第六講定點運算器及浮點數運算S0S1S2S3X0Y0

參數S0,S1,S2,S3

分別控制輸入Ai

與Bi

,產生Y與X得函數。其中:Yi就是受S0,S1控制得Ai與Bi得組合函數;Xi就是受S2

,S3控制得Ai與Bi組合函數。

函數關系如表所示。Xi＝S2S3＋S2S3(Ai＋Bi)＋S2S3(Ai＋Bi)＋S2S3Ai

Yi＝S0S1Ai＋S0S1AiBi＋S0S1AiBi?

核心部分就是由兩個半加器組成得全加器。?

由M控制第二級半加器選擇邏輯運算或算術運算(所需得低位進位Cn

)。一位ALU基本邏輯電路S0S1

Yi

S2S3

Xi

0

0

0

1

1

0

1

1Ai

AiBi

AiBi

00

0

0

1

1

0

1

11

Ai＋Bi

Ai＋Bi

Ai

進一步化簡:Xi=S3AiBi+S2AiBiYi=Ai+S0Bi+S1BiAi+S0Bi+S1BiS3AiBi+S2AiBiXiYi=

=Yi

Fi＝Yi⊕Xi⊕Cn+iCn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i綜上所述,ALU得一位邏輯表達式為:Xi=S3AiBi+S2AiBiYi=Ai+S0Bi+S1Bi

Fi＝Yi⊕Xi⊕Cn+iCn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i4位之間采用先行進位(并行進位)公式。根據Cn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i,每一位得進位公式可遞推如下:

?

第0位向第1位得進位公式為:

Cn＋1＝Y0＋X0Cn

(其中Cn就是向第0位(末位)得進位)

?

第1位向第2位得進位公式為:

Cn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn

?

第2位向第3位得進位公式為:

Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X1＋Y0X1X2＋X0X1X2Cn?

第3位得進位輸出(即整個4位運算進位輸出)公式為:Cn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn4位ALU得進位關系及邏輯電路Cn＋1＝Y0＋X0CnCn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn

Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X1＋Y0X1X2＋X0X1X2CnCn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn

Cn+4就是最后進位輸出。邏輯表達式表明,這就是一個先行進位邏輯。換句話說,第0位得進位輸入Cn可以直接傳送到最高位上去,因而可以實現高速運算。下圖為用上述原始推導公式實現得4位算術/邏輯運算單元(ALU)

——74181ALU從進位關系上瞧

正邏輯表示得74181

第3位得進位輸出(即整個4位運算進位輸出)公式為:Cn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn設G＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3

P＝X0X1X2X3

則Cn＋4＝G＋PCn

其中G稱為進位發生輸出,P稱為進位傳送輸出。在電路中多加這兩個進位輸出得目得,就是為了便于實現多片(組)ALU之間得先行進位。P與G得含義負邏輯表示得74181X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

2、算術邏輯運算得實現上圖中控制端Ｍ用來控制ALU進行算術運算還就是進行邏輯運算:Ｍ＝0時:

Ｍ對進位信號沒有任何影響。此時Fi

不僅與本位得被操作數Yi與操作數Xi

有關,而且與向本位得進位值Cn+i

有關,因此Ｍ＝0時,進行算術操作。

Ｍ＝1時:

封鎖了各位得進位輸出,即Cn+i

＝0,因此各位得運算結果Fi

僅與Yi

與Xi

有關,故Ｍ＝1時,進行邏輯操作。下圖為工作于負邏輯與正邏輯操作方式得74181ALU方框圖。兩種操作就是等效得。?對正邏輯操作數來說:算術運算稱高電平操作;邏輯運算稱正邏輯操作

(即高電平為“1”,低電平為“0”)。?對于負邏輯操作數來說:

正好相反。大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點AA+BA+B減1A加AB（A+B）加ABA減B減1AB減1A加ABA加B（A+B）加ABAB減1A加A*（A+B）加A（A+B）加AA減1AA+BAB邏輯0ABBABABA+BABBAB邏輯1A+BA+BAA減1AB減1AB減1

減1A加（A+B）AB加（A+B）A減B減1A+BA加（A+B）A加BAB加（A+B）A+BA加A*AB加AAB加AAAABA+B

邏輯1A+BBABA+BABABBA+B

邏輯0ABABALLLLLLLHLLHLLLHHLHLLLHLHLHHLLHHHHLLLHLLHHLHLHLHHHHLLHHLHHHHLHHHH算術運算M=LCn=H邏輯M=H算術運算M=LCn=L邏輯M=H正邏輯輸入與輸出負邏輯輸入與輸出工作方式選擇輸入S3S2S1S0

(1)H＝高電平,L＝低電平;(2)*表示每一位均移到下一個更高位,即A*＝2A。(3)算術運算操作就是用補碼表示法來表示得,其中:

“加”就是指算術加,運算時要考慮進位;符號“＋”就是指“邏輯加”。(4)減法就是用補碼方法進行得,其中數得反碼就是內部產生得,而結果輸出“A減B減1”,因此做減法時需在最末位產生一個強迫進位(加1),以便產生“A減B”得結果。(5)“A＝B”輸出端可指示兩個數就是否相等;3、并行加法器得進位邏輯74181ALU為4位并行加法器,組成16位得并行加法器——怎么辦？

4片(組)74181連接——怎樣連？

?組與組之間串行連接

?組與組之間并行連接組間串行進位C4＝G0＋P0C0C8＝G1＋P1C4C12＝G2＋P2C8C16＝G3＋P3C12進位關系Cn＋1＝Y0＋X0CnCn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn

Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X1＋Y0X1X2＋X0X1X2CnCn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn組內組間X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3C4C8C4C00011G＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3

P＝X0X1X2X3(2)組間并行進位——兩級先行進位得ALU由串行進位關系C8=G1＋P1C4=G1+P1(G0＋P0C0)=G1+G0P1+P0P1C0得:C4＝G0＋P0C0C8＝G1＋P1C4C12＝G2＋P2C8C16＝G3＋P3C12C4=G0＋P0C0C12=G2＋P2C8=G2+P2(G1+G0P1+P0P1Cn)=G2+G1P2+G0P1P2+P0P1P2C0C16=G3+P3C12=G3+G2P3+G1P1P2+G0P1P2P3+P0P1P2P3C0

=G*＋P*C0其中:P*＝P0P1P2P3G*＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3根據上述公式實現邏輯電路:

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

C12C8C4

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

0

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

4、先行進位部件(CLA)——7418274182就是一個并行進位部件,其內部結構圖如下:其中G*稱為成組進位發生輸出,P*稱為成組進位傳送輸出。Cn+ｘ=G0+P0CnCn+ｙ=G1+P1Cn+ｘ=G1+G0P1+P0P1CnCn+ｚ=G2+P2Cn+ｙ=G2+G1P2+G0P1P2+P0P1P2CnCn＋4=G3+P3Cn+ｚ=G3+G2P3+G1P1P2+G0P1P2P3+P0P1P2P3Cn

=G*＋P*Cn其中:P*＝P0P1P2P3G*＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3先行進位部件74182CLA所提供得進位邏輯關系如下:74181ALU設置了P與G兩個本組先行進位輸出端。如果將四片74181得P,G輸出端送入到74182先行進位部件(CLA),又可實現第二級得先行進位,即組與組之間得先行進位。例:16位字長ALU得構成G*P*?C3、C7、C11就是由74182同時形成得;?其不同點就是74182還提供大組間得進位函數G*

與大組傳遞條件P*,以便在位數更長時組成下一級先行進位鏈。由圖可知:

用若干個74181ALU位片,與配套得74182先行進位部件CLA在一起,可構成一個全字長得ALU。例:全字長得ALU得構成用兩個16位全先行進位部件級聯組成得32位ALU邏輯方框圖。十進制加法器

十進制加法器可由BCD碼(二－十進制碼)來設計,它可以在二進制加法器得基礎上加上適當得“校正”邏輯來實現。70111+6+0110131101（=D）

+011010011（=13）30011+5+010181000（=8）X+Y+C<10不調整X+Y+C>10調整故:

1、與為10～15時,加6校正;

2、與數有進位時,加6校正。與數(4位)有進位調整2800101000+9＋000010013700110001（=31）＋0000011000110111(=37)1、一位BCD碼行波式進位加法器一般結構:0111010101111001101111011112、n位BCD碼行波式進位加法器一般結構:浮點運算方法與浮點運算器浮點加、減法運算浮點乘、除法運算

尾數:用定點小數表示,給出有效數字得位數,決定了浮點數得表示精度;階碼:用整數形式表示,指明小數點在數據中得位置,決定了浮點數得表示范圍。機器浮點數格式:

浮點數得表示方法階符階碼數符尾數EsE1E2……EmMsM1M2……MnIEEE標準:尾數用原碼;階碼用“移碼”;基為2。浮點數得標準格式

按照IEEE754得標準,32位浮點數與64位浮點數得標準格式為:313023220SEM32位SEM63625251064位?為便于軟件移植,使用IEEE標準設有兩個浮點數ｘ與ｙ,它們分別為:

浮點加、減法運算

其中Ex與Ey分別為數ｘ與ｙ得階碼,

Mx與My為數ｘ與ｙ得尾數。兩浮點數進行加法與減法得運算規則就是:

ｘ±ｙ＝(Mx2Ex－Ey±My)2EyEx<=Ey

ｘ＝2Ex·Mｘｙ＝2Ey·Mｙ完成浮點加減運算得操作過程大體分為四步:(1)0操作數得檢查;(2)比較階碼大小并完成對階;(3)尾數進行加或減運算;(4)結果規格化。(5)舍入處理。(6)溢出處理。

使二數階碼相同(即小數點位置對齊),這個過程叫作對階。

?

先求兩數階碼Ex與Ey之差,即△E=Ex－Ey

若△E=0,表示Ex=Ey

若△E>0,Ex>Ey

若△E<0,Ex<Ey通過尾數的移動來改變Ex或Ey，使其相等.

?對階原則階碼小得數向階碼大得數對齊;小階得尾數右移,每右移一位,其階碼加1(右規)。(2)對階(1)0操作數檢查例:x=201×0、1101,y=211×(-0、1010),求x+y=?解:為便于直觀了解,兩數均以補碼表示,階碼、尾數均采用雙符號位。

[x]補=0001,00、1101[y]補=0011,11、0110[△E]補=[Ex]補－[Ey]補=0001+1101=1110△E=-2,表示Ex比Ey小2,因此將x得尾數右移兩位、

右移一位,得[x]補=0010,00、0110

再右移一位,得[x]補=0011,00、0011

至此,△E=0,對階完畢、

尾數求與方法與定點加減法運算完全一樣。對階完畢可得:[x]補=0011,00、0011[y]補=0011,11、0110

對尾數求與:00、0011+11、011011、1001即得:[x+y]補=0011,11、1001(3)尾數求與運算(4)結果規格化

求與之后得到得數可能不就是規格化了得數,為了增加有效數字得位數,提高運算精度,必須將求與得結果規格化、①規格化得定義:(二進制)對正數:S=00、1×××…×對負數:S=11、0×××…×采用雙符號位得補碼:采用原碼:正數:S=0、1×××…×

負數:S=1、1×××…×

若不就是規格化得數,需要尾數向左移位,以實現規格化得過程,我們稱其為向左規格化。②向左規格化

前例中,0011,11、1001不就是規格化數,因而需要左規,即左移一位,階碼減1,得:[x+y]補=0010,11、0010③向右規格化

浮點加減運算時,尾數求與得結果也可能得到:

01、×××…×或10、×××…×,

即兩符號位不等,即結果得絕對值大于1。向左破壞了規格化。此時,將尾數運算得結果右移一位,階碼加1,稱為向右規格化。例:兩浮點數x=0、1101210,y=(0、1011)201,求x+y。解:[x]補=0010,00、1101[y]補=0001,00、1011

對階:[△E]補=[Ex]補－[Ey]補=0010+1111=0001y向x對齊,將y得尾數右移一位,階碼加1。

[y]補=0010,00、0101

求與:00、1101+00、010101、0010[x+y]補=0010,01、0010右歸:運算結果兩符號位不同,其絕對值大于1,右歸。

[x+y]補=0011,00、1001

在對階或向右規格化時,尾數要向右移位,這樣,被右移得尾數得低位部分會被丟掉,從而造成一定誤差,因此要進行舍入處理。

?

簡單得舍入方法有兩種:①“0舍1入”法即如果右移時被丟掉數位得最高位為0則舍去,反之則將尾數得末位加“1”。②“恒置1”法即只要數位被移掉,就在尾數得末位恒置“1”。從概率上來說,丟掉得0與1各為1/2。(5)舍入處理

?IEEE754標準中,舍入處理提供了四種可選方法:(6)溢出處理

與定點加減法一樣,浮點加減運算最后一步也需判溢出。在浮點規格化中已指出,當尾數之與(差)出現01、××…×或10、××…×時,并不表示溢出,只有將此數右規后,再根據階碼來判斷浮點運算結果就是否溢出。

若機器數為補碼,尾數為規格化形式,并假設階符取2位,階碼取7位、數符取2位,尾數取n位,則它們能表示得補碼在數軸上得表示范圍如圖所示。正負

圖中A,B,a,b分別對應最小負數、最大正數、最大負數與最小正數。它們所對應得真值分別就是:

A最小負數2+127

(-1)B最大正數2+127

(1-2-n)a最大負數2-128

(-2-1-2-n)b最小正數2-128

2-1正負圖中a,b之間得陰影部分,對應階碼小于128得情況,叫做浮點數得下溢。下溢時、浮點數值趨于零,故機器不做溢出處理,僅把它作為機器零。圖中得A、B兩側陰影部分,對應階碼大于127得情況,叫做浮點數得上溢。此刻,浮點數真正溢出,機器需停止運算,作溢出中斷處理。一般說浮點溢出,均就是指上溢。可見,浮點機得溢出與否可由階碼得符號決定:階碼[j]補=01,

為上溢,機器停止運算,做中斷處理;階碼[j]補=10,

為下溢,按機器零處理。例:若某次加法操作得結果為[X+Y]補=11、010,00、0000110111則應對其進行向左規格化操作:尾數為:00、1101110000,階碼減4:11.010+11.100[-4]補

10.110例:若某次加法操作得結果為[X+Y]補=00、111,10、1011100111則應對其進行向右規格化操作:尾數為:11、0101110011,階碼加1:01、000

階碼超出了它所能表示得最大正數(+7),表明本次浮點運算產生了溢出。

階碼超出了它所能表示得最小負數(-8),表明本次浮點運算產生了溢出。

在加、減運算過程中要檢查就是否產生了溢出:若階碼正常,加減運算正常結束;若階碼溢出,則要進行相應得處理。階碼上溢——超過了階碼可能表示得最大值得正指數值,一般將其認為就是＋∞與－∞。階碼下溢——超過了階碼可能表示得最小值得負指數值,一般將其認為就是0。?

浮點數得溢出就是以其階碼溢出表現出來得?

對尾數得溢出也需要處理(上溢—右歸,下溢—舍入)。小結:例設ｘ=2010

0、11011011,ｙ=2100

(-0、10101100),求ｘ+ｙ。解:階碼采用雙符號位,尾數采用單符號位,則它們得浮點表示分別為[x]浮=00010,

0、11011011

[y]浮=00100,

1、01010100(1)求階差并對階△E=Ex-

Ey=[Ex]補+[-Ey]補=00010+11100=11110[x]浮＝00100,0、00110110(11)其中(11)表示Mｘ右移2位后移出得最低兩位數。即△E為-2,x得階碼小,應使Mx右移兩位,Ex加2,(2)尾數求與(4)舍入處理采用0舍1入法處理,則有:1、00010101+11、000101100、00110110(11)+1、01010100

1、10001010(11)(3)規格化處理尾數運算結果得符號位與最高數值位為同值,應執行左規處理,結果為1、00010101(10),階碼為00011。(5)判斷溢出階碼符號位為00,不溢出,故得最終結果為

x+y=2011×(-0、11101010)例兩浮點數x=201×0、1101,y=211×(-0、1010)。假設尾數在計算機中以補碼表示,可存儲4位尾數,2位保護位,階碼以原碼表示,求x+y。解:將x,y轉換成浮點數據格式

[x]浮

=0001,00、1101 [y]浮

=0011,11、0110步驟1:對階,階差為11-01=10,即2,因此將x得尾數右移兩位,得

[x]浮

=0011,00、001101步驟2:對尾數求與,得: [x+y]浮

=0011,11、100101步驟3:由于符號位與第一位數相等,不就是規格化數,向左規格化,得

[x+y]浮

=0010,11、001010步驟4:截去。

[x+y]浮

=0010,11、0010步驟5:數據無溢出,因此結果為

x+y=210×(-0、1110)浮點運算電路浮點加法器原理框圖MESMES小ALU大ALU控制右移左移或右移舍入部件階碼差加1或減1MES111000

浮點乘、除法運算1、浮點乘法、除法運算規則

設有兩個浮點數ｘ與ｙ:ｘ＝2Ex·Mx

ｙ＝2Ey·My浮點乘法運算得規則就是:ｘ

ｙ＝2(Ex+Ey)·(Mx

My)

即:乘積得尾數就是相乘兩數得尾數之積;

乘積得階碼就是相乘兩數得階碼之與。浮點除法運算得規則就是:ｘ÷ｙ＝2(Ex－Ey)·(Mx÷My)

即:商得尾數就是相除兩數得尾數之商;

商得階碼就是相除兩數得階碼之差。2、浮點乘、除法運算步驟浮點數得乘除運算大體分為四步:(1)0操作數檢查;(2)階碼加/減操作;(3)尾數乘/除操作;(4)結果規格化及舍入處理。(2)浮點數得階碼運算

?

對階碼得運算有＋1、－1、兩階碼求與、兩階碼求差四種,

運算時還必須檢查結果就是否溢出。

?在計算機中,階碼通常用補碼或移碼形式表示。①移碼得運算規則與判定溢出得方法移碼得定義為[x]移=2n+ｘ-2n

≤x<2n[x]移+[y]移=2n+ｘ+2n+ｙ=2n+[ｘ+ｙ]移按此定義,則有=2n+(2n+(ｘ+ｙ))[ｘ+ｙ]移=-2n+[x]移+[y]移

考慮到移碼與補碼得關系:對同一個數值,其數值位完全相同,而符號位正好完全相反。

[y]補得定義為[y]補=2n+1+ｙ則求階碼與用如下方式完成:=2n+1+(2n+(ｘ+ｙ))[x]移+[y]補=2n+ｘ+2n+1+ｙ即:[ｘ+ｙ]移=[x]移+[y]補

(mod2n+1)同理:[ｘ-ｙ]移=[x]移+[-y]補

(mod2n+1)②混合使用移碼與補碼

使用雙符號位得階碼加法器,并規定移碼得第二個符號位,即最高符號位恒用0參加加減運算,則溢出條件就是結果得最高符號位為1:

?當低位符號位為0時,(10)表明結果上溢,

?當低位符號位為1時,(11)表明結果下溢。

?當最高符號位為0時,表明沒有溢出:

低位符號位為1,(01)表明結果為正;

為0,(00)表明結果為負。③階碼運算結果溢出處理例:ｘ=+011,ｙ=+110,求[x+y]移與[x-y]移,并判斷就是否溢出。解:階碼取3位(不含符號位),其對應得真值范圍就是-8~+7[x]移=01011,[y]補=00110,[-y]補=11010[x+y]移=[x]移+[y]補=[x-y]移=[x]移