第3課時切線長定理

【知識與技能】

理解掌握切線長的概念和切線長定理，了解三角形的內切圓和三角形的內心

等概念.

【過程與方法】

利用圓的軸對稱性幫助探求切線長的特征.結合求證三角形內面積最大的圓

的問題，掌握三角形內切圓和內心的概念.

【情感態度】

經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力.

【教學重點】

切線長定理及其應用.

【教學難點】

內切圓、內心的概念及運用.

一、情境導入，初步認識

探究如圖，紙上有一⊙O，PA為⊙O的一條切線，沿著直線PO對折，設

圓上與點A重合的點為B，回答下列問題：（1）OB是⊙O半徑嗎？（2）PB是

⊙O的切線嗎？（3）PA、PB是什么關系？（4）∠APO和∠BPO有何關系？

學生動手實驗，觀察分析，合作交流后，教師抽取幾位學生回答問題.

分析：OB與OA重合，OA是半徑，∴OB也是半徑.根據折疊前后的角不

變，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=

∠BPO.而PB經過半徑OB的外端點，∴PB是⊙O的切線.

二、思考探究，獲取新知

1.切線長的定義及性質

切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長叫做這點到

圓的切線長.

我們知道圓的切線是直線，而切線長是一條線段長，不是直線.

如右圖中，PA、PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，

OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.

由此我們得到切線長定理:

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線

平分兩條切線的夾角.

【教學說明】這個定理要讓學生分清題設和結論.題設：過圓外一點作圓的

切線.結論：①過圓外的這一點可作該圓的兩條切線.②兩條切線長相等.③這一點

和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

猜想：在上圖中連接AB，則OP與AB有怎樣的關系？

分析：∵PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，

∴OP⊥AB，且OP平分AB.

2.三角形的內切圓

思考如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且

使圓的面積盡可能大呢？

【教學說明】引導學生分析作圖的關鍵，假設圓已經作出，圓心應滿足什么

條件，怎樣根據這些條件確定圓心？圓心確定后，如何確定半徑？教師引導，學

生要互相討論來解決這些問題.

假設符合條件的圓已作出，那么這個圓與△ABC的三邊都相切，這個圓的

圓心到△ABC三邊的距離都等于半徑.又因為我們在角平分線這節中學過，三角

形的三條角平分線交于一點，并且這個點到三條邊的距離相等.因此，在△ABC

中，作∠B，∠C的角平分線BM和CN，它們相交于點I，則點I到AB、BC、

AC的距離相等.∴以I為圓心，點I到BC的距離ID為半徑作圓，則⊙I與△ABC

三邊相切.

內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.

內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心.

三角形的內心到三角形三邊的距離相等.

【教學說明】要讓學生對照圖形理解三角形的內切圓的概念，并與三角形的

外接圓進行比較.“接”和“切”是說明多邊形的頂點和邊與圓的關系；多邊形

的頂點都在圓上叫“接”，多邊形的邊都與圓相切叫“切”.

三、典例精析，掌握新知

例1教材第100頁，例2（本題較簡單，教師指點，可由學生自主完成）

例2如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，連接OP，

交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半徑OA及兩切線PA、PB的夾角.

分析：連接OA，設AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切線長

定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.

解：連接AO，∵PA是⊙O的切線，∴PA⊥OA，△PAO為直角三角形.

設OA=x，則OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+62=(23+x)2，

解得:x=23.∴OA=23，OP=43，∴∠AOP=60°，∠APO=30°.

∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半徑OA為23，兩切線PA、

PB的夾角為60°.

【教學說明】例1、例2是利用切線長定理進行計算，在解題過程中，我們

常常用方程來解決幾何問題.

例3如圖，在△ABC中，I是內心，∠BIC=100°，則∠A=____.

分析：∵I是內心.

∴BI，CI分別是∠ABC，∠ACB的平分線.

∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.

又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.

∴∠ABC+∠ACB=160°.

∴∠A=180°-160°=20°.

【教學說明】指導學生利用三角形內心的性質解決問題.

四、運用新知，深化理解

課本第100頁練習1、2題.

【教學說明】教師引導學生完成課本練習.

五、師生互動，課堂小結

這節課學習了哪幾個重要知識點？你有哪些疑惑？

【教學說明】學生自主交流并發言總結，教師予以補充和點評，讓學生完整

地領會本堂課的知識要點.

1.布置作業：從教材“習題24.2”