數(shù)學(xué)測試題

一、單選題

1.已知直線Q4+4g+5=0與直線56+(Q—l)g+a=0平行，則Q=()

A.4B.春C.-4或5D.—4

2.已知等差數(shù)列｛QJ中，出+。9=24,則log2(Q3+o7)=()

A.8B.4C.16D.—4

3.一動點在圓爐+靖=i上移動時，它與定點B(2,3)連線的中點軌跡方程是()

A.(2r一2尸+(2g—3)2=1B.(4-a;)2+(6-y)2=1

C.(2+2)2+(夕+3)2=1D.(rc+2)2+(y+3)2=4

4.已知雙曲線T=l(a>0,b>0)的虛軸長為2四,P為。上一點，過點P向。的兩條漸近線作垂

出0

線，垂足分別為4,8區(qū)4卜9日=半，則雙曲線。的方程為()

A———=iB-———10-___——1D—1

52T472TC，104-1D—20__—8T

5.已知橢圓。：考■+g=l(a>fe>0)上存在兩點關(guān)于直線2c—v—1=0對稱，若橢圓離心率為

a"b

乎，則上W的中點坐標為()

O

A.信總)B.(2)3)C,(1~，—十)D.(y,-y)

6.等比數(shù)列｛廝｝共有2rl項,其和為240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比g=()

A.+B.2C.1D.

7.已知函數(shù)/(0=與+mln,—2c,(0,+s)有兩個極值點，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(—co,0]B.(—co,l]C.[—1,+co)D.(0,1)

8.設(shè)/(,)=,(2—3)二若方程/㈤=%(%CR)有3個不同的根a,b,c,則abc的取值范圍為()

A.(-4,0)B.(-2,0)C.(0,4)D.(0,2)

一、步J2B網(wǎng)

9.已知S”是數(shù)列｛飆｝的前九項和，2S”=3an—1,則下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列｛冊｝是等差數(shù)列B.數(shù)列｛冊｝是遞增數(shù)列

n-1D.$“=與」

C.an=3

10.直線l-.x—my—2—O(mER)與立軸的交點F為拋物線C:y2—2px(p>0)的焦點，若點O為坐標原點,I

與。交于兩點.則()

A.p=8

[第1頁(共13頁)】

B.OA-OB^-12

C.以線段AB為直徑的圓被y軸截得的弦長為定值

D.△OAB重心橫坐標的最小值為《

O

11.若數(shù)列｛冊｝滿足的=1,a?=L冊=a“T+O?-2(n>3,neN+),則稱數(shù)列｛冊｝為斐波那契數(shù)列,又稱黃金

分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用.則下列結(jié)論成立的是

()

A.。6=8B.Q1+。3+1-0-2019+。2021=。2022

Fao2o+^2022—0-2023

C.3an=an-2+an+2(n>3)D.a2+a4+a6H---2

三、填空題

2

12.若過點P(—1,—2)作圓C:(x-1)+(沙—2)2=16的切線，切點為人,則IAP|=.

13.雙曲線。:"―萼=l(a>0,6>0)的左、右焦點為耳，月，以月為圓心，Q￡|為半徑作圓月，過其作直線

azb

Z與圓E切于點M■.若/■在雙曲線的漸近線上,則雙曲線的離心率為.

14.已知拋物線。:婿=2Pmp>0)的焦點為尸，過F作直線交拋物線。于45兩點,過A,B分別作準線I的

垂線，垂足分別為M,N,若■和AeFN的面積分別為8和4,則的面積為

四、解答題

15.己知函數(shù)/(2)="—41nc.

⑴求曲線沙=/0)在點(i,/(i))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(土)的單調(diào)區(qū)間.

16.已知等比數(shù)列｛冊｝的前n項和為且數(shù)列｛Sn+2｝是公比為2的等比數(shù)歹!J.

(1)求｛冊｝的通項公式；

(2)若鼠=.—,數(shù)列｛0｝的前幾項和為￡,求證：7；<J.

n(7l+1)CCn+l2

［第2頁(共13頁)】

17.如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，A?！˙C,4B，4D,AB=BC,AD=3BC,

/&4。=45°,點七在線段40上,滿足4￡=2即,點?為5后的中點.

⑴證明：CF〃平面SAB；

（2）若SE，平面ABCD,求直線SB與平面SAD所成角的正弦值；

（3）在⑵的條件下,求平面SAB與平面SCD所成角的余弦值.

18.如圖，已知圓月的半徑為4,|母引=2,P是圓月上的一個動點，月P的中垂線交EP于點Q,以直線用用

為啰軸，用￡的中垂線為沙軸，建立平面直角坐標系，

（1）求點Q的軌跡E的方程；

（2）若過點用的直線Z與軌跡E交于點4,5,

⑴若三角形的面積為*，求直線AB的方程；

（位）探究田軸上是否存在一點“，使得直線MA,MB的斜率之積為定值.若存在，求出點朋■的坐標和定

值，若不存在,請說明理由.

19.已知｛aJ是各項均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于keN*,設(shè)集合為=｛ieN*限＜%｝,設(shè)瓦為集合Bk中

的元素個數(shù)，當(dāng)a=0時，規(guī)定既=0.

（1）若a”=九2,求上，&2,瓦7的值；

（2）若冊=2”,設(shè)帆的前幾項和為S”,求S*；

（3）若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)歹！J,求數(shù)列｛冊｝的通項公式.

［第3頁（共13頁）】

參考答案

1.D

【分析】利用兩直線平行的條件，列式求出Q值.

由直線a/+4g+5=0與直線5/+(Q—l)y+a=O平行，得，=手卷，

所以a=-4.

故選：。

2.B

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)知出+。4+。9=3恁=24,

所以禽=8,

所以。3+。7=205=16,

所以log2(a3+a7)=log216=4,

故選

3.A

【分析】設(shè)出動點坐標并根據(jù)中點坐標公式代入可得軌跡方程.

設(shè)動點坐標為(0,%)，中點坐標為(工,y)；

易知(/o,%)滿足就+潴=1，

可得e。+2=22因此卜=2，-2

U+3=2y…U=2y-3

代入可得(2,一2尸+(2V一3尸=1.

故選：A

4.A

【分析】先得到6和漸近線方程，并設(shè)點P(nz,n),則2W—4九2=2Q2>O,由點到直線距離公式得到

方程，求出Q2=5,得到雙曲線方程.

由題意得26=22,解得6=方，

雙曲線漸近線方程為y=±\~2必即ay±V2x=0,

設(shè)點P(m,n)，則鳥—片-=1,即2m2—a2n2-2a2>0，

az2

則F(m,n)到兩漸近線方程的距離分別為,

/riip/iiIORI_腹—+a同—a卻_12m2一(?療|_2a?_此

所RHV^+2_a2+2

解得a2=5,

故雙曲線方程為C：專一4=1.

0乙

【第4頁(共13頁)】

故選：A

5.A

【分析】設(shè)點河（如如、N（曲，紡），線段的中點為E（割,%），由己知條件可得出■，利用點差法以

及點石在直線如―沙―1=0上，可得出關(guān)于g、％的等式，解出這兩個量的值，即可得出線段7W的中點

坐標.

（_/1+42

g—9

設(shè)點跖0,%）、以電,紡），線段皿的中點為七（%%）,則陰,

19。=\2

由題意，橢圓的離心率為e=詈=產(chǎn)產(chǎn)=J-.=T，可得營=出，

因為M\N關(guān)于直線22—?/—1=0對稱,且直線27一9一1=0的斜率為2,

1

2

2

g1

I

xl--X

+b2

a2

將點M、N的坐標代入橢圓方程可得，2

遛s2

-I

+b2-X

、O?

上述兩個等式作差可得再遞+紇逅=0,

Wbz

可得比一蟾=%+納.%=_生,

%或一退力1+62/1一力24'

即?（一—）=一《，即患=看，即2工o=32,

NJ/04O?Z?QO

又因為點石（g,%）在直線2力—g—1=0上，則2g—窩―1=0,

（_3_

則有[產(chǎn)—斐—1=°，解得&—=3故線段上W的中點為住

[2x0=3y0L,-i'42，

故選：A.

6.D

【分析】結(jié)合題意列方程組分別求出S奇，S偶，再由等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果即可.

設(shè)等比數(shù)列｛冊｝的奇數(shù)項的和、偶數(shù)項的和分別為S奇，S偶.

由題意可得上二：

解得仁°,

所以q=M=.

故選：D.

7.D

l第5頁（共13頁）】

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)有兩個變號零點可求實數(shù)m的取值范圍.

r(c)=,+2_2=——2工+館

J'/XX5

因為/(,)有兩個極值點，故r0)有兩個變號零點，

故22—2工+m=0在(0,+co)上有兩個不同的解，故｛:1二^_47Tl>0，

所以0<m<1,

故選：D

8.C

【分析】由題可得k=abc,利用導(dǎo)數(shù)求出/(為的極值,當(dāng)k位于極小值與極大值之間時，可使/(c)=A:有3

個不同根,即可得答案.

因方程/(①)CR)有3個不同的根a,b,c,

則/(rr)—k—(rc—a)(re—6)(rc—c)=cQ—3)?—k,經(jīng)比較系數(shù)可得A;=abc,

則問題等價于，當(dāng)方程八。)=k有三個不同根時，k的范圍，

即/(①)圖象與夕=%有三個交點時，k的范圍，

注意到了(2)=2(力—3)2=砂一6爐+9x=>f'｛x｝=3x2—12x+9—3(x—3)(x—1),

令產(chǎn)(x)>0nrC(—oo,l)U(3,+oo)；令?(工)<0=>rc6(1,3),

則/(,)在(—8,1),(3,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

則/(,)極大值為/(I)=4,極小值為/(3)=0,

則要使/(①)圖象與y=k有三個交點，k需在極小值與極大值之間，即ke(0,4).

故選：C.

9.BCD

【分析】利用斯與S”的關(guān)系，結(jié)合數(shù)列增減性的判斷、等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得解.

因為2Sn=3a”—1,

當(dāng)n=1時，2sl=2al=3的一1,解得出=1/0；

當(dāng)？1>2時，2S“-i—3an-i—1,則2a“=2Sn—2Sn-i=3<zn—1—(3an_i-1),

整理得斯=3廝t，則衛(wèi)=3(n>2),

an-l

所以｛斯｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故A錯誤，

則數(shù)列｛廝｝是遞增數(shù)列，故B正確，

且an=3"T,S"=lxf'3n)=司舁，故61P正確.

故選：BCD.

IQ.BD

【分析】4求得直線口-機沙-2=0與c軸的交點即可；歷由直線與拋物線方程聯(lián)立，利用數(shù)量積運算

結(jié)合韋達定理求解即可；C：設(shè)的中點為M(xo,泱),表示以|為直徑的圓的方程為(①—3)2+

(夕一為)2=號上求解；D：由重心的坐標公式求解.

4易知直線族—政一2=0與c軸交于點(2,0),即F(2,0),所以號=2,解得p=4,故A錯誤；

B：由選項_4知拋物線。:娟=8力,設(shè)4(力1,如,_8(力2,仍)，

由『二一.片。,得]6=。,所以卜什納二泮

iy=82-16

得xrx2—(%"=4,所以O(shè)A,=2巡2+明。2=—12,故B正確；

[第6頁(共13頁)】

。:設(shè)AB的中點為則&='^匕=4m2+2,|48|=皿+工2+4=8機2+8,所以以|AB|為直

徑的圓的方程為（立-工J+（y-%了=粵匚，

即（a;—4m2—2）2+（y—4m）2=16m4+32m2+16,設(shè)該圓與"軸交Rg,%）,。（窗,％），令力=0,得好―

8my-12=0,所以為+陰=8m,y3y4=-12,

所以I統(tǒng)一詞=/（陰+統(tǒng)）2-47統(tǒng)=V64m2+48=4V4m2+3,

所以以|AB|為直徑的圓被y軸所截的弦長為4VW+3,不是定值，故。錯誤.

D：由選項B知AOAB的重心的橫坐標為°+『2=館叫納）+4=8m1+4>4,

OOOO

當(dāng)且僅當(dāng)館=0時，等號成立，故。正確；

故選：BD

11.ABC

【分析】對A,根據(jù)遞推公式即可判斷;對8利用時-=冊+2—廝判斷；。利用數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合斐波那契

數(shù)列的前幾項和即可判斷;對。，根據(jù)遞推公式，即可判斷.

又寸A.:G>i—1,0>2=1，0>n~~Q-n-l+。九—2（九>3,九GNQ,

所以。3=。2+=2，*=。3+電=3，恁=。4+。3=5，

期二。5+。4=8,故A正確；

對8：由Q九+2=G'n+1+Q九，

可得％+1=。n+2—%，

?，?的+。3+。5T----卜。2021

=?+（。4—電）+（。6—。4）H-----H（。2022—。202。）

=?+。4—。2+。6—。4+…+。2022—。2020

=—電+0-2022

=1—1+0-2022

=。2022,故B正確；

對。：廝=an-i+冊_2（九>3,GN+）,

=a

可得冊+2n+i+Q/i=2a九+an-i=3a九一％一2，

即有3%=an-2+an+2,（九>3）,故。正確；

對于。：。2+。4+a6H----F（12024=Q1+（。2+。3）+（。4+。5）H-----H（電022+。2023）=52023，故。不正確.

故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查斐波那契數(shù)列的遞推公式，以及其偶數(shù)項和奇數(shù)項的和的求解;處理問題的

關(guān)鍵是通過遞推公式，找到相鄰項的和與差的關(guān)系

12.2

【分析】根據(jù)兩點間距離公式得到|PB|,然后利用勾股定理求\AP\即可.

由題意得圓。的圓心坐標5（1,2）,半徑r=4,BA，AP,

【第7頁（共13頁）】

則爐日=上1—1）2+（—2—2）2=2西，

所以|AP|=J|FBF—r2=2.

故答案為：2.

13.2

【分析】根據(jù)|。制為半徑作圓號得到加月，AYa從而AMF,F2=30°,不妨設(shè)M在第一象限則

”c,乎c），然后根據(jù)點刊在漸近線y="上求解.

因為颯，朋|峭|=、㈤￡|=c,

所以乙MEE=30°,

因為點M■在漸近線y-^-x上,

所以2=V3,

a

所以e=Jl+（￡）=2.

故答案為：2

【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

14.8V2

【分析】設(shè)直線AB的方程為x=my+^,（東仇），由條件結(jié)合設(shè)而不求法確定m,p的關(guān)

系，由此確定結(jié)論.

過點F的斜率為0的直線與拋物線有且只有一個交點,不滿足要求，

故可設(shè)直線人晶一g+5，代入拋物線方程，

消元可得y2—2Pmy-p2=0,

設(shè)"（為'%'8（嗇'紡卜則y1y2=一元?1+92=2Pm,

,li/il=y(2p+^)*1如=8,

S^BFN--^\BN\-|例|=2(第+§)?⑸=4,

,2.2

S^AFM?SgFN~+今+［（優(yōu)+澧）?底的

=^-(m2+l),

2

于是S^AFM-SABFN=與(m+l)=8X4=32,即?n?+1=,

4P，

?'?SZWFN=1陰—%I=晉］(yi+yj-4ylyz=p2Vm2+i==8V2.

故答案為：8A/2.

【第8頁（共13頁）】

15.（l）2a;+y-3=0.

（2）單調(diào)減區(qū)間是（0,2）,單調(diào)增區(qū)間是（四,+oo）.

【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)r（M，計算導(dǎo)數(shù)r（i）得切線斜率,再求得AD后由點斜式得切線方程并整理成一

般式；

（2）由f（x）>0得增區(qū)間，由以x）V0得減區(qū)間.

【小問1詳解】

⑺=2c—5,r⑴=2—4=—2,又/⑴=1,

所以切線方程為y—1=—2（/—1）,即2力+沙一3=0.

【小問2詳解】

/⑺—X1—41113；,定義域是（0,+00）,

/，（⑴=21—*=2.一丹（,+方）,

當(dāng)o</<四時,/（2）<o,當(dāng),>四時,/3）>o,

所以于㈤的單調(diào)減區(qū)間是（0,V2），單調(diào)增區(qū)間是（2,+00）.

16.（l）a?=2n

（2）證明見解析

【分析】⑴先求出數(shù)列｛Sn+2｝的通項，再根據(jù)冊與S”的關(guān)系結(jié)合｛?｝是等比數(shù)列,即可得解；

（2）利用裂項相消法求解即可.

【小問1詳解】

因為數(shù)列｛S“+2｝是公比為2的等比數(shù)列,

又Si+2=ai+2,所以％+2=4+2)?21.

當(dāng)九>2時，由S0+2=(%+2)-2"T,得S“T+2=(%+2)

兩式相減得an=(%+2)?2m>2),

又｛冊｝是等比數(shù)歹U,所以詈=篙=2,所以勺2=2,解得a1=2,

所以冊=2"（n>2），當(dāng)?2=1時上式成立，

所以冊=2九；

【小問2詳解】

由⑴知心=/Zn+2=1_________1

n(n+l)-2n+1-n?2九一(n+l)-2n+1

所以黑二仇+慶+匕34----Fbn

1—1-------,---...1........-I---1-------,--,-----,-----1-I—I—???—I-------1----------------------

22nn+1

1x22X22X23X23n-2(n+l)-2

二11

―2—(n+l)-2"+1'

［第9頁（共13頁）】

又g+>0，所以建<'?

17.（1）證明見解析

⑵（

Q

⑼42

【分析】（1）取點河為S4的中點，連接MB,MF,由已知可證得四邊形同CB為平行四邊形，則

〃F。，即可證得CF〃平面SAB；

（2）由已知可得平面S4。，平面ABCD,進而平面S4。，則直線SB與平面S4。所成角為

/BS4,設(shè)AB=BC=a,則力E=2a,可得SB=VAB2+SA2=3a,即可求得直線SB與平面SAD所成角

的正弦值；

（3）在（2）的條件下,建立空間直角坐標系，求出平面SAB的一個法向量,平面SCD的一個法向量，則利用

向量法求得平面S/LB與平面SCD所成角的余弦值.

【小問1詳解】

取點M為SA的中點，連接MB,MF,

因為點尸為SE的中點，所以

又因為=AE=2ED,

又BC〃入E,則3。=2人后，

所以MF//BC,MF=BC,

所以四邊形，CB為平行四邊形，所以MB〃FC,

又MBU平面SAB,平面SAB,

所以CF〃平面SAB.

【小問2詳解】

因為SE_L平面ABCD,SEU平面SAD,所以平面SAD±平面ABCD,

又AB_LAD,平面SADA平面ABCD=4D,所以AB_L平面SAD,

所以直線SB與平面SAD所成角為/BSA,

設(shè)AB=BC=a，則AE=2a,

因為/SAD=45°,又SE_LAD,

22

所以SE=A石=2Q,SA=2V2a,SB=VAB+SA=3a,

所以sm/LBSA=個］=，

*S±>3Q3

所以直線SB與平面SA。所成角的正弦值為日.

O

【小問3詳解】

在（2）的條件下，以A為坐標原點，AB所在直線為啰軸，人。所在直線為y軸,過點A作平行于SE的直

線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系，

【第10頁（共13頁）】

ZkS

4(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),S(0,2Q,2Q),

AB=(a,0,0),AS=(0,2a,2a),CS=(—a,a,2a)，CD=(—a,2a,0)，

設(shè)平面SAB的一個法向量為nr=（劣,

唯交，即凰工…令…，所以…

設(shè)平面SCD的一個法向量為n2=（劣2,92,出）,

索&即

則亶碟普e-，所以六（2,舄），

九1?八2

設(shè)平面V42

SAB與平面SCD所成的角為仇則cos。=~12~

所以平面&4B與平面SCD所成角的余弦值為史.

個2

18.⑴亍+5=1

⑵⑴%—g—1=0或力+g—1=0；（ii）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)條件，利用橢圓的定義可得點Q的軌跡是以E,后為焦點，4為長軸的橢圓,即可求解；

⑵⑴根據(jù)條件設(shè)l:x—my+1,461,%）,_6（宏2,例），聯(lián)立直線與橢圓方程得到（3m2+4）婿+6my—9=0,

從而有△=144（館2+1）>0,再利用s40AB=春Q剛%—前=學(xué)?斗=學(xué)，即可求解；⑻假設(shè)存

N3m+4（

在A/（t,0）滿足題意,從而得kMA,kMB=..期+館（］_，；：+夕）+（1釬再利用⑴中結(jié)果，可得出兇心

kMB=W（資―1J+4（1T）2'從而得到-±2，即可求解?

【小問1詳解】

因為IQEI=IQPI，所以IQ為+\QFX\=\QP\+\QF{\=|P劇=4>㈤制=2,

所以點Q的軌跡是以耳,￡為焦點，長軸為4的橢圓，

又2a=4,2c=2,得到a=2,c=1,所以〃=&2—02=3,

由題可知點Q的軌跡E的方程為4+程=1.

【小問2詳解】

子2<7/2

⑴由⑴知E：才+*=1,砥1,0）,易知直線Z的斜率不為0,設(shè)直線l:x=my+1,4（劣（劣2,紡）,

4O

(62y2

由(4+3—1,消力得到(3M2+4)舅+6mg—9=0,

[x=my-\-l

則△=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0,由韋達定理知％+勿=，幼統(tǒng)=7—Mr

3m24-43m2+4

［第11頁（共13頁）】

42

所以S^OAB=-^-\OF^\\y1—y2\=x1x，整理得到18m—m—17=0,

NN3m2+4(

解得77?=1或7n2=—舍去)，所以山二土］,

lo

故直線AB的方程為re—y—1=0或立+9一1=0.

（位）假設(shè)存在加■（力,0）滿足題意,

則卜.卜=%.重=_________幽_________=______________y曲

MAMB2

'X1-tx2-t(myx+1-1)(my2+1-i)rr^y^+m(1-1)(yj+T/2)+(1-i)

所以％,=_______________37n2+