高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1福建省龍巖市上杭縣某校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為.故選：C2.函數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋裕蔬x：D.3.若，則等于（）A. B.3 C. D.6【答案】D【解析】因?yàn)椋裕裕裕裕蔬x：D．4.已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，因此，即，所以的圖象在處的切線方程為：.故選：A5.若在和處有極值，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋裕梢阎茫獾茫裕裕桑獾茫院瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：C．6.如圖是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在內(nèi)是增函數(shù)B.在內(nèi)是增函數(shù)C.時(shí)取得極大值D.在時(shí)取得極小值【答案】B【解析】由圖可知，在區(qū)間上,單調(diào)遞減；在區(qū)間上,單調(diào)遞增.所以不是的極值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn).所以ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.故選：B7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B8.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p、q，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈膸缀我饬x為：表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，因?yàn)閷?shí)數(shù)，在區(qū)間，故在區(qū)間內(nèi)，不等式恒成立，所以函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，由函數(shù)的定義域，所以在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，由于二次函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，故時(shí)，在上取最大值為15，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)可作曲線的三條切線【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題知，定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，所以為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，，因?yàn)椋裕裕杂腥齻€(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，若點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，則滿足恒成立，因?yàn)椋裕渲挡缓銥?，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)過點(diǎn)的直線與相切的切點(diǎn)為，則，且切線斜率為，故切線的方程為，即，因?yàn)榍芯€過，則，整理得，即，構(gòu)造函數(shù)與，對(duì)于函數(shù)，，令，得，令，得或，即該函數(shù)在和上單調(diào)遞增，令，得，即該函數(shù)在上單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)有極小值；時(shí)，函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)與的圖象，如圖，因?yàn)椋裕院瘮?shù)與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即方程有三個(gè)解，即過點(diǎn)可作曲線的三條切線，D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.方程有唯一實(shí)數(shù)根B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.D.若且，則【答案】BCD【解析】設(shè)，則，所以恒為常數(shù).又由于，故.所以，即.對(duì)于A，由于，故對(duì)有，對(duì)有.從而在上遞減，在上遞增，故，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，前面已經(jīng)證明在上遞增，故B正確；對(duì)于C，前面已經(jīng)證明，所以，故C正確；對(duì)于D，若，，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則_______．【答案】6【解析】因，由可得，故.故答案為：6.13.過點(diǎn)作曲線的切線的斜率為______．【答案】2【解析】，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故曲線在處的切線方程為l：，將，代入，得，解得，∴，故答案：214.若對(duì)任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】因?yàn)椋遥傻茫砜傻茫瑯?gòu)建又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且，整理可得，令，可得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）（5）．解：（1）（2）（3）（4），則（5）16.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值.解：（1）∵，∴，x13+0-0+單調(diào)遞增極大值2單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故的極大值是，極小值是；（2）由（1）知：x12+0-單調(diào)遞增極大值2單調(diào)遞減即函數(shù)在區(qū)間,上的最大值為2，最小值為.17.設(shè)函數(shù)．（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）∵，∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2），令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣2，0）；（2）∵當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，∴m＞f（x）max，由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2），令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2，∴f（x）max＝2e2，∴m＞2e2，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＞2e2．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的切線方程；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線斜率，解得，即，所以切線方程為，即為所求切線方程.（2）由題意得，方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，則函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，所以只有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意：當(dāng)時(shí)，令，得，則，隨著的變化情況如下表，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)上表可得，解得，綜上可得，的取值范圍.19.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.（2）當(dāng)時(shí)