自動控制原理朱亞萍zhuyp@杭州電子科技大學自動化學院第七章線性離散系統的分析7.1離散系統的基本概念7.2信號的采樣與保持7.3z變換理論7.4離散系統的數學模型7.5離散系統的穩定性和穩態誤差7.6離散系統的動態性能分析7.1離散系統的基本概念一、基本概念連續時間系統：控制系統中的所有信號都是時間變量的連續函數。離散時間系統：控制系統中有一處或幾處信號是一串脈沖或數碼。采樣控制系統：離散信號是脈沖序列；數字控制系統：離散信號是數字序列。數字控制系統也稱為計算機控制系統。二、采樣控制系統一般來說，采樣系統是對來自傳感器的連續信號在某些規定的時間瞬時上取值。如果在有規律的間隔上，系統取到了離散信息，則這種采樣稱為周期采樣。如果信息之間的間隔是時變的或隨機的，則稱為非周期采樣或隨機采樣。本章僅討論周期采樣。如果系統中有幾個采樣器，則假定它們是同步等周期的。例7-1

下圖是爐溫采樣控制系統原理圖。圖7-1爐溫采樣控制系統原理圖工作原理如下：當爐溫θ偏離給定值時，測溫電阻的阻值發生變化，使電橋失去平衡，這時檢流計指針發生偏轉，其偏轉角度為s。檢流計每隔T秒與電位器接觸一次，每次接觸時間為τ，即T為采樣周期，τ為采樣持續時間。當爐溫連續變化時，電位器的輸出是一串寬度為τ的脈沖信號eτ*(t)，如圖7-2所示,eτ*經放大器、電動機及減速器去控制閥門開度φ，以改變加熱氣體的進氣量，使爐溫趨于給定值。圖7-2電位器的輸出電壓只有當檢流計的指針與電位器接觸時，電動機才在采樣信號作用下產生旋轉運動，進行爐溫調節；而在檢流計與電位器脫開時，電動機就停止不動，保持一定的閥門開度，等待爐溫緩慢變化。因此，電動機時轉時停，使調節過程中超調現象大為減小，甚至在采用較大開環增益情況下，不但能保證系統穩定，而且能使爐溫調節過程無超調。爐溫控制過程中，如果采用連續控制方式，則無法解決控制精度與動態性能之間的矛盾。因為爐溫調節是一個大慣性過程，當加大開環增益以提高控制精度時，由于系統的靈敏度相應提高，在爐溫低于給定值的情況下，電動機將迅速增大閥門開度，給爐子供應更多的加熱氣體，但爐溫上升緩慢，在爐溫升到給定值時，電動機已將閥門的開度開得更大了，從而爐溫繼續上升，結果造成反方向調節，引起爐溫振蕩性調節過程。在爐溫高于給定值的情況下，具有類似調節過程。圖7-3采樣控制系統典型結構圖在采樣控制系統中，把連續信號轉換為脈沖序列的過程稱為采樣過程，簡稱采樣。實現采樣的裝置采樣器，或采樣開關。在采樣控制系統中，把脈沖序列轉換為連續信號的過程稱為信號復現過程。實現復現過程的裝置保持器。以數字計算機為控制器去控制具有連續工作狀態的被控對象的閉環控制系統。采樣開關的功能是通過計算機程序來實現的。模擬信號經A/D采樣器轉換后，不僅在時間上離散，在幅值上也是離散的，稱為數字信號。圖7-4

計算機控制系統典型原理圖三、數字控制系統假定所選擇的A/D轉換器有足夠的字長來表示數碼，量化單位足夠小，所以由量化引起的幅值斷續性可以忽略。假定編碼過程是瞬時完成的，可用理想脈沖的幅值等效代替數字信號的大小，則A/D轉換器可以用周期為T的理想開關來代替。同理，D/A轉換器可以用保持器代替，其傳遞函數為Gh(s)。數字控制器的功能是按照一定的控制規律將采樣后的誤差信號加工成所需要的數字信號，并以一定的周期T給出運算后的數字信號，因此可以等效為一個傳遞函數為Gc(s)的脈沖控制器與一個周期為T的理想開關相串聯。令被控對象的傳遞函數為G0(s)，測量元件的傳遞函數為H(s)，則圖7-4的等效采樣系統結構圖如圖7-5所示。圖7-5

數字控制系統典型結構圖四、離散控制系統的特點由數字計算機構成的數字校正裝置，效果比連續式校正裝置好，且由軟件實現的控制規律易于改變，控制靈活。采樣信號，特別是數字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提高了系統的抗干擾能力。允許采用高靈敏度的控制元件，以提高系統的控制精度。可用一臺計算機分時控制若干個系統，提高了設備的利用率，經濟性好。對于具有傳輸延遲，特別是大延遲的控制系統，可以引入采樣的方式穩定。7.2信號的采樣與保持一、采樣過程圖7-6實際采樣過程采樣器（采樣開關）：把連續信號變換為脈沖序列的裝置。采樣過程：可以用如圖7-6所示的一個周期性閉合的采樣開關S來表示。采樣開關每隔T秒閉合一次，閉合的持續時間為τ。考慮到采樣開關的閉合時間τ非常小，一般遠小于采樣周期T和系統連續部分的最大時間常數。因此，可以認為τ=0，采樣器就可以用一個理想采樣器來代替。圖7-7理想采樣過程（7-1）輸入模擬信號經過理想采樣器的過程相當于調制在載波上的結果，各脈沖強度（即面積）用其高度表示，且為相應采樣時刻e(t)的幅值故式（7-1）可改寫為采樣開關的周期性動作相當于產生一串理想脈沖序列：因為只在采樣瞬間時才有意義，故上式也可寫成(7-2)(7-3)二、采樣過程的數學描述1.采樣信號的拉氏變換對采樣信號e*(t)的拉氏變換，可得根據拉氏變換的位移定理，有所以，采樣信號e*(t)的拉氏變換(7-4)(7-5)說明：上式可以直接看出e*(t)的時間響應，但由于e*(t)只描述了e(t)在采樣瞬時的數值，所以E*(s)不能給出連續函數e(t)在采樣間隔之間的信息；如果e(t)是一個有理函數，則無窮級數E*(s)也總是可以表示成eTs的有理函數形式；在求E*(s)的過程中，初始值通常規定采用e(0+)。例7-2

設e(t)=1(t)，試求e*(t)的拉氏變換。解由式（7-5），有這是一個無窮等比級數，公比為e-Ts,求和后得閉合形式顯然，E*(s)是eTs的有理函數。例7-3

設e(t)=e-t－e-2t，試求e*(t)的拉氏變換。解對于給定的e(t)，顯然有而由式（7-5），可得上述分析表明：只要E(s)可以表示為s的有限次多項式之比時，總可以得到E*(s)的閉合形式。如果用拉氏變換法研究離散系統，盡管可以得到eTs的有理函數，但卻是一個復變量s超越函數，不便于進行分析和設計。為了克服這一困難，通常采用z變換法研究離散系統。z變換可以把離散系統的s超越方程變換為變量z的代數方程。2.采樣信號的頻譜由于采樣信號的信息并不等于連續信號的全部信息，所以采樣信號的頻譜與連續信號的頻譜相比，會發生變化。研究采樣信號的頻譜，目的是找出E*(s)與E(s)之間的相互聯系。理想單位脈沖序列δT(t)是一個周期函數，可以展開為如下傅氏級數形式：式中ωs=2π/T，為采樣角頻率；cn是傅氏系數，其值為(7-6)由于在[-T/2，T/2]區間中，δT(t)僅在t=0時有值，且所以將式（7-7）代入（7-6），得(7-7)(7-8)上式兩邊取拉氏變換，由拉氏變換的復數位移定理得再把式（7-8）代入（7-1），有上式中，如果E*(s)沒有右半s平面的極點，則可令s=jω，得到采樣信號e*(t)的傅氏變換：(7-9)(7-10)(7-11)一般說來，連續信號e(t)的頻譜|E(jω)|是單一的連續頻譜，如圖7-8所示，其中ωm為連續頻譜|E(jω)|中的最大角頻率。采樣信號e*(t)的頻譜|E*(jω)|是以采樣角頻率的ωs為周期的無窮多個頻譜之和，如圖7-9所示。n=0的頻譜稱為采樣頻譜的主分量，它與連續頻譜|E

(jω)|形狀一致，僅在幅值上變化了1/T倍；其余頻譜都是由于采樣而引起的高頻頻譜，稱為采樣頻譜的補充分量。圖7-8連續信號頻譜圖7-9采樣信號頻譜(ωs>2ωm)圖7-10采樣信號頻譜(ωs=2ωm)ωm-ωm0ωs-ωsωm-ωm0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωs圖7-11采樣信號頻譜(ωs<2ωm)圖7-10為ωs=2ωm時的采樣信號頻譜。當ωs<2ωm時，采樣頻譜中的補充分量相互交疊，致使采樣器輸出信號發生畸變，如圖7-11所示。三、香農采樣定理香農采樣定理:如果被采樣的連續信號e(t)的頻譜為有限寬，且頻譜的最大寬度為ωm

，則使連續信號e(t)可以不失真地從采樣信號e*(t)中恢復出來的采樣角頻率ωs

滿足下列條件：(7-12)在滿足香農采樣定理的條件下，要想不失真地復現采樣器的輸入信號，需要采用圖7-12所示的理想濾波器。圖7-12理想濾波器的頻率特性理想的低通濾波器在物理上是不可實現的，在實際應用中只能用非理想的低通濾波器來代替理想的低通濾波器。四、采樣周期的選擇采樣周期T選得越小，即采樣頻率ωs選得越高，對控制過程的信息便獲得越多，控制效果越好。采樣周期選得過小，將增加不必要的計算負擔，造成實現較復雜控制規律的困難；采樣周期選得過大，又會給控制過程帶來較大誤差，降低系統的動態性能，甚至有可能導致整個控制系統失去穩定。工程實踐表明，根據表7-1給出的參考數據選擇采樣周期T，可以取得滿意的控制效果。表7-1工業過程采樣周期T的選擇控制過程采樣周期T/s流量1壓力5液面5溫度20成分20五、保持器

連續信號經過采樣器后轉換成離散信號，經由脈沖控制器處理后仍然是離散信號，而采樣控制系統的連續部分只能接收連續信號，因此需要保持器來將離散信號轉換為連續信號。1.保持器的數學描述保持器是具有外推功能的元件。保持器的外推作用，表現為現在時刻的輸出信號取決于過去時刻離散信號的外推。通常，采用如下多項式外推公式描述保持器：(7-13)上式表示，現在時刻的輸出e(nT+Δt)值，取決于Δt=0，－T，－2T，…，－mT各過去時刻的離散信號e*

(nT)，e*

[(n－1)T]，e*

[(n－2)T],…,e*

[(n－m)T]的(m+1)個值。ai(i=0，1，2，…，m)唯一地由過去各采樣時刻(m+1)個離散信號e*

[(n－i)T]來確定。若取m=0，則稱零階保持器；若取m=1，則稱一階保持器。在工程實踐中，普遍采樣零階保持器。零階保持器是一種按常值外推的保持器，它把前一采樣時刻nT的采樣值e(nT)一直保持到下一個采樣時刻(n+1)T到來之前，從而使采樣信號e*(t)變成階梯信號。2.零階保持器零階保持器的外推公式為：顯然，Δt=0時，上式也成立。所以從而，零階保持器的數學表達式為：(7-14)圖7-13零階保持器的輸入和輸出信號的關系零階保持器的輸入和輸出信號的關系如圖7-13所示。

可見，零階保持過程是由于理想脈沖e(nT)δ(t－nT)的作用結果。上式取拉氏變換，可得零階保持器的傳遞函數：圖7-14零階保持器的單位脈沖響應如果給零階保持器一個理想單位脈沖δ(t)，則其脈沖過渡函數gh(t)是幅值為1持續時間為T的矩形脈沖，并可分解為兩個單位階躍函數的和：(7-15)令式(7-15)