專題3.4圓與二次函數的綜合

典例精析

【典例1】如圖，已知拋物線y=/+6久+c與無軸交于點力(2m一1,0)和點B(ni+2,0),與y軸交于點C,

對稱軸軸為直線乂=-1.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P是直線AC上一動點，過點尸作PQIIy軸，交拋物線于點。，以尸為圓心，PQ為半徑作OP,

當OP與坐標軸相切時，求OP的半徑;

(3)直線y=fcc+3k+4(kK0)與拋物線交于M,N兩點，求AAMN面積的最小值.

【思路點撥】

(1)由題意及拋物線的對稱性知：一1-(2爪-1)=爪+2—(-1),即可求得加的值，從而用待定系數法

可求得函數解析式；

(2)首先求出直線AC的解析式為y=―乂-3,由PQ||y軸及點Q在拋物線上，可得點。的坐標，從而求

得PQ的長度，分兩種情況討論：當OP與x軸相切時；當OP與y軸相切時；分別利用圓心到切線的距離等

于半徑得到方程，解方程即可求得半徑；

(3)由、=/?:+3々+4(/￡k0)知，直線過點G(—3,4),則得4G_Lx軸，且4G=4;聯立直線與拋物線的解

析式，消去y得一元二次方程，可求得M與N的橫坐標，再由SMMN=SAAGM+SAAGN=2|x”-XNI，可得

關于左的函數關系式，即可求得面積的最小值.

【解題過程】

(1)解：拋物線y=%2+hx+c與x軸交于點A(2zn—1,0)和點8(TH+2,0),對稱軸為直線％=—1

???/、8關于對稱軸對稱，

???—1—(2m—1)=m+2—(―1),

解得：m——1,

即4(-3,0),8(1,0),

把A、5兩點坐標代入y=/+卜％+c中，得^];，

解得：『二2

1c=—3

則所求函數解析式為y=x2+2x-3；

(2)解：對于y=%2+2%—3,令汽=0,得y=-3,

C(0,-3),

設直線AC的解析式為y=ax+d,

則有｛一箕f;。，

解得:｛評,

所以直線AC的解析式為y=-X-3,

設點P(a,—a—3),

??,PQIIy軸，點。在拋物線上，

???。的坐標為(見。2+2。-3),

PQ—|Q2+2a—3—(—CL—3)|—|ct^+3a|；

當。尸與％軸相切時；

\a2+3a|=\—a—3|,

即a2+3d=-CL—3,或ia2+3ci=—(—CL—3),

解得：a=—1,a=-3或a=1,a=-3

顯然a=-3時點P、。與點A重合，不合題意，則。=一1及a=l,

當a=-1時，一a—3=-2；當a=1時,—a—3=—4,

此時。P的半徑分別為2或4；

當。尸與y軸相切時；

\a2+3a|=\a\,

即小+3a=—a,或小+3a=a,

解得：a=0,a=—4,或a=0,a=-2,

顯然a=0時點尸、。與點C重合，不合題意，則@=一4及。=一2,

此時OP的半徑分別為4或2；

綜上，。尸與坐標軸相切時，。尸的半徑分別為2或4；

(3)解：如圖，

當久=—3時，y=kX(-3)+3k+4=4,

?，.直線y=kx+3/c+4過點G(—3,4),

??.ZG1%軸，且AG=4；

聯立直線與拋物線的解析式得：F=+

消去y得：%2+(2—fc)x—3fc—7=0,

v△=(2-fc)2-4x1x(一3k-7)=(k+4)2+16>0,

._-(2-fc)+V(fc+4)2+16_-(2-fc)-7(fc+4)2+16

"XN—2，XM—2，

???XN_XM=J(/c+4)2+16,

11

S

???S^AMN-LAGM+S^AGN-Q/G-(-3-XM)+-AG-(xN+3)=2|%M-

?*,S^AMN=2d(k+4)2+16,

當々=一4時，(/c+4)2+16有最小值16,從而ANMN的面積有最小值2x4=8.

學霸必刷

1.(2223上?南京?階段練習)已知拋物線y=a(x—3產+§過點C(0,4),頂點為與x軸交于A、B兩

點.如圖所示，以為直徑作圓，記作。Q.

(1)試判斷點C與。。的位置關系；

(2)直線CM與。。相切嗎？請說明理由；

(3)在拋物線上是否存在一點E,能使四邊形力DEC為平行四邊形.若存在，求出點E的坐標；若不存在,

請說明理由.

【思路點撥】

(1)求出CD的長，并且CD,。。比較，如果相等，說明點C在圓上；

(2)先用兩點間距離公式求出線段的長，在用勾股定理的逆定理判斷是直角三角形，最后由垂直可判斷相

切；

(3)先嘗試作出四邊形力DEC,再證明一組對邊平行但不相等，最后說明不存在.

【解題過程】

(1):拋物線y=a(x-3)2+彳過點C(0,4)

25

???4=9a+—

4

???拋物線的解析式為y=—3尸+個

44

*.*當y=0時，方程0=--(x—3)2+交的解為％=8或%=—2

44

???/(—2,0),8(8,0)

J.AB=10,40=5,。0=3

CD=70c2+。。2=-^32_|_42=5

???CD=0D=5

故點C在圓上

(2)如圖，連接CM,CD,MD

代入頂點坐標公式，可得：^(3,,)

利用兩點間距離公式可得：MC2=^,MD2=^,CD2=25

1626

\'MC2+CD2=MD2

：.△MCD為直角三角形

CD1MC

直線CW與。。相切

(3)不存在，理由如下：

如圖，過點C作CEII4B,交拋物線于點E

當y=4時，方程4=-抖一3尸+爭勺解為x=0或x=6

；.C(0,4),E(0,6)

CE=6

?.CE*AD

.?.在拋物線上不存在一點E,能使四邊形ADEC為平行四邊形

2.（2324上.長沙.階段練習）如圖，拋物線y=a/+bx+c（a,b,c是常數，aK0）的對稱軸為y軸,

且經過（0,0）和（份,2）兩點，點尸在該拋物線上運動，以點尸為圓心的OP總經過定點4（0,2）.

（2）求證：在點尸運動的過程中，圓心P到x軸的距離始終小于半徑；

（3）設OP與x軸相交于M（ji，0）,Ng0）01<亞）兩點，當△4MN是以4M為底邊的等腰三角形時，

求圓心P的縱坐標.

【思路點撥】

（1）拋物線y=a/+打+c（a,b,c是常數，a#0）的對稱軸為y軸，且經過（0,0）和（正,5兩點，

2

可得拋物線的一般式為：y=a/,則看=a（V^）,進而即可求解；

（2）設尸（7H,jm2^,OP的半徑丁=+4>即可證明；

（3）設P（n,"2）,pa=+4,作PH1MN于H,MH=NH=J》。+4-（/了=2,故MN=4,

由M（n—2,0）,N（n+2,0）,則4M=J（n—2尸+4,4N=+2尸+4當AN=MN時,

V（n+2）2+4=4,即可求解；

【解題過程】

⑴解：：拋物線丫二收+塊+^^6,c是常數，。力0）的對稱軸為y軸，且經過（0,0）和（返2）兩

點，

二?拋物線的一般式為：y=a/,

工］=a（Va）2,

解得：a=±3，

:圖象開口向上,

?1

??CL——

4

...拋物線解析式為:廣沁

故a=b=c=0；

4

2

（2）設P（zn,^m^,OP的半徑r=Jm2+?7n2—2）,

化簡得：r=J*+4〉*

點P在運動過程中，圓心P到x軸的距離始終小于半徑;

（3）設P（n，1話）,

*：PA=—n4+4,

\16

作PH1MN于H,

又二PH=工層,

4

則MH=NH=+4_（"2'=2,

故MN=4,

.".M（n-2,0）,N（n+2,0）,

又：力（0,2）,

—2.+4,AN=J（n+2++4

當AN=MN時，J（n+2/+4=4,

解得：n=-2±2V3,貝壯小=4±2百；

4

綜上所述，尸的縱坐標為：4+2舊或4一2次.

3.(2223上?廣州期末)如圖，拋物線y=—；/-卜+c與x軸相交于點4,B(點4在點B的左側),與y軸

42

相交于點C,點B的坐標為(2,0),OM經過4,B,C三點，且圓心用在力軸上.

(1)求c的值.

(2)求OM的半徑.

(3)過點C作直線CD,交x軸于點。，當直線CD與拋物線只有一個交點時直線CD是否與0M相切？若相切,

請證明；若不相切，請求出直線CD與OM的另外一個交點的坐標.

【思路點撥】

(1)將點8(2,0)代入拋物線解析式，利用待定系數法求拋物線解析式即可；

(2)令y=0,可得—；/一|%+4=0,求解即可確定2點坐標，然后確定OM的半徑即可；

(3)直線CD與拋物線只有一個交點，則方程y=-1%+4=for+4有兩個相等的實數根，由4=

(4/c+6)2-4x1x0=0可求出k的值，進而求解即可.

【解題過程】

(1)解：:拋物線y=一|%+c經過點8(2,0),

13

—x2n—x2+c=0,

42

解得c=4,

???c的值為4；

(2)在y=一一|工+4中，

令y=0,可得—工/--%+4=0,

42

解得：Xi=—8,%2=2,

???4(-8,0),

=2-(-8)=10,

.??OM的半徑為/=5；

(3)直線CD與OM相交.

在了=—工——%x+4中，令x=0,得y=4,

42

AC(0,4).

設直線CD解析式為丫=kx+b,將點C(0,4)代入，可得b=4,

直線CD解析式為y=fcx+4,

?.?直線CD與拋物線只有一個交點，

，方程y=-^x2-|x+4=fcx+4有兩個相等的實數根，

整理，得/+(4k+6)%=0,

.".△=(4/c+6)2-4x1x0=0,

解得k=—￡

...直線CD解析式為y=—|久+4,

設直線CD與。M的另外一個交點的坐標為(%,-|x+4),

VM(-3,0),(DM的半徑為5,

貝l|(x+3)2+(-|x+4)2=52,

解得x=0(舍去)或x=|^,

將X=胃代入到y=-|%+4,可得y=-1x11+4=11，

二直線CD與OM的另外一個交點的坐標為借瀉).

4.(22-23上?廣州?期末)如圖，拋物線y=a/+.+。的圖象與x軸交于點4(-1,0)、B(3,0)與y軸交于

點C,頂點為D以48為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點E,圓心為/,尸是半圓上一動點，連接DP,點

。為PD的中點.

y

(1)試用含a的代數式表示c；

(2)若/QIPD恒成立，求出此時該拋物線解析式；

(3)在(2)的條件下，當點尸沿半圓從點B運動至點A時，點。的運動軌跡是什么，試求出它的路徑長.

【思路點撥】

(1)根據點點4(—1,0)、8(3,0)可得該函數的解析式為丫=。0+1)0-3),展開括號即可進行解答；

(2)根據點。為PD的中點，且/QLPD,可得點。在。/上，進而得出點。的坐標，即可求解；

(3)根據題意得N/QD=90。，則點。在以川為直徑的圓上運動，求出點P與點A和點B重合時點。的坐

標，進而得出Q1Q2脫軸，QiQz=2,則點。在以￡?/中點為圓心的半圓上運動，再根據圓的周長公式求解即

可.

【解題過程】

(1)解：:拋物線y=a/+bx+c的圖象與x軸交于點4(一1,0)、8(3,0),

...該函數的解析式為y=a(x+1)(%—3)=ax2—2ax—3a,

??c=3a.

(2)解:連接”,

?.?尸是半圓上一點，點。為PD的中點，且/Q1PD,

...點。在O/上,

.-.D/=-11XB-1|x[3-(-l)]=2,

??.該拋物線的對稱軸為直線％=芳=1，

A0(1,-2),

把D(l,—2)代入y=ax2—2ax—3a得：—2=a—2Q—3a,

解得：a=5

該拋物線解析式為：y=ixz-x-|；

(3)解：；IQ1PD,

:/QD=90°,

...點。在以川為直徑的圓上運動，

VX(-l,0)>B(3,0),D(l,-2),

...當點尸與點8重合時，Q1(祟,言)，即Q1(2,-1),

當點尸與點A重合時，<?2(與即。2(0,-1)，

??QiQzll”軸，Q1Q2=2,

...點。在以￡)/中點為圓心的半圓上運動，

點。的路徑長為：|X27T=7T.

5.(2122.全國.專題練習)在平面直角坐標系中，以點P(2舊3)為圓心的圓與式軸相交于4B兩點，與y軸

相切于點C,拋物線y=a/+6%+。經過點人、B、C,頂點為。.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點M為y軸上一點，連接DM,MP,是否存在點M使得△OMP的周長最??？若存在，求出點M的坐標及

△DMP的周長最小值；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】

(1)如圖①，連接24,PB,PC,設拋物線對稱軸交支軸于點G,先求出4(遮,0),B(3V3,0),C(0,-3),

把這三點代入y=ax2+bx+c求解即可；

(2)如圖②，作點P關于y軸的對稱點P,連接PO與y軸交于點M,連接PM,此時△DMP的周長為PM+MD+

DP=P'M+MD+DP=P'D+DP,即當點D,M,P，三點共線時，4DMP的周長取得最小值，最小值為P'D+

DP的長，先求出ADMP的周長最小值，然后求出直線DP'的解析式，即可求出點M.

【解題過程】

(1)如圖①，連接P4PB,PC,設拋物線對稱軸交x軸于點G,

圖①

由題意得24=PB=PC=2V3,PG=3.

AG=BG=J(2V3)2-32=V3.

力(百,0),B(3A/3,0),C(0,-3).

_1

3。++c=0,"-3’

把點Z(b,0),5(373,0),。(0,-3)代入、=。/+力%+。中，得｛27。+37^+。=0,解得"=更

；?拋物線的解析式為y=-1/+#》一3；

(2)存在.如圖②，作點P關于y軸的對稱點P,連接P'。與y軸交于點“，連接PM,此時AOMP的周長為

PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP,即當點D,M,P，三點共線時，/DMP的周長取得最小值,

最小值為P'D+DP的長，

圖②

?.?點P（2B,-3）與點P，關于y軸對稱，

.?.點P'的坐標為（-2百，-3）,PP'=4V3,

易得。

DP=4.

P'D=JPP'2+DP2=8,

???P'D+DP=12.

.?.ADMP的周長最小值為12；

設直線DP'的解析式為y=kx+b1,

將P（-28，-3）、D（2百,1）代入，

得1—2遍上+b]=-3,

守2V3fc+瓦=1.

解得｛卜一3,

瓦=—1

???直線DP'的解析式為y=y%-1,

令汽=0,則y=-1,

6.（21」22下?長沙?期中）如圖1,拋物線丫=；乂2一2%與％軸交于0、A兩點，點B為拋物線的頂點，連

4

接

（1）求NAOB的度數;

（2）如圖2,以點A為圓心，4為半徑作。A,點M在0A上.連接OM、BM,

①當△08M是以OB為底的等腰三角形時，求點M的坐標；

②如圖3,取0M的中點N,連接BN,當點M在。A上運動時，求線段BN長度的取值范圍.

【思路點撥】

(1)將函數解析式化為頂點式，得到點8的坐標，作8HLOA于H,則0H=BH=4,即可得到/AOB的

度數；

(2)①先求出A點坐標.作。B的垂直平分線交。A于"1、"2兩點，由A”=4=OH=B“，得到坐標為

(4,0).連接4M2，由乙做2從4=Z0HC=45。，AH=AM2=4,得到坐標為(8,4)；

②延長OB至點。，使BD=OB,則點D坐標為(8,-8),連接根據三角形中位線的性質得到BN=^MD,

當過點A時，長度達到最大值，當點M在點E處時，有最小值，由此解決問題.

【解題過程】

(1):丫=]/—2;(:：]。:-4y一4,點8為拋物線頂點，

.,.點2的坐標為(4,-4).

作BH1.OA于H,則OH=BH=4,

：.ZAOB=45°.

(2)①-2x=0,解得/=0,x2=8,

A點坐標為(8,0).

作OB的垂直平分線交。A于Mi、M2兩點，

半徑為4,AH=4,

.?.點〃在OA上，此時0H=BH,

二點”與點Mi重合，

坐標為（4,0）.

連接AM?,

乙

VZ.M2HA=OHC=45°,AH=AM2=4,

：.^HAM2=90°,則M2坐標為（8,4）,

綜上，點M的坐標為（4,0）或（8,4）.

②延長OB至點。，使8。=。8,則點O坐標為（8,—8）,

連接

:點N為中點，

BN=-MD.

2

如圖，當MZ）過點A時，長度達到最大值，

當點M在點E處時，有最小值，

?點A、D橫坐標相同，

此時軸，

；.M￡）=8+4=12,OE=8-4=4,

.".4<MD<12,

：.2<BN<6.

7.（2L22上?長沙?階段練習）己知拋物線yud+Zw+B（存0）經過A（3,0）、B（4,1）兩點，且與y

軸交于點c.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，設拋物線與x軸的另一個交點為。，在拋物線上是否存在點P,使A的面積是△BD4面積

的2倍？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)如圖(2),連接AC,E為線段AC上任意一點(不與A、C重合),經過A、E、。三點的圓交直線

AB于點F,當△的面積取得最小值時，求面積的最小值及￡點坐標.

【思路點撥】

(1)根據待定系數法求解即可;

(2)根據拋物線的解析式求出點。的坐標，取點E(l,0),作E尸〃AB交拋物線于點尸，得到直線EP

為y=x-l,聯立方程組求解即可;

(3)作于得到。4=OC=3,AD=BD=1,證明所是△AE。的外接圓的直徑，得到AEOF

是等腰直角三角形，當。￡最小時，AEOF的面積最小，計算即可;

【解題過程】

(1)將點A(3,0),B(4,1)代入可得:

1

a--

9a+3b+35,解得：2

14ci+4b+3—1b=--

2

故函數解析式為y=|x2-|x+3；

(2):拋物線與x軸的交點的縱坐標為0,

—|x+3=0,解得：x/=3,短=2,

???點。的坐標為(2,0),取點E(1,0),作￡尸〃A3交拋物線于點尸,

?.,En=AQ=l,...止匕時△PAB的面積是^DAB的面積的兩倍,

,/直線AB解析式為y=x-3,

.??直線EP為y=x-1,

7-V177+V17

y=x—1X=

22

由15,o解得?

y=-xz2——％+35-V175+V17

-22

22

5-V17-7+V175+V17

...點P坐標(目至，xZ

222

(3)如圖2中，作3D_LO4于。.

VA(3,0),C(0,3),B(4,1),

：.OA=OC=3,AD=BD=\,

：.ZOAC=ZBAD=45°,

9

：ZOAF=ZBAD=45°f

：.ZEAF=90°,

???EF是八AEO的外接圓的直徑,

???NEOF=9。。,

：.ZEFO=ZEAO=45°9

:ZOF是等腰直角三角形，

，當0E最小時，△EOF的面積最小,

：OE_LAC時，OE最小，OC=OA,

:.CE=AE,OE=-AC=—,

22

|),SAEOF=^X^=l

.?.當△。斯的面積取得最小值時，面積的最小值為J,E點坐標《，

422

8.(20?21下揚州.一模)如圖，拋物線與x軸交于A,2兩點，點B坐標為(3,0)頂點尸的坐標為(1,—4),

以AB為直徑作圓，圓心為。，過尸向右側作OD的切線，切點為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)請通過計算判斷拋物線是否經過點C；

(3)設M,N分別為x軸，y軸上的兩個動點，當四邊形PNMC的周長最小時，請直接寫出M,N兩點的

坐標.

【思路點撥】

(1)可設頂點式，將頂點為4(1,-4),點B(3,0)代入求出拋物線的解析式；

(2)首先求出。點坐標，再利用CO等于圓。半徑為;48=2,由cosNPOC=*=；=；,得出C點坐標

2PD42

即可，進而判斷拋物線是否經過點C即可；

(3)作C關于x軸對稱點。，尸關于y軸對稱點P',連接P'C',與x軸，y軸交于"、N點，此時四邊形

PNMC周長最小，求出直線P'C'的解析式，求出圖象與坐標軸交點坐標即可.

【解題過程】

(1)解:設拋物線的解析式為y=a(x—無/+上把h=1,k=—4,代入得；y=a(x—1)2—4,

把x=3,y=0代入y=a(x-l)2-4,解得a=1,

拋物線的解析式為：y=(x-I)2-4,即：y=%2-2%-3；

(2)解:如圖,

作拋物線的對稱軸，

2

把y=0代入y=x-2x-3解得X1=-1,x2=3,

.，?A點坐標為(-1,0),

：.AB=|3-(-1)|=4,

.,.OD=2-1=1,

：.D點坐標為(1,0),而拋物線的對稱軸為直線x=1,

...點。在直線x=1上，

過點C作CE1PD,軸，垂足分別為E,F,連接。C,

：PC是的切線，

：.PC1DC,在RtAPC。中

.?.cos乙PDC=—CP=-2=-1

PD42

:.乙PDC=60°,

解直角三角形C￡)E,可得OE=1,CE=痘,

...(7點坐標為(百+1,-1),

把x—y/3+1代入y—x2—2x—3得：y=-1

.?.點C在拋物線上;

(3)解：如圖2,作點C關于x軸的對稱點。，點P關于y軸的對稱點口，連接P。，分別交x軸，y軸于

M,N兩點,

此時四邊形PNMC的周長最小，

：(?點坐標為(百+1,-1),

.W點坐標為+1,1),

?.?尸的坐標為(1,—4),

；中的坐標為(-1,-4),

代入、=履+6中，

解得:k=-5V3+10

b=-5A/3+6

則直線P'C'的解析式為：y=(-5V3+10)x-5V3+6,

當x=0,y=-5V3+6,

故N點坐標為：(0,-5舊+6),

當y=0,貝U0=(-5V3+10)x-5V3+6,

3+4V3

解得:X=

5

故M點坐標為：(上當,01

9.(2122上?宜昌?期末)如圖所示，對稱軸為直線x=1的拋物線y=/+bx+c與x軸交于4、B兩點，與

y軸交于點。(0,-2),點P在拋物線對稱軸上并且位于支軸的下方，以點P為圓心作過4B兩點的圓，恰好使

得弧48的長為OP周長的

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求OP的半徑和圓心P的坐標，并判斷拋物線的頂點C與OP的位置關系；

(3)在拋物線上是否存在一點M,使得SMBM=3V3?若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

【思路點撥】

(1)根據二次函數的圖像及性質，根據對稱軸為x=l,得—/=—￡=1,求出。=一2,把。(0,-2)代

入了二爐+板+的求得C=-2,即可求出拋物線的解析式.

(2)根據二次函數的解析式推出4(1一8,0),B(l+V3,o).從而得到。B=g+1.根據對稱軸為x=1,

得到。E=l.SF=V3.連接P4PB.由勾股定理可得PE=1,PB=2,求出0P的半徑為2,P的坐標

為(1,—1).根據拋物線y=/_2%-2=(x-I/-3,求出拋物線y=%2-2x-2的頂點坐標為(1,一3).得

到PC=2.所以推出點C在OP上

(3)設點時的坐標為(4。2-2(1-2),根據三角形的面積公式推出3*2百*|(12-2。一2|=3百，得到

|a2-2a—2|=3,①當a?—2a—2=3時，②當a?—2a—2=—3時，求出a的值，即可求得M點的坐

標.

【解題過程】

(1)解：,??對稱軸為尤=1,

_L=__L=1

2a2x1

???b=-2.

把0(0,-2)代入y=M+力％+。，得c=-2.

???拋物線的解析式為y=/一2久一2.

2

(2)把y=。代入y=x—2x—2,得%2—2%—2=0,解得久i=1—V5,x2=1-I-V3.

???71(1-V3,0),F(1+V3,0).

OB=V3+1.

「對稱軸為x=1,

OE=1.

BE—V3.

連接P4、PB.

X=1

???仙的長為OP周長的:，

???乙APB=120°.

PA=PB,

???Z,PBE=30°.

由勾股定理可得PE=1,PB=2,

OP的半徑為2,P的坐標為(1，-1).

y=x2-2x-2=(x—l)2—3,

???拋物線y=/-2x-2的頂點坐標為(1,一3).

PC=2.

.??點C在OP上

(3)存在

設點M的坐標為(a,a2-2a-2).

SAABM=3-\/3

???jx2V3x|a2-2a-2|=3V3

|a?—2a—21=3.

①當a?—2a—2=3時,

解得a】=1—V6,a2=1+V6,

Mi(l-V6,3),M2(l+V6,3).

②當a2-2a-2=-3時,解得&3=a4=1,

M3(l,-3)

綜上，符合條件的點M的坐標有(1一粕,3),(1+V6.3),(1,-3).

10.(2122?全國?專題練習)定義：平面直角坐標系xOy中，過二次函數圖像與坐標軸交點的圓，稱為該二

次函數的坐標圓.

(1)己知點P(2,2),以尸為圓心，曲為半徑作圓.請判斷。P是不是二次函數y=/-4x+3的坐標圓,

并說明理由；

(2)已知二次函數y=/-4x+4圖像的頂點為A,坐標圓的圓心為P,如圖1,求△POA周長的最小值；

(3)已知二次函數y=a/-4x+4(0<a<l)圖像交x軸于點A,B,交y軸于點C,與坐標圓的第四個交

點、為D,連接PC,PD,如圖2.若/CP￡)=120。，求a的值.

【思路點撥】

(1)先求出二次函數y=V-4x+3圖像與無軸、y軸的交點，再計算這三個交點是否在以尸(2,2)為圓心，

逐為半徑的圓上，即可作出判斷.

(2)由題意可得，二次函數y=/-4x+4圖像的頂點A(2,0),與y軸的交點8(0,4),所以APOA周

^=PO+Ri+OA=PO+PH+2>OH+2,即可得出最小值.

(3)連接CD,PA,設二次函數y=ar<4x+4圖像的對稱軸/與CD交于點、E,與x軸交于點F,由對稱性知,

對稱軸/經過點P,且/_LCZ),設PE=m,由NCP￡)=120°,可得E4=PC=2:mCE=Wm,PF=4-m,表示出

AB.AF=BF,在Rf△抬尸中，利用勾股定理建立方程，求得加的值，進而得出。的值.

【解題過程】

(1)對于二次函數y=/-4x+3,

當x=0時，y=3；當y=0時，解得x=l或x=3,

...二次函數圖像與x軸交點為A(1,0),B(3,0),與y軸交點為C(0,3),

;點P(2,2),

:.PA=PB=PC=E,

；.。尸是二次函數-4x+3的坐標圓.

(2)如圖1,連接PH,

?.,二次函數-4x+4圖像的頂點為A,坐標圓的圓心為P,

.'.A(2,0),與y軸的交點”(0,4),

APOA周長=尸0+朋+OA=PO+PH+2NO”+2=6,

APOA周長的最小值為6.

(3)如圖2,連接CD,PA,設二次函數>=加-4尤+4圖像的對稱軸/與C。交于點E,與無軸交于點尸,

由對稱性知，對稱軸/經過點尸，且

??tnA/16—16a

?AB=-------=-------,

aa

：.AF^BF=^^,

a

*：ZCPD=nO°,PC=PD,C(0,4),

???ZPCD=ZPDC=30°,

設尸E=根，則F4=PC=2加，CE=V3m,PF=4-m,

???二次函數y=aj(2-4x+4圖像的對稱軸l為x=J

a

V3m=即a=-—,

ay/3m

222

在放ZkRl廠中，PA=PF+AF9

4m2=(4—m)2+(2^^a)2,

即47n2=(4_7n)2+竺子過，

3m2

化簡，得(8+2*\/3)n2=16,解得??2=二巾,

?

2=4V3+3

??CL-Vp37-71=---1--2---.

11.（22?23上?嘉興?期中）如圖，拋物線丫二-產+板+/工軸相交于點/,B,與y軸相交于點C,已知兒C

兩點的坐標為/（一1,0）,C（0,3）.點尸是拋物線上第一象限內一個動點，

(1)求拋物線的解析式，并求出B的坐標；

(2)如圖1,y軸上有一點0(0,1),連接。P交BC于點H,若H恰好平分DP,求點P的坐標；

(3)如圖2,連接4P交BC于點M,以為直徑作圓交ZB、BC于點E、F,若E,F關于直線4P軸對稱，

求點E的坐標.

【思路點撥】

(1)利用待定系數法解決問題即可.

(2)過點P作PG||y軸交BC于G.設P(m,-爪2+2爪+3),則G(m,3-m),利用全等三角形的性質證明PG=

CD—2,構建方程求出即可.

⑶連接4凡ME.想辦法證明力尸=4E=FB=彳8=2&，再證明FM=ME=8E,求出0E即可解決

問題.

【解題過程】

(1),拋物線y=-/+b%+c經過/(一1,0),。(0,3),

.fc=3

??l-l-b+c=0'

解得，二3'

Ay=—x2+2%+3,

令y=0,得到—/+2%+3=0,

解得％=-1或3,

???8(3,0)；

(2)如下圖，過點尸作PG||y軸交于G.設P(m,m?+2血+3),則G(ni,3-7n),

VD(O,1),

：.0D=1,

*：0C=3,

ACD=2,

9：PG\\CD,

：.Z.HCD=乙HGP,

在^GH尸中，

2CHD=乙GHP

乙HCD=乙HGP,

、DH=PH

：.△CHD=△GHP(AAS),

：.PG=CD=2,

/.PG=—m2+2m+3—(3—m)=2,

解得m=1或2,

???P(1,4)或(2,3).

：.Z.AFM=Z.AEM=90°,

：.AF1CM,MEli4E,

VE,廠關于直線ZP軸對稱,

：.ME=MF,AF=AE,

9JOB=。。=3,Z-BOC=90°,

：.Z.OBC=45°,

U：Z-BEM=90°,^AFB=90°,

:?乙EMB=乙EBM=45°,AF=FB=AE=—AB=2VL

2

：.BE=ME=FM=AB-AE4-2vL

：.OE=3-(4-2V2)=2V2-1,

/.F(2V2-1,0).

12.(2L22上.鄂爾多斯?階段練習)如圖，拋物線y=ax?一2x+c經過直線y=尤-3與坐標軸的兩個交點

4、B,此拋物線與無軸的另一個交點為C,拋物線的頂點為D

(2)點P為拋物線上的一個動點，求使SA4PB=SMBC的點P的坐標；

(3)OM是過A、B、C三點的圓，連接MC、MB、BC,求劣弧CB的長.

【思路點撥】

(1)先根據y=x-3求出點A、點3的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

(2)先求出點C的坐標，然后求出SfBC—6,設點P(a,a2-2a—3),再分兩種情況討論,根據S-PB=^LABC

列方程求解即可；

(3)先求出BC=V1U,/.BMC=90°,然后求出8M=花，最后根據弧長公式進行計算即可.

【解題過程】

(1)解：把x=0代入y=x-3得：y=-3,

AB(0,-3),

把y=0代入y-x—3得：x-3=0,

解得：%=3,

???4(3,0),

將點A與點B的坐標代入拋物線y=ax2-2x+c,

解得｛：二?3'

???拋物線的解析式是y=/-2%-3；

(2)解：把y=。代入y=/—2x—3得:x2—2x—3=0,

解得：=3,x2=-1,

???點C(-L0),

S-BC=[acXOB=(x[3-(-1)]x3=6,

p為拋物線上的一個動點，

???設點P(Q,a2-2a-3),

當點尸在48下方時，過點尸作P”lly軸，交43于點〃，如圖所示:

則PH=CL—3—(a?—2a—3)=-a?+3a,

SAPAB=5x3X(_a?+3ci)=——M4--a,

?3?9u

??—2OLH—Q=6,

22

BP--a2+-a—6=0,

22

,：△=g)2-4x(-|)x(-6)=*<0,

此方程無解；

當點P在48上方時，過點尸作PHIIy軸，交4B于點如圖所示:

則PH=a?—2a—3—(a—3)=a?—3a,

SNAB=Ix3x(a2—3a)=|a2~\a,

3n9

-a2—Cl=6,

22

BP-a2--a—6=0,

22

解得：?1=—1,a2=4,

當%=-1時，點尸坐標為(一1,0),此時點P與點C重合,

當。2=4時,點尸坐標為(4,5)；

二尸點的坐標為:(一1,0)或(4,5).

(3)解：724(3,0),B(0,—3),C(-l,0),

：.BC=7(-1-0)2+(-3-0)2=V10,。4=。8=3,

'：^AOB=90°,

.-.z0^=z^=|x90o=45%

：.Z.BMC=2/.BAC=2x45°=90°,

VCM=BM,

CM2+BM2=2BM2=BC2=10,

：.BM2=5,

：.BM=有或BM=-V5（舍去），

90TTXV5=—A/57T.

1802

13.（22-23下?汕頭?三模）如圖,在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx-3{a豐0）與x軸交于4（3,0）

.5（-1,0）兩點,與y軸交于點C,連接AC,

y

(i)求拋物線的解析式與頂點M坐標：

(2)如圖，在對稱軸上是否存在一點。，使NDC2=若存在，請求出點。的坐標：若不存在，請說

明理由；

(3)如圖，若點P是拋物線上的一個動點，且NZPB=45。，請直接寫出點P的橫坐標

(4)如圖，以4B為直徑畫交OE,Q為圓上一動點，拋物線頂點為M,連接MQ,點N為MQ的中點，請直

接寫出BN的最小值.

【思路點撥】

(1)運用待定系數方法即可求解拋物線的解析式，把拋物線解析變形為頂點式即可求解頂點坐標；

(2)根據拋物線可知對稱軸為直線x=1,C(0,-3),設根據兩點間的距離公式即可求解；

(3)在對稱軸上取點S,使AABS是等腰直角三角形，對稱軸于x軸交于點N,如圖所示，可得S(l,2)或(1,-2),

分類討論：當S(l,2)時，以S為圓心，BS為半徑作圓，與拋物線的交點為P點，設P(x,——2久-3),根據兩

點間的距離公式即可求解；當S點在x軸下方時，5(1,-2),P點在%軸下方時不存在；當S(l,-2)時，以S為

圓心，BS為半徑作圓，與拋物線的交點只有4B；由此即可求解；

(4)連接ME、MB,并延長MB至H,使=MB,過點H作HG1x軸于點G,連接HQ,如圖所示，分類

討論：①當點。不與8重合時；②當點Q與B重合，此時點N為BM的中點，此時，點N為BM的中點；根據

勾股定理即可求解.

【解題過程】

(1)解：(1)將4(3,0)、8(-1,0)代入y=a/+6久一3

...產+下二：0,解得：*=1

la—b-3=0S=—2

???拋物線的解析式y=%2-2%-3=(x-l)2-4,

頂點M坐標為(1,一4).

(2)解：存在點。，使乙。巴4=4ZMC,理由如下:

y=x2—2x—3=(x—l)2—4,

???對稱軸為直線X=1,令x=0,貝切=一3,

C(0,-3),設。

Z.DCA=Z-DAC,

DC=DA,

：.71+(t+3)2=V4+t2,解得t=-1,

???D(l,-1).

(3)解：在對稱軸上取點S,使A/IBS是等腰直角三角形，對稱軸與x軸交于點N,如圖所示:

???SN=BN=AN,

S(l,2)或(1,一2),

???BS=2vx

當S(l,2)時，以S為圓心，BS為半徑作圓，與拋物線的交點為P點，

???Z.BSA=90°,

Z.BPA=45°,

SP=2V2,設P(x,/-2%-3),

，(/-1)2+(2-x?+2x+3)2=2V2,

(x-I)2=4或1)2=7,解得x=3(舍)或X=-1(舍)或x=V7+1或x=-V7+1,

P(V7+1,3)或(一行+1,3);

當S點在久軸下方時，5(1,-2),此時—1尸+(—2——+2-+3產=2立,

(x-I)2-4或(x-I)2=-1,解得x=3(舍)或%=-1(舍)，

P點在工軸下方時不存在；

當S(l,-2)時，以S為圓心，BS為半徑作圓，與拋物線的交點只有48,

此時不存在點P使N2PB=45°；

綜上所述：。(夕+1,3)或(一正+1,3).

(4)解：連接ME、MB,并延長MB至H,使BH=MB,過點H作HG1x軸于點G,連接HQ,如下圖,

①當點。不與2重合時，

,:BH=MB,N為MQ的中點，

：.BN||HQ,BN=|HQ,

.?.當HQ最小時，即H、Q、E三點共線是時，BN有最小值，

74(3,0)、F(-l,0),

：.AB=4,BE=2,

為OE直徑，點M拋物線頂點，

:.BE=2,ME1BE,ME=4,

lx軸，

:.乙MEB=乙HGB=90°,

■:乙MBE=乙GBH,BH=MB,

：.△MBE=△GBH,

：.BG=BE=2,HG=ME=4,

Z.GE=4,

：.HE=4/，

'：EQ=BE=2,

：.HQ=4V2-2,

：.BN=2V2-1,

此時BN有最小值為2或-L

②當點Q與B重合，此時點N為BM的中點，此時，點N為的中點，如下圖

,:BE=2,ME=4,Z.MEB=90°,