2024-2025學年北師大版數學八年級下冊第一章-三角形的證明-復習提升試卷

本試卷共23題。滿分120分，建議用時120分鐘。

閱卷人

--------------------、選擇題（共10題；共30分）

得分

1.（3分）等腰三角形兩邊長分別為5和8,則這個等腰三角形的周長為（）

A.18B.21C.20D.18或21

2.（3分）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的等邊△ABC上，若21=24。，則N2的度數為

C.48°D.56°

3.（3分）以下各組數為三角形的三邊長，其中不能夠構成直角三角形的是（)

A.13、14、15B.7、24、25

C.0.3、0.4、0.5D.9、12、15

4.（3分）用反證法證明“在△ABC中，若貝吐8<90。”時，以下三個步驟正確的排列順序

是（）

步驟如下：

①假設在小ABC中，ZB>90°.

②因此假設不成立，：.../Bv%。.

③由AB=AC,得/B=NCN90。，即NB+NCN180。，AZA+ZB+ZO180°,這與“三角形三個內角

的和等于180。”產生矛盾.

A.①③②B.①②③C.③①②D.③②①

5.（3分）如圖，在AABC中，ZC=90°,按以下步驟作圖：①分別以A,B為圓心，以大于^AB

的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M,N；②作直線MN交AB于點D,交BC于點E,連接

AE.若NB=15。，則NEAC等于（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

6.（3分）下列命題中，逆命題是真命題的是（）

A.對頂角相等B.全等三角形的面積相等

C.兩直線平行，內錯角相等D.如果a=b,那么02=呈

7.（3分）如圖，有4B,C三個居民小區，現決定在三個小區之間修建一個購物超市，使超市到三個

小區的距離相等，則超市應建在（）

A

a、

/、、、、、

B0~------------

A.乙4,ZB兩內角的平分線的交點處

B.兩邊高線的交點處

C.AC,AB兩邊中線的交點處

D.AC,兩邊垂直平分線的交點處

8.如圖，在AABC中，。為A5延長線上一點，DE工AC千E.若AC=BC,下列結論正確的是

（）

A.NC=NDB.NC=2ZD

C.ZC+ZD=90°D.以上結論都不對

9.（3分）在RtAABC中，ZC=是角平分線，已知AC=20,BC=30,則CD的長為

B

D

A.5V13B.12V2C.14D.18V2

10.（3分）如圖，A4BC中，若NB4C=80。，乙4cB=70。，根據圖中尺規作圖的痕跡推斷，以下結

論錯誤的是（）

1

A.乙BAQ=40°B.DE=^BDC.AF=ACD.^EQF=25°

閱卷人

二、填空題（共5題；共15分）

得分

11.（3分）如圖，。尸平分乙4OB,PC1OB,如果PC=6,那么點P到。4的距離等于

12.（3分）一個三角形的三邊長分別為3,4,5,則這個三角形最長邊上的高等于.

13.（3分）如圖，在銳角三角形ABC中，直線PL為BC的垂直平分線，射線BM為/ABC的平分

線，PL與BM相交于P點.若NPBC=30。，ZACP=20°,則/A的度數為.

14.（3分）如圖，在AABC中，以點B為圓心、適當長度為半徑畫弧，分別交48、BC于點P,Q,再

分別以點P，Q為圓心、大于^PQ的長度為半徑畫弧，兩弧交于點M,作射線BM交AC于點E,過點E

作OEIIBC交于點O.若△ABE周長為28,BE=10,則AADE的周長為

A

15.（3分）在RtzkABC中，ZA=9O。，BC=4,有一個內角為60°,P是直線2B上不同于點A、B的

一點，且乙4cp=30。，貝!JPB的長為.

閱卷人

三、解答題（共8題；共75分）

得分

16.（8分）如圖，力。是△ABC的角平分線，DE1AB,DF1AC,垂足分別是E,F,連接EF,EF

與4。相交于點G.

（1）（4分）求證：AD是EF的垂直平分線；

（2）（4分）若4B+4C=9,ED=2,求小人6。的面積.

17.（8分）如圖，在AABC中，AB=AC,*D,E、F分別在4B、BC、4C邊上，且BE=CF,

BD=CE.

（1）（4分）求證：AOEF是等腰三角形；

（2）（4分）當乙4=40。時，求ZDEF的度數.

18.（8分）如圖，四邊形紙片ZBCO,AB1BC.經測得AB=9cm,BC=12cm,CD=8cm,

AD=Ylem.

A

D

BC

（1）（4分）求A、C兩點之間的距離.

（2）（4分）求這張紙片的面積.

19.（8分）如圖，在AABC中，AB^AC,過C4的延長線上一點D,作DEJ.BC,垂足為E,交邊

于點F.

（1）（4分）求證：△ADP是等腰三角形；

（2）（4分）若2。=13,BE=5,F為的中點，求EF的長.

20.（8分）如圖；乙4=ZB=9O。，E是AB上的一點，RAE=BC,21=N2.

（1）（4分）求證：RtAADEmRtABEC；

（2）（4分）△CDE是不是直角三角形？并說明理由.

21.（12分）如圖，在AABC中，ZA=90°,ZB=30°,AC=6厘米，點。從點A開始以1厘米/秒的

速度向點C運動，點E從點C開始以2厘米/秒的速度向點B運動，兩點同時運動，同時停止，運

動時間為t秒；過點E作EF//AC交AB于點尸；

（1）（4分）當f為何值時，△DEC為等邊三角形?

（2）（4分）當f為何值時，△￡>￡<?為直角三角形？

（3）（4分）求證：DC=EF；

22.（10分）（1）閱讀理解

由兩個頂角相等且有公共頂角頂點的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點連接起來，

則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”.在如

圖①所示的“手拉手”圖形中，小白發現：若=AB=AC,AD=AE,貝必的。三4

ACE,請證明他的發現；

（2）問題解決：如圖②，Z.BAC=Z.DAE=90°,AB=AC,AD=AE.

①試探索線段CD,BD,OE之間滿足的等量關系，并證明；

②若AB=AC=3,線段DE與線段AC交于點F,連接CE,當△ABD三ADCF時，求線段CE的

長.

圖①圖②

如圖1,若乙4BC=60。，射線BM在乙4BC內郃，^ADB=60°,求證：Z.BDC=60°,小明的做法

是：在BM上取一點E,使得再通過已知條件，求得乙BDC的度數.請你幫助小明寫出證明

過程：

（2）（5分）【類比探究】

如圖2,已知ZABC=ZADB=30。，當射線BM在ZABC內，求ZBDC的度數.

（3）（4分）【變式遷移】

如圖3,已知乙4BC=乙4。6=30。，當射線BM在BC下方，NBDC的度數會變化時？若改變，請

求出NBDC的度數，若不變，請說明理由.

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】解：當等腰三角形的腰長為5時，三邊分別為5、5、8,滿足三角形的三邊關系，

故周長為5+5+8=18；

當等腰三角形的腰長為8時，三邊分別為5、8、8,滿足三角形的三邊關系，故周長為5+8+8=21.

故答案為：D.

【分析】分腰長為5、8,利用等腰三角形的性質以及三角形的三邊關系確定出三角形的三邊長，進

而可得周長.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖所示，

在等邊AABC中，AABC=60°,

：DE〃BH〃FG,=24°,

:.乙ABH=Z1=24°,Z2=ZHBC

'：^ABC=乙ABH+乙HBC,

J.AHBC=AABC-AABH=60°-24°=36°,

."2=乙HBC=36°,

故答案為：B.

【分析】先由等邊三角形性質，得到NABC=60。，再由平行線性質，推出乙4BH=21=24。,

N2=NHBC,再通過把NABC進行拆分，即可推出N2的度數。

3.【答案】A

【解析】【解答】解：A、132+142k52,不能組成直角三角形，符合題意；

B、72+242=252,能組成直角三角形，不符合題意；

c、0.32+0.42=0.52,能組成直角三角形，不符合題意；

D、92+122=152,能組成直角三角形，不符合題意.

故答案為：A.

【分析】利用三角形的三邊關系和勾股定理的逆定理逐項判斷即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：由題意知，第2步是反證法的結論，

排除B和D選項，

所以B和D選項，錯誤.

?.?第3步既有原因又有結果，不能作為假設的結果，

**.C選項錯誤.

故答案為：A.

【分析】根據反證法的一般步驟即可求出，一般步驟為：假設命題成立；根據假設出發，推理論

證，得出矛盾；由矛盾判斷假設不成立，原命題正確.

5.【答案】D

【解析】【解答】由作圖的步驟可知，直線DE是線段AB的垂直平分線，

；.AE=BE,

.\ZBAE=ZB=15°,

.,.ZAEC=ZB+ZBAE=15o+15°=30°,

VZC=90°,

AZEAC=90°-30°=60°,

故答案為：D.

【分析】根據基本尺規作圖得到直線DE是線段AB的垂直平分線；根據線段的垂直平分線的性質得

到AE=BE,根據三角形的外角的性質解答即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：A.逆命題為：相等的角為對頂角，為假命題，不符合題意；

B.逆命題為面積相等的三角形全等，是假命題，不符合題意；

C.逆命題為內錯角相等，兩直線平行，為真命題，符合題意；

D.逆命題為如果a2=b2,那么a=b,為假命題，不符合題意.

故答案為：C.

【分析】先求出各選項的逆命題，再逐項判斷即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】解：根據線段垂直平分線的性質可知：超市應建在兩邊垂直平分線的交點

處.

故答案為：D.

【分析】

本題考查了線段垂直平分線性質，熟知線段垂直平分線的性質是解題關鍵.

根據線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，對于AC邊的E

垂直平分線，上面的點到A、C兩點距離相等；AB兩邊垂直平分線的交點，就到A、B、C三個頂

點的距離都相等，符合是超市到三個小區距離相等的條件，即可判斷出答案.

8.B

【分析】本題考查三角形內角和定理，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識.

過點C作于利用等腰三角形的性質求出/ACB=2NAC",再利用同角的余角相等求出

NAC"=/D即可.

【詳解】解:過點C作于H,

ElAC=BC,

SZACB^2ZACH,

AB,DE±AC,

0/A+/ACW=/A+NO=90。，

ZACH=ZD,

I3/ACB=2/Z),

故選：B.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：過點D作DELAC于點E,作DF_LBC于點F,

B

u

貝I」CEDF是矩形,

又〈CD是角平分線,

???DE=DF,

???CEDF是正方形，

???CE=DE,

又??,SAAB。=^ACXBC=^ACXDE+^BCXDF,

△A九222

.“_ACxBC_20x30_”

"UE=AC+BC=20+30=1Z，

ACD=y/CE2+DE2=7IN+122=12版

故答案為：B.

【分析】過點D作DELAC于點E,作DFLBC于點F,即可得到CEDF是正方形，然后根據三角

形的面積得到DE長，再利用勾股定理解題即可.

10.【答案】D

【解析】【解答】解：=80°,Z.ACB=70°,

ZB=180°-ZBAC-ZACB=30°,

A、由作圖可知，AQ平分ABAC,.?.ZBAP=ZCAP=2NBAC=4O。，，A正確，不符合題意；

B、由作圖可知，MQ是BC的垂直平分線，.?.ZDEB=9O。，?."BuBO。，...DE=gBD，，B正

確，不符合題意；

C、VzB=30°,/.BAP=40°,：.AAFC=70°,VzC=70°,：.AF=AC,；.C正確,不符合題

思；

D、?:乙EFQ=Z.AFC=70°,乙QEF=90°,:.乙EQF=20°；AD錯誤,符合題意.

故答案為：D.

【分析】先利用三角形的內角和求出NB的度數，再利用角平分線定義和垂直平分線的性質逐項分

析判斷即可.

11.【答案】6

【解析】【解答】解：過P作PH1。/于

???。2平分”。8,PC1OB,PC=6,

PH=PC=6,

點P到。4的距離等于6.

故答案為：6.

，【分析】過P作PHltM于由角平分線的性質“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”可得PH=

PC=6,即可得到點P到0A的距離等于6.

12.【答案】學

【解析】【解答】解：:32+42=52,

三邊長分別為3,4,5的三角形是直角三角形，

設這個三角形中最短邊上的高為h,

則④X3X4=；x5/i,

解得/1=號

故答案為：挈.

【分析】根據勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，再用等積法求出斜邊上的高即可.

13.【答案】70°

【解析】【解答】?..射線BM為NABC的平分線，ZPBC=30°,

.,.ZABC=60°,

?.?直線PL為BC的垂直平分線，

.,.ZPCB=30°,

AZA的度數=180°-60°-30°-20°=70°,

故答案為：70°.

【分析】先利用角平分線的定義可得NABC=60。，再利用垂直平分線的性質可得NPCB=30。，最后

利用三角形的內角和求出NA的度數即可.

14.【答案】18

【解析】【解答】解：由題意可知BE為乙4BC的平分線，

：.^ABE=ACBE.

'：DE||BC,

:.乙DEB=乙CBE,

"ABE=/.DEB,

：.BD=DE,

「△ABE周長為28,

：.AB+BE+AE=28,

：.AD+BD+10+AE=28,

：.AD+DE+10+AE=28,

：.AD+DE+AE=18.

.?.△4DE的周長為18.

故答案為：18.

【分析】根據角平分線的作法和定義得出乙4BE=NCBE,再結合平行線的性質得出乙4BE=

乙DEB,即可得出BD=DE,從而得出△ADE的周長”ABE周長為-BE,即可得出答案.

15.【答案】或烏百或4

【解析】【解答】解：第一種情況：當NB=60。，如圖，

???NACB=30。，

ZACP=30°,

???ZBCP=60°,

???△PBC為等邊三角形，

???PB=BC=4；

第二種情況：當NACB=60。，如圖,

VZACB=60°,ZACP=30°,

ZPCB=90°,

,?ZB=30°,

2PC=PB,

設PC為x,則PB=2x,

由勾股定理可得，42+x2=(2x)2,

解得，x=g百，BPPB=2X=§V3;

第散種情況：當NACB=60。，如圖,

BC=4,ZACB=60°,

ZB=30°,

AC=3BC=2,

AB=2V3,

設PB=y,則CP=y,AP=2V3-y,

,/ZACP=30°,

2AP=CP,即2(2V3-y)=y,

y=gb，

綜上，PB的長為4,g百或g口.

故答案為：4或鳥苗或g8.

【分析】分情況討論，①當NB=60。只有一個符合條件的P點，根據等邊三角形的判定與性質即可

求得；②當NC=60。，P在AB延長線上，根據勾股定理和30。的直角三角形的性質即可求得；③當

NC=60。，P在AB線線上，根據等角對等邊可得CP=PB,先求得AB=2次，根據30。的直角三角形

的性質可得2Ap=CP列方程，即可求得.

16.【答案】(1)證明：,?FD是△ABC的角平分線，DELAB,DFLAC,

：.DE=DF,

在44￡0和4AFC中,

'Z.EAD=Z.FAD

^AED=^AFD=90°,

.AD=AD

：.△AED三△ZFD(44S),

：.AE=AF,

又,：DE=DF,

...力。是EF的垂直平分線

(2)解：?；DE=EF,

11

?U^^ABC=S^ABD+S△力CD=248xDE+24CxDF,

11

=5{AB+AC)x￡)￡,=-^-x9x2=9

乙乙

【解析】【分析】(1)根據角平分線的性質可得DE=DF,依據AAS判定△AED^AAFD推出

AE=AF,根據垂直平分線的判定即可證明；

(2)根據三角形的面積公式可得SMBC=S&ABD+SAACD=\ABxDE+^ACxDF,根據DE=DF,

即可求得.

17.【答案】(1)證明：?；4B=4C,

???Z-B—Z-C,

???BE=CF,BD=CE,

??.△DBE=△ECF9

???DE=EF,

:?△DEF是等腰三角形.

(2)解：VzX=40°,

，zB=180-40：=70%

???乙BDE+乙BED=110°,

???△DBE=△ECF,

???Z-BDE=乙FEC,

???乙FEC+(BED=110°,

???乙DEF=180°-QFEC+乙BED)=70°.

【解析】【分析】(1)根據等邊對等角得出乙8=NC,根據兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形

全等得出ADBE三△ECF,根據全等三角形的對應邊相等得出DE=EF,根據等腰三角形的判斷即可

求證；

(2)根據等邊對等角和三角形內角和是180。求出NB的度數，根據全等三角形的對應角相等得出

Z-BDE=乙FEC,結合三角形內角和是180°即可求解.

18.【答案】(1)解：連接4C,如圖所示，

A

在RtA4BC中，

'/AB=9cm,BC=12cm,

由勾股定理得92+122=AC2,

解得4c=15(負值舍去)

即A、C兩點之間的距離為15c?n。

(2)解：VCD=8cm,AC=15cm,AD=17cm,

?'-CD2=64cm2,XC2=225cm2,XD2=289cm2

：.CD2+AC2=AD2,

：.^ACD=90°,

,S四邊形4BCD=SAABC+S&4CD

1

--1

2AB-BC+^AC-CD

1

--1

2x9xl2+7yX15x8

乙

=54+60

=114(cm2).

即該紙片的面積為114cm2.

【解析】【分析】(1)由勾股定理可直接求得結論；

(2)根據勾股定理逆定理證得乙4CD=90。，把四邊形ABCD的面積進行拆分，即S四邊形的0°

SAABC+S^CD，再根據三角形的面積公式即可求得結論.

(1)解：連接zc,如圖.

B

在Rt△力BC中，AB1BC,AB=9cm,BC=12cm,AB2+BC2=AC2,

A92+122=AC2.

解得ac=i5(負值舍去)

即A、C兩點之間的距離為15cm；

(2)解：-：CD2+AC2=82+152=172

：.AACD=90°,

二四邊形紙片4BCD的面積=S.+S.

ABCACD1

」-

22：-CD

1

ix-

2215x8

=54+60

=114(cm2).

19.【答案】(1)證明：???在△力中，AB=AC,

???乙B—Z-C,

DE1BC,

???乙B+乙BFE=90°,zC+Z.D=90°,

???乙BFE=Z-D,

又???乙BFE=^AFD,

???乙D=Z.AFD,

???△力0尸是等腰三角形；

(2)解：??于為4F的中點,

???AF=BF,

???△力D尸是等腰三角形，

BF=AF=AD=13,

DE1BC,

???MED=90°,

EF=y/BF2-BE2=V132-52=12,

答：EF的長為12.

【解析】【分析】

(1)根據等腰三角形的性質可得NB=乙C,再利用DE1BC進行角之間的轉換得出AD=^AFD,然

后根據等腰三角形的判定即可得出結論；

(2)根據中點的定義及等腰三角形的性質可得BF=AF=AD,然后根據勾股定理計算EF的長.

20.【答案】(1)證明：???N1=42,ED=CE,

Z-A-Z-B-90°,

在RtAADE和RtABEC中，

(AE=BC

lED=CE'

???RtAADE=fit△BEC(HL)

(2)解：ACDE是直角三角形，理由如下：

證明：由(1)得RtAADE三RtABEC,

?，?Z-AED=Z-BCE,

???乙B=90°,

???乙BCE+乙CEB=90°,

???Z.AED+(CEB=90°,

/.ZDEC=18O°-9O°=9O°,

DEC為直角三角形.

【解析】【分析】(1)根據“等角對等邊“，由已知條件Nl=/2,可以得至UED=CE,根據HL證明

RtAADE和RtABEC全等解答即可；

(2)根據全等三角形的性質、直角二角形的兩個銳角互余及平角的定義解答即可.

21.【答案】(1)解：由題意得AD=tcm,CE=2tcm.

若△DEC為等邊三角形，則EC=DC,

/.2t=6—t,解得t=2,

...當t為2時，△DEC為等邊三角形.

(2)解：若△DEC為直角三角形，當/CED=90。時，

VZB=30°,，NACB=60°,.\ZCDE=30o,

.,.CE=1DC,.\2t=|(6-t),解得t=1.2；

當NCDE=90。時，同理可得NCED=30。,

.,.|CE=DC,

ix2t=6—t,/.t=3,

.?.當t為1.2或3時，△DEC為直角三角形.

(3)證明：VZA=90°,ZB=30°,AC=6cm,

.*.BC=12cm,

/.DC=(6—t)cm,BE=(12—2t)cm.

9：EF||AC,

???NBFE=NA=90。.

VZB=30°,

/.EF=^BE=^(12—2t)=(6—t)cm,

???DC=EF.

【解析】【分析】(1)由題意得AD=tcm,CE=2tcm,利用等邊三角形的性質得建立關于t的一元

一次方程，解方程即可求解；

(2)分當NCED=90。時；當NCDE=90。時；兩種情況進行討論，根據直角三角形中30。角性質

建立關于t的一元一次方程，解方程即可求解；

(3)先根據已知條件求得BC=12cm,進而得到DC=(6—t)cm,BE=(12—2t)cm.再由平行線的

性質得到ZB=30°,進而求得EF=1BE=l(12-2t)=(6-t)cm,從而求解.

22.【答案】解：(1)證明：\-ABAC=/.DAE,

Z.BAC+Z.CAD=Z.DAE+Z-CAD,

：./-BAD=乙CAE,

在△4BD和△力CE中，

'AB=AC

Z.BAD=Z-CAEf

、AD=AE

：.AABD=AACE(iSAS)；

(2)①結論：BD2+CD2=DE2.

理由如下：

"：^BAC=^DAE=90°,AB=AC,AD=AE,

：./,B=AACB=45°,

由(1)得，△BAD=ACAE,

：.BD=CE,^ACE=ZB=45°,

:.乙DCE=90°,

：.CE2+CD2=ED2.

又"：BD=CE,

：.BD2+CD2=DE2.

@"：^BA