專題28解直角三角形（58題）

一、單選題

1.（2024?吉林長春?中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在

黃海海域成功發射.當火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為。千米，仰角

為，，則此時火箭距海平面的高度AL為（）

2.（2024?天津?中考真題）J2cos45-1的值等于（）

A.0B.1C.也—1D.J2-1

2

4

3.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC=5,sinB=~,則3C的長是（）

A.3B.6C.8D.9

4.（2024.四川自貢.中考真題）如圖，等邊ASC鋼架的立柱。0,45于點。，A8長12m.現將鋼架立柱

縮短成OE,ZBED=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12退）mB.（24-8?）mC.（24-6^）mD.僅4一4百）m

5.（2024?四川德陽?中考真題）某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物CD的高度，在建筑物旁邊有一

高度為10米的小樓房AB，小李同學在小樓房樓底3處測得C處的仰角為60。，在小樓房樓頂A處測得C處

的仰角為30。.（AB、CD在同一平面內，在同一水平面上），則建筑物8的高為（）米

A.20B.15C.12D.10+5.73

6.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測量儀班'測得的仰角為

45。，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀。測得的仰角為53。，則電子廠A8的高度為（）（參

434

考數據：sin53°?,cos53°?,tan53°~J）

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

7.（2024.內蒙古包頭.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，瓦廠是邊上兩點，且BE=EF=FC,連接

。及4斤,。石與.相交于點6,連接BG.若AB=4,BC=6,貝Usin/GB/的值為（）

8.（2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，菱形A5CD中，點。是50的中點，AM±BC,垂足為Af,

AM交于點N,OM=2,BD=8,則MN的長為（）

A.75B.述C.西D.也

555

9.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，在菱形A3CD中，ZABC=60°,AB=1,點尸是BC邊上一個動點，

在BC延長線上找一點。，使得點尸和點。關于點C對稱，連接。P、AQ交于點當點P從8點運動到

C點時，點M的運動路徑長為（）

A.正B.3C.WD.73

632

10.（2024.山東泰安?中考真題）如圖，菱形ABCD中，ZB=60°,點E是AB邊上的點，AE=4,BE=8,

點廠是BC上的一點，△EGF是以點G為直角頂點，/EFG為30。角的直角三角形，連結AG.當點尸在

直線2C上運動時，線段AG的最小值是（）

A.2B.46-2C.273D.4

11.（2024?四川瀘州?中考真題）寬與長的比是叵1的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱

2

的美感.如圖，把黃金矩形ABC。沿對角線AC翻折，點B落在點9處，AB，交CD于點E,貝|sin/D4E的

值為（）

12.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在正方形A3CD中，點X在邊上（不與點A、。重合），

ZBHF=90°,HF交正方形外角的平分線。尸于點E連接AC交于點連接昉交AC于點G,交

CD于點、N,連接80.則下列結論：①NHBF=45。；②點G是BF的中點；③若點H是AQ的中點，則

sin/A?C=巫；?BN=y/2BM;⑤若AH=；HD,貝IJZBNLNSA.M，其中正確的結論是（）

1022

A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

二、填空題

13.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點A測得該樓

頂部點C的仰角為60。，測得底部點8的俯角為45。，點A與樓2C的水平距離AD=50m,則這棟樓的高度

為m（結果保留根號）.

14.（2024.內蒙古赤峰.中考真題）綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹AB的高度.如圖，點C處

與古樹底部A處在同一水平面上，且AC=10米，無人機從C處豎直上升到達。處，測得古樹頂部2的俯

角為45。，古樹底部A的俯角為65。，則古樹A8的高度約為米（結果精確到01米；參考數據：

sin65°?0.906,cos65°~0.423,tan65°?2.145）.

15.（2024.湖北武漢.中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽.在一次

綜合實踐活動中，某數學小組用無人機測量黃鶴樓鉆的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升

至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45。，底端8的俯角為63。，則測得黃鶴樓的高度

16.（2024?四川內江?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,點E在。C上，將矩形ABCD沿

AE折疊，點。恰好落在8C邊上的點尸處，那么tan/EFC=.

17.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面30m的

點P處，測得教學樓底端點A的俯角為37。，再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6m至點。處，測得教

學樓頂端點B的俯角為45。，則教學樓A8的高度約為m.（精確至Ulm,參考數據：sin37°?0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75)

P.......Q……

'、、、、\B

18.（2024?北京?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E在A8上，AF1DE于點尸，CGLOE于點G.若

AD=5,CG=4,則△A￡F的面積為

19.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABCD,。〃為折痕，以點。為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD,BC于E,尸兩點，則斯的長度為（結果保留兀）.

AED

20.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花

朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標系中，點。的坐標為（0,0）,點8的坐標為（1,0）,

點C在第一象限，ZOBC=120°.將△OBC沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與無軸重合，第

一次滾動后，點。的對應點為O',點C的對應點為OC與O'C'的交點為4,稱點A為第一個“花朵”

的花心，點兒為第二個“花朵”的花心；……；按此規律，△O3C滾動2024次后停止滾動，則最后一個“花

疊，折痕交直線8C于點尸（點P不與點2重合），點3的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則尸C長

為.

22.（2024.山東泰安.中考真題）在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，

他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點尸處測得瞭望臺

正對岸A處的俯角為50°,測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6。，已知瞭望臺8C高12米（圖中點A,B,

3Q

C,尸在同一平面內），那么大汶河此河段的寬A8為米.（參考數據：sin40°?-,sin63.6°?—,

tan50。“g,tan63.6°?2）

23.（2024.四川達州?中考真題）如圖，在RtA4BC中，NC=90。.點。在線段上，N54D=45。.若AC=4,

CD=1,則ABC的面積是.

DB

24.（2024?貴州?中考真題）如圖，在菱形A3CD中，點E,尸分別是3C,8的中點，連接AE,AF.若

4

sinZEAF=-,AE=5,則A3的長為.

25.（2024.廣東深圳?中考真題）如圖，在ABC中，AB=BC,tan/B=巨，。為上一點，且滿足些=§,

12CD5

CE

過。作DEIAD交AC延長線于點E,則三=.

26.（2024?黑龍江綏化?中考真題）在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,點E在直線AD上，且DE=2cm,

則點E到矩形對角線所在直線的距離是cm.

三、解答題

27.（2024?內蒙古通遼?中考真題）計算：*-2|+2sin6（T-（F）°.

28.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37。方向，距離燈塔100海里的A處,

它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔尸的南偏東45。方向上的3處.這時，B處距離A處有多遠?

（參考數據：sin37°?0.60,cos37。70.80,tan37。70.75）

29.（2024?北京?中考真題）計算：（萬一5）°+曲-2sin3（T+卜志|

30.（2024?湖南長沙?中考真題）計算：（^）-1+1-^|-2cos30°-（it-6.8）°.

31.（2024?廣東深圳?中考真題）計算：-2.cos45°+（萬-3.14）°+卜.

32.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）先化簡，再求值："丁+1/Y一—11，其中〃?=cos60。.

m—1+mJ

33.（2024?吉林?中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機于空中A處探測到吉塔,

此時飛行高度AB=873m,如圖②，從直升飛機上看塔尖C的俯角㈤C=37。，看塔底。的俯角

/EW=45。，求吉塔的高度8(結果精確到0.1m).(參考數據：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)

EA

DB

圖①圖②

34.（2024?青海?中考真題）計算：718-tan45o+7r°-|-V2|.

35.（2024.內蒙古呼倫貝爾?中考真題）計算：+tan60°+|A/3-2|+（7t-2024）°.

36.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）綜合實踐活動中，數學興趣小組利用無人機測量大樓的高度.如圖,

無人機在離地面40米的。處，測得操控者A的俯角為30。，測得樓BC樓頂C處的俯角為45。，又經過人

工測量得到操控者A和大樓3c之間的水平距離是80米，則樓2C的高度是多少米？（點AB,C,。都

在同一平面內，參考數據：73?1.7）

D

一死二C飛尹一

/\c

~D

37.（2024?內蒙古通遼?中考真題）在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度.如圖，從C

點測得楊樹底端B點的仰角是30。，2C長6米,在距離C點4米處的。點測得楊樹頂端A點的仰角為45。，

求楊樹48的高度（精確到0.1米，AB,BC,。在同一平面內，點C,。在同一水平線上.參考數據：

73?1.73）.

38.（2024?湖南?中考真題）某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動.

活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積

測量工具皮尺、測角儀、計算器等

某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形其示意圖如下：

模型抽象

__________一

活動OGEFH

過程

①在水池外取一點E,使得點C,B,E在同一條直線上；

②過點E作GHLCE,并沿E”方向前進到點尸，用皮尺測得跖的長為4米；

測繪過程與

③在點F處用測角儀測得NaU=60.3。，ZBFG=45°,/AFG=21.8。；

數據信息

④用計算器計算得：sin60.3°?0.87,cos60.3°?0.50,

tan60.3°?1.75.sin21.8°?0.37,cos21.8°?0.93,tan21.8°?0.40.

請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）:

（1）求線段CE和的長度：

（2）求底座的底面A3CD的面積.

39.(2024?貴州?中考真題)綜合與實踐：小星學習解直角三角形知識后，結合光的折射規律進行了如下綜

合性學習.

【實驗操作】

第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽

內壁AC的夾角為NA；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水.(直線MV'為法線，AO為入射光線，OD

為折射光線.)

【測量數據】

如圖，點A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面內，測得AC=20cm,ZA=45°,折射角/OON=32。.

【問題解決】

根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：

(1)求BC的長；

(2)求B,。之間的距離(結果精確到0.1cm).

(參考數據：sin32°?0.52,cos32°?0.84,tan32°?0.62)

40.(2024?河南?中考真題)如圖1,塑像48在底座3C上，點。是人眼所在的位置.當點B高于人的水平

視線DE時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數學家研究發現：當經過

A,8兩點的圓與水平視線相切時(如圖2),在切點尸處感覺看到的塑像最大，此時/AP3為最大視

(1)請僅就圖2的情形證明ZAPB>ZADB.

(2)經測量，最大視角/APB為30。，在點尸處看塑像頂部點A的仰角4PE為60。，點尸到塑像的水平距

離PH為6m.求塑像48的高（結果精確到0.1m.參考數據：73?1.73）.

41.（2024?天津?中考真題）綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔A5的高度（如

圖①）.某學習小組設計了一個方案：如圖②，點C2E依次在同一條水平直線上，DE=36m,EC±AB,

垂足為C.在。處測得橋塔頂部B的仰角（NCDB）為45。，測得橋塔底部A的俯角QCDA）為6。，又

在E處測得橋塔頂部8的仰角（/CEB）為31。.

（1）求線段。的長（結果取整數）；

（2）求橋塔A8的高度（結果取整數）.參考數據：tan31°?0.6,tan6°?0.1.

42.（2024?四川樂山?中考真題）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道

與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：

平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.

良工高士素好奇，算出索長有幾？

詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10

尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺.（假設秋千的繩索拉的很直）

00

」4

w一地面-----------士旦

---------地面

圖1圖2

（1）如圖1,請你根據詞意計算秋千繩索。4的長度；

（2）如圖2,將秋千從與豎直方向夾角為a的位置OA釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為夕的地方

Q4",兩次位置的高度差尸Q=Q根據上述條件能否求出秋千繩索。4的長度？如果能，請用含a、￡和//

的式子表示；如果不能，請說明理由.

43.（2024?山東?中考真題）【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點尸之間的距離

【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具

【實踐活動】某班甲小組根據湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點8.測量A,3兩點間的距離以及一上鉆

和NPBA,測量三次取平均值，得到數據：AB=60米，/PAB=79。，ZPBA=64°.畫出示意圖，如圖

圖1

【問題解決】（1）計算A,尸兩點間的距離.

（參考數據：sin64°?0.90,sin79°?0.98,cos79°?0.19,sin37°?0.60,tan37°?0.75）

【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2,選擇合適的點。，E,F,使得A,D,E在同一條直線上，且=NDEF=NDAP,當

F,D,尸在同一條直線上時，只需測量所即可.

圖2

（2）乙小組的方案用到了.（填寫正確答案的序號）

①解直角三角形②三角形全等

【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據現場地形狀況選擇可實施的方案.

44.（2024?北京?中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，E是48的中點，DB,CE交于點F,DF=FB,

AFDC.

（1）求證：四邊形APCD為平行四邊形；

⑵若NEFB=90°,tanNFEB=3,EF=1,求BC的長.

45.（2024.甘肅臨夏.中考真題）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內，共九級，為硅框架式結

構，造型獨特別致，遠可眺太子山露骨風月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹.某校數學興

趣小組在學習了“解直角三角形，，之后，開展了測量乾元塔高度A3的實踐活動.A為乾元塔的頂端，

AB上BC,點、C,。在點3的正東方向，在C點用高度為1.6米的測角儀（即CE=1.6米）測得A點仰角

為37。，向西平移14.5米至點。，測得A點仰角為45。，請根據測量數據，求乾元塔的高度（結果保

留整數，參考數據：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

圖1圖2

46.（2024.安徽?中考真題）科技社團選擇學校游泳池進行一次光的折射實驗，如圖，光線自點8處發出，

經水面點E折射到池底點A處.已知BE與水平線的夾角tz=36.9。，點B到水面的距離BC=1.20m,點A處

水深為1.20m,到池壁的水平距離AD=2.50m,點8C,D在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平

面內.記入射角為/，折射角為九求軍史的值（精確到01，參考數據：sin36.9°?0.60,cos36.9°?0.80,

sin/

池底

47.（2024?浙江?中考真題）如圖，在ABC中，AD1BC,AE是2c邊上的中線,

AB=10,AD=6,tanZACB=1.

（1）求BC的長；

⑵求sin/ZME的值.

48.（2024?甘肅?中考真題）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實

現碳中和.甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速.某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，

“風電塔筒，，非常重要，它的高度是一個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐

活動.如圖，已知一風電塔筒垂直于地面，測角儀CO,E尸在Aa兩側，CD=EF=1.6m,點C與點

E相距182m（點C,H,E在同一條直線上），在。處測得簡尖頂點A的仰角為45。，在尸處測得筒尖頂

434

點A的仰角為53。.求風電塔筒的高度.（參考數據：sin53°?-,cos53°?-,tan53°?-.）

553

49.（2024?河北.中考真題）中國的探月工程激發了同學們對太空的興趣.某晚，淇淇在家透過窗戶的最高

點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離BQ=4m,仰角為a；淇淇向前走了3m后到達點。，

透過點尸恰好看到月亮，仰角為夕，如圖是示意圖.已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6m,

點尸到8。的距離P0=2.6m,AC的延長線交PQ于點E.（注：圖中所有點均在同一平面）

（1）求尸的大小及tan的值；

（2）求CP的長及sinZAPC的值.

|V3-2|+tan60°-Q^.

50.（2024?四川廣元?中考真題）計算：（2024-兀）°+

51.（2024?四川廣元?中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發生折射時，入射角。的正

弦值與折射角B的正弦值的比值r叫做介質的“絕對折射率”,簡稱“折射率”.它表示光在介質中傳播時,

sinp

（1）若光從真空射入某介質，入射角為a,折射角為夕，且cosa=且，月=30。，求該介質的折射率；

4

（2）現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點4B,C,。分別是長方體棱的中點，

若光線經真空從矩形4R24對角線交點。處射入,其折射光線恰好從點C處射出.如圖②，已知a=60。，

CD=10cm,求截面ABCZ）的面積.

52.（2024.內蒙古包頭.中考真題）如圖，學校數學興趣小組開展“實地測量教學樓的高度”的實踐活動.教

學樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達的

兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大小）.

（1）請你設計測量教學樓48的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應測數據標記在所畫的圖形上（測

出的距離用孤〃等表示，測出的角用d6等表示），并對設計進行說明；

（2）根據你測量的數據，計算教學樓的高度（用字母表示）.

53.（2024?甘肅.中考真題）馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線條流暢細致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術

精品，體現了古代勞動人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位

的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知。。和圓上一點M.作

法如下：

①以點〃為圓心，長為半徑，作弧交。于A,8兩點；

②延長MO交一。于點C；

即點A,B,C將一。的圓周三等分.

彩陶紋樣三點定位法三等分圓周

圖1圖2

（1）請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將O的圓周三等分（保留作圖痕跡,不寫作法）；

（2）根據（1）畫出的圖形，連接AB,AC,BC,若？。的半徑為2cm,貝|ABC的周長為cm.

54.（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，某數學活動小組用高度為1.5米的測角儀BC,對垂直于地面8

的建筑物的高度進行測量，3CLCD于點C.在B處測得A的仰角/ABE-45。，然后將測角儀向建筑

物方向水平移動6米至FG處，FGLCD于點G,測得A的仰角NAFB=58。，所的延長線交AD于點E,

求建筑物AO的高度（結果保留小數點后一位）.（參考數據：sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°?1.60）

55.（2024.廣東.中考真題）中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻.為滿足

新能源汽車的充電需求，某小區增設了充電站，如圖是矩形尸QWN充電站的平面示意圖，矩形ABC。是其

中一個停車位.經測量，ZABQ=60。，AB=5.4m,CE=1.6m,GHLCD,GH是另一個車位的寬，所

有車位的長寬相同，按圖示并列劃定.

根據以上信息回答下列問題：（結果精確到0.1m,參考數據6W1.73）

（1）求尸。的長；

⑵該充電站有20個停車位,求PN的長.

56.（2024?廣東廣州.中考真題）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）

成功著陸在月球背面.某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該

模擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到3點，再垂直下降到著陸點C,從3點測得地面。點的俯角為

36.87°,AD=17米，比＞=10米.

(1)求C￡)的長；

(2)若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到8點，求模擬裝置從A點下降到B點的時間.(參考數

據：sin36.87°?0.60,cos36.87°=0.80,tan36.87°?0.75)

57.(2024?青海?中考真題)如圖，某種攝像頭識別到最遠點A的俯角a是17。，識別到最近點8的俯角口是

45°,該攝像頭安裝在距地面5m的點C處，求最遠點與最近點之間的距離A3(結果取整數，參考數據：

sin17°?0.29,cos17°。0.96,tan17°70.31).

(1)如圖1,在ABC中，AB^15,ZC=30°,作一ABC的外接圓O.則ACB的長為;(結果

保留兀)

問題解決

(2)如圖2所示，道路A3的一側是濕地.某生態研究所在濕地上建有觀測點DE,C,線段AZ),AC和

BC為觀測步道，其中點A和點2為觀測步道出入口，已知點E在AC上，且AE=EC,ZZMB=60°,

/ABC=120。，AB=1200m,AD=BC=900m,現要在濕地上修建一個新觀測點P,使4)PC=60。.再

在線段AB上選一個新的步道出入口點尸，并修通三條新步道尸產，PD,PC,使新步道尸尸經過觀測點E,

并將五邊形ABCPD的面積平分.

請問：是否存在滿足要求的點P和點F?若存在，求此時尸尸的長；若不存在，請說明理由.（點A,B,C,

尸，。在同一平面內，道路AB與觀測步道的寬、觀測點及出入口的大小均忽略不計，結果保留根號）

專題28解直角三角形（58題）

一、單選題

1.（2024?吉林長春?中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在

黃海海域成功發射.當火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為。千米，仰角

為。，則此時火箭距海平面的高度"為（）

nn

A.asin，千米B.------千米C.ocosd千米D.-------千米

sin。cos。

【答案】A

【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數的定義是解題關鍵，根據銳角的正弦函數的定義即可

求解

【詳解】解：由題意得：sine=r==空

ARa

AL=asin。千米

故選：A

2.（2024.天津.中考真題）V2cos45的值等于（）

A.0B.1C.農-1D.J2-1

2

【答案】A

【分析】本題考查特殊角的三角函數值，熟記特殊的三角函數值是解題的關鍵；根據cos45。=也代入即

2

可求解.

【詳解】A/2COS45-1=A/2X—-1=0,

2

故選：A.

4

3.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC=5,sinB=-,則的長是（）

A

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理.正確作出輔助線是解題關鍵.過點A作

AD」3c于點。.由等腰三角形三線合一的性質得出BD=CD=3BC.根據sinB=當=:，可求出AD=4,

2AB5

最后根據勾股定理可求出應）=3,即得出3。=2班＞=6.

【詳解】解：如圖，過點A作AD13C于點D

/.BD=CD=-BC.

2

在RtAABD中，sinB=,

AB5

44

AD=—AB=—x5=4,

55

二BD=\lAB2-AD2=y/52-42=3，

BC=2BD=6.

故選B.

4.（2024.四川自貢.中考真題）如圖，等邊-ABC鋼架的立柱CDLAB于點。，長12m.現將鋼架立柱

縮短成OE,ZB￡D=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12⑹mB.（24-8@mC.（24-6@mD.僅4-4⑹m

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，解直角三角形的應用.利用三角函數的定義分別求得OE=2始,

BE=4^=AE,CD=6A/3,禾！J用新鋼架減少用鋼=4C+BC+CE>-AE-BE-OE,代入數據計算即可求

解.

【詳解】解：；等邊二ASC,(力上鉆于點。，長12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

*.?ABED=60°,

tan60°=—=V3,

DE

：.DE=273,

BE==4A/3=AE>

,?ZCBD=60°,

/.CD=BDtanZCBD=也BD=6拒m,BC=AC=AB=12m,

???新鋼架減少用鋼=AC+3C+CD—AE—BE—DE

=24+6石-8癢2石=(24-4@01,

故選：D.

5.（2024?四川德陽?中考真題）某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物。的高度，在建筑物旁邊有一

高度為10米的小樓房AB,小李同學在小樓房樓底B處測得C處的仰角為60。，在小樓房樓頂A處測得C處

的仰角為30。.（AB、CD在同一平面內，區。在同一水平面上），則建筑物CD的高為（）米

A.20B.15C.12D.10+573

【答案】B

【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應用，如圖，過A作AE_LCD于E,則四邊形ABDE為矩形,

設CE=x,TfuZ.CAE=30°,可得AE=—=Cx=BD,CD=x+10,結合tan60。=^^=——=6,

tan30°BDJ3x

再解方程即可.

【詳解】解：如圖，過A作AELCD于E,

依題意，AB1BD,CDLBD

.??四邊形為矩形，

AAB=DE=10,AE=BD,

設CE=x,而/C4E=30。，

CFr~

：.AE=------=y/3x=BD,

tan30°

CD=x+10,

CD九+10尻

tan60=-----=—T=—=,

BD瓜

解得：x=5,

經檢驗無=5是原方程的解，且符合題意;

/.CD=x+10=15（m）,

故選B

6.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高L8m的測量儀班'測得的仰角為

45。，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀8測得的仰角為53。，則電子廠的高度為（）（參

434

考數據：sin53°?j,cos53°,tan53°）

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【分析】本題考查了與仰角有關的解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，先證明四邊形EFDG、EFBM、

CDBN是矩形，再設GA7=;m,表示EM=（x+5）m,然后在RtAEM,tan/AEM=也幺，以及

EM

Rt_ACN,tan/ACN=^，運用線段和差關系，即MN=4V—AM=gx-（x+5）=0.3,再求出x=15.9m,

即可作答.

【詳解】解：如圖：延長QC交于一點G,

FDB

Z.MEF=ZEFB=ZCDF=90°

???四邊形EFDG是矩形

ZMEF=ZEFB=ZB=90°

???四邊形跖是矩形

同理得四邊形CEBN是矩形

依題意，得砂=MB=1.8m,CD=L5m,NAEM=45。,ZACN=53°

：.CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m

：.CG=ACV=0.3m

???設GAf=xm,則EM=(x+5)m

在Rt_AEM,tanZAEM=趙，

EM

EMx\=AM

即AM=(x+5)m

AN

在Rt.ACMtan/ACN=—,

CN

4

CNtan530=—%=AN

3

4

即AN=—xm

4

MN=AN-AM=jX-(x+5)=0.3

%=15.9m

/.AM=15.9+5=20.9(m)

AB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22.1（m）

故選：A

7.（2024.內蒙古包頭.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，瓦廠是邊BC上兩點，S.BE=EF=FC,連接

OE,A尸,OE與轉相交于點G,連接BG.若AB=4,BC=6,則sin/GBF的值為（）

【答案】A

【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，求角的正弦值：過點G作證明

pCiFF1

AGD^FGE,得至!］黑=黑=：,再證明,GHFFAB尸，分別求出HG,切的長，進而求出8"的長,

AGA.L）3

勾股定理求出3G的長，再利用正弦的定義，求解即可.

【詳解】解：?.?矩形ABC。，BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

；.AD=BC=6,AD〃BC,BE=EF=FC=2,

:?AG"FGE,BF=4,

FGEF_1

AG-AD-3

FG_1

AF-4

.FHGHFG

**BF-AB-AF-4?

AFH=-BF=1,GH=-AB=l

44f

：.BH=BF-FH=3f

,?BG=Jl2+3?=\/10，

1Vio

sinZGBF=—

BGA/W-10

故選A.

8.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，菱形A5CD中，點。是50的中點，AM±BC,垂足為Af,

AM交BD于點、N,OM=2,BD=8,則MN的長為（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

先由菱形性質可得對角線AC與50交于點0,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得

OA=OC=OM=2,進而由菱形對角線求出邊長，由sin/MAC=sin好解三角形即可求出

5

4也3x/5

MC=ACsinZMAC=-^―,MN=BMtanZOBC=.

55

??,菱形A5CD中，AC與50互相垂直平分,

又???點。是的中點,

???A、。、。三點在同一直線上,

：.OA=OCf

?：OM=2,AMA.BC,

：.OA=OC=OM=2,

BD=8,

??.OB=OD=-BD=4

2f

_____________QQ21

BC=y/OB2+OC2=A/42+22=2A/5，tanZOBC=-,

OD4Z

ZACM+ZMAC=90°,ZACM+Z.OBC=90°,

：.ZMAC=ZOBC

：.sinZMAC=sinZOBC=—=三=—,

BC2辨5

MC=ACsinZMAC=,

5

BM=BC-MC=25/5--=—,

55

/.MN=BMtanZOBC=^x-=述,

525

故選：C.

9.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,他=1,點P是BC邊上一個動點，

在3C延長線上找一點。，使得點尸和點Q關于點C對稱，連接。尸、A。交于點M.當點尸從2點運動到

C點時，點M的運動路徑長為（）

A.3B.在C.BD.73

632

【答案】B

【分析】該題主要考查了菱形的性質，垂直平分線的性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識點，解

題的關鍵是掌握以上點M的運動路徑.

過點C作交AD于點H,根據NABC=60。，四邊形ABCD是菱形，AB^l,算出￡羽=1,得出

AH=DH,S垂直平分AD,再證明VPCAf=VQCM,得出證明CM垂直平分PQ,點M

在S上運動，根據解直角三角形CM'=BC-tan30°=—.即可求解.