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文檔簡介
40第7章圓之內外心綜合
一、單選題
1.10個大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內,A、B、C、D、E、。均是正六
邊形的頂點.則點。是下列哪個三角形的外心().
A.AAEDB.Z\ABDC.ZxBCDD.AACD
2.已知等邊三角形ABC.如圖,
(I)分別以點A,B為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點;
2
(2)作直線MN交于點。;
(2)分別以點A,c為圓心,大于^AC的長為半徑作弧,兩弧相交于“,L兩點;
2
(3)作直線乩交AC于點E;
(4)直線MV與直線乩相交于點。;
(5)連接。1,OB,OC.
根據以上作圖過程及所作圖形,下列結論:①OB=2OE;?AB=2OA;③。4=OB=OC;④/。?!?120。,
正確的是()
3.如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,AAO3為尺公,點A的坐標是(1,0),ZBAO=60°,把
心AAO5繞點A按順時針方向旋轉90°后,得到處/必。?,則H/AAOE的外接圓圓心坐標是()
ni+⑸
C.D.
2,2
\7
4.已知等邊三角形的周長為6,則它的內切圓和外接圓組成的圓環面積為()
A.6兀B.3兀C.兀D.2兀
5.如圖,扇形A。。中,ZAOD=90°,Q4=6,點P為弧A。上任意一點(不與點A和D重合),PQLOD
于Q,點/為△OP。的內心,過O,/和。三點的圓的半徑為八則當點P在弧上運動時,廠的值滿足
()
A.0<r<3B.r=3c.3<r<372D.r=342
二、填空題
6.如圖,。。是AABC的外接圓,ABAC=45°,AD,3c于點。,延長AD交0。于點E,若BD=4,
CD=l,則。上的長是.
7.△ABC內接于O。,且A3=4。,點。到3c的距離為3,圓的半徑為5,則的長是—.
8.如圖,AB是。。的直徑,且42=4,點C是半圓AB上一動點(不與A,8重合),CD平分NACB交。。
于點。,點/是AABC的內心,連接BO.下列結論:
①點D的位置隨著動點C位置的變化而變化;
②ID=BD;
③a的最小值為0—1;
@AC+BC=^2CD.
其中正確的是.(把你認為正確結論的序號都填上)
c
B
D
9.如圖所示的網格由邊長為1個單位長度的小正方形組成,點A、B,C、在直角坐標系中的坐標分別為
(3,6),(-3,3),(7,—2),則△ABC內心的坐標為
10.若三角形的三邊長分別是6、8、10,則這個三角形的內心與外心之間的距離為
三、解答題
11.問題提出
(1)如圖①,在AABC中,AB=AC=IO,8c=12,點。是△ABC的外接圓的圓心,則的長為
問題探究
(2)如圖②,已知矩形ABC。,AB=4,AZ)=6,點E為的中點,以BC為直徑作半圓O,點尸為半圓
。上一動點,求£、尸之間的最大距離;
問題解決
(3)某地有一塊如圖③所示的果園,果園是由四邊形ABC。和弦C8與其所對的劣弧場地組成的,果園主
人現要從入口。到上的一點尸修建一條筆直的小路。P.已知AO〃BC,ZA£)B=45°,80=120夜米,
BC=160米,過弦BC的中點E作成U8C交BC于點孔又測得EF=40米.修建小路平均每米需要40
元(小路寬度不計),不考慮其他因素,請你根據以上信息,幫助果園主人計算修建這條小路最多要花費多
少元?
12.如圖,ZA=ZB,=點。在AC邊上,Zl=Z2.
(1)求證:AAEC2ABED;
(2)若NC=75。,求NAEB的度數;
(3)若NAEC=90°,當AAEC的外心在直線QE上時,CE=2,求AE的長.
13.如圖,半圓D的直徑AB=6,線段OA=10,。為原點,點B在數軸的正半軸上運動,點B在數軸上
所表示的數為m.
(1)當半圓D與數軸相切時,求m;
(2)半圓D與數軸有兩個公共點,設另一個公共點為C,
①直接寫出m的取值范圍是;
②當半圓D被數軸截得的弦長為3時,求半圓D在△AOB內部的弧長;
(3)當AAOB的內心、外心與某一個頂點在同一條直線上時,求cos/AOB的值.
14.如圖,在NDAM內部做RSABC,AB平分/DAM,ZACB=90°,AB=10,AC=8,點N為BC的
中點,動點E由A點出發,沿AB運動,速度為每秒5個單位,動點F由A點出發,沿AM運動,速度為
每秒8個單位,當點E到達點B時,兩點同時停止運動,過A、E、F作。O.
備用圖1備用圖2
(1)判斷△AEF的形狀為,并判斷AD與。O的位置關系為;
(2)求t為何值時,EN與。O相切,求出此時OO的半徑,并比較半徑與劣弧AE長度的大小;
(3)直接寫出AAEF的內心運動的路徑長為;(注:當A、E、F重合時,內心就是A點)
(4)直接寫出線段EN與。O有兩個公共點時,t的取值范圍為.
3324247
(參考數據:sin37°=-,tan370=-,tan74°~—,sin74°--~■,cos74°=一)
5472525
15.如圖,已知△A6C,NA=60。,△ABC的內切圓/分別切邊A5,AC于點直線。石分別與直線
5/,C/相交于點尸,G.求證:FG=-BC.
2
16.如圖,AB為。。的直徑,點C為AB下方的一動點,連結0C,過點。作OOLOC交8C于點。,過
點C作的垂線,垂足為R交。。的延長線于點E.
(1)求證:EC=ED.
(2)當OE=OD,AB=4時,求OE的長.
0E
(3)設---------XtanB=y.
ED
①求y關于x的函數表達式;
②若△COD的面積是△80。的面積的3倍,求y的值.
17.如圖,。。為AA8C的外接圓,直線與。。相切于點C,眩BD〃MN,AC與8。相交于點E.
(1)求證:ZCAB=ZCBD;
(2)若8C=5,BD=8,求。。的半徑.
18.如圖,四邊形ABCD內接于。O,且對角線ACLBD,垂足為點E,過點C作CFLAB于點F,交BD
于點G.
(1)如圖①,連接EF,若EF平分/AFG,求證:AE=GE;
3
(2)如圖②,連接CO并延長交AB于點H,若CH為/ACF的平分線,AD=3,且tan/FBG=—,求線
4
段AH長
19.如圖,在AABC中,AB=AC。是底邊3c上一點,E是線段AD上一點,且
ZBED=2/CED=ZA.
求證:BD=2CD.
20.如圖所示,0。為△ABC的外接圓,BC為直徑,AD平分NBAC交。。于D,點M為△ABC的內心,
DM=5&,AB=8,求0M的長.
40第7章圓之內外心綜合
一、單選題
1.10個大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內,A、B、C、D、E、。均是正六
邊形的頂點.則點。是下列哪個三角形的外心().
A.AAEDB.ZxABDC.ZxBCDD.AACD
【答案】D
【分析】根據三角形外心的性質,到三個頂點的距離相等,可以依次判斷.
【詳解】答:因為三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等,所以由正六邊形性質可知,點O到A,B,
C,D,E的距離中,只有OA=OC=OD.
故選:D.
【點評】此題主要考查了三角形外心的性質,即到三角形三個頂點的距離相等.
2.已知等邊三角形A8C.如圖,
(I)分別以點A,B為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點;
2
(2)作直線交于點。;
(2)分別以點A,c為圓心,大于LAC的長為半徑作弧,兩弧相交于H,L兩點;
2
(3)作直線乩交AC于點E;
(4)直線MN與直線HL相交于點O;
(5)連接OA,OB,OC.
根據以上作圖過程及所作圖形,下列結論:①OB=2OE;②AB=20A;?OA=OB=OC-④NDOE=120°,
正確的是()
A.①②③④B.①③④C.①②③D.③④
【答案】B
【分析】根據等邊三角形的性質,三角形的外心,三角形的內心的性質一一判斷即可.
【詳解】解:由作圖可知,點。是△ABC的外心,
,/AABC是等邊三角形,
點。是△ABC的外心也是內心,
:.OB=2OE,0A=OB=OC,
ZBAC=6Q°,ZADO=ZA£O=90°,
AZDOE=180°-60°=120°,
故①③④正確,
故選:B.
【點評】本題考查作圖-復雜作圖,線段的垂直平分線的性質,等邊三角形的性質等知識,解題的關鍵是熟
練掌握基本知識,屬于中考常考題型.
3.如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,AAOB為咫A,點A的坐標是(1,0),ZBAO=60°,把
HfAAOB繞點A按順時針方向旋轉90°后,得到處AAOE,則&AACXB'的外接圓圓心坐標是()
ni+⑸
D.
\27
【答案】A
【分析】取AB,中點P,過點P分別作PELx軸,根據旋轉的性質可得AB=AB,,/BAB,=90。,ZB'O'A
=NBOA=90。,先說明H/AAOE的外接圓圓心為點P,再利用點A的坐標是(1,0),ZBAO=60°,求
得AB長,進而可得AB,的長,在求得/PAE=30。,在RtAPAE中,利用30。角的性質及勾股定理即可求得
答案.
【詳解】解:如圖,取AB,中點P,過點P分別作PELx軸,垂足為點E,連接PO,,
:把如AAO5繞點A按順時針方向旋轉90°后,得到RtAACfB',
.\AB=AB',ZBAB'=90°,ZB'O'A=ZBOA=90°,
;點P為AB,的中點,
1
.\PA=PB'=PO'=—AB',
2
RiAAOB'的外接圓圓心為點P,
VZBAO=60°,ZAOB=90°,
???NABO=90。一NBAO=30。,
.*.OA=—AB,
2
???點A的坐標為(1,0),
AOA=1,
???AB'=AB=2OA=2,
APA=—ABf=l,
2
VZBAB'=90°,ZBAO=60°,
???ZPAE=180°-ZBAB'-ZBAO=30°,
11
.PE=_PA=—
2
.?.在RtAPEA中,AE=\IPA2-PE2=
(61、
???點p的坐標為1+-^-?—
【點評】本題考查了含30。角的直角三角形的性質、勾股定理,直角三角形的外接圓等相關知識,熟練掌握
含30。角的直角三角形的性質及勾股定理是解決本題的關鍵.
4.已知等邊三角形的周長為6,則它的內切圓和外接圓組成的圓環面積為()
A.6兀B.3兀C.7iD.2兀
【答案】C
【分析】根據題意畫出圖形,由等邊三角形的周長為6,可得BC=2,設點D為BC邊與內切圓的切點,連
接AD,則ADLBC,可得BD=DC=,BC=1,再根據勾股定理可得OB?-OD2=BD2=1,再根據S圓環
2
=S外接圓-S內切圓即可得結論.
【詳解】解:如圖,
;等邊三角形ABC的周長為6,
:.BC=2,
設點D為BC邊與內切圓的切點,
連接AD,貝IJADLBC,
.*.BD=DC=—BC=1,
2
在RtABOD中,根據勾股定理,得
OB2-OD2=BD2=1,
,,S外接圓-S內切gi
=OB2TT-0D?兀
=BD2兀
—n.
故選:C.
【點評】本題考查三角形的外接圓與內切圓,掌握正三角形的外接圓與內切圓半徑求算是解題關鍵.
5.如圖,扇形AOO中,Z4OD=90。,0A=6,點P為弧上任意一點(不與點A和D重合),PQLOD
于Q,點/為△OPQ的內心,過O,/和。三點的圓的半徑為廠.則當點P在弧上運動時,廠的值滿足
ooD
A.0<r<3B.r=3C.3<r<372D.r=342
【答案】D
【分析】連OI,PI,DL由AOPH的內心為I,可得到/PIO=18(r-/IPO-NIOP=:180。-^-(ZHOP+ZOPH)
2
=135°,并且易證△OPIg^ODL得到/DIO=NPIO=135。,所以點I在以OD為弦,并且所對的圓周角為
135。的一段劣弧上;過D、I、0三點作。0—如圖,連0D,0'0,在優弧A0取點P,連PD,Pf0,可得
/DP'O=180°-135°=45°,得/D0'0=90°,0'0=3亞.
【詳解】解:如圖,連OLPLDL
,?AOPH的內心為I,
AZI0P=ZI0D,ZIPO=ZIPH,
二ZPIO=180°-ZIPO-ZIOP=180°-—(ZHOP+ZOPH),
2
而PH_LOD,即NPHO=90。,
/.ZPIO=180°-—(ZHOP+ZOPH)=180°--(180°-90°)=135°,
22
在^OPI^AODI中,
IO=IO
<ZPOI=ZDOI,
OD=OP
.,.△OPI^AODI(SAS),
.\ZDIO=ZPIO=135°,
所以點I在以OD為弦,并且所對的圓周角為135。的一段劣弧上;
過D、I、O三點作。0、如圖,連0D,09,
在優弧DO取點P,連PD,P,O,
VZDIO=135°,
ZDP,O=180°-135°=45°,
:.ZDO'O=90°,而OD=6,
.?.OO,=DCT=3萬
,r的值為3亞,
故選D.
【點評】本題考查的是三角形的內切圓與內心,根據題意作出輔助線,構造出全等三角形是解答此題的關
鍵.
二、填空題
6.如圖,。。是AABC的外接圓,ABAC=45°,AD,3c于點。,延長AD交0。于點E,若5r)=4,
CD=l,則。石的長是.
A
【答案]/二5
2
【分析】連結OB,OC,OA,過。點作OFLBC于F,作OG_LAE于G,根據圓周角定理可得/BOC=90。,
根據等腰直角三角形的性質和勾股定理可得DG,AG,可求AD,再根據相似三角形的判定和性質可求DE.
【詳解】解:連結OB,OC,0A,過。點作OF_LBC于F,作OG_LAE于G,
?.?OO是^ABC的外接圓,ZBAC=45°,
.,.ZBOC=90°,
,.?BD=4,CD=1,
ABC=4+1=5,
.?.OB=OC=^^,
2
5/95
???OA=^^,OF=BF=—,
22
3
ADF=BD-BF=-,
2
35
:.OG=-,GD=一,
22
在R3AGO中,AG=J(M2_OG2=典,
2
???AD=AG+GD=向+5,
2
連接BE,AD與BE相交于D,
;./BED=/ACD,ZBDE=ZADC,
.,.△BDE^AADC,
BDDE
AD—CD
“BDCD4x1歷—5
DE=----------=—1=——=-----------
ADa—52
2
故答案為:中
【點評】考查了三角形的外接圓與外心,勾股定理,圓周角定理,等腰直角三角形的性質,相似三角形的
判定和性質,解題的難點是求出AD的長.
7.△ABC內接于O。,且A3=A。,點。到3c的距離為3,圓的半徑為5,則的長是.
【答案】4亞或2亞
【分析】如圖(見解析),過點A作于點D,先根據等腰三角形的判定與性質可得AD為BC的垂
直平分線,再根據三角形外接圓的性質可知圓心點O在直線AD上,然后分AABC為銳角等腰三角形和鈍
角等腰三角形兩種情況,分別利用勾股定理即可得.
【詳解】如圖,過點A作AD,3c于點D
-.-AB=AC
.?.△ABC為等腰三角形
.?.AD為BC的垂直平分線(等腰三角形的三線合一)
?.?△A3C內接于0。
???圓心點O在直線AD上
由題意得:OD=3,OA=OB—5
根據AABC的形狀,分以下兩種情況:
(1)如圖1,AABC為銳角等腰三角形
:.AD=OD+OA=3+5=8,BD=y/OB"-OD1=752-32=4
在RtAABD中,Afi=ylAD2+BD2=782+42=475
(2)如圖2,AABC為鈍角等腰三角形
,AD=6M-8=5-3=2,BD=\/OB2-OD2=A/52-32=4
在RtAAB。中,AB=VAD2+BD2=A/22+42=2^/5
綜上,AB的長為4君或2j?
故答案為:46■或2逐.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質、三角形外接圓的性質、勾股定理等知識點,利用三角形外
接圓的性質得出圓心點0的位置是解題關鍵.
8.如圖,A2是。。的直徑,且48=4,點C是半圓AB上一動點(不與A,3重合),CD平分/ACB交。0
于點。,點/是△ABC的內心,連接80.下列結論:
①點D的位置隨著動點C位置的變化而變化;
②ID=BD;
③a的最小值為四—1;
@AC+BC=y/2CD.
其中正確的是.(把你認為正確結論的序號都填上)
【答案】②④
【分析】①在同圓或等圓中,根據圓周角相等,則弧相等可作判斷;
②連接小,根據點/是AABC的內心,得到NAB/=NCB/,可以證得ZDBI=ADIB,即有m=
可以判斷②正確;
③當01最小時,C£)經過圓心。,作花,3C,根據等腰直角三角形的性質和勾股定理,可求出10=272-2,
可判斷③錯誤;
④用反證法證明即可.
【詳解】解:?.?CD平分N4c8,A8是。。的直徑,
:.ZACD=ZBCD=45,
AD=BD'
QAB是0。的直徑,
二。是半圓的中點,即點。是定點;
故①錯誤;
如圖示,連接/8,
丁點/是AA8C的內心,
:.ZABI=ZCBI
又ZABD=ZACD=45。,
NDBI=ZABD+ZABI=45+ZABI
ADIB=NDCB+ZCBI=45°+ZABI
即有ND5/=ND/B
ID=BD,
故②正確;
如圖示,當。/最小時,CD經過圓心。,
過/點,作/E,3C,交BC于E點、
c
?.,點/是△ABC的內心,CD經過圓心0,
IO=IE,
???ZBCD=^5°
:.AW是等腰直角三角形,
又,:AB=4,
:.IC=2,
設/O=x,則7E=CE=x,IC=2-x,
'?%2+%2=(2-%)2,
解之得:x=2逝-2,
即:10=2垃-2,
故③錯誤;
AC+BC>/2CD,
:點C是半圓AB上一動點,
則點C在半圓上對于任意位置上都滿足AC+BC^辰D,
如圖示,
c
當CD經過圓心。時,AC=BC=2四,CD=4,
AC+BC=2五+2近=4五=&CD
與假設矛盾,故假設不成立,
;?AC+BC=s/2CD
故④正確;
綜上所述,正確的是②④,
故答案是:②④
【點評】此題考查了三角形的內心的定義和性質,等腰直角三角形的判定與性質,三角形外接圓有關的性
質,角平分線的定義等知識點,熟悉相關性質是解題的關鍵.
9.如圖所示的網格由邊長為1個單位長度的小正方形組成,點A、B,C、在直角坐標系中的坐標分別為
(3,6),(—3,3),(7,-2),則AABC內心的坐標為.
【答案】(2,3)
【分析】根據A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系,計算出△ABC各邊的長度,易得該三角形是直
角三角形,設BC的關系式為:y=kx+b,求出BC與x軸的交點G的坐標,證出點A與點G關于BD對稱,
射線BD是/ABC的平分線,三角形的內心在BD上,設點M為三角形的內心,內切圓的半徑為r,在BD
上找一點M,過點M作MELAB,過點M作MFJ_AC,且ME=MF=r,求出r的值,在ABEM中,利用
勾股定理求出BM的值,即可得到點M的坐標.
【詳解】解:根據A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系,
根據題意可得:2222BC=22
AB=A/3+6=375>AC=74+8=4A/5>75+10=545'
AB-+AC2=BC。,
:.ZBAC=90°,
設BC的關系式為:y=kx+b,
代入B(—3,3),C(7,—2),
3=—3k+b
可得<
-2=7k+b
k=--
解得:\2,
b=-
[2
.13
?"BC:y=—x—,
.22
當y=0時,x=3,即G(3,0),
點A與點G關于BD對稱,射線BD是NABC的平分線,
設點M為三角形的內心,內切圓的半徑為r,在BD上找一點M,過點M作MELAB,過點M作MFLAC,
且ME=MF=r,
VZBAC=90°,
,四邊形MEAF為正方形,
SAABC二—ABxAC———ABxrH—ACxrH—BCxr,
2222
解得:r=5/5,
即AE=EM=V5>
:.BE=34后=2下,
BM=y]BE-+EM2=5,
VB(-3,3),
:.M(2,3),
故答案為:(2,3).
【點評】本題考查三角形內心、平面直角坐標系、一次函數的解析式、勾股定理和正方形的判定與性質等
相關知識點,把握內心是三角形內接圓的圓心這個概念,靈活運用各種知識求解即可.
10.若三角形的三邊長分別是6、8、10,則這個三角形的內心與外心之間的距離為.
【答案】V5
【分析】先說明三角形三邊是直角三角形,再根據直角三角形可確定三角形的外心在斜邊的中點和直角三
角形內切圓半徑公式確定內切圓的半徑,然后用勾股定理解答即可.
【詳解】解:如圖::三角形的三邊長為BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm
???三角形為直角三角形
,直角三角形的外心是斜邊的中點,即AD=BD=-AB=5
2
由直角三角形內切圓半徑公式:Q+Z?-C=6+8~10=2即OE=2
22
VOFXBC,OG±AC
.,.CF=CG=0F=0G=2,
;.BE=FB=4,BD=5
/.DE=BD-BE=1
在RtAODE中,DE=1,OE=2
???OD=y/DE2+OE2=A/F+2?=6?
故答案為b.
【點評】本題主要考查了勾股定理、直角三角形外心與內心有關知識,根據直角三角形的性質確定直角三
角形的內心和外心是解答本題的關鍵.
三、解答題
11.問題提出
(1)如圖①,在AABC中,AB=AC=10,BC=12,點。是△ABC的外接圓的圓心,則08的長為
問題探究
(2)如圖②,已知矩形ABC。,AB=4,AO=6,點E為的中點,以BC為直徑作半圓。,點尸為半圓
。上一動點,求E、尸之間的最大距離;
問題解決
(3)某地有一塊如圖③所示的果園,果園是由四邊形ABC。和弦CB與其所對的劣弧場地組成的,果園主
人現要從入口。到上的一點尸修建一條筆直的小路。P己知AO〃2C,NADB=45。,加>=120夜米,
8C=160米,過弦3c的中點E作EFL8C交于點孔又測得EP=40米.修建小路平均每米需要40
元(小路寬度不計),不考慮其他因素,請你根據以上信息,幫助果園主人計算修建這條小路最多要花費多
少元?
圖①圖②
【答案】(1)―;(2)E、尸之間的最大距離為7;(3)修建這條小路最多要花費(800+4000)元.
【分析】(1)若AO交BC于K,則AK=8,在RtaBOK中,設OB=x,可得x2=6?+(8-x)2,解方程
可得OB的長;
(2)延長EO交半圓于點P,可求出此時E、P之間的最大距離為OE+OP的長即可;
(3)先求出8C所在圓的半徑,過點D作DGLBC,垂足為G,連接DO并延長交于點P,則DP為
入口D到8c上一點P的最大距離,求出DP長即可求出修建這條小路花費的最多費用.
【詳解】(1)
/\
BKC
如圖,若AO交BC于K,
丁點0是△ABC的外接圓的圓心,AB=AC,
AAKXBC,BK=-BC=6,
2
?*-AK=^AB--AK2=8,
在RtABOK中,OB2=BK2+OK2,設OB=X,
x2—62+(8-x)2,
25
解得x=不,
4
25
???OB=——;
4
故答案為:—.
4
如圖,連接EO,延長EO交半圓于點P,可求出此時E、P之間的距離最大,
;在是任意取一點異于點P的P',連接OP',P'E,
EP=EO+OP=EO+OPr>EP\即EP>EP;
VAB=4,AD=6,
,EO=4,OP=OC=-BC=3,
2
.,.EP=OE+OP=7,
;.E、P之間的最大距離為7.
(3)
作射線FE交BD于點M,
VBE=CE,EF±BC,6c是劣弧,
BC所在圓的圓心在射線FE上,
假設圓心為0,半徑為r,連接OC,則OC=r,OE=r-40,BE=CE=-BC=80,
2
在RtAOEC中,r2=802+(r-40)2,
解得:r=100,
???OE=OF—EF=60,
過點D作DGLBC,垂足為G,
VAD//BC,NADB=45。,
.*.ZDBC=45O,
BD
在RtABDG中,DG=BG=~產二120,
V2
在RtABEM中,ME=BE=80,
AME>OE,
???點。在ABDC內部,
???連接DO并延長交BC于點P,則DP為入口D到BC上一點P的最大距離,
?..在上任取一點異于點P的點P',連接OP',P'D,
DP=OD+OP=OD+OP,>DP,,即DP>DP\
過點0作OH_LDG,垂足為H,則OH=EG=40,DH=DGHG=DG-OE=60,
?*-OD=>/OH2+DH2=20V13,
?*.DP=OD+r=20A/13+100,
,修建這條小路最多要花費40x(20^/13+100)=(800W+4000)元.
【點評】本題主要考查了圓的性質與矩形性質的綜合運用,熟練掌握相關方法是解題關鍵.
12.如圖,ZA=ZB,=點。在AC邊上,Zl=Z2.
(1)求證:AAEC貯ABED;
(2)若NC=75。,求NAEB的度數;
(3)若NAEC=90°,當AAEC的外心在直線。E上時,CE=2,求AE的長.
【答案】(1)見解析;(2)ZA£B=30°;(3)AE=243
【分析】(1)由三角形的外角的性質可得ZDCE=ZBDE,由“A4S”可證ABDE絲AACE;
(2)由全等三角形的性質可求DE=EC,ZBED=ZAEC,可得NEDC=NC=75°,即可求解;
(3)由直角三角形的外心是斜邊的中點,可得點。是AC的中點,可證△ECD是等邊三角形,可得ZC=60°,
即可求解.
【詳解】證明:(1);ZADE=N1+NDCE=N2+NBDE,且N1=N2,
:.ZDCE=ABDE,
VZA^ZB,AE=BE,
:.AAEC^ABED(AAS)
(2)-.-AAEC^ABE£),
:.DE=EC,ZBED=ZAEC,
.-.Z£DC=ZC=75°,
.?.Zl=180°-2x75°=30°,
?:NBED=ZAEC,
:.ZAEB=Z1=30°;
(3)vZAEC=90°,
.△AEC的外心是斜邊AC的中點,
?.?△AEC的外心在直線DE上,
二點。是AC的中點,
AD=CD=DE,
又;DE=EC,
CD=EC=DE,
.?.△ECD是等邊三角形,
,-.ZC=60°,
AE=J3EC=273.
【點評】本題考查了三角形的外接圓和外心,全等三角形的判定和性質,直角三角形的性質,等腰三角形
的判定和性質,靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.
13.如圖,半圓D的直徑AB=6,線段OA=10,0為原點,點B在數軸的正半軸上運動,點B在數軸上
所表示的數為m.
(1)當半圓D與數軸相切時,求m;
(2)半圓D與數軸有兩個公共點,設另一個公共點為C,
①直接寫出m的取值范圍是;
②當半圓D被數軸截得的弦長為3時,求半圓D在△AOB內部的弧長;
(3)當AAOB的內心、外心與某一個頂點在同一條直線上時,求cos/AOB的值.
【分析】(1)由切線的性質得出ABLOB,由勾股定理即可得答案;
(2)①半圓D與數軸相切時,只有一個公共點,此時m=8,當O、A、B三點在數軸上時,m=16或m=4,
即可得出答案;
②連接DC,證△BCD為等邊三角形,得出NBDC=60。,則/ADC=120。,由弧長公式即可得出答案;
(3)分兩種情況,由勾股定理和三角函數定義分別求解,即可得出答案.
【詳解】解:(1)當半圓D與數軸相切時,ABXOB,
由勾股定理得:m=VOA2-AB2=A/102-62=8,
故答案為:8;
(2)①???半圓D與數軸相切時,只有一個公共點,此時m=8,
當O、A、B三點在數軸上時,m=10+6=16或m=10-6=4,
二半圓D與數軸有兩個公共點時,m的取值范圍為:4WmW16且m,8,
故答案為:4勺把16且n#8;
②連接DC,如圖1所示:
圖1
當BC=3時,
;半圓D的直徑AB=6,
;.CD=BD=3,
AABCD為等邊三角形,
.\ZBDC=60°,
AZADC=120°,
nnr1OQy77-x3
半圓D在△AOB內部的弧長=j==2乃;
180180
(3)①當OB=AB時,內心、外心與頂點B在同一條直線上,
過點A作AHLOB于點H,如圖2所示:
設BH=x,
由勾股定理得:102一(6+X)2=62-X2,
7
解得:x=-,,
3
725
...OH=6+—=—
33
25
3_5;
cosZAOB==
OA106
②當OB=OA時,內心、外心與頂點O在同一條直線上,
過點A作AH_LOB于點H,如圖3所示:
設BH=x,
由勾股定理得:102_(10-x)』62-x2,
9
解得:X=-
941
???OH=10--=—
55
41
CH
cosZAOB=------
OA1050
5、41
綜上所述,cosZAOB的值為一或一.
65
【點評】本題是圓的綜合題目,考查了切線的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股
定理、三角函數定義、三角形的內心和外心以及弧長公式等知識;本題綜合性強,有一定難度.
14.如圖,在/DAM內部做RSABC,AB平分NDAM,ZACB=90°,AB=10,AC=8,點N為BC的
中點,動點E由A點出發,沿AB運動,速度為每秒5個單位,動點F由A點出發,沿AM運動,速度為
每秒8個單位,當點E到達點B時,兩點同時停止運動,過A、E、F作。O.
備用圖1備用圖2
(1)判斷△AEF的形狀為,并判斷AD與。O的位置關系為
(2)求t為何值時,EN與。O相切,求出此時。。的半徑,并比較半徑與劣弧AE長度的大??;
(3)直接寫出AAEF的內心運動的路徑長為;(注:當A、E、F重合時,內心就是A點)
(4)直接寫出線段EN與。O有兩個公共點時,t的取值范圍為.
3324247
(參考數據:sin37°=—,tan37°=—,tan74°=—,sin74°~一,os74°=—)
54725C25
【答案】(1)等腰三角形,相切;(2)t=l,半徑為V,劣弧AE長度大于半徑;(3)當0;(4)
【分析】(1)過點E作EHLAF于H,連接OA、OE、OH,由勾股定理求出BC=JAB?—AC?=6,設
AEAB
運動時間為3則AE=5t,AF=8t,證明AEAHs^BAC,得出——=——,求出AH=4t,則FH=AF-
AHAC
AH=4t,AH=FH,得出△AEF是等腰三角形,證明E、H、O三點共線,得出NOAF+NAOE=90。,由
AB平分NDAM,得出/DAE=NEAF=/EFA,由圓周角定理得出/AOE=2/EFA,則/DAF+/OAF=
90。=/DAO,即OAJ_AD,即可得出AD與。O相切;
(2)連接OA、OF、OE,OE于AC交于H,易證四邊形EHCN為矩形,得出EH=NC,由勾股定理得出
EH=JAE?-AH2=3t,則NC=3t,BC=2NC=6t,由BC=6,得出t=l,則AH=4,EH=3,設。。
257?4
的半徑為x,則OH=x-3,由勾股定理得出OA2=OH2+AH2,解得x=——,得出OH=-,tanZAOH=—,
667
得出NAOH=74。,由/AOH=60。時,AAOE是等邊三角形,AE=OA,74°>60°,得出AE>OA,則劣
MAE長度的大于半徑;
(3)當點E運動到B點時,t=2,AF=16,AE=EF=AB=10,此時△AEF的內心記為G,當A、E、F
重合時,內心為A點,△AEF的內心運動的路徑長為AG,作GPLAE于P,GQLEF于Q,連接AG、GF,
則CG=PG=NQ,SAAEF=—AF*BC=48,設CG=PG=NQ=a,貝!]SAAEF=SAAGF+SAAEB+SAFEG=
—AF?CG+—AE?PG+—EF?NQ=—x(16+10+10)a=48,解得a=§,由勾股定理得出AC2+CG2=AG2,
22223
得出AG=8⑩;
3
(4)分別討論兩種極限位置,①當EN與。。相切時,由(2)知,t=l;②當N在。。上,即ON為。O
的半徑,連接OA、ON、OE,OE交AC于H,過點O作OKLBC于K,則四邊形OKCH為矩形,OA=
OE=ON,得出OH=CK,AH=4t,EH=3t,設。。的半徑為x,由勾股定理得出AH2+OH2=OA2,解得X
25773
=——t,則OH=CK=—t,由勾股定理得出OK2+KN2=ON2,解得t=一,即可得出結果.
6657
【詳解】(1)過點E作EHLAF于H,連接OA、OE、OH,如圖1所示:
BC=7AB2-AC2=6,
設運動時間為t,則AE=5t,AF=8t,
VZAHE=ZACB=90°,ZEAH=ZBAC,
AAEAH^ABAC,
.AEAB5t10
..----=----,即nn----=—,
AHACAH8
.*.AH=4t,
.*.FH=AF-AH=8t-4t=4t,
;.AH=FH,
VEHXAF,
...△AEF是等腰三角形,
E為4尸的中點,ZEAF=ZEFA,
VAH=FH,
.".OHXAC,
;.E、H、O三點共線,
ZOAF+ZAOE=90°,
VAB平分/DAM,
/DAE=ZEAF=ZEFA,
ZAOE=2ZEFA,
ZAOE=ZDAE+ZEAF=ZDAF,
ZDAF+ZOAF=90°=ZDAO,即OAJ_AD,
:OA為。O的半徑,
;.AD與。O相切;
故答案為:等腰三角形,相切;
(2)連接OA、OF、OE,OE于AC交于H,如圖2所示:
由(1)知:EH±AC,
TEN與。0相切,
???NOEN=90。,
VZACB=90°,
???四邊形EHCN為矩形,
???EH=NC,
在RtAAHE中,EH=y/AE2-AH2=33
???NC=3t,
???點N為BC的中點,
???BC=2NC=6t,
???BC=
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