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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁2024-2025學年浙江省杭州市仁和實驗學校高一(上)期末數學試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={x|x2?4x+3>0},N={y|y=x2A.(?∞,1)∪(3,+∞) B.[?4,1)
C.[?4,1)∪(3,+∞) D.R2.函數f(x)=4?x2A.[?2,2] B.(?∞,?1)∪(?1,2]
C.[?2,?1)∪(?1,2] D.(?2,2)3.已知p:θ為銳角,q:θ為第一象限角,則p是q的(
)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.若xlog34=1,則4A.1 B.2 C.83 D.5.已知sin(π3?x)=13,且A.13 B.223 C.6.計算:1+tan5π12A.33 B.?33 7.函數f(x)=[x]的函數值表示不超過x的最大整數,例如,[?3.5]=?4,[2.1]=2,則方程[x]?sinx=0的零點個數為(
)A.0 B.1 C.2 D.38.已知奇函數f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的圖象關于直線x=π3對稱,且在區間[0,π6A.23 B.34 C.32二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=|sinx|,則(
)A.f(x)的最小正周期為2π B.f(x)的最小正周期為π
C.f(x)在區間[π,3π2]上單調遞增 10.已知a>0,b>0,且a+b=4,則下列結論正確的是(
)A.ab≤4 B.1a+1b≥1 11.已知函數f(x)=x2+2x?3,x≤0?2+lnx,x>0,若方程f(x)=kA.當k>0或k<?4時,方程f(x)=k有1個解
B.當k<?4時,方程f(x)=k有1個解
C.當k=?4或k>?3時,方程f(x)=k有2個解
D.當?4<k≤?3時,方程f(x)=k有3個解三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知點P(cos2π3,1)是角α的終邊上一點,則cosα=13.已知函數f(x)=(a?22x+1)(1?cos2x)為奇函數,則14.如圖,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角∠POQ=π3,C為扇形弧上的動點,矩形ABCD內接于扇形,則矩形ABCD的面積的最大值為______.四、解答題:本題共5小題,共60分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)
求值:
(1)823+(1616.(本小題12分)
已知α,β為銳角,sin(α+β)=12,sinαcosβ=512.
(1)求證:17.(本小題12分)
已知函數f(x)=sin(2π?x)?sin(3π2?x)?3cos2x+318.(本小題12分)
已知函數f(x)=log21+axx?1(a為常數)是奇函數.
(1)求a的值與函數f(x)的定義域.
(2)若對任意的x∈[53,3]時,都有19.(本小題12分)
對于定義在區間D上的函數y=f(x),若存在x0∈D,對任意的x∈D,都有f(x)≥f(x0),則稱函數f(x)在區間D上有“下界”,把f(x0)稱為函數f(x)在D上的“下界”.
(1)分別判斷下列函數是否有“下界”?如果有,寫出“下界”,否則請說明理由;
y=1?2x(x>0);y=x+16x(0<x≤5).參考答案1.C
2.C
3.A
4.D
5.B
6.D
7.C
8.C
9.BC
10.BD
11.BCD
12.?13.1
14.315.解:(1)原式=23×23+(23)4×(?34)+1=4+278+1=678;
(2)原式=log3182+lg2lg3×lg32lg2+log33=2+12+1=72.
16.解:(1)證明:因為α,β為銳角,且sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12,
又sinαcosβ=512,
所以cosαsinβ=12?512=112,
所以sinαcosβ=5cosαsinβ,即sinαcosα=5sinβcosβ,
即tanα=5tanβ(證畢);18.解:(1)因為f(x)是奇函數,
故f(?x)+f(x)=log21?ax?x?1+log21+axx?1=log21?a2x21?x2=0,
即1?a2x2=1?x2,即x2(a2?1)=0,因x不恒為0,故a=±1,
當a=?1時,因1?xx?1=?1<0,函數沒有意義;
當a=1時,f(x)=log21+xx?1,由1+xx?1>0,可得(x+1)(x?1)>0,
即函數的定義域為:(?∞,?1)∪(1,+∞),
又f(?x)+f(x)=log21?x?x?1+log21+xx?1=log21?x21?x2=log21=0,故f(x)是奇函數,滿足題意.
綜上,a=1,函數f(x)的定義域為(?∞,?1)∪(1,+∞).
(2)由(1)得f(x)=log21+xx?1=log2(1+2x?1),
因x∈[53,3],函數t=1+2x?1在[53,3]上為減函數,故得2≤t
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