大題專攻(二)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

題型(一)/構(gòu)造法證明不等式

［典例］已知函數(shù)｛x)=3nx+"2+s+i)xmKo).

(1)討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)aVO時(shí)，證明：

［解題微"點(diǎn)”］

(1)首先確定大幻的定義域，求導(dǎo)判斷人X)的單調(diào)性；

當(dāng)時(shí)，()有最大值/(一燈，要證人幻/一士-只需證/(一三)W-吉

切入點(diǎn)(2)QVO/X1,

—1即可

(1)解第一問時(shí)，忽視對(duì)參數(shù)的分類討論；

障礙點(diǎn)

(2)解第二問時(shí)，不知道利用(1)的結(jié)論

解與不等式證明有關(guān)問題的關(guān)鍵是，構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)分析新函數(shù)的相關(guān)性

關(guān)鍵點(diǎn)

質(zhì)

［解］⑴由fix)=^\nx+aW+g+Dx,知府)的定義域?yàn)?0,+?>),f住)=

(2nx+l)(2x+l)

2x?

若“VO,由/(#)=0得x=-《，當(dāng)x《0,一吉)時(shí)，(幻>0,當(dāng)x4一名+°°)

時(shí)，f(x)<0,

故函數(shù)心)在(0,一?上單調(diào)遞增，在(一蕓+8)上單調(diào)遞減；

若。>0,當(dāng)xW(0,+8)時(shí)，r(x)>o恒成立，

故函數(shù)〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)“V0時(shí)，函數(shù)加：)在(0,一J上單調(diào)遞增，在(一5+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)。

>0時(shí)，函數(shù)八X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明：由(1)知當(dāng)“V0時(shí),介)在x=一右處取得最大值，最大值為?/(—3=3n(一方)

11

一彳一，

要證加岸號(hào)-1,即名MOWWT-I,即證指(O+土+N。，

令t=一工因?yàn)閍VO,所以40,則只需證明;(EL￡+l)W0.

1l~t

令g(，)=lnL/+l,/>0,則g'(/)=y-l=—,

當(dāng)fW(O,l)時(shí)，g1(0>0,當(dāng)f￡(l,+8)時(shí)，g1(/)<(),

故g⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，在［1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(f)Wg(l)=O,故&⑺WO,

即去加Lf+l)W0.

因此當(dāng)“VO時(shí)，如)W一■-1.

4a

［提分技巧］

證明不等式的基本方法

(1)利用單調(diào)性：若大X)在［%W上是增函數(shù)，則

①b］t有大a)w/u)wys)；

②Vxi,x2^［atb］t且XIVM,有人內(nèi))<7a2).

對(duì)于減函數(shù)有類似結(jié)論.

(2)利用最值:若人x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)t則VxWO,有/U)WM(或

(3)構(gòu)造函數(shù)：證明/U)Vg(x),可構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)—g(x),證明尸(x)V0.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

(2021?全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)八x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)了=切制的極值點(diǎn).

⑴求

(2)設(shè)函數(shù)g(x)="OX'，證明：g(x)vl.

解：(1)由題意，得/=ln(a—x)----Z-(?>x).

因?yàn)閤=0是函數(shù)y=研工)的極值點(diǎn)，

所以加〃=0,解得a=l.

,?..x+ln(l-x)

⑵證明：由⑴知g(x)=X加(；—“，，

xe(-oo,O)U(O,1),

當(dāng)xW(0,l)時(shí)，xln(l-x)<0;

當(dāng)X€(-8,0)時(shí),xln(l-x)<0.

故要證g(x)vl,即證x+ln(l-x)>Wn(l-x),則有一(1一幻+(1-4)加(1一彳)+1>0.

令1=1-x,/e(O,l)U(l,+?>),

即證/In/—/+1>().

設(shè)Mf)=flnf—i+1,I'］h1(￡j=ln￡.

當(dāng)/變化時(shí)，3。)和M。的變化情況如下:

t(0,1)(1,+°°)

h'(0—4-

h(t)

所以當(dāng)f￡(OJ)U(l,+8)時(shí)，/i(o>/?(l)=0,

所以不等式成立，即g(x)vl.

題型(二)/等價(jià)轉(zhuǎn)化法解決不等式恒成立問題

［典例］已知函數(shù)人x)=(x+a)hix—%—ax+a—1.

(1)若。=1,求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Hx)>alnx—%2—2x在U,+8)上恒成立，求整數(shù)。的最大值.

［解題微"點(diǎn)”］

(1)問直接求導(dǎo)判斷函數(shù)“r)的單調(diào)區(qū)間.

切入點(diǎn)(2)問看到求整數(shù)。的最大值，想到分離參數(shù)縱然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及函

數(shù)的性質(zhì)求解

遷移點(diǎn)把爪x)>ahix-jx2-2x轉(zhuǎn)化為aV*二;在(1,+8)上恒成立

(1)想不到分離導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)致對(duì)〃進(jìn)行分類討論.(2)構(gòu)造函數(shù)后，若其導(dǎo)函數(shù)無法

障礙點(diǎn)

直接判斷單調(diào)性，不要忽略零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用

［解］(1)若〃=1,則/(x)=(x+l)lnx—52-x,函數(shù)人工)的定義域?yàn)?0,+8),得，(X)

=lnx-x+~.

111x-x2-1-G_2)2-4

設(shè)g(x)=lnx-x+1,則/(x)=--1-^2=-p-=------p--------<0.

故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且g(i)=o,

故當(dāng)xe(0,l)時(shí),g(x)>0,即，(x)>0,ZU)單調(diào)遞增；

當(dāng)xw(i,+8)時(shí)，g(x)<o,即/(x)<o,大用單調(diào)遞減.

所以火幻的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,4-00).

(2)原不等式等價(jià)于x\nx—a(x—l)+2x—1>0在(1,+8)上恒成立,

即a<“加告在(1,+8)上恒成立.

xlnx4-2x-1

設(shè)M*)=,x>l,

,X-Inx—2

則“(X尸(1)2，

設(shè)Mx)=x—Inx-2,x>l,U'Jh'(")=1一5=彳，，

所以/l(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

又M3)=3-ln3-2=l-ln3V0,/i(4)=4-ln4-2=2-21n2>0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理,

可知Mr)在(1,+8)上有唯一零點(diǎn)，

設(shè)該零點(diǎn)為xo,則xo￡(3,4),且Mxo)=x。一加xo-2=0,即x()—2=lnxo.

當(dāng)xW(l,xo)時(shí)，力(x)VO,即“(x)VO,故如幻在(1,刈)上單調(diào)遞減：

當(dāng)x￡(xo,+8)時(shí)，Mx)>0,即“(x)>0,故Mx)在(xo,+8)上單調(diào)遞增.

xolnxo+2xo—1..

所以^(X)mln=x_]=Xo+l.

由題意可知aVxo+l,又xoE(3,4),所以4Vxo+lV5,

因?yàn)镚￡Z,所以整數(shù)。的最大值為4?

［提分技巧］不等式恒成立問題的解題關(guān)鍵點(diǎn)

fx宙i—T年豆而至由藪我爰麻而南藪親花另花,鬲窗:

.：一廠數(shù)去考慮，所構(gòu)造的新函數(shù)的性質(zhì)便于研究：

公求值)~~fA—戒:料床潺三喜;茶話*函餐主……：

~,「而面話戢而事及藥標(biāo)窗薪而串施桂；至區(qū)畝］

會(huì)思形H象，可快速得出參數(shù)所滿足的方程(不等式)，；

---：從而求出參數(shù)的值(范圍)；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

已知函數(shù)4x)=lnx-a^+m—8一l)x+b+l(a,力￡R).

(1)若。=0,試討論大好的單調(diào)性；

(2)若對(duì)Vxw［5e］,/U)WO恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：⑴依題意,當(dāng)。=0時(shí)，/(*)=3一S+l),xX).

①當(dāng)》近一1時(shí)，f(x)>0恒成立，此時(shí)，人幻在(0,+8)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)》>一1時(shí)，若x￡(0,露)則(x)>0；

若3T，+8),則/Cr)VO,

故此時(shí)人幻在(o,蠢)上單調(diào)遞增，在牌7，+8)上單調(diào)遞減.

Ax)在白，才力上單調(diào)

綜上所述，bW—1時(shí)，/U)在(0,+8)上單調(diào)遞增；b>-l時(shí),

遞增，在牌i，+8)上單調(diào)速誡.

(2)因?yàn)?1)=0,1￡己，el所以對(duì)Vxw［5ej,“r)W0恒成立，即為對(duì)VxW

犬x)《/U)恒成立，所以x=l是人刈的一個(gè)極大值點(diǎn).

由f(x)=：-2or+a—力-1,

得/，(1)=1-2A4~?-6—1=0,即b=-a,

進(jìn).而得.，(x)=1~-2ax,+2a-l=~(-2-a-x-於+lX--x--1\)

XX

當(dāng)“20時(shí)，若工￡己，1)U/(x)>0;若x￡(l,e］,則，(x)<0.

所以，丸X)max=/U)=0,故符合題意.

當(dāng)“V0時(shí)，依題意有j2a即J2—e

火e)W0,心正吊

故此時(shí)7~八7WaV0.

(e-iy

［弟，+8)

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

型ey等價(jià)轉(zhuǎn)化法解決不等式能成立問題

［典例］設(shè)函數(shù)/(x)=21nx—股/+1.

(1)討論函數(shù)JU)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)/U)有極值時(shí)，若存在x?,使得/(*0)>帆-1成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

［解］(1)函數(shù)凡。的定義域?yàn)?0,+8),

f(x)=--2mx=---七-----,

當(dāng)mWO時(shí)，f(x)>0,

??J(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)m>0時(shí)，令，(x)>0,則

令/'(x)<0,則工>手，

???兀0在(0,g)上單調(diào)遞增,在G9,+8)上單調(diào)遞減.

綜上所述，加近0時(shí)，汽幻在(0,+8)上單調(diào)遞增；

心。時(shí)，加)在(0,令上單調(diào)遞增，在尊+8)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)知，當(dāng)〃?有極值時(shí)，，心0,

且人用在(o,喇上單調(diào)遞增，在G「，+8)上單調(diào)遞減，

?\flx)max=J^^=21ng-"5+l=-liiin.

若存在XO,使得/Uo)>6—1成立，

則/lx)max>rn—1,

即一ln/w>m—1,加，"+6一IvO成立.

令g(x)=x+lnx-l(x>0),

???g'(x)=l+%0,

，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(l)=0,

??.Ov〃zvl????實(shí)數(shù)m的取值范闔是(0,1).

［提分技巧I

根據(jù)不等式能成立求參數(shù)的步驟

(1)利用題設(shè)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式的能成立問

題；

(2)用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在區(qū)間上的最值；

(3)構(gòu)篁不等式求解.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

己知函數(shù)人工)=言：-ox+〃在點(diǎn)(e,#e))處的切線方程為y=-ax+2e.

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若存在xoW［e,e2］,滿足兀ro)W《+e,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：(1)函數(shù)大外的定義域?yàn)?O,1)U(1,+8),

X

???人")=命一"+九

,Inx-1,

?,*/(-v)=-j^--a,:?/(e)=-a.

又/(e)=e-ae+〃，

?7/tr)在點(diǎn)(e,7(e))處的切線方程為j—(e—ae+Z>)=-a(x—e),

即y=-ax+e+力.

又函數(shù)/lx)在點(diǎn)(e,4e))處的切線方程為y=—〃x+2e,；?b=e.

(2)由題意得人xo)=請(qǐng)不一axo+eW/+e,

，問題轉(zhuǎn)化為。2自一點(diǎn)在［e,e4上有解.

令〃(好=自一&，x￡叵

11ln2x—4x

則％f(幻=后一缶舌=叱*=

(In)+25)(加x-2立)

4x2ln2x

令p(x)=hix-2，i,則當(dāng)xW［e,e2］時(shí),

,11l—\［x

有P『一《=x<°?

，函數(shù)p(x)在區(qū)間［c,eq上單調(diào)遞減，

.??p(x)Wp(e)=lne—2\fe<0.

：.hf(x)<0,???/心)在區(qū)間［e,e?］上單調(diào)遞減，

???Mx)》Me2)=備一。=；一去.

，實(shí)數(shù)。的取值范圍為:一七，+8).

［專題跟蹤檢測(cè)］

1.已知J(x)=asinx+x2^—ar-xPsinx.

(1)當(dāng)貝x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求。的取值范圍;

8=r

(2)當(dāng)。=1,x>0時(shí)，?^x—sinx求證：g(x)2x+lnx.

解：(1)由題知，人x)=(x臚-a)(x-sinx)有兩個(gè)零點(diǎn)，

sinx=O時(shí)，x=0,故G=0有一個(gè)非零實(shí)根，

設(shè)Mx)=xe。得人(x)=(x+l)e\

???MX)在(一8,一1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增.

又M-1)=-/i(0)=0,x>0時(shí)，/i(x)>0;

x<0時(shí)，h(x)<0,

結(jié)合圖象(圖略)可知，。的取值范圍是

|-1|u(0,+8).

(2)證明：由題意知，.=》打—1.

要證xe*—l>x+lnx=ln(xex),

即證xe^-InCreO-120.

令，=工^>0,

設(shè)KAO),

則Hr(/)=1-y=—

???〃(。在(0,1)上單調(diào)遞減，在3+8)上單調(diào)遞增.

.??H(￡)27/(l)=0,.??xex—12x+lnx.

.??g(x)2x+lnx.

2.已知大此二筋也工+始+如+工

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=4x)在x=l處的切線方程；

(2)若存在xowQ,e),使得/田))20成立，求。的取值范圍.

解：/(x)=2(lnx+l)+2x4-a,x€(0,+?>).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，大幻=2山11%+/+》+3,/(x)=2(lnx+l)4-2x4-1,

所以41)=5,f(1)=5,

所以曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y—5=5(工一1),即)，=5x.

(2)存在xowQ,e),使得人河)20成立，等價(jià)于不等式2xlnx+x24-3在Q，e)上

x

有解.

2x1n工+爐+3

令h(x)=x

x2+2x-3'+3)(1)

則//(x)=------衣---=一^》S

當(dāng)qVxVl時(shí)，》(x)>0,加工)為增函數(shù)；當(dāng)IVxVe時(shí)，/(xjVO,Mx)為減函數(shù).

22

又,好--3-e---2e—e+l，刀伯尸一—e4-—2e+3，

故一加e)V0,

所以當(dāng)e)時(shí)，/3>般)=一%2-1+1,

所以〃>一e,即0的取值范圍為(一0,4-ooJ.

3.已知函數(shù)人工)=。印!1x(其白e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=x24-xlna,a>0.

(1)討論函數(shù)人x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)/i(x)=g(x)-/U),若以外>0對(duì)任意的xW(0,l)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：(1)函數(shù)4x)的定義域?yàn)?0,+8).

因?yàn)槿藊)=aFlnx,所以J7(x)=ae{lnx+[).

1x~1

令3(x)=lnx+7則“(x)=—

當(dāng)xW(0,l)時(shí)，(p1(x)<0,

所以“(X)在(0,1)上單調(diào)遞減.

當(dāng)xW(l,+8)時(shí)，/(》)>0,

所以°(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以e(x)29(l)=l>0.

又因?yàn)椤?gt;0,ex>0,所以，Q)>0在(0,+8)上恒成立.

所以人用在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)h(x)=g(x)-f(x)=x2^-x\no—aexlnx.

由//(x)>0得x24-xlna—?exlnx>0,

即ae^lnx<x2+xlna.

“?lnxx+lna加(。吟

以~

rJ\X4cx_4cx'9

即I"黑)>￥對(duì)任意xW(0,l)恒成立.

設(shè)"(x)=￥，則H'(x)=1J"X,

所以，當(dāng)xW(0,l)時(shí)，Hr(x)>0,函數(shù)”(x)單調(diào)遞增，且當(dāng)xW(l,+8)時(shí)，H(x)>0；

當(dāng)xW(0,1)時(shí)，H(x)<0.

若則

若Oypvl,因?yàn)?/p>

且"(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以ae，x.

綜上可知，aeOx時(shí)對(duì)任意xE(O,l)恒成立，

r

即a>G對(duì)任意xW(°J)恒成立.

xl~x

設(shè)G(X)=G，xe(0,l),則G'(x)==>0.

所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以G(x)<G(l)=1,

所以a的取值范圍為P，+8)

4.已知函數(shù)兀0=履一xlnx,上￡R.

(1)當(dāng)A=2時(shí)，求函數(shù)人幻的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)0<xWl時(shí)，〃幻恒成立，求左的取值范圍；

,e、Kf.4TIn1.In2.,】n〃/(〃—1)

(3)設(shè)〃￡N,求證：-2--F---卜…+〃+]W.

解：(1)當(dāng)士=2時(shí)，f(x)=2x-x\nxtf(x)=l-lnx,

由，(x)>0,解得0<xve;由/'(x)v0,解得x>e.

因此函數(shù)Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+8).

(2)fix)=kx—x\nx,故/'(x)=Zc—1—Inx,

當(dāng)々21時(shí)，因?yàn)?vx<l,所以上一12021nx,

因此,(x)20恒成立，即人刈在(0周上單調(diào)遞增，

所以恒成立.

當(dāng)kl時(shí),令/(x)=0,解得。=*1￡(0,1).

當(dāng)xW(0,A-1)時(shí),f(x)>0,4x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x￡(e*F)時(shí),f(x)<0,_/?單調(diào)遞減.

于是大yr)?U)=A,與大x)W左恒成立相矛盾.

綜上，A的取值范圍為[1,4-?).

(3)證明：由(2)知，當(dāng)0??1時(shí)，x-xlnxWl.

112

令》=函(〃￡2),則示+/nnWl,即2ln〃W〃2-i,

1

因此〃+筆1W寫2.

號(hào)“In1,In2,.Inn^0.1.,n~l〃(〃一1)

所以F2-+-T3+,?,+〃F+71W2孑+2W+???+F2-='4d'.

大題專攻(三)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題

［典例］(2022是?安*五校聯(lián)考)已知函數(shù)/U)=Inx+f+1.

(1)若函數(shù)人制在［1,e］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)討論函數(shù)人工)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

［解］(l);Ax)的定義域?yàn)?0,+8),??.，(好=?20在x￡［l,e］上恒成立，即aWx

在［1,e］上恒成立.

?,.a<(X)min=l,因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,1］.

(2)由/(x)=lnx+f+l=0,可得a=-xlnx—xt

令g(x)=—xlnx-x,其中工>0,g'(x)=—Inx—2,

令g'(x)=0,可得x=￡，列裊如下：

1

X(。，i)&+8)

g'(X)4-0一

極大嗎

g(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

作出函數(shù)g(x)與直線y=a的圖象如圖所示，

當(dāng)0<A；S時(shí)，^(x)=-x(lnx+1)>0;

當(dāng)時(shí),g(x)=-x(inx+1)<0.

由圖可知，當(dāng)或。=己時(shí),函數(shù)人*)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0VQ。時(shí),

函數(shù)人彳)有兩個(gè)零點(diǎn)：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/U)沒有零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)“W0或。=*時(shí)，函數(shù)式X)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)/U)有兩個(gè)

零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)/U)沒有零點(diǎn)?

［提分技巧］

求解函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)問題的步驟

第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線丁=A)在

該區(qū)間上的交點(diǎn)問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而

畫出其圖象；

第三步：結(jié)合圖象求解.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

1.(2018?全08卷H)已知函數(shù)4r)=￥—al+x+l).

(1)若〃=3,求Ax)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：Kr)只有一個(gè)零點(diǎn).

解：(1)當(dāng)。=3時(shí)，/(x)=jx3-3x2-3x-3,

f(工)=/-6x-3?

令，(x)=0,解得x=3—2小或X=3+2，5.

當(dāng)xG(-8,3-2^3)0(34-2^3,+8)時(shí)，f(x)>0;

當(dāng)xW(3-2巾，3+26)時(shí)，f(x)<0.

故大好的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,3-2<3),(3+2小，4-oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(3—26，

3+2巾).

(2)證明：因?yàn)閃+x+ixj,

所以人幻=。等價(jià)于鬲不丁

-3。=0.

設(shè)第”)=鬲三1-3。,

.x2(x2+2x+3)

則g(*尸(Xx+l盧。，

僅當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=0,

所以g(X)在(一8,十8)上單調(diào)遞增.

故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而Ax)至多有一個(gè)零點(diǎn).

又八3。-1)=-6。2+2。一；=一《《一方2—、<0,八3?+1)=；>0,故./(x)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，火外只有一個(gè)零點(diǎn).

2.已知函數(shù)/(xj=(x—l)lnx—x—1.

證明：

(16均存在唯一的極值點(diǎn)；

(2次x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).

證明：ayu)的定義域?yàn)?0,+8),

X-11

f(x)=——"Flnx—l=lnx--

因?yàn)閥=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，

)，=：在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以，(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

,,1In4-1

又/'(1)=一KO,/(2)=ln2-2=—~>0,

故存在唯一必€(1,2),使得/(xo)=O.

又當(dāng)O<xv*o時(shí)，f(x)<0,/(.r)單調(diào)遞減；

當(dāng)x"o時(shí)，f(x)>0,人用單調(diào)遞增，

所以Wx)存在唯一的極值點(diǎn).

(2)由(1)知兀to)勺11)=一2,

又4

所以/(x)=0在(xo,+8)內(nèi)存在唯一根x=〃.

由a>xo>l得，<lvxo.

又冊(cè)?fd="

故!是/U)=o在(0,X0)內(nèi)的唯一根.

所以大幻=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).

題型(二)/已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

［典例］已知函數(shù)/U)=Inx+”,

(1)若函數(shù)/(x)在x=l處的切線方程為y=2x+/w,求實(shí)數(shù)a和〃?的值；

(2)若函數(shù)"r)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)Xi,x2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［解1(l)\\Ax)=hix+ax,?\f(1)=：+a.

??,函數(shù)/lx)在x=l處的切線方程為y=2x+機(jī)，

/?f(1)=1+。=2,得“=1.

又???h1)=1111+。=1,???函數(shù)/U)在x=l處的切線方程為)，-1=2(工一1),即y=2x-l,

:?m=-l.

1,1+flX

(2)由t(1)知(x)=-+a=^—(x>0).

當(dāng)。20時(shí)，???，(幻=二^>0,??.函數(shù)Ax)=lnx+ox在(0,+8)上單調(diào)遞增，從而函

數(shù)/(幻至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

aQ

當(dāng)"0時(shí)，V/(x)=x(x>0),

函數(shù)f(工)在(0,---上單調(diào)遞增?在(-------,4-00^

上單調(diào)遞減，；?函數(shù)f(a)max=/(~)=In(>)+

???要滿足函數(shù)/(外在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)怎，

H2,必有/(x)max=ln(—1>0?得心>—

?二實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,0).

［提分技巧］

已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的策略

(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況估計(jì)出函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的

條件，進(jìn)而求出參數(shù)滿足的條件.

(2)先求導(dǎo)，通過求導(dǎo)分析函教的單調(diào)性情況，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況，推導(dǎo)出

函數(shù)本身需要滿足的條件.此時(shí)，由于函數(shù)比較復(fù)雜，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，通過多次求導(dǎo),

層層推理得解.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

1.(2021?柳州高級(jí)中學(xué)期末)已知函數(shù)Ax)=21n(x-1)—(x-l)2.

(1)求函數(shù)兀r)的單調(diào)遞增區(qū)向；

(2)若關(guān)于x的方程汽幻+/—3工一。=0在區(qū)間［2,4］內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

解：(1)函數(shù)4x)的定義域是(1,+8).

f(*)=*戰(zhàn)-(*-1)卜^^,

又X>1,令r(x)>0,解得lav2,

所以函數(shù)人外的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,2).

(2)由大幻+妙-3^-。=0,

得x+a+1—21n(xT)=0.

令g(x)=x+a+1—21n(x-1),

2

則/a)=i-

由g'(x)>0,得x>3,

由gf(x)<0,得l<x<3,

所以函數(shù)g(x)在［2,3］內(nèi)單調(diào)速減，在［3,4］內(nèi)單調(diào)遞增.

由題可知方程|工)+工2—3x—4=0在區(qū)間［2,4］內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,

1(2)20,。+320,

財(cái)g(3)<0,即a+4-21n2<0,

/4)20,?+5—21n320,

解得2加3—5^a<21n2—4.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［2In3—5,21n2—4).

2.已知函數(shù)人b=爐一Ax+A?.

(1)討論Wx)的單調(diào)性；

⑵若汽X)有三個(gè)零點(diǎn)，求上的取值范圍.

解：(1/(幻=3秒一女.

當(dāng)無=0時(shí)，

故人X)在(-8,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)AvO時(shí)，f(x)=3x2—A>0,

故/(X)在(-8,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)A>0時(shí)，令，(幻=0,得工音.

當(dāng)XW(-8,一嚼U婚，+8)時(shí)，f(x)>0;

當(dāng)x￡(一野，多時(shí)，/'(x)vo.

故人幻在(一8,一嚼，G里，+8)上單調(diào)遞增，在(一華，與上單調(diào)遞減.

⑵由⑴知，當(dāng)攵<0時(shí)，人X)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，人X)不可能有三個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)心>0時(shí)，x=一華為人X)的極大值點(diǎn)，x=華為人幻的極小值點(diǎn).

結(jié)合式X)的單調(diào)性可知，若人口有三個(gè)零點(diǎn),

4

則有解得k<^j.

因此A的取值范圍為(0,揖).

［專題跟蹤檢測(cè)］

*+1

1.已知函數(shù)/(x)=lnx—￡7［.

(1)討論/U)的單調(diào)性，并證明/U)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)刈是/U)的一個(gè)零點(diǎn)，證明：曲線y=hix在點(diǎn)A(xo,加刈)處的切線也是曲線y=

^的切線.

證明：(1次c)的定義域?yàn)?0,l)U(l,+?>).

因?yàn)閞。)=§+器鏟0，

所以人外在(0,1),(1,+8)上單調(diào)遞增.

e+1e2+le2—3

因?yàn)槿甧)=l-三YO,<?2)=2-衿Y=my>0,

所以Wx)在(1,+8)上有唯一零點(diǎn)xi(e<xi<e2),

即加)=0?

又小J6=一也修+巖=一<內(nèi))=°，

故段)在(0,1)上有唯一零點(diǎn);

八1

綜上，大X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)因?yàn)?=e—Ex。，

xo

所以點(diǎn)《一Inxo,J在曲線丁=^上.

由題設(shè)知/(xo)=O,即lnxo=

?*0*-

11_xp4-l

故直線AB的斜率k=*加必=⑼:;.I」

—Inxo-xoxo十1xo

一需二L

曲線在點(diǎn)，一Inxo,g處切線的斜率是5，曲線y=lnx在點(diǎn)A(x(),lux。)處切線

的斜率也是｝,

人U

所以曲線y=\nx在點(diǎn)A(xo,In必)處的切線也是曲線的切線.

2.已知三次函數(shù)共外的導(dǎo)函數(shù)，(?=一3/+3且大0)=-1,g(*)=xlnx+3a，l).

(1)求人X)的極值；

(2)求證：對(duì)任意X”必￡(0,+°°),都有/Ui)Wg(X2).

解：(1)依題意得｛x)=-3+3x-l,/'(x)=-3x2+3=-3(x+l)(x-1),知/(x)在(一

°°,—1)和(1,+8)上是減函數(shù)，在(一1,1)上是增函數(shù)，

所以由X)加卜值=*—1)=-3,/(x)機(jī)大僮=/(1)=1?

(2)證明：易得x>0時(shí)，人幻景大僮=1,

由“21知，g(x)>xlnx+^(x>0),

令Mx)=xlnx+：(x>0),

ix2-1

則(x)=lnx+1-^2=lnx4-,注意到(1)=0,

當(dāng)x>l時(shí),h'(x)>0;當(dāng)0<x<l時(shí)，h'(x)<0,

即Mx)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+8)上是增函數(shù)，/z(x)最小值=刀(1)=1,即g(x)RHt=l.

綜上知對(duì)任意X],X2G(0,+0°),都有<Xi)Wg(X2).

3.(2020?全BD卷I)已知函數(shù)—。(x+2).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論人幻的單調(diào)性；

⑵若八x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

xx

解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，J(x)=e-x-2f則/(x)=e-l.

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0;當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.

所以/U)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)若/U)有兩個(gè)零點(diǎn)，即^一°(工+2)=0有兩個(gè)解，

由方程可知，*=一2不成立，即。=號(hào)有兩個(gè)解.

令Mx)=尚工(xW-2),

eXQ+Z)—^e*Q+l)

1

則h(x)=(x+2)2=(x+2)2?

令h’(x)>0,得x>-l;

令(x)<0,得xV-2或一2VxV-l,

所以函數(shù)Mx)在(-8,-2)和(一2,—1)上單調(diào)遞減，在(一1,48)上單調(diào)遞增，且當(dāng)

xV-2時(shí),Mx)V0,

而X-*—2+時(shí)，Mx)f+8,當(dāng)xf+8時(shí)，Mx)f+8,

/1

所以當(dāng)”=不有兩個(gè)解時(shí)，有“>"一1)=1

所以滿足條件的〃的取值范圍是Q,+8)

4.已知函數(shù)人用="詈+加+2.

3c+1

(1)若m=1,證明：Ax)We.

(2)若函數(shù)g(x)=/a)+—■恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃，的取值范圍.

解：(1)證明：當(dāng)機(jī)=1時(shí)，yu)=￥+3(x>o),

~,1-加X

所以，(x)=^2(X>0).

令，(x)=0,得x=e.

當(dāng)OVxVe時(shí)，f(x)>0;當(dāng)x>e時(shí)，f'(x)<0.

所以函數(shù)人x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以八用司>)=誓+3=史臺(tái)?

(2為0)=加)+堂=嗖+，"+2+坐=4，，“門+39(,”+2*+《*>0)

設(shè)/i(x)=4mlnx+4x24-4(m+2)x+/w2(x>0),

.4m...8/+4(/〃+2)x+4(x+l)(2x+/n)

則h1(x)=—+8x+4(m+2)=--------'x產(chǎn)-----=」----金-----\

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)Mx)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

所以一會(huì)>0,解得膽V0.

當(dāng)OVxV一手時(shí)，h'(x)V0;當(dāng)x>一子時(shí)，h'(x)>0.

所以函數(shù)/Mx)在(0,一9上單調(diào)遞減，

在(-+8)上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)〃(x)的極小值，也是最小值，

為?-[=4巾11(一1T，

當(dāng)X-*0時(shí)，/i(x)-*+°°,當(dāng)工f+8時(shí)，Mx)f+8,

所以要使函數(shù)Mx)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

m<0,

只*(-%。

解得m<—2e.

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-30,—2e).

5.已知函數(shù)/(x)=3(x—1)2—r+lnx(?>0).

(1)討論人x)的單調(diào)性；

⑵若Iwve,試判斷八幻的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：(1)函數(shù)Ax)的定義域?yàn)?0,+~),

z.1(x-lXox-1)

f(x)=fl(x-l)-1+-=L---------------.

令，(X)=0,得?=1,X2=K

①若4=1,則，(x)20恒成立，

所以WX)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

②若Ovavl,則5>1，

當(dāng)x￡(O,l)時(shí)，f(x)>0,八幻單調(diào)遞增；

當(dāng)x《l,加，f(x)<o,yir)單調(diào)遞減；

當(dāng)xeQ,+8)時(shí)，f(x)>o,人x)單調(diào)遞增.

③若4>1,則0<5<1,

當(dāng)x￡(0,?時(shí)，/'(x)>0,/U)單調(diào)遞增；

當(dāng)x￡@，1)時(shí)，f(x)v°，八幻單調(diào)遞減；

當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，/(x)>0,貝x)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)。=1時(shí)，人幻在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)o〃vi時(shí)，人幻在(0,1),Q,+8)上單調(diào)遞增，在°,0上單調(diào)遞減；

當(dāng)°>1時(shí)，/U)在(0,￡),(1,+8)上單調(diào)遞增，在1)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，人啟在(0,；),(1,+8)上單調(diào)遞增，在Q,1)上單調(diào)遞減,

所以｛x)的極小值為式1)=一IvO,

/)的極大值為4)=患一"一!+加!=>卷一加?-i.

設(shè)g(a)=f一卷一In。一1,其中。￡(1,e),

則g'3)="擊1“2—北+1(〃-

a=-2?-

所以g(a)在(1,e)上單調(diào)遞增,

e1

所以g(a)<g(e)=2~2e~2<0-

因?yàn)?(4)=T(4-I)2—44-ln4>TX9-4+ln4=ln4+l>0,

乙乙乙

所以存在x°e(l,4),使_/Uo)=O,

所以當(dāng)ivave時(shí)，犬X)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

6.設(shè)函數(shù)/U)=lnx+不育，mWR.若函數(shù)式x)在x=a和x=/?處取到極值，且“>e(e

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)求證：1A㈤一加)>。一5一2.

解：(1)當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=《一滯可Q+l)2-/wx/—(m-2)x+l

x(x+l)2=x(x+l)2

由題意知r。)=0在(e.+8)內(nèi)有解,

即6=x+;+2在(e,+8)內(nèi)有解,

而y=x+1+2在(e,+8)上為增函數(shù)，

則x+：+2>e+：+2,

從而有m>e+[+2,

故實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是(e+：+2,+8)

a+//=〃?一2,

(2)證明：由(1)知方程X2—2)x+l=0的兩根為a,/?,則從而有〃

■0=1,

a=a+/?+2=)+/?+2=才.

，大。)一川0=加一加〃一滯7

1,<?,ntpm

一/-111+,+]_/?+1，

即加)一加=1《一舊6+點(diǎn)產(chǎn)：])2=_2加/H■夕，令g(fl)=~2\n汁叫,#>e,

21(B-1)2

則g'/)=_/+1+7=^^~>0,

故g3)在區(qū)間(C,+8)上為增函數(shù)，

則gW>g(e)=-24-e—

即4a)-/W>e=-2.

大題專攻［四）解決極值點(diǎn)偏移問題的四大技法

一、極值點(diǎn)不偏移

已知函數(shù)y=/（x）是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（Bl,必）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)Xo,且《Axi）=/tr2）,

若極值點(diǎn)左右的“增減速度”相同，常常有極值點(diǎn)刈=耳邈，我們稱這種狀態(tài)為“極值點(diǎn)

不偏移”（如圖1）.

二、極值點(diǎn)偏移

已知函數(shù)丁=人幻是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（方，必）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)刈（即yfx）為單峰

函數(shù)）且汽由）="M），若極值點(diǎn)左右的“增減速度”不同，函數(shù)的圖象不具有對(duì)稱性，常常有

極值點(diǎn)木。#3要的情況，

極值點(diǎn)偏移問題是近幾年高考命題的熱點(diǎn)，這類試題可以很好地考查考生的推理論證能

力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，涉及函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,

著力考查邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

三、極值點(diǎn)偏移問題的四種基本題設(shè)形式

（1）若函數(shù)/U）存在兩個(gè)零點(diǎn),X2且XiWx2,求證：Xi+x2>2xo（xo為函數(shù)Wx）的極值點(diǎn)）.

（2）對(duì)于函數(shù)1x）,存在X1，X2且X1WX2，滿足.八工1）=4*2），求證：Xl+x2>2xo（xo為函數(shù)

八X）的極值點(diǎn)）.

（3）若函數(shù)4X）存在兩個(gè)零點(diǎn)XI，X2且X1HX2，令Xo=m李超，求證：f（Xo）>O.

（4）對(duì)于函數(shù)/U）,存在Xl，X2且X1WX2，滿足/U1）=#K2），令Xo=安耳，求證：f'（Xo）

>0.

技法(二L/構(gòu)造對(duì)稱和(或差)

［典例1己知函數(shù)yu)=ln(x—1)—T(x—1)2，如果X1Vl2，且人》1)=4*2)，證明：xi+x2

>4.

Ix(2-x)

［證明］函數(shù)加：)=加(》-1)一不(彳一1)2的定義域?yàn)?1,4-co),/(X)=當(dāng)1VX

V2時(shí)，/(x)>0;當(dāng)x>2時(shí)，/(x)<0,所以/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2),單調(diào)遞減區(qū)間

為(2,4-oo),所以函數(shù)人幻在*=2處取得極大值，因?yàn)閄1VX2,且小加)=人必)，所以由〈2

V》2.構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(2+x)一加一x)=】n(l+x)—；(x+1產(chǎn)一［ln(l-x)—1(1—x)2j,—1<X<1,

2X2

則=a)=(l+xXlr)「°'在(一1J)上單調(diào)遞增，因此x>0時(shí)，尸(")>尸(0)=0,

即負(fù)2+外〉/(2-x).

因?yàn)楸匾?>0,所以4-X2<2,因此人處)={X2)=/l2+(X2-2)］>人2—(切-2)］=44一心)，

因?yàn)槿斯?在(1,2)上單調(diào)遞增，所以xi>4—必，所以》I+X2>4.

［提分技巧］

對(duì)稱變化主要用來解決與兩人極值點(diǎn)之和或差相關(guān)的不等式的證明問題，解題要點(diǎn)如

下：

(1)定極值點(diǎn)：即利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)必?

(2)對(duì)稱構(gòu)造:即根據(jù)極值點(diǎn)X。構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)尸(幻=1/的+制一於0一幻或F(x)=fix)-fi2xn

—x)?

(3)比較大小：即利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)戶(X)的單調(diào)性，判斷其符號(hào)，進(jìn)而得到人xo+x)與凡TO

—x)或者fix)與42xo—X)的大小關(guān)系.

(4)轉(zhuǎn)化所證：即根據(jù)函數(shù)人xj的單調(diào)性，將/Uo+x)與凡*—x)或者/U)與/(2xo—x)的大

小關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)極值點(diǎn)之間的大小關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

已知函數(shù)Ax)=lnx—"(aWR).

⑴若函數(shù)/U)的極大值為一；，求。的值；

(2)在(1)的條件下，若WXI)=?AX2),且X|VX2，求證：Xi4-X2>4fl.

解：⑴函數(shù)Hx)=lnX—M的定義域?yàn)?0,+8),r(*)=;—2〃X,當(dāng)aWO時(shí)，f(x)

>0,大x)無極值，不合題意，舍去，所以。>0,

f(x)=

令ra)=o,得工=寂當(dāng)OVxV漏時(shí)，/