大專高數(shù)基礎(chǔ)試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.下列函數(shù)中，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)的有：

A.\(f(x)=\sqrt{x^2-1}\)

B.\(g(x)=\frac{1}{x}\)

C.\(h(x)=\ln(x)\)

D.\(j(x)=\sqrt[3]{x}\)

2.函數(shù)\(y=2x^3-3x^2+4\)的導(dǎo)數(shù)\(y'\)為：

A.\(6x^2-6x\)

B.\(6x^2-3x\)

C.\(6x^2+3x\)

D.\(6x^2+6x\)

3.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)等于：

A.1

B.0

C.無(wú)窮大

D.不存在

4.設(shè)\(f(x)=e^x\)，則\(f'(x)\)為：

A.\(e^x\)

B.\(e^x+x\)

C.\(e^x-x\)

D.\(e^x\cdotx\)

5.已知\(f(x)=x^3-3x+2\)，則\(f'(1)\)等于：

A.-1

B.1

C.2

D.3

6.設(shè)\(f(x)=\lnx\)，則\(f''(x)\)為：

A.\(\frac{1}{x^2}\)

B.\(\frac{1}{x}\)

C.\(-\frac{1}{x^2}\)

D.\(-\frac{1}{x}\)

7.若\(\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}\)，則\(\int_0^1(2x^3-3x^2+4)dx\)等于：

A.\(\frac{7}{3}\)

B.\(\frac{8}{3}\)

C.\(\frac{9}{3}\)

D.\(\frac{10}{3}\)

8.設(shè)\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)，則\(f'(x)\)為：

A.\(\frac{1}{(x+1)^2}\)

B.\(\frac{1}{x(x+1)}\)

C.\(\frac{1}{x^2}\)

D.\(\frac{1}{x}\)

9.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}\)等于：

A.5

B.3

C.1

D.0

10.設(shè)\(f(x)=\cosx\)，則\(f'(x)\)為：

A.\(-\sinx\)

B.\(\sinx\)

C.\(\cosx\)

D.\(-\cosx\)

11.若\(\int_0^2x^2dx=\frac{8}{3}\)，則\(\int_0^2(2x^3-3x^2+4)dx\)等于：

A.\(\frac{32}{3}\)

B.\(\frac{33}{3}\)

C.\(\frac{34}{3}\)

D.\(\frac{35}{3}\)

12.設(shè)\(f(x)=\lnx\)，則\(f''(x)\)為：

A.\(\frac{1}{x^2}\)

B.\(\frac{1}{x}\)

C.\(-\frac{1}{x^2}\)

D.\(-\frac{1}{x}\)

13.若\(\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}\)，則\(\int_0^1(2x^3-3x^2+4)dx\)等于：

A.\(\frac{7}{3}\)

B.\(\frac{8}{3}\)

C.\(\frac{9}{3}\)

D.\(\frac{10}{3}\)

14.設(shè)\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)，則\(f'(x)\)為：

A.\(\frac{1}{(x+1)^2}\)

B.\(\frac{1}{x(x+1)}\)

C.\(\frac{1}{x^2}\)

D.\(\frac{1}{x}\)

15.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}\)等于：

A.5

B.3

C.1

D.0

16.設(shè)\(f(x)=\cosx\)，則\(f'(x)\)為：

A.\(-\sinx\)

B.\(\sinx\)

C.\(\cosx\)

D.\(-\cosx\)

17.若\(\int_0^2x^2dx=\frac{8}{3}\)，則\(\int_0^2(2x^3-3x^2+4)dx\)等于：

A.\(\frac{32}{3}\)

B.\(\frac{33}{3}\)

C.\(\frac{34}{3}\)

D.\(\frac{35}{3}\)

18.設(shè)\(f(x)=\lnx\)，則\(f''(x)\)為：

A.\(\frac{1}{x^2}\)

B.\(\frac{1}{x}\)

C.\(-\frac{1}{x^2}\)

D.\(-\frac{1}{x}\)

19.若\(\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}\)，則\(\int_0^1(2x^3-3x^2+4)dx\)等于：

A.\(\frac{7}{3}\)

B.\(\frac{8}{3}\)

C.\(\frac{9}{3}\)

D.\(\frac{10}{3}\)

20.設(shè)\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)，則\(f'(x)\)為：

A.\(\frac{1}{(x+1)^2}\)

B.\(\frac{1}{x(x+1)}\)

C.\(\frac{1}{x^2}\)

D.\(\frac{1}{x}\)

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)（）

2.\(\frac4m54c6f{dx}(x^2)=2x\)（）

3.指數(shù)函數(shù)\(e^x\)的導(dǎo)數(shù)仍然是\(e^x\)（）

4.在\(x=0\)處，函數(shù)\(f(x)=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)不存在（）

5.定積分\(\int_0^1x^2dx\)等于\(\frac{1}{3}\)（）

6.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)\(f(x)\)，其導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)必定存在（）

7.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)（）

8.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)是一個(gè)無(wú)窮小量（）

9.函數(shù)\(f(x)=x^3\)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增（）

10.\(\int\cosx\,dx=\sinx+C\)（）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述函數(shù)可導(dǎo)性的定義，并給出一個(gè)例子說(shuō)明函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)但不可導(dǎo)。

2.解釋什么是連續(xù)函數(shù)，并說(shuō)明連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)的一些性質(zhì)。

3.簡(jiǎn)要介紹定積分的定義，并說(shuō)明定積分與不定積分之間的關(guān)系。

4.舉例說(shuō)明如何求解一個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述極限在微積分中的重要性，并說(shuō)明其在導(dǎo)數(shù)和定積分計(jì)算中的應(yīng)用。

2.論述如何通過(guò)泰勒展開(kāi)式來(lái)近似計(jì)算一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的值，并分析其優(yōu)缺點(diǎn)。

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.ACD

解析：函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-1}\)的定義域?yàn)閈(x\leq-1\)或\(x\geq1\)；\(g(x)=\frac{1}{x}\)的定義域?yàn)閈(x\neq0\)；\(h(x)=\ln(x)\)的定義域?yàn)閈(x>0\)；\(j(x)=\sqrt[3]{x}\)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。

2.A

解析：根據(jù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，\((x^n)'=nx^{n-1}\)，得\((x^3)'=3x^2\)，再根據(jù)常數(shù)倍法則，\((cx)'=c(x)'\)，得\((2x^3)'=2\cdot3x^2=6x^2\)。

3.A

解析：根據(jù)三角函數(shù)的極限性質(zhì)，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，因此\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{\cosx}\cdot\frac{1}{x}=1\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。

4.A

解析：指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為\((e^x)'=e^x\)。

5.B

解析：使用導(dǎo)數(shù)的定義，\(f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^3-1-(1-3+2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^3+3h^2+3h+1-1+3-2}{h}=1\)。

6.A

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)。

7.A

解析：計(jì)算定積分\(\int_0^1(2x^3-3x^2+4)dx=\left[\frac{2}{4}x^4-\frac{3}{3}x^3+4x\right]_0^1=\left[\frac{1}{2}-1+4\right]-[0]=\frac{7}{2}\)。

8.A

解析：根據(jù)商法則，\((u/v)'=(u'v-uv')/v^2\)，得\((x/(x+1))'=((x+1)-x)/(x+1)^2=1/(x+1)^2\)。

9.A

解析：根據(jù)三角函數(shù)的極限性質(zhì)，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，因此\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{\cosx}\cdot\frac{1}{x}=1\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。

10.B

解析：根據(jù)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，\((\cosx)'=-\sinx\)。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析：當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)趨向于0，但極限存在且等于0。

2.√

解析：根據(jù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，\((x^2)'=2x\)。

3.√

解析：指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為\((e^x)'=e^x\)。

4.×

解析：在\(x=0\)處，\(\sinx\)的導(dǎo)數(shù)存在，且\(f'(0)=\cos0=1\)。

5.√

解析：根據(jù)定積分的計(jì)算公式，\(\int_0^1x^2dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\frac{1}{3}\)。

6.×

解析：并非所有可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都存在，例如\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，但導(dǎo)數(shù)不存在。

7.√

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)的積分公式為\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)。

8.×

解析：\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)是一個(gè)無(wú)窮小量，但不是無(wú)窮大。

9.√

解析：函數(shù)\(f(x)=x^3\)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)閈(f'(x)=3x^2\geq0\)。

10.√

解析：根據(jù)三角函數(shù)的積分公式，\(\int\cosx\,dx=\sinx+C\)。

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.函數(shù)可導(dǎo)性定義：如果函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則稱該函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。例子：函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，因?yàn)閈(f'(0)=0\)；但函數(shù)\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)，因?yàn)樽髮?dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)不相等。

2.連續(xù)函數(shù)定義：如果函數(shù)在其定義域內(nèi)任意一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱該函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)；連續(xù)函數(shù)的極限存在；連續(xù)函數(shù)的積分存在。