PAGE1-第10課時等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)問點(diǎn)一等差數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用1．等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么關(guān)于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．無實(shí)根B．有兩個相等實(shí)根C．有兩個不等實(shí)根D．不能確定有無實(shí)根答案A解析由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，∴a5＝3，方程為x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，無實(shí)數(shù)解．故選A．2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于()A．40B．42C．43D．45答案B解析a2＋a3＝2a1＋3d＝13，又a1＝2，∴d＝3．∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝3(2＋12)＝42．3．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－eq\f(1,2)a8的值為()A．4B．6C．8D．10答案C解析由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－eq\f(1,2)a8＝eq\f(1,2)(2a7－a8)＝eq\f(1,2)(a6＋a8－a8)＝eq\f(1,2)a6＝8．4．下列命題中正確的個數(shù)是()(1)若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2肯定成等差數(shù)列；(2)若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2c可能成等差數(shù)列；(3)若a，b，c成等差數(shù)列，則ka＋2，kb＋2，kc＋2肯定成等差數(shù)列；(4)若a，b，c成等差數(shù)列，則eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)可能成等差數(shù)列．A．4個B．3個C．2個D．1個答案B解析對于(1)取a＝1，b＝2，c＝3?a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)錯誤；對于(2)，a＝b＝c?2a＝2b＝2c，(2)正確；對于(3)，∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b．∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正確；對于(4)，a＝b＝c≠0?eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，(4)正確，綜上選B．5．已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，則a5＋a8＝________．答案18解析a5＋a8＝a2＋a11＝a3＋a10，又a2＋a3＋a10＋a11＝36，∴a5＋a8＝18．學(xué)問點(diǎn)二等差數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用6．在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，則a6＝()A．8B．6C．4D．3答案D解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6(a3＋a9)＝6×2a6＝12a6＝36，∴a6＝3．故選D．7．設(shè)公差為－2的等差數(shù)列{an}，假如a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于()A．－182B．－78C．－148D．－82答案D解析a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82．8．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，若點(diǎn)eq\f(an,n)，eq\f(an＋1,n＋1)在直線x－y＋1＝0上，則an＝________．答案n2解析依題意得eq\f(an,n)－eq\f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，∴數(shù)列eq\f(an,n)為等差數(shù)列，且公差d＝1．又eq\f(a1,1)＝1，∴eq\f(an,n)＝1＋(n－1)×1＝n，an＝n2．9．已知△ABC的一個內(nèi)角為120°，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為________．答案15eq\r(3)解析不妨設(shè)∠A＝120°，c<b，則a＝b＋4，c＝b－4，于是cos120°＝eq\f(b2＋b－42－b＋42,2bb－4)＝－eq\f(1,2)，解得b＝10，所以S＝eq\f(1,2)bcsin120°＝15eq\r(3)．易錯點(diǎn)忽視等差數(shù)列性質(zhì)的本質(zhì)10．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，且a4＞a2，則a5＝________．易錯分析等差數(shù)列的“下標(biāo)和”性質(zhì)：若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq．而學(xué)生易錯算為am＋an＝am＋n導(dǎo)致結(jié)果算錯．答案13解析∵a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a3＋a4＝a2＋a5，∴2(a2＋a5)＝34，∴a2＋a5＝17．又a2·a5＝52，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4，))又a4＞a2，∴a4－a2＝2d＞0，∴d＞0，∴a5＞a2，∴a5＝13．一、選擇題1．若{an}是等差數(shù)列，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的有()①{an＋an＋1}；②{aeq\o\al(2,n)}；③{an＋1－an}；④{2an}；⑤{2an＋n}．A．1個B．2個C．3個D．4個答案D解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．對于①，(an＋an＋1)－(an－1＋an)＝(an－an－1)＋(an＋1－an)＝2d(n≥2)，∴{an＋an＋1}是以2d為公差的等差數(shù)列；對于②，aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝(an＋1－an)(an＋an＋1)＝d(an＋an＋1)≠常數(shù)，∴{aeq\o\al(2,n)}不是等差數(shù)列；對于③，∵an＋1－an＝d，∴{an＋1－an}為常數(shù)列；∴{an＋1－an}為等差數(shù)列；對于④，∵2an＋1－2an＝2d，∴{2an}為等差數(shù)列；對于⑤，(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2d＋1，∴{2an＋n}為等差數(shù)列．故選D．2．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f(1,3)a11的值為()A．14B．15C．16D．17答案C解析由題意知5a8＝120，∴a8＝24，∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16．3．在等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50，則a40＝()A．40B．70C．80D．90答案D解析在等差數(shù)列中，間隔相等的項(xiàng)成等差數(shù)列，∴a10＝30，a20＝50，a30＝70，a40＝90．故選D．4．在3與27之間插入7個數(shù)，使這9個數(shù)成等差數(shù)列，則插入這7個數(shù)中的第4個數(shù)值為()A．18B．9C．12D．15答案D解析設(shè)這7個數(shù)分別為a1，a2，…，a7，易知a4是3與27的等差中項(xiàng)，∴a4＝eq\f(3＋27,2)＝15．5．已知數(shù)列{an}滿意a1＝15，且3an＋1＝3an－2．若ak·ak＋1＜0，則正整數(shù)k＝()A．24B．23C．22D．21答案B解析由3an＋1＝3an－2得an＋1－an＝－eq\f(2,3)，所以數(shù)列{an}為首項(xiàng)a1＝15，公差d＝－eq\f(2,3)的等差數(shù)列，所以an＝15－eq\f(2,3)(n－1)＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3)，則由ak·ak＋1＜0得ak＞0，ak＋1＜0，令an＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3)＝0得n＝eq\f(47,2)，所以a23＞0，a24＜0，所以k＝23．故選B．二、填空題6．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差數(shù)列，則x＝________．答案log25解析由題意得2lg(2x－1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以(2x－1)2＝2·(2x＋3)，即(2x－5)(2x＋1)＝0，所以2x＝5，即x＝log25．7．中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為________．答案5解析易推斷中位數(shù)1010是首項(xiàng)和末項(xiàng)的等差中項(xiàng)，故首項(xiàng)為2×1010－2015＝5．8．若{an}為等差數(shù)列，且a1＋a5＋a9＝π，則cos(a2＋a8)的值為________．答案－eq\f(1,2)解析∵{an}為等差數(shù)列，∴a1＋a9＝2a5＝a2＋a8．代入a1＋a5＋a9＝π，得eq\f(3,2)(a2＋a8)＝π，∴a2＋a8＝eq\f(2π,3)，從而cos(a2＋a8)＝－eq\f(1,2)．三、解答題9．已知數(shù)列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1．(1)求{bn}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列？說明理由．解(1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，∴bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3．(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7．∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4，∴{bn}是首項(xiàng)b1＝1，公差為4的等差數(shù)列．10．已知等差數(shù)列{an}，設(shè)bn＝eq\f(1,2)an，已知b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解∵b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，bn＝eq\f(1,2)an．∴eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a3＝eq\f(21,8)，∵b1b2b3＝eq\f(1,8)，∴eq\f(1,2)a1·eq\f(1,2)a2·eq\f(1,2)a3＝eq\f(1,8)，∴eq\f(1,2)a1＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3．又∵a1，a2，a3成等差數(shù)列，可設(shè)a1＝a2－d，a3＝a2＋d，于是a2＝1．由eq\f(1,2)1－d＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)1＋d＝eq\f(21,8)．∴eq\f(\f(1,2),\f