第第頁江蘇省鎮(zhèn)江市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷一、單選題1．正△ABC的邊長為1，則AB?A．?12 B．?32 C．2．下列區(qū)間中，函數(shù)f(A．(0，π2) B．(π3．已知a，b為異面直線，a?α，b?β，α∩β＝c，則直線c一定（）A．同時(shí)和直線a，b相交 B．至少與直線a，b中的一條相交C．至多與直線a，b中的一條相交 D．與直線a，b中一條相交，一條平行4．已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是空間中兩個(gè)不同的平面，則下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）若m⊥α，m⊥β，則α//β；（2）若m//α，n//α，則m//n；（3）若m⊥α，n⊥α，則m//n；（4）若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m//n．A．1 B．2 C．3 D．45．某人向東偏北60°方向走50步，記為向量a；向北偏西60°方向走100步，記為向量b；向正北方向走200步，記為向量c．假設(shè)每步的步長都相等，則向量c可表示為（）A．23a+b B．a(chǎn)+236．已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，且測得點(diǎn)B對點(diǎn)A和點(diǎn)C的張角為120°，則點(diǎn)B到AC的距離為（）km．A．2077 B．10217 C．7．計(jì)算：23A．1 B．2 C．3 D．48．斜三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C的面積為S，側(cè)棱AAA．16Sa B．13Sa 二、多選題9．高空走鋼絲是雜技的一種，淵源于古代百戲的走索，演員手拿一根平衡桿，在一根兩頭拴住的鋼絲上來回走動，并表演各種動作．在表演時(shí)，假定演員手中的平衡桿是筆直的，水平地面內(nèi)一定存在直線與演員手中的平衡桿所在直線（）A．垂直 B．相交 C．異面 D．平行10．在下列對△ABC的描述中，能判定△ABC是直角三角形的是（）A．sin2A＝sin2B B．ACC．A（1，1），B（3，－2），C（4，3） D．△ABC為正方體的某個(gè)截面11．tan75°＝（）A．2+3 B．C．sin150°1+12．棱長都相等的正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角大小為α，兩相鄰側(cè)面所成的二面角大小為β，不相鄰兩側(cè)面所成的二面角大小為γ，則（）A．β＝2α B．γ＝2αC．β＋γ＝π D．cos2α＋cosβ＝0三、填空題13．求值：sinπ814．請寫出一個(gè)定義域?yàn)镽，周期為π的偶函數(shù)．15．一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積為24π的球面上，則該四面體的體積為．16．已知腰長為22的等腰直角△ABC，現(xiàn)沿斜邊BC上的高AD翻折，使得二面角B－AD－C的大小為60°，則點(diǎn)B到AC的距離為；異面直線AB與CD所成角的余弦值為四、解答題17．已知平面直角坐標(biāo)系中，向量a=（1）若c∥(3a+b)（2）若a與a+λ請?jiān)冖黉J角；②鈍角兩個(gè)序號中選擇一個(gè)填寫在空白處，將問題補(bǔ)充完成，并解答．18．已知sinα+cosα（1）求cos2α的值；（2）若sin(α?β)=101019．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面BCC（1）求證：BC1⊥AB1；（2）若側(cè)面ACC1A1為矩形，AC=3①求證：平面ACC1A1⊥平面BCC1B1；②求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正切值．20．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，?π（1）列出下表，根據(jù)表中信息．ωx＋φ0ππa2πx13b79f（x）020c0①請求出A，ω，φ的值；②請寫出表格中a，b，c對應(yīng)的值；③用表格數(shù)據(jù)作為“五點(diǎn)”坐標(biāo)，作出函數(shù)y＝f（x）一個(gè)周期內(nèi)的圖像；（2）當(dāng)ω=π21．某景區(qū)的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，其中BD，BE為景區(qū)內(nèi)的乘車觀光游覽路線，ED，DC，CB，BA，AE是步行觀光旅游路線（所有路線均不考慮寬度），經(jīng)測量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，CD=32，DE＝8，且cos（1）求BE的長度；（2）景區(qū)擬規(guī)劃△ABE區(qū)域種植花卉，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使種植區(qū)域△ABE面積最大，并求此最大值．22．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于點(diǎn)O．（1）求證：MN∥平面PCD；（2）二面角B－PC－D的平面角為θ，若cosθ=?①求PA與底面ABCD所成角的大小；②求點(diǎn)N到平面CDP的距離．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由題意得AB?故答案為：D

【分析】由題意進(jìn)行數(shù)量積的計(jì)算即可求出答案.2．【答案】C【解析】【解答】由π22π3當(dāng)k=?1時(shí)，其遞減區(qū)間為[?4π3，?π當(dāng)k=1時(shí)，其遞減區(qū)間為[8π所以f(x)在(0，π2故答案為：C

【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求出答案.3．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)閍?α，b?β，α∩β＝c，a，b為異面直線，所以c不可以與a，b都平行，否則a，故c至少與直線a，b中的一條相交.故答案為：B

【分析】根據(jù)兩平面相交，交線不能同時(shí)與a、b兩異面直線平行，即可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】對于（1）：若m⊥α，m⊥β，由垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行知α//β，故正確；對于（2）：若m//α，n//α，則m與n相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；對于（3）：若m⊥α，n⊥α，由垂直于同一平面的直線平行知m//對于（4）：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m//n不正確，若m//n可得m⊥α，m⊥β由（1）知故答案為：B

【分析】由面面平行的判定定理可判斷(1)；根據(jù)線面平行及線線的位置關(guān)系判斷(2)；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判斷(3)；利用反證法可判斷(4).5．【答案】A【解析】【解答】如圖，由步為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，則a→=(50cos由c→=xa→+y所以c→故答案為：A

【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法坐標(biāo)運(yùn)算求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】由余弦定理可得：AC即AC=107所以S△ABC解得?=AB?BC?故答案為：B

【分析】由題意及余弦定理可得AC的值，再由正弦定理可得sinA的值，再由直角三角形的性質(zhì)可得高BD的值.7．【答案】C【解析】【解答】23故答案為：C

【分析】由sin70°=sin(60°+10°)，利用兩角和的正弦公式展開，再代入所求式子，運(yùn)算即可得答案.8．【答案】C【解析】【解答】在斜三棱柱ABC?A1B1C顯然，它的體積為V=aS，所以斜三棱柱ABC?A1B故答案為：C

【分析】將斜三棱柱ABC?A9．【答案】A,C【解析】【解答】根據(jù)題意可得：對直線l與平面的任何位置關(guān)系，平面內(nèi)均存在直線與直線l垂直，A符合題意；平衡桿所在直線與水平地面的位置關(guān)系：平行或相交根據(jù)線面關(guān)系可知：若直線與平面平行，則該直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系：平行或異面若直線與平面相交，則該直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系：相交或異面C符合題意；B、D不符合題意；故答案為：AC．

【分析】對直線l與平面的任何位置關(guān)系，平面內(nèi)均存在直線與直線l垂直可判斷A；平衡桿所在直線與水平地面的位置關(guān)系：平行或相交，根據(jù)線面關(guān)系可知：若直線與平面平行，則該直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系：平行或異面；若直線與平面相交，則該直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系：相交或異面可判斷B、C、D.10．【答案】B,C【解析】【解答】sin2A＝sin2B，則即A＝B或A+B=πAC?AB∴AC?CB=0A（1，1），B（3，－2），C（4，3），則|AB|=∵|AB|2正方體的截面有：三角形、四邊形、五邊形和六邊形，其中三角形有：等邊三角形、等腰三角形和銳角三角形，沒有直角三角形，D不符合題意；故答案為：BC．

【分析】由已知三角等式求得A與B的關(guān)系判斷A；把已知向量等式變形，得到數(shù)量積為0判斷B；由已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求得數(shù)量積為0判斷C；由平面截正方體所得三角形為銳角三角形判斷D.11．【答案】A,C【解析】【解答】tan75°=由正切的半角公式知tan75°=tan75°=由tan75°≠故答案為：AC

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式及特殊角的三角函數(shù)值判斷A，由正切半角公式判斷B、C；直接判斷D.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】設(shè)正四棱錐的棱長為2，連接AC，BD相交于O，取AB，PD，由棱長都相等正四棱錐可知，PO⊥平面ABCD，PE⊥AB，EO⊥AB，AF⊥PD，CF⊥PD，所以又CF=AF=PE=2×32=故tanα=21=2，tan由對稱性知，不相鄰的側(cè)面所成角為側(cè)面PAB與面PMN所成角的2倍，故cosγ2=OPPE而tan2α=2tan因?yàn)閠anβ=tan2α=?22，因?yàn)閏os2α=故答案為：ACD

【分析】在正四棱錐中分別找到或作出α，β，γ，求出三角函數(shù)值，利用三角函數(shù)值逐項(xiàng)判斷它們的關(guān)系即可得答案.13．【答案】2【解析】【解答】由題意得sinπ故答案為：2

【分析】利用正弦二倍角公式可求出答案.14．【答案】f(x)=cos2x（不唯一）【解析】【解答】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)f(x)=cos2x周期為R，周期為T=2π故答案為：f(x)=cos2x（不唯一）

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.15．【答案】16【解析】【解答】設(shè)正四面體的棱長為a，外接球半徑為R，如圖正四面體ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，M為△BCD的中心，連接AM，則AM⊥平面BCD，O為正四面體ABCD外接球的球心，連接OB，則BM=2所以AM=A因?yàn)檎骟w外接球的表面積為24π，所以4πR2=24π所以AO=OB=6所以O(shè)M=AM?OA=6在Rt△OBM中，OM則(63a?6)所以該四面體的體積為13故答案為：16

【分析】設(shè)正四面體的棱長為a，外接球半徑為R，畫出正四面體的圖形，則在Rt△OBM中，由OM16．【答案】142；【解析】【解答】如圖，圖①中，由題意，AB=AC=22，∠BAC=90°，所以BC=2BD=CD=4因?yàn)锽D⊥AD，CD⊥AD，所以即∠BDC=60°，所以圖②中BC=2，設(shè)點(diǎn)B到AC的距離為?，由三角形面積可知BC?AB2設(shè)異面直線AB與CD所成角為θ，∵AB→∴AB∴cos故答案為：142；2

【分析】根據(jù)折前折后不變的數(shù)量關(guān)系，二面角的平面角，利用等面積法求高，根據(jù)向量法求異面直線所成角的余弦值.17．【答案】（1）解：設(shè)c=(x因?yàn)閏∥(3所以?2?x=0?y，解得x=0，又|c所以x2+y所以向量c的坐標(biāo)為(0，（2）解：a+λ當(dāng)a與a+λb共線時(shí)，1×(若選①銳角，則a解得λ<5所以若a與a+λb的夾角為銳角時(shí)，λ的取值范圍為若選擇②鈍角，則a?(解得λ>5所以若a與a+λb【解析】【分析】(1)設(shè)c=(x，y)，先求出3a→+b→的坐標(biāo)，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系，可得x軸，根據(jù)求模公式，可得y值，即可求出向量c的坐標(biāo)；

(2)先求出a+λb坐標(biāo)，求得a與a+λb18．【答案】（1）解：由sinα+cosαsinα?∴（2）解：∵α∈(0，π2∴?π2<α?β<π2由（1）知tanα=2，∵α∈(0，π∴=2又β∈(0，π【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可得tana的值，再由余弦二倍角公式，分子分母同時(shí)除以cos2α利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式弦化切后得到關(guān)于tana的關(guān)系式，代入tana可求出cos2α的值；

(2)根據(jù)a-β的取值范圍，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得cos(α?β19．【答案】（1）證明：∵側(cè)面BCC1B1是菱形，∴B又AC⊥BC1，B1C∩AC=C，∴BC∵AB1?平面（2）解：①∵側(cè)面ACC1A1為矩形，∴AC⊥CC∵AC⊥BC1，CB1∩CC1=C，∵AC?平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1②∵AC⊥平面BCC1B1，∴AC1在平面BCC1B1上的射影為∴直線AC1與平面BCC1B1所成角為∠AC∴tan【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件及菱形對角線垂直，可證明線面垂直，由線面垂直可得BC1⊥AB1；

(2)①根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定定理能證明平面ACC1A1⊥平面BCC1B1；

②由線面角的定義和三角函數(shù)的性質(zhì)能求出直線AC1與平面BCC1B1所成角的正切值．20．【答案】（1）解：①由表格可知，A=2，由ω+φ=03ω+φ=π2，解得ω=②∵ω?b+φ=π4b?當(dāng)x=7時(shí)，a=7×π4?③作出一個(gè)周期的圖象，如圖，（2）解：∵ω=π4，∴T=2π當(dāng)△BCE為直角三角形時(shí)，BC→?CEBC→?BECE→綜上，A=2或A=2【解析】【分析】(1)根據(jù)表格代入，利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出向量，利用向量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可求解出A的值．21．【答案】（1）解：在△BCD中，由正弦定理得CDsin所以BD=CD?在△BDE中，由余弦定理得cos∠DBE=所以35=36+BE2（2）解：在△ABE中，由余弦定理得cos∠BAE=所以AB所以AB×AE≤100當(dāng)且僅當(dāng)AB=AE=10此時(shí)△ABE面積最大值S=所以當(dāng)步行觀光旅游路線AB=AE=1033時(shí)，種植區(qū)域【解析】【分析】(1)在△BCD中，由正弦定理可得BD的值，在△BDE中，由余弦定理可得BE的值；

(2)在△ABE中，由(1)及余弦定理和均值不等式可得AB×AE的最大值，進(jìn)而求出△ABE的面積的最大值.22．【答案】（1）證明：取PD得中點(diǎn)E，連接ME，CE，如圖，∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，∴ME=1∵N為BC的中點(diǎn)且四邊形ABCD為菱形，∴NC//AD，∴NC//ME，NC=ME，∴MN//EC，又MN?平面PCD，CE?平面PCD，∴MN∥平面PCD.（2）解：①連接PO，過B作BF⊥PC于F，連接DF，由PB＝PD，O是BD的中點(diǎn)，∴PO⊥BD，由菱形ABCD知AC⊥BD，又PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，∵BD?