斛：古代容是單位）；大容器1個，小容

器5個，總容暴為2斛.問大容器、小容器的容量各是多少斛？設大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列

方程組是（）

5y=3[5x+y=315x=y+3[5x=y+2

?[5x+y=2°[x+5y=2*[x=5y+2*[%=5y+3

例2.（2023?浙江寧波?中考真題）茶葉作為浙江省農業十大主導產業之一，是助力鄉村振興的民生產業.某村有土地

60公頃，計劃將其中10%的土地種植蔬菜，其余的土地開辟為茶園和種植糧食，已知茶園的面積比種糧食面積的2倍

少3公頃，問茶園和種糧食的面積各多少公頃？設茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，可列方程組為（）

（x+y=60卜+y=54（x+y=60卜+y=54

[y=2x-3?[x=2y-3,[x=2y-3,[y=2x-3

例3.（2023?浙江嘉興?中考真題）我國古代數學名著《張丘建算經》中有這樣一題：一只公雞值5錢，一只母雞值3

錢，3只小雞值1錢，現花100錢買了100只雞.若公雞有8只，設母雞有x只，小雞有y只，可列方程組為.

【變式演練】

1.（2024?浙江溫州.三模）某社區積極響應“創文”活動，購買了甲、乙兩種樹木，其中甲種樹木每棵100元，乙種樹

木每棵80元，乙種樹木比甲種樹木少8棵，共用去資金8000元.設甲種樹木購買了x棵，乙種樹木購買了y棵，根據

題意，可列方程組（）

j元+8=yJx-y=8

A，1100x+80j=8000B-[100x+80y=8000

卜+8=y,-y=8

'[80x+100y=8000'[80x+100y=8000

2.（2024.浙江杭州?模擬預測）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下“九百九十九文錢，甜果苦

果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，則

下列關于x,y的二元一次方程組中符合題意的是（）

Jx+y=1000（x+7=1000

A，[99x+28y=999B-[28x+99y=999

x+y=1000x+y=1000

C.1114

97

一%+—>=999—%+—y=999

97114

3.（2024?浙江寧波.模擬預測）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四

首二足，上有七十六首，下有四十六足.問獸、禽各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸

與鳥共有76個頭和46只腳，問獸、鳥各多少？設獸有x個，鳥有y只，列出的方程為（）

x+j=766x+4y=76

4%+2y=464x+2y=46

x+y=766x+4y=76

2x+4y=462x+4y=46

題型03一元二次方程的實際應用

01題型綜述________________________________________

一元二次方程的實際應用是初中數學代數領域中，用于解決涉及數量變化規律及幾何圖形面積等復雜問題的重要內容,

在初中數學考試里，分值占比大致為8%-12%o

考查重點：重點考查從實際問題中挖掘出能構建一元二次方程的數量關系，并通過求解方程來解決問題。

高頻題型：常見的有增長率問題、幾何圖形面積問題、商品定價與利潤問題以及傳播問題等。

高頻考點：考點聚焦于根據實際情境準確列出一元二次方程，運用合適方法求解方程，以及依據實際意義對所得方

程的解進行篩選和解釋。

能力要求：學生需具備良好的文字理解能力，能將實際問題轉化為數學語言，有較強的邏輯思維梳理數量關系，掌

握一元二次方程的求解方法并準確運算。

易錯點：易錯之處在于對實際情境分析不透，導致方程列錯；解方程過程中因方法不當或計算失誤出錯；同時，易

忽略實際問題對解的限制，未舍去不符合實際的根。

02解題攻略

【提分秘籍】

仔細審題，明確已知條件和未知量，找到等量關系，特別注意判別式的意義

熟記常見題型的解題套路，如面積問題中的“面積=長乂寬”，利潤問題中的“利潤=售價-成本”等。

列方程時確保系數a、b、c計算準確，求根時注意判別式的值，分析判別式時注意根的性質。

【典例分析】

例1.（2023?浙江衢州?中考真題）某人患了流感，經過兩輪傳染后共有36人患了流感.設每一輪傳染中平均每人傳染

了x人，則可得到方程（）

A.x+（l+x）=36B.2（l+x）=36C.l+_x+x（l+_x）=36D.1+尤+x?=36

例2.（2023?浙江湖州?中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌

新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛.如果設從2020年到2022年該品牌新能源

汽車銷售量的平均年增長率為x,那么可列出方程是（）

A.20（1+2x）=312B.20（1+2x）-20=31.2

C.2O（1+X）2=31.2D.20（l+x）2—20=31.2

例3.（2023.浙江金華?中考真題）如圖是一塊矩形菜地ABCD,AB=a（m）,AT>=6（m）,面積為S（11?）.現將邊AB增

加1m.

圖1圖2

(1)如圖1,若。=5,邊AD減少1m,得到的矩形面積不變，則6的值是.

(2)如圖2,若邊AD增加2m,有且只有一個。的值，使得到的矩形面積為2s(n?),則s的值是

【變式演練】

1.(2024?浙江臺州?模擬預測)某廠生產一件產品的成本從兩年前的100元，下降到的。元，求年平均下降率.設年

平均下降率為x,通過解方程得到一個根為1.8,則下列說法符合題意的是為()

A.i=64,x=0.8B.ci=64,x=0.2C.a=36,%=0.6D.Q=36,%=0.8

2.(2024?浙江溫州?三模)某品牌店銷售一款進價為每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可銷售200件.值

此父親節來臨之際，該店實行降價促銷.經調查發現，這款男士短袖的售價每下降1元，其銷售數量就增加20件.當

每件男士短袖降價多少元時，該店銷售這款男士短袖的利潤為8000元？設每件男士短袖降價x元，可列出方程為()

A.(80-x)(200-20x)=8000B.(80-x)(200+20x)=8000

C.(80-50-x)(200-20x)=8000D.(80-50-x)(200+20x)=8000

3.(2024.浙江嘉興.一模)《九章算術》是我國傳統數學的重要著作之一，奠定了我國傳統數學的基本框架.《九章

算術》中記載：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何？”大意：有一形狀是矩形的門，它

的高比寬多6尺8寸，它的對角線長1丈，問它的高與寬各是多少？利用方程思想，設矩形門高為x尺，則依題意所

列方程為(1丈=1。尺，1尺=10寸)()

A.%2+(%+6.8)2=102B.%2+(%-6.8)2=102

C.%(%+6.8)2=102D.X(X-6.8)2=102

題型04一次函數的實際應用

01題型綜述

一次函數的實際應用是初中數學函數板塊中，用于描述現實世界中變量間呈線性變化關系的重要內容，在初中數學考

試里，分值占比約為10%-15%o

考查重點：考查如何從實際問題里提煉出變量關系，建立恰當的一次函數模型并借助其性質解決問題。

高頻題型：常見高頻題型有行程問題（速度與時間的函數關系等）、費用問題（如出租車計費、水電費計算等）、

方案優化問題（通過比較不同函數方案確定最優解）。

高頻考點：主要考點包括依據實際背景確定函數表達式，分析函數的增減性并利用其求最值，以及結合實際情境對

函數圖象進行解讀。

能力要求：要求學生擁有較強的抽象概括能力、數學建模能力，能熟練運用一次函數知識分析和處理實際情境中的

變量關系。

易錯點：易錯點在于對實際情境中變量的理解偏差，導致函數關系式建立錯誤，在利用函數性質時忽略實際意義對

取值范圍的限制。

02解題攻略

【提分秘籍】

一、透徹理解題意二、構建函數模型三、結合實際求解四、檢驗與作答

高頻題型包括行程問題、利潤問題、費用問題、圖像分析問題等，這些題型通常以應用題的形式出現，要求學生靈活

運用一次函數知識解決實際問題。

秘籍：熟記常見題型的解題套路，如行程問題中的“路程=速度x時間”，利潤問題中的“利潤=售價-成本”等。

【典例分析】

例1.（2023?浙江紹興?中考真題）一條筆直的路上依次有M,尸,N三地，其中M,N兩地相距1000米.甲、乙兩機器

人分別從兩地同時出發，去目的地勻速而行.圖中。分別表示甲、乙機器人離〃地的距離y（米）

與行走時間x（分鐘）的函數關系圖象.

⑴求。4所在直線的表達式.

（2）出發后甲機器人行走多少時間，與乙機器人相遇？

（3）甲機器人到尸地后，再經過1分鐘乙機器人也到尸地，求兩地間的距離.

例2.(2023?浙江寧波?中考真題)某校與部隊聯合開展紅色之旅研學活動，上午7：00,部隊官兵乘坐軍車從營地出

發，同時學校師生乘坐大巴從學校出發，沿公路(如圖1)到愛國主義教育基地進行研學，上午8：00,軍車在離營地

60km的地方追上大巴并繼續前行，到達倉庫后，部隊官兵下車領取研學物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生

同時到達基地，軍車和大巴離營地的路程s(km)與所用時間r(h)的函數關系如圖2所示.

(1)求大巴離營地的路程s與所用時間t的函數表達式及a的值,

(2)求部隊官兵在倉庫領取物資所用的時間.

例3.(2023?浙江金華?中考真題)兄妹倆放學后沿圖1中的馬路從學校出發，到書吧看書后回家，哥哥步行先出發，

途中速度保持不變；妹妹騎車，到書吧前的速度為200米/分.圖2中的圖象分別表示兩人離學校的路程$(米)與哥

哥離開學校的時間/(分)的函數關系.

(1)求哥哥步行的速度.

(2)已知妹妹比哥哥遲2分鐘到書吧.

①求圖中。的值；

②妹妹在書吧待了10分鐘后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上時兄妹倆離家還

有多遠；若不能，說明理由.

例4.（2023?浙江?中考真題）我市“共富工坊”問海借力，某公司產品銷售量得到大幅提升.為促進生產，公司提供了

兩種付給員工月報酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同.看圖解答下列問題：

（1）直接寫出員工生產多少件產品時，兩種方案付給的報酬一樣多；

（2）求方案二y關于x的函數表達式；

（3）如果你是勞務服務部門的工作人員，你如何指導員工根據自己的生產能力選擇方案.

【變式演練】

1.（2024?浙江寧波?模擬預測）某種溶液的體積V（L）與溫度之間的關系在一定范圍內符合一次函數關系.現測

得一定量的這種溶液在0℃時的體積為5.2L,在40c時的體積為5.6L.

（D求該溶液體積V與溫度/的函數關系式，并求當f=30。。時，該溶液的體積.

⑵若用容積為5.4L的容器來盛這些溶液，為了不使溶液溢出，溫度應控制在多少攝氏度內？

2.（2024?浙江溫州?三模）“低碳生活，綠色出行”的理念正逐漸被人們所接受，越來越多的人選擇騎自行車上出行小

星某天騎自行車上班從家出發到圖書館的過程中行進速度v（米1/分）隨時間f（分鐘）變化的函數圖象大致如圖所示，

圖象由三條線段AB和3C組成.設線段OC上有一動點T&0）,直線/過點T且與橫軸垂直，梯形OLBC在直線

/左側部分的面積即為，分鐘內小星行進的路程（米）.

卜（米/分鐘）

⑴①當仁2分鐘時，速度v=米/分鐘，路程s=米;

②當f=12分鐘時，速度"=米/分鐘，路程s=米；

(2)當0V/V3和3<fV12時，分別求出路程$(米)關于時間f(分鐘)的函數解析式.

3.(2024?浙江寧波.三模)學習了彈力及彈簧測力計的相關知識后，小明知道在彈性限度內，彈簧的長度與它受到的

拉力成一次函數關系，他想進一步探究“某個彈簧伸長的長度y(cm)與它所受到的拉力^(N)(0<x<6)之間的關系”，

于是采用了如圖裝置進行探究.實驗中，他觀察到當拉力為2N時，彈簧長度為10cm,同時還收集到了如下數據：

彈簧受到的拉力x(N)0.511.526

彈簧伸長的長度y(cm)1.534.5618

I

uEJ

⑴在受到的拉力為ON時，彈簧的長度是多少？

(2)求彈簧伸長的長度y關于它所受到的拉力尤的函數表達式.

(3)當彈簧的長度為16cm時，求彈簧受到的拉力尤的值.

4.(2024?浙江溫州?二模)某生物學習小組正在研究同一盆栽內兩種植物的共同生長情況，當他們嘗試施用某種藥物

時，發現會對A,B兩種植物分別產生促進生長和抑制生長的作用.通過實驗，48植物的生長高度力(cm),力(cm)

與藥物施用量x(mg)的關系數據統計如下表：

x(mg)046810151821

A(cm)25211916141074

B(cm)1018222731404552

任務1：根據以上數據，在下面帶網格的平面直角坐標系中通過描點，連線，畫出A,8植物的生長高度力(cm),%(cm)

與藥物施用量x(mg)的函數圖象.

任務2：猜想A,B植物的生長高度力（cm）,力（cm）與藥物施用量x（mg）的函數關系，并分別求出函數關系式.

任務3：同學們研究發現，當兩種植物高度差距不超過5cm時，兩種植物的生長會處于一種良好的平衡狀態，請求出滿

足平衡狀態時，該藥物施用量x（mg）的取值范圍.

題型05反比例函數的實際應用

01題型綜述

反比例函數的實際應用是初中數學函數知識體系中，用以刻畫現實世界中兩個變量乘積為定值這類特殊數量關系的重

要部分，在初中數學考試中，分值占比通常在5%-10%?

考查重點：考查從具體實際情境中洞察變量間的反比例關系，構建反比例函數模型并運用其性質解決問題。

高頻題型：常見的高頻題型包含工程進度問題（工作時間與工作效率的關系）、物理力學問題（如壓力與受力面積

的關系）、行程問題（路程一定時，速度與時間的關系）等。

高頻考點：主要考點為根據實際背景準確確定反比例函數表達式，利用反比例函數的單調性分析變量變化趨勢，以

及結合實際對函數圖象的特殊點和變化情況進行解讀。

能力要求：要求學生具備敏銳的觀察分析能力，能從復雜情境中抽象出反比例函數模型，還需熟練掌握反比例函數

性質并靈活運用。

易錯點：易錯點在于對實際問題中變量關系判斷失誤，導致函數模型建立錯誤，同時容易忽略實際問題中自變量的

取值范圍對函數的限制。

02解題攻略

【提分秘籍】

高頻題型包括面積問題、速度問題、工程問題、物理問題等，這些題型通常以應用題的形式出現，要求學生靈活運用

反比例函數知識解決實際問題。

秘籍：熟記常見題型的解題套路，如面積問題中的“面積=長＞＜寬"，速度問題中的“路程=速度X時間”，利潤問題

等。

【典例分析】

例1.（2023?浙江?中考真題）如果100N的壓力F作用于物體上，產生的壓強P要大于lOOOPa,則下列關于物體受力

面積S（nf）的說法正確的是（）

A.S小于O.lm?B.S大于O.ln?C.S小于lOn?D.S大于lOm?

例2.（2023?浙江溫州?中考真題）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽

缸壁所產生的壓強尸（kPa）與汽缸內氣體的體積V（mL）成反比例，尸關于V的函數圖象如圖所示.若壓強由75kPa

mL.

例3.（2023?浙江臺州?中考真題）科學課上，同學用自制密度計測量液體的密度.密度計懸浮在不同的液體中時，浸

在液體中的高度場（單位：cm）是液體的密度夕（單位：g/cn?）的反比例函數，當密度計懸浮在密度為lg/cn?的水

中時，/?=20cm.

I

二

二

二

二-

〃

K二

-

_一

（1）求關于P的函數解析式.

（2）當密度計懸浮在另一種液體中時，〃=25cm,求該液體的密度".

例4.（2022?浙江臺州?中考真題）如圖，根據小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高

度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）X（單位：cm）的反比例函數，當X=6時，y=2.

（1）求〉關于x的函數解析式；

（2）若火焰的像高為3cm,求小孔到蠟燭的距離.

【變式演練】

1.（2024?浙江溫州?二模）圖1是某電路圖，滑動變阻器為R,電源電壓為U,電功率為PP=—尸關于R的函

數圖象如圖2所示.小溫同學通過兩次調節電阻，發現當R從100增加到20。時，電功率尸減少了20w,則當R=15O

2.（2024?浙江寧波.模擬預測）科學課中，同學們用如圖電路做《探究電流與電壓、電阻的關系》的實驗，采用控制

變量法，發現當U（V）一定時，電流/（A）與電阻R（Q）成反比例函數關系.小甬所在小組控制電壓不變，測得當

電阻尺=2.5（。）時，電流/=2（A）.

（1）求/與滅的函數關系式.

（2）調節變阻器，測得電流為/=8（A）,求此時電阻的值.

3.（2024?浙江臺州?模擬預測）某導線的電阻R（k。）與溫度”單位：℃）（在一定范圍內）滿足反比例關系，通電

后下表記錄了發熱材料溫度從上升到30℃的過程中電阻與溫度的數值：

r（℃）10152030

R（kQ）...6432...

（1）根據表中的數據，求出R與r之間的函數解析式；

（2）當溫度超過50。（2,或低于2。（2時，導線性能不佳，某一時刻測得電阻為L5kQ,請判斷此時導線性能是否正常.

4.（2024?浙江杭州?模擬預測）某種新藥在試驗藥效時發現：成人按規定劑量服用后，檢測到從第5分鐘起每分鐘每

毫升血液中含藥量增加0.1微克，第100分鐘達到最高，接著開始衰退，衰退時y與尤成反比例函數關系.血液中含藥

量M微克）與時間M分鐘）的函數關系如圖所示，

⑴求血液中含藥量y（微克）與時間x（分鐘）的函數表達式；

⑵如果每毫升血液中含藥量不低于5微克時是有效的，一次服藥后的有效時間能超過130分鐘嗎？

題型06二次函數的實際應用

01題型綜述

二次函數的實際應用是初中數學函數板塊中，用于解決涉及最值、拋物線形狀等現實問題的核心內容，在初中數學考

試中，分值占比約為10%-15%o

考查重點：考查如何將實際問題轉化為二次函數模型，利用二次函數的性質求最值以及分析變量間的關系。

高頻題型：常見高頻題型有銷售利潤問題（求最大利潤）、幾何圖形面積問題（求圖形面積最大值或最小值）、物

體運動軌跡問題（如拋物線形的投籃、拋球等運動）。

高頻考點：主要考點為確定二次函數表達式，運用頂點坐標求最值，分析函數圖象在實際情境中的意義，如與x軸

交點表示的實際情況等。

能力要求：要求學生具備較強的建模能力，能將實際問題數學化，同時要熟練掌握二次函數圖象與性質的運用，具

備分析數據和推理的能力。

易錯點：易錯點在于建模過程中對實際情境理解不透徹導致函數表達式錯誤，求最值時忽略自變量的實際取值范圍，

以及對函數圖象與實際問題結合的解讀偏差。

02解題攻略

【提分秘籍】

高頻題型包括最值問題（如利潤最大、成本最小）、拋物線運動問題（如拋體運動）、面積優化問題（如矩形面積最

大）、利潤最大化問題等。

秘籍：熟記常見題型的解題套路，如最值問題通常需要找到頂點坐標，拋物線運動問題需要分析拋物線的開口方向和

頂點位置。

【典例分析】

例1.（2023?浙江湖州?中考真題）某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種

淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）（30Wx<60）存在一次函數關系，部分數據如下表所示：

銷售價格X（元/千克）5040

日銷售量y（千克）100200

⑴試求出y關于x的函數表達式.

（2）設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格尤為多少時，日銷售利潤W

最大？最大的日銷售利潤是多少元？

例2.（2023?浙江溫州?中考真題）一次足球訓練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線.當

球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m.已知球門高為2.44m,現以。為原點建立如圖所示

直角坐標系.

（1）求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）.

（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才

能讓足球經過點O正上方2.25m處？

例3.(2023?浙江衢州?中考真題)某龍舟隊進行500米直道訓練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段.圖1,圖2

分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程s(m)與時間f(s)的近似函數圖象.啟航階段的函數表達式為

S=方2化/0),途中階段勻速劃行，函數圖象為線段;在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程s(m)

與時間外)的函數表達式為s=7oy+*0).

圖1圖2

(1)求出啟航階段s(m)關于f(s)的函數表達式(寫出自變量的取值范圍)，

(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s.

①當r=90s時，求出此時龍舟劃行的總路程，

②在距離終點125米處設置計時點，龍舟到達時，tV8520s視為達標，請說明該龍舟隊能否達標；

(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s,之后保持勻速劃行至終點.求該龍舟隊完成訓練所需時

間(精確到0.01s).

例4.(2023?浙江臺州?中考真題)【問題背景】

“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具.綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節流

閥(控制水的流速大小)的軟管制作簡易計時裝置.

【實驗操作】

綜合實踐小組設計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm,開始放水后每隔lOmin觀察一次甲容

器中的水面高度，獲得的數據如下表：

流水時間〃min010203040

水面高度/z/cm(觀察值)302928.12725.8

任務1分別計算表中每隔lOmin水面高度觀察值的變化量.

【建立模型】

小組討論發現：“/=0,/?=30”是初始狀態下的準確數據，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數近似地刻畫

水面高度/i與流水時間f的關系.

任務2利用r=0時，/z=30；f=10時，6=29這兩組數據求水面高度人與流水時間r的函數解析式.

【反思優化】

經檢驗，發現有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數解析式，存在偏差.小組決定優化函數解析式，減少偏差.通

過查閱資料后知道：/為表中數據時，根據解析式求出所對應的函數值，計算這些函數值與對應〃的觀察值之差的平方

和，記為w；w越小，偏差越小.

任務3（1）計算任務2得到的函數解析式的卬值.

（2）請確定經過（0,30）的一次函數解析式，使得w的值最小.

【設計刻度】

得到優化的函數解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設計刻度，通過刻度直接讀取時間.

任務4請你簡要寫出時間刻度的設計方案.

【變式演練】

1.（2024?浙江寧波?二模）蛟蛟水果店現出售一批高級水果，以每千克45元的價格購入，再以每千克57元的價格出售，

統計發現9月份的銷售量為500千克.

⑴由于水果暢銷，預計11月份的銷售量將達到605千克.求9月份到11月份的銷售量月平均增長率；

（2）經過市場調研發現，以9月份為標準，保持進價不變的基礎之上，若每千克售價上漲1元，月銷量將減少20千克，同

時運輸的消耗每月按照銷售量每千克支出2元.

①設上漲x元（x為正整數），當月總利潤為V,試求〉與x之間的函數關系式.

②現要保證每月的總利潤達到6080元，同時又要盡可能的給予顧客優惠，則每千克應漲價多少元.

2.（2024?浙江寧波.模擬預測）如圖，將球從點。的正上方3m的點A處發出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運

行的水平距離x（m）滿足關系式yn-Jf+fer+c.

(1)若當小球運動的水平距離為1m時，小球達到最大高度，求小球達到的最大高度.

(2)若小球的正前方4m(OC=4m)處有一個截面為長方形的球筐CD/，其中CD為2m,DE為1m,若要使小球落人筐中，

求6的取值范圍.

3.(2024?浙江?模擬預測)某個農場有一個花卉大棚，是利用部分墻體建造的.其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一

端固定在墻體上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE,R7,相關數據如圖1所示，其中支架=

OF=DF=BD,這個大棚用了400根支架.

圖1圖2

為增加棚內空間，農場決定將圖1中棚頂向上調整，支架總數不變，對應支架的長度變化，如圖2所示，調整后C與

E上升相同的高度，增加的支架單價為60元/米(接口忽略不計)，需要增加的經費不超過32000元.

(D分別以OB和。4所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系.

①求出改造前的函數解析式.

②當CG=1米，求GG'的長度.

(2)只考慮經費情況下，求出CC'的最大值.

4.(2024?浙江臺州?模擬預測)如圖1為彈球游戲示意圖，彈力球從桌子左邊沿正上方某一高度向右發射后與桌面接

觸，連續彈起降落，以。為原點，為x軸，為y軸建立平面直角坐標系如圖2,設小球高度為Am,水平方向

的距離為xcm.小球運動軌跡由多個拋物線組成，其中第一段拋物線的解析式為丫=-3/+匕，后續拋物線均可由第

80

Q

一段拋物線平移得到.已知桌長為80cm,小球每次撞擊桌面后彈跳的最大高度為前一次最大高度的三.(忽略小

球體積)

B,

圖1圖2

⑴若第一次落點剛好在桌子正中間，求第一段拋物線的解析式；

（2）在（1）的情況下，判斷小球是否會再次接觸桌面，并說明理由；

（3）若小球只接觸桌面一次，求發射高度的取值范圍.

5.（2024?浙江?模擬預測）籃球是一項廣受喜愛的運動.學習了二次函數后，小江同學打籃球時發現，籃球投出時在

空中的運動可近似看作一條拋物線，于是建立模型，展開如下研究：

如圖，籃框距離地面3m,某同學身高2m,站在距離籃球架L=4m處，從靠近頭部的。點將球正對籃框投出，球經過

最高點時恰好進入籃框，球全程在同一水平面內運動，軌跡可看作一條拋物線C.不計籃框和球的大小、籃板厚度等.

（1）求拋物線C的表達式；

（2）研究發現，當球擊在籃框上方0.2m及以內范圍的籃板上時，球會打板進框.若該同學正對籃框，改用跳投的方式,

出手點。位置升高了0.5m,要能保證進球，求L的取值范圍.（計算結果保留小數點后一位）

03中考練場

一、單選題

1.（2024?浙江.模擬預測）學校要制作一塊廣告牌，請來兩名工人，已知甲單獨完成需4天，乙單獨完成需6天，若

先由乙做1天，再兩人合作，完成任務后共得到報酬900元，若按各人的工作量計算報酬，則分配方案為（）

A,甲360元，乙540元B,甲450元，乙450元

C.甲300元，乙600元D.甲540元，乙360元

2.（2024?浙江金華?二模）一工坊用鐵皮制作糖果盒，每張鐵皮可制作盒身20個，或制作盒底30個，一個盒身與兩

個盒底配成一套糖果盒.現有35張鐵皮，設用x張制作盒身，y張制作盒底，恰好配套制成糖果盒，則下列方程組中

符合題意的是（）

%+y=35x+y=35

y=2x2x20x=30y

x+y=35

x+y=35

D.2x_

20元=2x30yy

_20-30

二、解答題

3.(2024?浙江湖州?一模)己知某可變電阻兩端的電壓為定值，使用該可變電阻時，電流/(A)與電阻R(C)是反比例

函數關系，函數圖象如圖所示.

⑴求/關于我的函數表達式；

(2)若要求電流/不超過4A,則該可變電阻R應控制在什么范圍？

4.(2024?浙江.模擬預測)己知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/(單位：A)與電阻R(單位：Q)是

反比例函數關系，函數關系如表：

R/Q45678

//Aabcmn

(1)若。=c+3,

①求c的值；

②求電流/(A)關于電阻R(Q)的函數關系式.

(2)通過計算，比較。與的大小.

5.(2024?浙江溫州.二模)為了解新建道路的通行能力，查閱資料獲知：在某種情況下，車流速度V(單位：千米/時)

是車流密度x(單位：輛/千米)的函數，其函數圖象如圖所示.

(1)當28VxV188時，求丫關于尤的函數表達式.

（2）車流量是單位時間內通過觀測點的車輛數，計算公式為：車流量2=車流速度Vx車流密度x.若車流速度V不超過

80千米/時，求當車流密度x為多少時，車流量尸（單位：輛/時）達到最大，并求出這一最大值.

6.（2024?浙江金華?三模）隨著“體育進公園”提檔改造的不斷推進,金華沿江綠道成為這座城市的一個超大型“體育場”.在

筆直的綠道上，平平和安安分別從相距。千米的甲、乙兩地同時出發，勻速相向而行，已知平平的速度大于安安的速

度，兩人相遇后，一起聊天停留6分鐘后，各自按原速度原方向繼續前行，分別到達乙地、甲地后原地休息.兩人之

間的距離s（千米）與時間f（分鐘）之間的函數關系如圖2所示.

圖1圖2

⑴根據圖象信息，a=,b=.

（2）求平平和安安的