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選考內(nèi)容

1.在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線1上兩點(diǎn)M,N

的極坐標(biāo)分別為（2,0）,（當(dāng)，3）.圓0的參數(shù)方程為胃=2：：啜；,（（）為參數(shù)）.

32I'——J十ZSlTlt/

（I）設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線0P的平面直角坐標(biāo)方程；

（II）判斷直線1與圓C的位置關(guān)系.

【解答】：（DM,N的極坐標(biāo)分別為（2,0）,（軍，守，

所以M、N的直角坐標(biāo)分別為：M（2,0）,N（0,詈），P為線段MN的中點(diǎn)（1,爭,

直線OP的平面直角坐標(biāo)方程y=9x：

（II）圓C的參數(shù)方程罷（9為參數(shù)）.它的直角坐標(biāo)方程為:x-2)2+(y+3)、4,

圓的圓心坐標(biāo)為（2,-3）,半徑為2,

直線1上兩點(diǎn)M,N的直角坐標(biāo)分別為M(2,0),N(0,詈)，方程為x+gy-2=0,

|2-3>/3-2|3>/3

圓心到直線的距離為:?

所以，直線1與圓C相離.

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法

（1）互化的前提：①直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合；②x軸的正半軸與極軸重合；③在兩種坐標(biāo)系中取

相同的長度單位.

（2）互化公式：設(shè)M是平面內(nèi)任一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是（尤，y）,極坐標(biāo)是（p,9）,則極坐標(biāo)與直

029

{x=pcosdp-=x^+y-

角坐標(biāo)的互化公式為v

[y=夕sin。tan6=0)

x

2.在平面直角坐標(biāo)系中，直線1的參數(shù)方程為[：二：±，6(其中t為參數(shù))，現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正

—zc-ro

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為P2-4Pcoso+3=0.

(I)寫出直線1和曲線C的普通方程；

(II)已知點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求P到直線1的距離的最大值和最小值.

【解答】：(I)???直線I的參數(shù)方程為匕z(其中t為參數(shù))，

.?.直線1的普通方程為y=2x+4,

?曲線C的極坐標(biāo)方程為P'-4Pcos。+3=0.P2=x2+y2,Pcosfi=x,Psin0-y,

曲線C的普通方程為x2+y2-4x+3=0.

(II)如圖，過圓心C作1的垂線m,交圓于A、B兩點(diǎn)，

則A點(diǎn)到直線I的距離最小，B點(diǎn)到直線1的距離最大，記垂足為Q,

則ICQ|吟二塔，.?.圓上點(diǎn)P到1的距離的最小值為AQ|岑-1,最大值為IBQ|岑+1.

V5555

1.參數(shù)方程和普通方程的互化

(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，將參數(shù)方程化為普通方程需消去參數(shù).

(2)如果知道變量x,y中的一個(gè)與參數(shù)，的關(guān)系，例如，9C),把它代入普通方程，求出另一個(gè)變

量與參數(shù)，的關(guān)系產(chǎn)g⑺，那么六二八"’就是曲線的參數(shù)方程.

[y=g⑺

(1)在參數(shù)方程與普通方程的互化中，一定要注意變量的范圍以及轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.

(2)普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不唯一，即如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的

參數(shù)方程的形式也不同.

2.兒種常見曲線的參數(shù)方程

(1)圓

|x=〃+rcosa,

以0,（mb）為圓心，〃為半徑的圓的參數(shù)方程是一.其中。是參數(shù).

十rsma.

x=rcosa,

當(dāng)圓心在（0,0）時(shí)，方程為.其中a是參數(shù).

j?=rsina,

（2）橢圓

v22X=acos（Dy

橢圓U+聲v（”>。）的參數(shù)方程是[尸.外其中9是參數(shù)?

/,,2[x=Z?COS（p,

橢圓3+3=1（a>b>o）的參數(shù)方程是其中9是參數(shù).

°aly=QSin°,

（3）直線

[x=xo+/cosa,

經(jīng)過點(diǎn)Po（沏，加），傾斜角為a的直線的參數(shù)方程是,.其中，是參數(shù).

ly=yo+/sina,

3.已知函數(shù)f(x)=|x+l|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)21的解集；

(2)若不等式f(x)2x,-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

—3f%V—1

【解答】：(1)Vf(x)=|x+ll-|x-2|-bx-l,-1<x<2,f(x)>1,

3x>2

???當(dāng)-l〈x<2時(shí)，2x-1^1,解得lWx<2；

當(dāng)x>2時(shí)，321恒成立，故x>2；

綜上，不等式f(x)21的解集為{x；x21}.

(2)原式等價(jià)于存在xWR使得f(x)-x'+xem成立，

即mW[f(x)-x"+x]nw設(shè)g(x)=f(x)-x&x.

-x2+x-3,x<-1

—/+3x—1f—1Vx>

{—x2+%+3,x>2

當(dāng)xWT時(shí)，g(x)=-x2+x-3,其開口向下，對(duì)稱軸方程為

???g(x)(-1)=-1-1-3=-5；

當(dāng)-1VXV2時(shí)，g(x)=-X2+3X-1,其開口向下，對(duì)稱軸方程為x=|w(-1,2),

./、/3、995

??g(x)Wg(-)1%；

當(dāng)x22時(shí)，g(x)=-X2+X+3,其開口向下，對(duì)稱軸方程為x[<2,，g(x)Wg(2)=-4+2+3=1；

綜上，g(x)則旦的取值范圍為(-8,

44

1.\ax+b\<c9\ax+b\>c型不等式的解法

(1)若c>0,則|or+/但c=-臼猶+后。|or+MNc=or+厄c或奴+云-c,然后根據(jù)〃，。的取值求解即

可；

(2)若c<0,則|or+)%的解集為0,|or+加次的解集為R.

2.\x-a\+\x-b\>c9\x-a\+\x-b\<c(c>0)型不等式的解法

零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟為：

①令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根；

零點(diǎn)分區(qū)間法②將這些根按從小到大排序，并把實(shí)數(shù)集分成若干個(gè)區(qū)間；

③由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)組成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集；

④取各個(gè)不等式解集的并集即可得到原不等式的解集.

由于bT+|x-勿與|xM-|x-6|分別表示數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到與a,匕對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

幾何法(利用lx-3

的距離之和與距離之差，因此對(duì)形如|x-a|+\x-b\<c(c>0)^\x-a\-\x-b\>c(c>0)

的幾何意義)

的不等式，利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀.

通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，正確求出函

數(shù)形結(jié)合法

數(shù)的零點(diǎn)并畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

3.\f(x)\>g(x),\f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法：

①，(x)|>g(x)=(x)>g(x)或/(x)<-g(x)；

②[/*(x)|<g(x)og(x)<f(x)<g(x).

4.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|-|x+2|,若-2Vf(a)<0,-2<f(b)<0.

(1)證明：|a+b|VI；

(2)比較2|a-b|與|1-4ab|的大小.

(3,x<-2

【解答】：(1)/(x)=1-2x-1,-2<x<l,由-2-x<1得-％vY.

(-3,x>1-2<-2x-l<022

從而心后即向4.⑻嚀；

所以|a+b|<|a|+|h|<|+|=1.

(2)(2|a-b)J|1-4ab「(4a2-1)(4b2-1).

由⑴得。2<工，b2<-,

44

所以(4a?-1)(4b2-1)>0,故2|a-b|>|l-4ab.

不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、反證法等.

(1)如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；

(2)如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的，則考慮用反證法;

(3)如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法.

在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對(duì)問題的表述和證明.

1.在直角坐標(biāo)系xOy中，以0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知圓C的極坐標(biāo)方程為Pz-4世

Pcos(0--)+6=0.

4

(1)將極坐標(biāo)方程化為普通方程，并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程；

(2)若點(diǎn)P(X,y)在圓C上，求x+y的最大值和最小值.

【解答】:(1)由p2—4位pcos(8—工)+6=0,得—4位p(cos6cos、+sic6sin?)+6=0,

即p2-4epgcos?++6=0,p'-4pcos0-4psin0+6=0,

即x2+y2-4x-4y+6=0為所求圓的普通方程，整理為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-2)2+(y-2)2=2,

令x-2=V^cosa,y-2-y[2sina.

得圓的參數(shù)方程為卜=2+/'Osa(&為參數(shù))；

(y=2+\j2sina

(2)由(1)得：x+y=4+&(cosa+s譏a)=4+2sin(a+?),

???當(dāng)sin(a+巳)=1時(shí)，x+y的最大值為6,

4

當(dāng)sin（a+巳）=-1時(shí)，x+y的最小值為2.

4

故x+y的最大值和最小值分別是6和2.

1.將參數(shù)方程化為普通方程的方法

（1）將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?常見的消參

方法有代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)基

本關(guān)系式消參，如sin20+cos2（9=l等；

（2）將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)普通方程中點(diǎn)的坐標(biāo)的影響，注意兩種方

程的等價(jià)性，避免產(chǎn)生增解的情況.

2.將普通方程化為參數(shù)方程的方法

只要適當(dāng)選取參數(shù)確定，再代入普通方程，求得產(chǎn)g（/）,即可化為參數(shù)方程尸二"八’注

[y=g（f）.

意參數(shù)r的意義和取值范圍.

選取參數(shù)的原則：（1）曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且相對(duì)簡單；（2）當(dāng)參數(shù)取某一

個(gè)值時(shí)，可以唯一確定的值.一般地，與時(shí)間有關(guān)的問題，常取時(shí)間作為參數(shù)；與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題，

常取旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù).此外也常常用線段的長度，直線的傾斜角、斜率、截距等作為參數(shù).

3.化參數(shù)方程為普通方程的基本思路

化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消參法、加減消參法、恒等式（三

角的或代數(shù)的）消參法；極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化主要是用好“公式”.一般與極坐標(biāo)方程和

參數(shù)方程有關(guān)的問題多采用化為直角坐標(biāo)方程的方法，結(jié)合圖形，合理轉(zhuǎn)化，加以求解.

2.極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同，已知

曲線C的極坐標(biāo)方程為P=2（cos0+sin0）.

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（x=-t

（2）直線27-（t為參數(shù)）與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，求IABL

卜=1+苧t

【解答】解：（1）?.?曲線C的極坐標(biāo)方程為P=2（cosO+sinO）

P2Pcos0+2Psin。，/.x2+y'-2x+2y

即(x-1)2+(y-1)2=2

(2)將1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得「-t-1=0,

所以|AB|=|ti|+112H匕-t2|=V1+4=V5

1.求解與極坐標(biāo)有關(guān)問題的主要方法

(1)直接法：直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用；

(2)間接法：轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解.若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極

坐標(biāo).

x=xo+at

2.對(duì)于直線/的參數(shù)方程,(，為參數(shù))

y=yo+bt

易忽視只有滿足。2+/=1時(shí)t才有幾何意義.

3.已知函數(shù)〃x)=|2x+2|-5.

(1)解不等式：/(x)>|x-l|;

(2)已知，若函數(shù)g(x)=/(x)+|x-??|的圖象與x軸圍成一個(gè)三角形,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】(1)依題意,|2x+2|-5也-1|,

①當(dāng)x<—l時(shí)，原式化為-2x—2—5N1—x,解得x4—8;

A

②當(dāng)一14x41時(shí)，原式化為2x+2-5Zl-x,解得一1MxMl,.此時(shí)原不等式無解；

3

③當(dāng)x>l時(shí)，原式化為2_￥+2-52萬-1,解得了"

綜上所述，不等式/(x)習(xí)x—l|的解集為(ro,-8]U[2,+oo).

(2)依題意,g(ni)-g(-l)=|2m+21-5-(|加+11-5)=|/?/+1|>0,

故g(，〃)>g(-1),當(dāng)且僅當(dāng)加=—1時(shí)取等號(hào).

若m=-1,則g(x)=3|x+l|-5滿足題意；

3x-

若加>一1,則g(x)=\x-m\+\2x+2\-5=<x+ni-3,-1<x<tn,

—3x+根-7,x<一1,

因?yàn)間(㈤〉g(-l),此時(shí)函數(shù)g(x)的圖象和A-軸圍成一個(gè)三角形等價(jià)于P(W)=2'"320，

[g(-1)=/n-4<0,

解得“7嗚a,4).綜上所述,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為層a4)U{-1}.

1.可利用|同一同§。±6區(qū)間+|瓦去求形如/(x)-\x-a\+\x-b\^f(x)=仇-3-|尤-臼的最值.

2.不等式恒成立問題關(guān)鍵在于利用轉(zhuǎn)化思想，常見的有：

f(x)恒成立鈣f(x)min>4；f(x)<a恒成立=/(x)max<?；f(X)有解U/(X)max>?；f(X)<a

有解可(X)min<a；f(X)>。無解號(hào)f(X)max%；f(X)<4無解可(X)min>a.

4.已知函數(shù)f(x)=|2x+a|+|x-2|(其中aWR).

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求不等式f(x)26的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)23a<|2-x卜恒成立，求a的取值范圍.

【解答】:(1)當(dāng)a=-l時(shí)，函數(shù)f(x)=|2x-l|+|x-2|；

則不等式為|2x-l|+|x-2]26；

①當(dāng)x22時(shí)，原不等式為2x-l+x-226,解得：x23；

②當(dāng)^Wx<2時(shí)，原不等式為2x-l+2-x26,解得：x25.此時(shí)不等式無解；

③當(dāng)xV削寸，原不等式為1-2x+2-x26,解得：xW-1；

原不等式的解集為{x|xW-1或x》3}；

(2)不等式f(x)23a2-|2-xl即為|2x+a|+|x-2123a2-|2-x|；

即關(guān)于x的不等式12x+a|+2|x-2i》3a?恒成立;

W12x+a|+21x-21=12x+a|+12x-41>|(2x+a)-(2x-4)|=|a+41；

/.|a+4123aM；.a+423a'或a+4W-3a2；

解得-1SaWg或aeo；

所以a的取值范圍是[-1,J].

1.不等式恒成立問題

不等式的解集為R是指不等式恒成立問題，而不等式的解集為0的對(duì)立面也是不等式恒成立問題，如了

(x)>m的解集為甲，則f(x)<m恒成立.

2.不等式能成立問題

(1)在區(qū)間。上存在實(shí)數(shù)X使不等式/(x)>A成立，等價(jià)于在區(qū)間。上/(x)max>A;

(2)在區(qū)間。上存在實(shí)數(shù)x使不等式/(x)<8成立，等價(jià)于在區(qū)間。上f(x)min<B.

3.不等式恰成立問題

(1)不等式f(x)>A在區(qū)間。上恰成立，等價(jià)于不等式/(X)>A的解集為Q；

(2)不等式f(x)<8在區(qū)間。上恰成立，等價(jià)于不等式/(x)<8的解集為D.

5.設(shè)函數(shù)f(x)=|3x-1.

(I)解不等式f(x)-f(2-x)>x；

(II)若a+b=2,證明：f(a2)+f(b2)24.

【解答】：(I)不等式f(x)-f(2-x)>XQ|3X-1-'3x-5|>x.

{x>-(-<x<-(x>-655

可化為,3或|33或.3,nxd0,<X<-^4-<X<4.

—4>x(6x_6>x[4>x

.?.原不等式解集為4，4].

(II)證明：；a+b=2,f>(等)2=i,即/+1?22,

f(a2)+f(b2)=13a2-11+13b2-11>13(a2+b2)-2|>3X2-2=4.

利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法

(1)在運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最大(小)值時(shí)，常需要對(duì)函數(shù)式作“添、裂、配、湊”變形，使其

完全滿足基本不等式要求的“一正、二定、三相等”三個(gè)條件.

(2)在應(yīng)用柯西不等式求最大值時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件，柯西不等式在排列上規(guī)律明顯，具有簡

潔、對(duì)稱的美感，運(yùn)用柯西不等式求解時(shí)，按照“一看、二構(gòu)造、三判斷、四運(yùn)用”可快速求解此類問

題.

1.點(diǎn)P(l,-V3),則它的極坐標(biāo)是()

A.(2,=)B.(2考)C.(2,冶)D,(2,寸)

2.把方程xy=2化為以t為參數(shù)的參數(shù)方程是()

x=3B.x=sint,x=2cost,x=tant,

A.2C.iD.y=^

y=—

.y=tsy=嬴、cost

3.將點(diǎn)M的極坐標(biāo)（4*）化成直角坐標(biāo)為（）

A.（2,2V3）B.（2百,2）C.（2魚,2魚）D.（-2次,2）

4.曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（）

A」x=t：B.尸嗎產(chǎn)&D［X=t

（y=t4（y=sm2tly=t（y=t2

5.已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)是則過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是（）

A.p=lB.p=coseC.P=-熹D.p=.

6.在同一平面的直角坐標(biāo)系中，直線x-2y=2經(jīng)過伸縮變換［：：：］,后，得到的直線方程為（）

A.2x'+y'=4B.2x‘一y'=4C.x'+2y'=4D.x1-2y'=4

7.直線1的參數(shù)方程為曾］（t為參數(shù)）’則1的傾斜角大小為（）

A.阻5c.—D.—

6336

8.在極坐標(biāo)系中，直線p（V3cosO-sin0）=2與圓p=4sin6的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（）

AQ加（嗎C（4,加.（45）

9.極坐標(biāo)方程（p-3）（9-^）=0（p>0）表示的圖形是（）

A.兩個(gè)圓B.一條直線和一條射線

C.兩條直線D.一個(gè)圓和一條射線

10.已知直線（t為參數(shù)）與曲線M：p=2cos0交于P,Q兩點(diǎn)，貝IJIPQI=（）

（y—J.十I

A.1B.V2C.2D.272

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為gll^cosa，（0為參數(shù)）.若以射線Ox為極軸

iy—sina

建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為（）

A.p=sin0B.p=2sin9C.p=cos9D.p=2cos9

12.在極坐標(biāo)系中，圓p=sinQ的圓心的極坐標(biāo)是（）

A.（I?）B.（1,0）C.（臂）D.Q,0）

13.在直角坐標(biāo)系xOy中，以0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為

pcos(0-§=l,M,N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn).

(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M,N的極坐標(biāo);

(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線0P的極坐標(biāo)方程.

14.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(W為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，x軸非負(fù)

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；

(2)直線的極坐標(biāo)方程是2psin(。+￡)=3b，射線OM：9*與圓C的交點(diǎn)為。，P,與直線的

交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長.

15.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為仁二需’(。為參數(shù))，直線I的參數(shù)方程為

%=1+tcosa,

為參數(shù)).

y=2+tsina

(1)求C和1的直角坐標(biāo)方程;

(2)若曲線C截直線I所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求I的斜率.

16.在極坐標(biāo)系中，已知曲線C：P=2cos。，將曲線C上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)

.7T

X=tcos-

L3兀(t是參數(shù))，且直線1與曲線G交于A,

Iy=V3+tsin-

B兩點(diǎn).

(1)求曲線G的直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線；

(2)設(shè)定點(diǎn)P(0,V3),求工+±.

17.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為匕=：I二;既（。為參數(shù)，r>0）,曲線N的參數(shù)方程為

（y=_L十fSITlu

（t為參數(shù)，且two）.

（1）以曲線N上的點(diǎn)與原點(diǎn)0連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線N的參數(shù)方程；

（2）若曲線M與N的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,直線0A與直線0B的斜率之積為，求r的值.

18.已知函數(shù)/（x）=|x+l|+|2x-4|.

（1）解不等式：/（%）>X2；

（2）若關(guān)于x的不等式/（尤）<以-2|+%2+加在［0,3］上無解，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

19.己知函數(shù)/（x）=|x-m|,g（x）=|x+〃|,其中m>0,〃>0.

（1）若函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，求不等式/（X+2）</（x）的解集；

（2）若函數(shù)〃（x）=/（x）+g（x）的最小值為1,求工+工的最小值及其相應(yīng)的加和”的值.

mn

20.已知a>0,b>0,且a+b=l.

(1)若abWm恒成立，求m的取值范圍；

(2)若。於|2x-1|-|x+2旭成立，求x的取值范圍.

ab

21.已知函數(shù)f(x)=b+lHx-2|.

(1)求不等式/(x)>1的解集；

(2)若不等式/(X)三T+〃?的解集非空，求小的取值范圍.

1.C

2.D

3.B【解析】點(diǎn)M的極坐標(biāo)(45)化為直角坐標(biāo)為(4cos,4sin￡),即(273,2).

4.D

5.D

【解析】P點(diǎn)坐標(biāo)為日)，所以垂直于極軸的直線方程為x=i,所以極坐標(biāo)方程為p-cos8=a

6B【解析】由貪:,得仁!，代入直線一y=2得jx*2,即2x—=4.

7.C

8.A

9.D【解析】因?yàn)椋╬—3）（0-]=O（pNO）,所以p=3或。=],所以/+必=9或y軸正

半軸，所以極坐標(biāo)方程（p-3）（0-=）=O（p>O）表示的圖形是一個(gè)圓和一條射線.

10.C

11.D

12.C

13.【解析】⑴由pcos一；）=1,得pgcosH+*sin。）=1.

從而C的直角坐標(biāo)方程為梟+梟=1.即x+加=2.

當(dāng)0=0時(shí)，p=2,所以M（2,0）,

當(dāng)。=]時(shí)，p=竽，所以N（￥，f.

（2）M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（2,0）,N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0,竽）.

所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1,乎），則P點(diǎn)的極點(diǎn)標(biāo)為（等黨）

所以直線0P的極坐標(biāo)方程為0=2（PCR）.

14.【解析】（1）圓C的普通方程為0-2）2+*=4,

又x=pcosd,y=psin。，所以圓C的極坐標(biāo)方程為p=4cos0.

（p=4cos0,（PT=2,

⑵設(shè)P（pi，%）,則由=E

p（sin0+V3cos0）=3V3,02=3,

設(shè)QS2，%），則由Tn）解得#_n所以IPQ|=1.

（8=7ly2"I'

15.【解析】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為[+[=L

416

當(dāng)cosaH0時(shí)，I的直角坐標(biāo)方程為y=tana?%+2-tana,

當(dāng)cosa=0時(shí)，1的直角坐標(biāo)方程為%=1.

（2）將I的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程（1+3cos2a）t2+4（2cosa4-

sina）t—8=0,...①

因?yàn)榍€C截直線I所得線段的中點(diǎn)（1,2）在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為Q,t2,則"+七2=。?

又由①得0+功=_4（2。。：。+；同,故2cosa+sina=0,

^“l(fā)+3cos2a

于是直線l的斜率k=tana=-2.

16.【解析】：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2-2x=0即（x-1）2+y2=l.

...曲線G的直角坐標(biāo)方程為9+y2=l,

，曲線C表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-B，0）,（V3,0）,長軸長為4的橢圓.

（2）將直線1的參數(shù)方程代入曲線C的方程9+y2=i中，得-t2+i2t+8=0.

設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t2,.-.t,+t2=-^,t,t2=g,

.1-￡l+￡2,3

-

''標(biāo)jpejtrt2~2

17?【解析】：（1）曲線M的參數(shù)方程為仁二：：二;藝（。為參數(shù)，r>0）,

（y—JL十iSLTlU

仕=嗎

將《5廠消去參數(shù)t,得x-2y+2=0（x￥0）.

卜=1+/

x=嗎

5后（t為參數(shù)，且tWO）.

ty=

X=---1

2短（k為參數(shù)，且人力以

丫=赤

（2）曲線M的普通方程I為（x-2）2+（y-I）'I,

2

X=-■—

將《2T代入(x-2)2+(y-I)2=一并整理得(l6-4r2)k2+(4r2-32)k+17-1=0,

丁二月

因?yàn)橹本€OA與直線OB的斜率之積為：，所以%W=:解得1=1,又r>0,所以r=l.

316-4-3

將r=l代入(16-4?)k2+(4--32)k+17-r=0,得12k?-28k+16=0,A>0,

故r=l.

18.【解析】（1）依題意，|x+i|+|2x-4|>x2.

-3-721

"IX<—1時(shí)，原式化為一x—1+4—2x>x~,即x?+3x—3<0,解得<X<-1

2

-1+V21

當(dāng)一時(shí)，原式化為X+1+4—2X>X2,即%2+%一5<0,解得一1?了<

2

當(dāng)x>2時(shí)，原式化為x+l+2x—4>/，即/一3%+3<0,無解.

綜上所述，所求不等式的解集為(-3一尸,7+尸).

(2)由題意可知,xw[0,3]時(shí),|九+1|+|8-2但/+機(jī)恒成立.

當(dāng)0<尤<2時(shí)，X2+m<3,得機(jī)工(3—元2)min=—1；

22

當(dāng)2<尤<3時(shí)，X+m<2x—\,^m<(-x+2x-l)min=-4.

綜上所述，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-8,-4].

19.【解析】(1)???函數(shù)/(處的圖象關(guān)于直線尤=2對(duì)稱，...加=2,/(x)=U-2|,

二不等式/(x+2)</(x)可化為|x|W|x-2|,即/<。一2)2,

化簡得-4x+420,解得xWl,二不等式〃x+2)〈/(x)的解集為{x|x<l}.

(2)v/(x)=|x-zn|,g{x)=\x+n\,/.h(x)=\x-m\+\x+n\,

由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|xl+l%+/2閆(％-"2)-(x+力)\=m+nf

二函數(shù)九(%)=/(%)+g(%)的最小值為劣+幾，「?“+'=1,

,/——/口，111m+n1」

由陽+〃22Jnm得機(jī)〃工:，—I—=-----=24,

4mnmnmn

in=n1111

當(dāng)且僅當(dāng)《,即機(jī)=〃=一時(shí)等號(hào)成立，.??一+一的最小值為4,此時(shí)機(jī)=〃=一.

m+71=12mn2

20.【解析】：⑴Va>0,b>0,且a+b=l,；.abW(乎)2=-,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=：時(shí)"=”成立，

242

由abWm恒成立，故m2工；

4

(2)*.*a,be(0,+°°)9a+b=l,-+r=(a+b)=5+竺+[25+2—,^=9,

ababab7ab

故若ab冽2x-1|-|x+2|恒成立，則|2x-1|-|x+2|W9,

當(dāng)xW-2時(shí)，不等式化為1-2x+x+2W9,解得-6<xW-2,

當(dāng)-2<x<±不等式化為1-2x-x-2W9,解得-2<X<L

22

當(dāng)時(shí)，不等式化為2x-1-X-2W9,解得(WxW12,

綜上所述x的取值范圍為[-6,12].

—3,x<一1

21.【解析】(1)V/(x)=|x+1|-|x-2|=<2x-1,-1<x<2?

3,x>2

???/(x)Nl,???當(dāng)-已爛2時(shí)，2x-l>l,解得/2；當(dāng)心>2時(shí)，3N1恒成立，故心>2.

綜上，不等式/(X)>1的解集為{撲侖1}.

(2)若不等式/(x)*-x+m的解集非空，則存在x￡R使得f(x)-f+史"2成立，

即tn<\f(x)-f+Mnax，設(shè)g(x)=f(x)-JT+X.

~x"+x—3,xV—1

由(1)知I,g(x)=--x2+3x-L-l<x<2,

-x2+x+3,x>2

當(dāng)爛-1時(shí)，g(x)—x^+x-i,其開口向下，對(duì)稱軸方程為廣,>T,

2

:.g(x)<g(-1)—1-1-3—5；

當(dāng)-1V<2時(shí)，g(x)=-*+3%-1,其開口向下，對(duì)稱軸方程為廣一￡(-1,2),

2

*/、，/3、99?5

??*(.x)V、(一)——+—1=一；

2424

當(dāng)這2時(shí)，g(x),其開口向下，對(duì)稱軸方程為廣;<2,，g(x)(2)=-4+2+3=1；

綜上，g(x)max=2，工加的取值范圍為(-8,-].

44

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不等式、推理與證明

1.已知0<c<l,a>b>l,下列不等式成立的是（）

A.c">cbB.a<bc

C.—a-c>—b-cD.logaC>!ogbC

【答案】D

【解答】：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng):

對(duì)于A、構(gòu)造函數(shù)丫=（?,由于0<c<l,則函數(shù)y=c*是減函數(shù)，又由a>b>l,則有故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B、構(gòu)造函數(shù)y=x",由于0<c<l,則函數(shù)y=x'是增函數(shù)，又由a>b>l,則有a'〉!；',故B錯(cuò)誤;

b_ab-ac-ab+bc_c(d-a)

對(duì)于、—又由OVcVl,a>b>l,貝！J(a-c)>O^(b-c)>O>(b-a)

Ca-cb-c(a-c)(b-c)f

<0,進(jìn)而有六一￡vo,故有士〈白，故c錯(cuò)誤;

對(duì)于D、logaC-loghC二等-^^Igc()，又由OVcVl,a>b>l,則有IgcVO,lga>lgb>0,則有

IgaIgb*Ig?al"gb：

logaCTogbC二警-7-=lgc)>0,即有l(wèi)ogaC>loghC,故D正確；

IgaIgbIgalgb

故選：D.

2.若實(shí)數(shù)a、b、c同時(shí)滿足：?a2>b2；②1+acVa+c；③logba>c.則a、b、c的大小關(guān)系是()

A.b>a>cB.c>b>a

C.c>a>bD.a>b>c

【答案】D

【解答】：實(shí)數(shù)a、b、c同時(shí)滿足：①a，>b‘；②1+acVa+c；③logi,a>c.

由③可得：a,b>0,bWl,又由①可得a>b>0.

由②可得：(a7)(c-1)<0,則或/〈I

[c<l(c>l

由及其③可得，若a>b>L則loga>l,

U<1

由cVl,可得a>b>c；

若OVbVL則logbaVO,c<0,可得a>b>c；

a1及其③可得log：>a>l,可得a<b<l,與a>b矛盾,

c>l

綜上可得a>b>c,

故選：D.

兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

(1)作差法，其步驟為：

作差=變形=定號(hào)(確定正負(fù)號(hào)，即判斷差與。的大小)=得出結(jié)論.

含根號(hào)的式子作差時(shí)一般先乘方再作差.

(2)作商法，其步驟為：作商=變形=判斷商與1的大小n得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.

(4)賦值法和排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論.

3.若a,b,c為實(shí)數(shù)，且a<b<0,則下列命題正確的是()

A.ac2<bc2B.-<-

ab

C.->-D.a2>ab>b2

ab

【答案】D

【解答】解：選項(xiàng)A,

為實(shí)數(shù)，，取c=0,ac2=0,bc2=O,此時(shí)ac'bc?,故選項(xiàng)A不成立；

選項(xiàng)B,二一上上」，

abab

Va<b<0,.,.b-a>0,ab>0,A—>0,即％故選項(xiàng)B不成立；

abab

選項(xiàng)c,

???a<b<0,...取a=-2,b=-l,則2=二=三，f=2,...此時(shí)故選項(xiàng)C不成立;

a-22bab

選項(xiàng)D,

*/a<b<0,a2-ab=a(a-b)>0,a2>ab.**.ab-b2=b(a-b)>0,

ab>b2.故選項(xiàng)D正確,

故選：D.

4.已知a>b>0,c2d>0,則下列不等式成立的是()

【答案】A

【解答］解：Va>b>0,c2d>0,

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.

不等式的性質(zhì)

1

-；

1.(1)a>h,ah>0=>—匕(2)<0<b^-<-(3)a>h>0,d>c>^->-.

aabcd

2.若a>b>0,?n>0,則

/I、bb+mbb-m.八、,aa+maa-m,八、

(1)-<-------；->--------(zb-m>0)；(2)->-------；-<--------(z/T-A??>0).

aa+maa-mbb+mbb-m

5.已知集合4={%|(%-1)(X—4)〈0},B={%|^1<0},則4nB=

A.{x|l<%<2}B.{x|l<%<2}

C.{x|2<%<4}D.{x\2<x<4}

【答案】D

【解析】依題意4==(2,5],故/C8=(2,4],故選D.

1.一元一次不等式的解法

不等式ax>b的解：

(1)當(dāng)“>0時(shí)，x>-.

h

(2)當(dāng)"0時(shí)，x<-.

(3)當(dāng)a=0時(shí)，若花0,則無解；若*0,則xWR.