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文檔簡介
七下數學期中真題必刷計算110題(11個考點)
考點一同底數塞的乘法(共10小題)
1.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)計算:
⑴331;
⑵中行;
(3)(-x)-x2?(-%)4;
(4)(a+6)3.(a+?.
2.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)計算:
(1)24X23;
Qk—
(3)那?6"(外〃是正整數);
(4)//〃"(加,〃是正整數).
3.(24-25七年級下?江蘇連云港?階段練習)計算:
(l)a"-a("是正整數);
(2)x"-x"T("是大于1的整數);
(3)x向-x"T("是大于1的整數);
(4)/-/+1-y(〃是正整數).
4.(24-25七年級下?江蘇宿遷?階段練習)計算:
(l)(-x)3-X-(-X)2;
(2)(機一/I)""-機)2.
5.(2025七年級下?江蘇徐州?專題練習)計算:
(2)(-辦(-6)3.(-6)5.
6.(24-25七年級下?江蘇常州?階段練習)計算:
(1)X3-X8;
⑵(-4)2x(-4)9;
(4)2m-1x2m-2.
7.(2025七年級下?江蘇無錫?專題練習)計算:
⑴(一加)?(一加J.(一加了;
(2)(加一〃卜(〃一加)3?(〃一加J.
8.(2025七年級下?江蘇鎮江?專題練習)計算:
(l)x2-x+x-x2;
(2)。3.〃〃-1+0優+1;
(3)Q2,Q3_(_/}Q4+々6.(_々),
⑷卜一才口一力上卜一城.
9.(2025七年級下?江蘇宿遷?專題練習)計算:
(1)tz3,(-“)?tz1-;
(2)y2n+1?W”+2(〃為大于i的整數);
(3)(x-y)5a-x)3.(x-y);
(4)(6-a)3.(a-b)--(a-b).(b-a),.
10.(2025七年級下?江蘇揚州?專題練習)計算:
(I%,;
(2)a2n-a"+1;
⑶(-?),尸(-?;
⑷一(4-0『;
⑸(s-/『(s-s)(加、〃是正整數);
(6)x"-x"+,+x2"-x("是正整數).
考點二幕的乘方與積的乘方(共10小題)
11.(24-25七年級下?江蘇無錫?階段練習)計算:
(l)x2-x4+(x];
⑵.(-叫;
(3)-X2.卜27十X,
(4)[(3x-2y)2]3{(2x-3^)2]3
12.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)計算:
127139
(l)(-0.125)x(-lj)x(-8)x(-1);
(2)0.25遇3x42024-8100xO.5300.
13.(24-25七年級下?江蘇無錫?階段練習)已知10"=3,10"=2,求值:
⑴10"+吁;
⑵IO?*.
14.(24-25七年級下?安徽宿州?階段練習)已知:x"=2,yn=3.
(1)求(交廣的值
(2)已知:xm+3"-ym+3"=36,求x的值
15.(24-25七年級下?河南周口?階段練習)已知爐內.鏟+顯鏟=/,求(-2"]的值.
16.(24-25七年級下?江蘇泰州?階段練習)我們知道:對于正整數。也c,若6>G"R1,則—>優;若
a>c,則d>cJ因此在比較幕的大小時,我們可以把它們化成底數相同的數,比較次數的大小,或者化
成次數相同的數,比較底數的大小.請運用此方法解決下列問題:
(1)比較大小:220810;(填或“=”)
(2)已知a=2333,b=3222,c=4H1,試比較。,mc的大小.
17.(24-25七年級下?江蘇揚州?階段練習)計算:
(D(孫町+(孫“)”;
(2)_3x?f.
18.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)計算:
(1)3((7+Z))-[—2(a+b)r;
「1T
⑵[-2(x-y『—(y-x).
19.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)計算:
⑴(叫;
(3)[(-J)3]4;
(4)(-am了(m是正整數).
20.(24-25七年級下?江蘇無錫?階段練習)計算:
⑴(2x)2;
⑵(-2";
⑶-(-3x打;
(4)(-2aVc4)4.
考點三同底數易的除法(共10小題)
21.(24-25七年級下?江蘇常州?階段練習)計算:
(l)a5-a44-a2;
⑵/+/./;
(3)(a+Z>)8+(a+Z>)4;
(4)(-x)8+(-x)3+(-x)-.
22.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)已知優=2,優=3,求:
(1)優一>的值;
(2)/'的值;
(3)戶+>的值.
23.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)在數學中.我們經常會運用逆向思考的方法來解決一些問題.
⑴已知d+“"=屋-",若〃"=4,尸"=2,請你也利用逆向思考的方法求a"的值;
(2)下面是小賢用逆向思考的方法完成的一道作業題.請你參考小賢的方法解答問題:
小賢的作業
計算:89X(-0.125)9.
解:89x(-0.125)9=(-8x0.125)9=(-1)9=-1.
計算:52025X(-0.2)2°24.
24.(2025七年級下?江蘇揚州?專題練習)計算:
(l)p)4-H)3;
⑵(/+/x(-a)2;
(3乂")",(-/)2"+(*)5.
25.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)(1)3x9mx27ffl=316,則加的值為:
(2)已知優'=4,優=8,求°癡3的值.
26.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)計算:
⑴(X,)4-(-X2)+(-X)3;
(2)(Q—Z?)5+(b—a)?.
27.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)計算:
(1)X84-X2;
(2)(-a)4+(-。);
(3)(ab)s4-(ab)2;
(4)(2a-bp+(6-2aA.
28.(24-25七年級下?江蘇無錫?階段練習)計算:
(2)(-X5)-^(-X)3-(-%).
29.(24-25七年級下?江蘇泰州?階段練習)計算:
(l)a9H-a3;
⑵(-x)6+x;
⑶(-3)、(-3)8;
30.(24-25七年級下?江蘇鎮江?階段練習)若優=a(a>0且awl,相、〃是正整數),則加=".利用上
面結論解決下面的問題:
(1)如果8'=23求x的值;
(2)如果2X+2+=24,求x的值;
(3)若x=5"i,y=4-25m,用含x的代數式表示y.
考點四塞的運算新定義運算(共10小題)
31.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)定義新運算:x十y=
⑴求3十1的值.
(2)若2十(4心+5)=8,求加的值.
32.(2025七年級下?江蘇蘇州?專題練習)規定兩數a,6之間的一種運算,記作(。*),如果優=6,則
(a,b)=c.我們叫(a,6)為“雅對”.
例如:因為23=8,所以(2,8)=3.我們還可以利用“雅對淀義說明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.證明如
下:
設(3,3)=m,(3,5)=n,則3"=3,3"=5,
故3'"S"=3叫*"=3x5=15,
則(3,15)=m+n,
即(3,3)+(3,5)=(3,15).
⑴根據上述規定,填空:(2,4)=_;(5,1)=_;(3,27)
⑵計算(5,2)+(5,7)=_,并說明理由.
(3)利用“雅對”定義證明:(2",3")=(2,3),對于任意自然數"都成立.
33.(24-25七年級下?黑龍江哈爾濱?期中)定義一種新計算,若優=〃,記做logj=x,例如:因為
24=16,所以logj=4
⑴根據上述規定,填空:
①若1唱'=2,貝”=;
②若log「=2,貝小=;
(2)若logj=a,log;=6,bg2°=6a+26,求c的值.
34.(2024七年級下?江蘇南京?專題練習)請閱讀材料,并解決問題,如果1(/=〃,那么6為〃的“勞格
數”,記為b=d(n).由定義可知:10"=〃與6=d(")表示6、〃兩個量之間的同一關系.
⑴根據“勞格數”的定義,填空:"(1。)=,"(10-2)=;
“勞格數”有如下運算性質:
I7/1]
若加、〃為正數,貝l]d(加〃)=d(m)+d("),d\—\=d(jn)-d(ri)-
(2)根據運算性質,填空:46=______.(。為正數)
d(a)
⑶若d(2)=0.3010,分別計算d(4),或5).
35.(24-25七年級下?上海楊浦?期中)如果10〃=”.那么稱b為〃的勞格數,記為6="(〃),由定義可
知,10〃="和6所表示的6、力兩個量之間具有同一關系.
⑴根據定義,填空:w1。)=
(2)勞格數有如下性質:d(mn)=d(m)+d(n),=,根據運算性質。回答問題:
d(a2]
①一興=______.為正數)
d(tz)
②若42)=0.3010.求"(4)、1(5)的值。
36.(22-23七年級下?江蘇蘇州?期中)規定兩數。,6之間的一種運算,記作(。2),如果建=人則
(a,b)=m.我們叫(凡方)為“雅對”.例如:因為2:8,所以(2,8)=3.我們還可以利用“雅對”定義說明等式
(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.證明如下:
設(3,3)=加,(3,5)=〃,則3M=3,3"=5,故3m?3"=3"+"=3x5=15,則(3,15)=機+〃,即(3,3)+(3,
5)=(3,15).
⑴根據上述規定,填空:(3,81)=;(,-125)=3;
(2)求證:(5,4)+(5,9)=(5,36)
37.(24-25七年級下?江蘇?期末)閱讀材料.
對數的創始人是蘇格蘭數學家納皮爾(1550-1617年),納皮爾發明對數是在指數書寫方式之前,直到18
世紀瑞士數學家歐拉(1707-1783年)才發現指數與對數之間的聯系.
對數的定義:一般地,若N(a>0,awl),那么x叫做。為底N的對數,記作x=log,N,比如指
4
數式23=8可以轉化為對數式3=log28,對數式4=log381可以轉化為指數式3=81.我們根據對數的定義
可得到對數的一個性質為log“(“,N)=log“M+logaN(a>0,awl,M>0,N>0).理由如下:
設log.M=m,logaN=n,則M=d,N=a",
:.M-N=am-a"=am+n,
由對數的定義,得加+”=log"(ATN),
又?.?機+幾=logflM+logqN,
.?.log"(M.N)=log"M+log.N.
請你仔細閱讀上面的材料之后,解答下列問題.
(1)將指數式53=125轉化為對數式為
(2)計算:logz32=_.
M
(3)求證:log。獷=log”M-log”N(a>0,awl,M>0,N>0).
(4)直接寫出log32+log36-logs4的值.
38.(2024七年級下?江蘇?專題練習)在形如a"=N的式子中,我們已經研究過兩種情況:①已知。和6,
求N,這是乘方運算:②已知6和N,求。,這是開方運算.現在我們研究第三種情況:己知。和
N,求6,我們把這種運算叫做對數運算.定義:如果/=N(a>0,awl,N>0),則b叫做以。為
底N的對數,記作:b=logaN,例如:求log?8,因為23=8,所以log?8=3;又比如
■-2-3=-
-8'
,1、
10§27=-3'"■
O
(1)根據定義計算:
?log381=_;?log101=_;③如果/。取/6=4,那么x=_;
⑵設罐=M,ay=N,則log“M=x,log“N=y(a>0,awl,M、N均為正數),■/ax-ay=ax+y,
a*y=M-N,
\ogaMN=x+y,即log.MN=log,M+log.N這是對數運算的重要性質之一,進一步,我們還可以得
出:log.M監以...此=_;(其中M、弧、M、…、””均為正數,a>0,"1)
M
(3)請你猜想:1。&五=_(a>0,awl,M、N均為正數)
39.(23-24七年級下?江蘇南京?期末)教材重讀:小明在學完第12章《證明》后,對數學推理證明有了進
一步的認識,在回顧第8章《累的運算》過程中,小明又仔細閱讀七下教材P57如下的一段話:
規定了零指數基、負整數指數幕的意義后,同底數褰的除法運算性質擴展為:
a";a"=a"f("0,加、〃是整數).
小明注意到當切、〃是正整數,時,教材給出根據哥的定義證明a"1+優=曖-"40,*〃是正整
數,加>〃)成立,但對于幕運算性質適用一切整數指數塞,并未給出相應的解釋.
為此,小明進行了如下的探究:
(1)根據幕的定義證明同底數塞的除法法則:am^a"=a'"-n(?^0,m,〃是正整數,加>〃).
⑵當7〃=3,〃=-2時,根據負整數指數累的定義,
231s
得a,+a=a=ai-a=ai
V產(-2)=。5,
(3)當打、〃是正整數時,根據負整數指數整的定義,證明:am-a-n=am-n(a^O).
40.(23-24七年級下?北京海淀?期中)如果10"=6,那么稱。為b的勞格數,記為。=/伍),由定義可
知:10"=6與。=/伍)所表示的是。、6兩個量之間的同一關系.
(1)根據勞格數的定義,填空:/(10-2)=;
(2)勞格數有如下運算性質:
若加、〃為正數,則/(》)=/(加)+/(〃),?=小)-/(").
根據運算性質,
填空:/£[=(6為正數).
/9)---------
若〃2)~0.3,貝1]/(20卜,(重卜;(答案精確到小數點后一位)
(3)已知/(3)=a,/(7)=6,/(O.63)=c,則”,6,c之間的等量關系式為.
考點五單項式乘法(共10小題)
41.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)計算:
(l)m3?(加2)2;
(2)3a2b-^-ab2^
42.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)計算:
⑵5。%.(-+(_必).(一6仍)2.
43.(24-25七年級下?江蘇連云港?階段練習)計算:
(l)m3?加?(加之);
(2)(-2*3.〃6_(_5叫之.
44.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)計算:
(1)3X2J/-2X2;
(2)(5ab2)?(-2a22.
⑶(-5/6).(-3a);
(4)(-2XV)-(-XV)-(-5X/).
45.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)計算:
(l)(~a2),(_2a2);
⑵-3孫2z.;
⑶1;U,(2盯T;
⑷(6x10)2xgxioj.
46.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)計算:
(1)2加.3/6.
(2)-12x2y-xy2.
47.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)計算:
.1?
(l)-6x2y(a-b)-xy1(b-a);
(2)(-2X103)X(2.5X105)2.
48.(24-25七年級下?江蘇無錫?階段練習)計算:
⑴(優戶丁+(/戶)"(〃是正整數);
(2)3(/;(叫3+(_2a]伍)3.(_療.
49.(24-25七年級下?江蘇徐州?開學考試)計算
(1)X2-X3-i-X;
⑵(2x)3.(一5孫2上
+(-1)2X7°.
50.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)計算:
(1)(3X103)2X(2X104)3X(4X102)2;
(把x+y作為整體看作一個因式的底數).
考點六多項式乘法(共10小題)
51.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)計算:
⑴3a?(5〃一2b)
(2)(2a)34-2a
(3)2a3-a4+a5-a2—a9^a2
⑷(-2/).(_3/萬
52.(24-25七年級下?江蘇宿遷?階段練習)計算:
⑴(-2叫(-叫
(2)工(2%-5)-5x(x-1)
53.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)計算:
(])-2/[12—2/(/-2)]+/.
(2)3/\-3ab)2-a2(a2b2-2a).
54.(24-25七年級下?江蘇南通?階段練習)計算:
(1)6〃(a-26);
⑵(-6町)(x-3y).
55.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)計算:
(l)4x(2x2+3x-1);
(2)-2a“.
56.(24-25七年級下?江蘇鎮江?階段練習)計算:
⑴(-2仍)(3Q2-2ab-4b2)
(2)(2x-l)(x-4)-(x+3)(x+2)
57.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)計算:
(1)(1-1)(%2+X+1)
(2)(x+3)(x_2)_x(%-l)
58.(2025七年級下?江蘇徐州?專題練習)計算:(x+2)(x-3)-(2x+3)(3x-4).
59.(24-25七年級下?江蘇南通?階段練習)計算:
⑴(X+3)(X+4);
(2)(2X-5)(X-2);
⑶(j)(6+x);
(4)(2x+y)(x-y).
60.(24-25七年級下?江蘇常州?階段練習)計算:
⑴+3cd)-2cd);
(2)(9m-4H)(4W+9m);
(3)(Q+6+1)(q-6-2);
(4)(x-2)(x+5)-(2x-3)(2x+l).
考點七多項式乘法的化簡求值(共10小題)
61.(24-25?江蘇蘇州?階段練習)先化簡,再求值:(加-7)(2次+4)-加(加-10),其中冽=—2.
62.(24-25七年級下?江蘇徐州?階段練習)先化簡,再求值:(、-2)(x-4)-6x(x-3)+5/,其中、=—1.
63.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)先化簡,再求值:
⑴已知/+3ab=5,求(。+6)(。+2b)-2/的值;
(2)(3m-2)(2機+1)—(6m—l)(m+4),其中加=」.
64.(24-25?江蘇?江蘇南通)已知M—2x—3=0,求代數式(工+1)(2%-1)-5x的值.
65.(23-24七年級下?江蘇蘇州?期中)先化簡,再求值:(”"(”26),其中。=2,b=-1.
66.(24-25七年級下?湖南衡陽?期中)先化簡,再求值:(3°-6)(2.-6)-(2”6)2-(20+6)(2"6),其
中Q=—1、b=2.
67.(24-25七年級下?福建廈門?期中)先化簡,再求值:(3X+1)(2X-1)-2XQX-1^,其中x=-l.
68.(24-25七年級下?福建福州?期中)6知a=2,b=-\,求代數式(。-36)(3.+26)-26(5”36)的值.
69.(24-25七年級下?遼寧?期末)先閱讀下面的材料,再解決問題:
已知X?+6x+c=0,在求關于x的代數式的值時,可將x?+bx+c=0變形為x2=-6x-c,就可將x?表示為x
的一次多項式,從而達至『‘降次"的目的.我們稱為“降次代換法”
例如:已知X2+2X-4=0,求代數式/(X+4)的值.
解:---x2+2x-4=0,
x2=-2x+4
原式=(—2x+4)(x+4)=~2.x~-8x+4x+16=~2x~—4x+16
=-2(-2x+4)-4x+16=4x-8-4x+16=8
x?(x+4)=8
請用“降次代換法”完成下列各小題:
⑴若x2+X-1=0,則代數式(X+4)(x-3)的值為
(2)若X2+5X+1=0,求代數式X2(X+5)+(X+7)(X-1)的值.
70.(24-25七年級下?重慶?階段練習)先化簡,再求值:-2工卜力-3了+4龍)-(、+了)@-2了)+2X3了,其中
|x+l|+(j?-2)2=0.
考點八已知多項式乘積不含某項求字母的值(共10小題)
71.(24-25七年級下?陜西寶雞?階段練習)若多項式x+1與辦2+以+2的積不含f項和x項,求。和。的
值.
72.(24-25七年級下?江蘇泰州?階段練習)已知卜2+如+3乂/—〃)的展開式中不含f項和常數項,
求:
(l)m,n的值;
(2)(機+〃)(機2-加〃+/)的值.
73.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)已知12+3蛆-3x+〃)的積中不含有%項和丁項,求代
數式一8加2〃+(9加〃)2+(3加產4.“2025的值.
74.(24-25七年級下?陜西西安?階段練習)若(爐+,+3)任―3》+向的結果中不含f和項,求
2m+72-1的值:
75.(24-25七年級下?陜西西安?階段練習)已知多項式x+36與--2x+;。的乘積的展開式中不含尤2項,
3
且常數項為-;,求。,b的值.
76.(24-25七年級下?河南周口?階段練習)在學習多項式乘多項式時,我們知道(2x+3)gx+5卜-4)的
結果是一個多項式,并且最高次項為2x《x-x=x3,常數項為3X5X(-4)=-60,那么一次項是多少呢?要
解決這個問題,就是要確定該一次項的系數.通過觀察,我們發現一次項系數就是
2x5x(-4)+3x;x(-4)+3x5xl=-31,即一次項為-3lx.
參考材料中用到的方法,解決下列問題:
(l)(x+2)(3x+l)所得多項式的一次項系數是;
(2)計算(3x+2Xx+4)(5x-l)所得多項式的一次項系數;
(3)如果計算(/-x+機)(/+2x+4)(3x-2)所得多項式不含一次項,求加的值.
77.(22-23七年級下?甘肅蘭州?期中)已知(/-2乂婷+〃句的結果中不含Y項,
(1)求小的值;
(2)在(1)的條件下,求(加+。"-加+1)的值.
78.(24-25七年級下?河南新鄉?階段練習)若(x+H,-3x+加)的展開式中不含X?和x的項,求心,〃的
值
79.(24-25七年級下?遼寧大連?期中)已知(小-3)(-x+”)的展開式中不含x項,且常數項是-3.
(1)求小,"的值.
(2)求(機+〃)(冽2—加〃+〃2)的值.
80.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)已知,+蛆+#(尤2-方+2)的展開式中不含》3和犬項.
(1)求私〃的值;
(2)先化簡,再求值:+-nm+叫.
考點九乘法公式(共10小題)
81.(24-25七年級下?江蘇宿遷?階段練習)計算:
(1)((7-1)(。+1)(4—-1)
⑵(x+?-4)(x-y+4)
82.(24-25七年級下?江蘇泰州?階段練習)計算:
(l)(2a+b)2
(2)L1,
(3)l)(x+3)—x(x—2)
(4)(1+a)(l-〃)+〃(〃-2)
83.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)用乘法公式計算:
(1)(2X-1)2-(X-2)2
(2)(3a-bp一(q一36)(。+36).
(3)(〃-2b+1)(〃+2b+1)
(4)(x+2y-l)2;
84.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)用乘法公式計算:
(1)31x29;
(2)1022.
85.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)利用乘法公式計算:
(l)(2w-l)2-(2m+l)(2m-l);
(2)(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y).
86.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)運用乘法公式計算:
⑴(2〃-6+3。乂2〃+6-3。);
(2)(。-26+0)2.
87.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)利用乘法公式計算:
⑴(-2x+y);
(2)(Q-26)(a+26)-(q+26)2;
⑶(加〃一。丫;
(4)(x+?(x-y『.
88.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)運用乘法公式計算:
⑴(x+H(x-y)
(2)(x+2y-l)~
(3)(a+6)(a-6)+(3a+6『
89.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)運用乘法公式計算:
(l)(2a-3)(2a+3)(4a2+9);
(2)(3x-2j-l)2;
⑶(a+26-3祖”2b-3c).
90.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)用乘法公式計算:
⑴(x+1)(x-1)(/+1)(%4+1);
(2)[(x+y)2+(x-y)2](2x2-2/);
(3)(m-〃一3尸;
(4)(2x+3y)2(2x-3yf,
考點十乘法公式的變形求值(共10小題)
91.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)已知。+6=2,。6=-1,求:
(1)?2+Z)2的值;
⑵的值.
92.(24-25七年級下?浙江溫州?階段練習)已知x+y=3,xy=l,請你求出下列代數式的值.
(1)/+/;
(2)(x-》)2;
(3)(j)(l-力.
93.(24-25七年級下?江蘇泰州?階段練習)已知。+6=2,ab=-\,求下面代數式的值:
⑴6/+6/;
⑵(a-
94.(2024七年級下?江蘇南京?專題練習)已知/+62+4°-66=-13,求。力的值.
95.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)已知(x+y『=4,=16,求下列各式的值;
(l)x2+y2;
⑵孫;
⑶/+/.
96.(24-25七年級下?江西南昌?階段練習)已知/-工一1=0,求下列各式的值.
1
(l)x——.
X
(2)+二.
97.(24-25七年級下?江西九江?階段練習)(1)己知刈=6,x2+y2=16,求(x+y)2的值;
(2)已知"I-求公+4的值;
x
98.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)已知x+y=3,_yy=l,求下列各式的值:
2
(1)%+/;
(2)x2-孫+/;
⑶(xr)L
99.(24-25七年級下?江蘇無錫?階段練習)已知m-n=5,mn=2,求下列各式的值.
(i)(m+?y;
(2)5m2+5?2+(-3wn)
100.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)已知》+1=3,求下列各式的值:
x
2
⑴一
21
⑵X+—;
X
(3)x4+J?
考點十一整式乘法中的規律計算(共10小題)
I.(24-25七年級下?廣東湛江?期末)觀察并驗證下列等式:
13+23=(1+2『=9,
13+23+33=(1+2+3)2=36,
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100,
(1)續寫等式:F+23+33+43+53=;(寫出最后結果)
⑵我們已經知道1+2+3+…+"=+根據上述等式中所體現的規律,猜想結論:
13+23+33+---+(?-1)3+?3=;(結果用因式乘積表示)
(3)利用(2)中得到的結論計算:
33+63+93+---+573+603;
2.(2025七年級下?江蘇南京?專題練習)楊輝三角形是形如S+6)"(這里〃=1,2,3,4……)的展開式
的系數在三角形中的一種幾何排列:記載于1261年他所著的(詳解九章算術)中.1854年:法國數學家
帕斯卡也發現了這一規律,不過比楊輝遲了近四百年,楊輝三角形是中國數學史上的一個偉大成就.如圖
是楊輝三角形與(a+與"展開式的部分對照,請回答下列問題
1
(a+b)=a+fa11
(a+b)2=a2+2ab+b2121
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31331
.......14641
(1)(。+6)5的展開式中系數為10的項是.
(2)(。-3皿3的展開式中.從°22的系數是.
3.(24-25七年級下?江西南昌?階段練習)觀察下列各式的規律,解答下列問題.
第1個等式:(”3(“+方)=/-火
第2個等式:(°一6)(/+"+62)=03一63.
第3個等式:(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4.
第4個等式:(a-b^a4+a3b+a2b2+ab3+b4)^a5-b5.
(1)根據上述規律,請寫出第5個等式:.
⑵猜想:(a-b)(a"+a"-lb+???+ab『'+〃)=
⑶利用(2)中的結論,求32必+323+...+3+1的值.
4.(24-25七年級下?江蘇鹽城?階段練習)觀察下列式子:
@lx4+2=2x3;②2x5+2=3x4;③3x6+2=4x5;@4x7+2=5x6;
(1)猜想:第⑤個式子是.
(2)探究規律:用含"的式子表示你發現的一般規律,并證明你的結論;
(2x5+2)x(4x7+2)x(6x9+2)x---x(2024x2027+2)
(3)應用你發現的規律計算:
(1X4+2)X(3X6+2)X(5X8+2)X---X(2023X2026+2)
5.(24-25九年級下?安徽合肥?階段練習)【項目任務】老師與學生一起探索兩個十位上的數字和為10,個
位上的數相同的兩位數字積的規律.
【初步探究】12x92=1104=1000x1+100x2+22-100x12;
63x43=2709=1000x6+100x3+32-100x62;
78x38=2964=1000x7+100X8+82-100X72;
57X57=3249=1000X5+100X7+72-100X52.
【類比嘗試】結合上面的探究,學生獨立完成下面任務:
填空:94x14=1316=;
【深入探究】
具有上述一定特點的兩個兩位數的乘積體現的一般規律:設其中的一個兩位數的十位上的數字為如個位
上的數字為",這個兩位數表示為10根+〃,則另一個兩位數的十位上的數字為,個位上的數為",
這個兩位數表示為,這兩個兩位數相乘的一般性結論為(用含加,〃的代數式表示),
并證明.
6.(24-25七年級下?河南鄭州?階段練習)閱讀材料:北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三
(2)結合楊輝三角解決以下問題:
①計算:25-5x24+10x23-10x22+5x2-1;
②猜想:(2x-l)6的展開式中含x?項的系數是.
(3)運用:若今天是星期二,那么再過82。25天是星期.
7.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)我國南宋杰出的數學家楊輝在《詳解九章算術》中記載的“楊輝
三角”揭示(。+占)"("為非負整數)的展開式的項數及各項系數的有關規律.如
(1)請你寫出(。+6)4和(。+萬)3的展開式;
(2)此規律還可以解決實際問題:若今天是星期二,再過7天還是星期二,則再過*天是星期1
⑶設(x+1)17=%—+須才+…+%x+4.小明發現通過賦值法可求解系數間的關系,例如令x=1則
%7+%6+…+%+。0=(1+1),=2",聰明的你能不能求出%7+%6+…+g+%的值,若能,請寫出過程;
(4)你能在(3)的基礎上求出出+%+4+…+%+%6的值嗎?若能,請寫出過程.
8.(24-25七年級下?遼寧大連?期末)【發現問題】
15x15=1x2x100+25=225,
25x25=2x3x100+25=625,
35x35=3x4x100+25=……
小明在學習第十四章數學活動時,經歷了以上計算過程,他發現其中有一定的運算規律.
【提出問題】
上面的運算規律是否可以推廣到類似的三位數相乘呢?
如果個位數字不是5,但仍滿足兩個數的個位數字之和為10,上面的運算規律是否成立?
【分析問題】
請你通過計算與思考,完成下面的探究并填空:
(1)①35x35=3x4x100+25=;
(2)105x105=xxl00+25=;
(2)53x57=xxl00+=;
【解決問題】
(3)兩個兩位數相乘,它們十位上的數相同都為。,個位上的數的和為10,設其中一個數的個位上的數
字為人,請你用含有。,6的等式表示兩數的積的規律,并證明.
9.(24-25七年級下?山東濟南?階段練習)“楊輝三角”揭示了(。+6)"("為非負數)展開式的各項系數的規
律.在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡是在1654年發現這一規律的,比楊輝要遲393年,比賈
憲遲600年,請仔細觀察“楊輝三角”中每個數字與上一行的左右兩個數字之和的關系:
第一行1
第二行11(a+“=a+b各項系數和為2
第三行121(a+6)~=a2+2ab+b2各項系數和為4
第四行1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3各項系數和為8
第五行14641(a+b)4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+Z>4各項系數和為16
根據上述規律,完成下列各題:
⑴將(a+力展開后,各項的系數和為.
(2)將(a+6)”展開后,各項的系數和為.
⑶(。+6)6=
下圖是世界上著名的“萊布尼茨三角形",類比“楊輝三角”,根據你發現的規律,回答下列問題:
1
第一行
1
_1_j_
第二行
第三行!J_
363
£J_J_
第四行
412124
j_J_J_J_J_
第五行
52030205
(4)若(私可表示第加行,從左到右數第〃個數,如(4,2)表示第四行第二個數是貝IJ(6,3)表示的數是
,(8,6)表示的數是.
10.(24-25七年級下?江蘇泰州?階段練習)我國古代數學的許多創新與發展都曾居世界前列,南宋時期有
一位杰出的數學家楊輝,如圖所示是他在《詳解九章算術》中記載的“楊輝三角”,它的發現比歐洲早五百
年左右.
左右
積積
本積J
商除(a+by=a+b
平方O(。+6尸=。。+2。6+〃
立方a{a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
三乘j{a+b')4=ai+4a3b+6a2b2+4ab3+bi
四乘G(a+b)s=a'+5a%+10a,3Z>2+1Oa%+5。〃+"
分◎◎①?
左
命
中
右
以
實
藏
廉
袤
袤
而
者
乘
乃
乃
除
皆
商
隅
積
之
廉
方
算
數
此圖揭示了(a+6)(〃為非負整數)的展開式的項數及各項系數的有關規律,請根據上述規律,解決以下
問題:
(1)已知(x+y)3=x3-3x2x2+3x4x-8,貝!Jy=;
(2)多項式(a+6)7展開式共有項,各項系數和為;
(3)若(3X-1產5=%尤2025+^^2024+…++十出期,求/+%+…+出。24+?2025的值.
(4)如圖,在“楊輝三角”中,選取部分數1,3,6......記<=1,%=3,f3=6,......請完成下列問
題:
①根據規律,九的值是.
③請直接寫出力026-力024的值.
答案與解析
考點一同底數塞的乘法(共10小題)
1.(24-25七年級下?江蘇南京?階段練習)計算:
⑴33.3$;
⑵中行;
(3)(-x)-x2?(-%)4;
(4)(a+6)3.(a+?.
【答案】⑴爐
⑵孑
⑶*
(4)(。+6)7
【分析】本題考查了同底數累的乘法,解題的關鍵是熟練掌握運算法則;
(1)根據同底數塞相乘,底數不變,指數相加求解即可;
(2)根據同底數基相乘,底數不變,指數相加求解即可;
(3)先化為以x為底,再根據同底數暴相乘,底數不變,指數相加求解即可;
(4)根據同底數幕相乘,底數不變,指數相加求解即可.
【詳解】⑴解:3?35=38;
(2)解:-b4-b5=-b9;
(3)解:(―x)-x2-(—X)4=-x-x2-x4=-x7;
(4)解:(a+6),(a+6)4=(a+6)7.
2.(24-25七年級下?江蘇蘇州?階段練習)計算:
⑴2,X23;
(2)/“5;
(3)6叫6"(加,"是正整數);
(4)/.曖.屋(加是正整數).
【答案】(1)27
⑵/
i+n
【分析】本題主要考查同底數累的乘法,熟練掌握運算法則是解題的關鍵.
(1)根據同底數幕運算法則進行計算即可;
(2)根據同底數幕運算法則進行計算即可;
(3)根據同底數塞運算法則進行計算即可;
(4)根據同底數幕運算法則進行計算即可.
【詳解】(1)解:原式=24+3=2';
(2)解:原式=x"5=x';
(3)解:原式=
(4)解:原式=a"""+3.
3.(24-25七年級下?江蘇連云港?階段練習)計算:
(l)an-a("是正整數);
(2)"x"T(〃是大于1的整數);
(3)x"i-x"T("是大于1的整數);
(4)/-/+1-y(〃是正整數).
【答案】(1)°向
⑵x2"T
⑶
(4)/"+2
【分析】本題主要考查同底數累相乘,熟練掌握運算法則是解題的關鍵.
(1)根據同底數幕相乘運算法則計算即可;
(2)根據同底數基相乘運算法則計算即可;
(3)根據同底數幕相乘運算法則計算即可;
(4)根據同底數基相乘運算法則計算即可.
【詳解】⑴解:原式=a"\
(2)解:原式=X"+"T=/T;
(3)解:原式=/小1=尤2';
(4)解:原式=/+"+便=/"+2.
4.(24-25七年級下?江蘇宿遷?階段練習)計算:
(l)(-x)3-x-(-x)2;
(2)("2機)2.
【答案】⑴-尤6
(2)(m-nf
【分析】本題主要考查同底數褰的乘法,熟練掌握運算法則是解題的關鍵.
(1)根據同底數幕的乘法進行計算即可;
(2)根據題意得到(〃-加)2=(加-〃再進行計算即可.
【詳解】(1)解:原式=一/“./
=-X6;
(2)解:原式=(/?-〃)3(勿-")2
=(m-n)5.
5.(2025七年級下?江蘇徐州?專題練習)計算:
(l)(-a)2-a3-(-a)4;
⑵(-6)?(詢建(-行.
【答案】⑴/
⑵孑
【分析】本題考查了同底數累的相關運算,掌握其運算法則是解題的關鍵.
(1)根據同底數幕相乘底數不變指數相加計算即可.
(2)根據同底數基相乘底數不變指數相加計算即可.
【詳解】⑴解:(P)"/.(-a),
=a2-a3-a4
=a2+3+4
=a9
(2)解:(-力?(-bp.(-6)5
=_臚+5
=4
6.(24-25七年級下?江蘇常州?階段練習)計算:
(l)x3-X8;
⑵(-4)葭(一4)9;
(4)2ffl-1x2ra-2.
【答案】(l)x“
⑵(-4廠
9
(3)-
4)22ZM-3
【分析】本題考查了同底數塞的乘法,熟練掌握相關運算法則為解題關鍵.
(1)根據同底數基的乘法法則進行求解即可;
(2)根據同底數幕的乘法法則進行求解即可;
(3)根據同底數嘉的乘法法則進行求解即可;
(4)根據同底數幕的乘法法則進行求解即可.
【詳解】(1)解:苫3./=針8=/;
(2)(-4)2x(-4)9=(-4)2+9=(-4)n;
(3)hJXN=(-1)3xUXU=-匕>
(4)2加一ix2加一2-2加一1+加一2_
7.(2025七年級下?江蘇無錫?專題練習)計算:
(l)(-m)-(-?7)2-(-w)3;
(2)(m-7?)-(w-/n)3-(n-w)4.
【答案】(1)/
(2)—(w-m)8
【分析】本題主要考查了同底數哥的乘法,熟練掌握運算法則,是解題的關鍵.
(1)根據同底數累的乘法運算進行計算;
(2)根據同底數哥的乘法運算法則進行計算即可求解.
23
【詳解】(1)解:(-w).(-m).(-m)
/\1+2+3
二(一加)
=(-冽『
=m6;
(2)解:(加一〃)?(〃一根J.(〃一加上
=_(〃一加)?(〃—機丫.(〃一加),
=一(〃-冽J.
8.(2025七年級下?江蘇鎮江?專題練習)計算:
(l)x2-x+x-x2;
(2)〃3.〃〃-1+〃.優+1;
_Q3)Q4+q6.(_Q).
(4)(x-^)5-(y-x)4-(x-^)2.
【答案】(1)2x3
⑵24
⑶/
(4)(x-y「
【分析】本題主要考查同底數哥的乘法,熟練掌握同底數幕的乘法法則是解決本題的關鍵.
(1)根據整式的混合運算,先計算乘法,再計算加法.
(2)根據整式的混合運算,先計算乘法,再計算加法.
(3)根據整式的混合運算,先計算乘法,再計算加減.
(4)先變形,再根據同底數累乘法法則(同底數幕相乘,底數不變,指數相加)解決此題.
【詳解】(1)解:x2-x+x,x2
=X3+X3
=2x3.
(2)〃34--
=an+2+a>1+2
=2an+2
(3)q2.q3_(_/).q4+q6.(_q)
577
=a+a—a
—■Cl?
(4)(x-y)5(y-x)4(x-y)2
=(x-y)5(x-y)4(x-y)2
=(x-y)li-
9.(2025七年級下?江蘇宿遷?專題練習)計算:
(l)a3-(-a)5-a12;
⑵/"+1yT.y3"+2(?為大于1的整數);
(3)(x-?.(y_x)3.(x-y);
(4)(6-a)3.(0-6)2_g_與.(b_a)".
【答案】⑴-清
(2)產2;
⑶-(x-y)9;
(4)2(Z?-a)5.
【分析】本題考查了同底數幕的乘法,整式的加減計算,掌握運算法則是解題的關鍵.
(1)根據同底數嘉的乘法法則計算;
(2)根據同底數幕的乘法法則計算;
(3)根據同底數累的乘法法則計算;
(4)根據同底數累的乘法法則計算,再進行加減計算.
【詳解】⑴解:a3.(-a)5.a12
=—a3+5+12
=—a20;
(2)解:y2"+1-y"-1-y3n+2
2n+l+n-l+3n+2
(3)解:(x-yj.(y-x),.(x-y)
=十一城(x-y)
(4)解:(b-a)3\a-by-(a-Z,)-(/?-a)4
=[b-a)3-(b-a)2+(/>-?)■(/7-a)4
=(b-a),+伍一0)5
=2(b-a)5.
10.(2025七年級下?江蘇揚州?專題練習)計算:
(l)x2-x6;
(2-;
⑶(一丁卜了2,(一?;
⑷(P-?)’?(?-P):
(5)(sT『.(sT)i.("s)5、〃是正整數);
(6)x"-xn+l+x2"-x(〃是正整數).
【答案】(l)d
⑵產
⑶V
⑷S-“
⑸_(s—)i
(6)2x(2n+1)
【分析】本題考查同底數暴的乘法,同底數暴相乘,底數不變,指數相加.
(1)根據同底數幕的乘法法則計算即可;
(2)根據同底數幕的乘法法則計算即可;
(3)根據同底數曷的乘法法則計算即可;
(4)根據同底數幕的乘法法則計算即可;
(5)根據同底數幕的乘法法則計算即可;
(6)先計算同底數塞的乘法,再合并同類項.
【詳解】(1)解:原式=£+6=/
(2)解:原式=/"+"+】=/+、
(3)解:原式=-9?(-/)=/;
(4)解:原式=(〃-q)5=(0
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