40第7章圓之內(nèi)外心綜合

一、單選題

1.10個(gè)大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內(nèi)，A、B、C、D、E、。均是正六

邊形的頂點(diǎn).則點(diǎn)。是下列哪個(gè)三角形的外心().

A.AAEDB.Z\ABDC.ZxBCDD.AACD

2.已知等邊三角形ABC.如圖，

(I)分別以點(diǎn)A,B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)；

2

(2)作直線MN交于點(diǎn)。；

(2)分別以點(diǎn)A,c為圓心，大于^AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于“，L兩點(diǎn)；

2

(3)作直線乩交AC于點(diǎn)E；

(4)直線MV與直線乩相交于點(diǎn)。；

(5)連接。1,OB,OC.

根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論：①OB=2OE；?AB=2OA；③。4=OB=OC；④/。。￡=120。,

正確的是()

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AAO3為尺公，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,0）,ZBAO=60°,把

心AAO5繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到處/必。？，則H/AAOE的外接圓圓心坐標(biāo)是（）

ni+⑸

C.D.

2，2

\7

4.已知等邊三角形的周長(zhǎng)為6,則它的內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)面積為（）

A.6兀B.3兀C.兀D.2兀

5.如圖，扇形A。。中，ZAOD=90°,Q4=6,點(diǎn)P為弧A。上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A和D重合），PQLOD

于Q,點(diǎn)/為△OP。的內(nèi)心，過(guò)O,/和。三點(diǎn)的圓的半徑為八則當(dāng)點(diǎn)P在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，廠的值滿足

（）

A.0<r<3B.r=3c.3<r<372D.r=342

二、填空題

6.如圖，。。是AABC的外接圓，ABAC=45°,AD，3c于點(diǎn)。，延長(zhǎng)AD交0。于點(diǎn)E,若BD=4,

CD=l,則。上的長(zhǎng)是.

7.△ABC內(nèi)接于O。，且A3=4。，點(diǎn)。到3c的距離為3,圓的半徑為5,則的長(zhǎng)是—.

8.如圖，AB是。。的直徑，且42=4,點(diǎn)C是半圓AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,8重合），CD平分NACB交。。

于點(diǎn)。，點(diǎn)/是AABC的內(nèi)心，連接BO.下列結(jié)論：

①點(diǎn)D的位置隨著動(dòng)點(diǎn)C位置的變化而變化;

②ID=BD；

③a的最小值為0—1；

@AC+BC=^2CD.

其中正確的是.（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

c

B

D

9.如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成，點(diǎn)A、B,C、在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為

(3,6),(-3,3),(7,—2),則△ABC內(nèi)心的坐標(biāo)為

10.若三角形的三邊長(zhǎng)分別是6、8、10,則這個(gè)三角形的內(nèi)心與外心之間的距離為

三、解答題

11.問題提出

(1)如圖①，在AABC中，AB=AC=IO,8c=12,點(diǎn)。是△ABC的外接圓的圓心，則的長(zhǎng)為

問題探究

(2)如圖②，已知矩形ABC。，AB=4,AZ)=6,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，以BC為直徑作半圓O,點(diǎn)尸為半圓

。上一動(dòng)點(diǎn)，求￡、尸之間的最大距離；

問題解決

(3)某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形ABC。和弦C8與其所對(duì)的劣弧場(chǎng)地組成的，果園主

人現(xiàn)要從入口。到上的一點(diǎn)尸修建一條筆直的小路。P.已知AO〃BC,ZA￡)B=45°,80=120夜米,

BC=160米，過(guò)弦BC的中點(diǎn)E作成U8C交BC于點(diǎn)孔又測(cè)得EF=40米.修建小路平均每米需要40

元（小路寬度不計(jì)），不考慮其他因素，請(qǐng)你根據(jù)以上信息，幫助果園主人計(jì)算修建這條小路最多要花費(fèi)多

少元？

12.如圖，ZA=ZB,=點(diǎn)。在AC邊上，Zl=Z2.

(1)求證：AAEC2ABED；

（2）若NC=75。，求NAEB的度數(shù);

（3）若NAEC=90°,當(dāng)AAEC的外心在直線QE上時(shí)，CE=2,求AE的長(zhǎng).

13.如圖，半圓D的直徑AB=6,線段OA=10,。為原點(diǎn)，點(diǎn)B在數(shù)軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在數(shù)軸上

所表示的數(shù)為m.

（1）當(dāng)半圓D與數(shù)軸相切時(shí)，求m；

（2）半圓D與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)公共點(diǎn)為C,

①直接寫出m的取值范圍是；

②當(dāng)半圓D被數(shù)軸截得的弦長(zhǎng)為3時(shí)，求半圓D在△AOB內(nèi)部的弧長(zhǎng);

（3）當(dāng)AAOB的內(nèi)心、外心與某一個(gè)頂點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求cos/AOB的值.

14.如圖，在NDAM內(nèi)部做RSABC,AB平分/DAM,ZACB=90°,AB=10,AC=8,點(diǎn)N為BC的

中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E由A點(diǎn)出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)F由A點(diǎn)出發(fā)，沿AM運(yùn)動(dòng)，速度為

每秒8個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)A、E、F作。O.

備用圖1備用圖2

（1）判斷△AEF的形狀為,并判斷AD與。O的位置關(guān)系為；

（2）求t為何值時(shí)，EN與。O相切，求出此時(shí)OO的半徑，并比較半徑與劣弧AE長(zhǎng)度的大小；

（3）直接寫出AAEF的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為；（注：當(dāng)A、E、F重合時(shí)，內(nèi)心就是A點(diǎn)）

（4）直接寫出線段EN與。O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為.

3324247

（參考數(shù)據(jù)：sin37°=-,tan370=-,tan74°~—,sin74°--~■,cos74°=一）

5472525

15.如圖，已知△A6C,NA=60。，△ABC的內(nèi)切圓/分別切邊A5,AC于點(diǎn)直線。石分別與直線

5/,C/相交于點(diǎn)尸,G.求證：FG=-BC.

2

16.如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C為AB下方的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)0C,過(guò)點(diǎn)。作OOLOC交8C于點(diǎn)。，過(guò)

點(diǎn)C作的垂線，垂足為R交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：EC=ED.

(2)當(dāng)OE=OD,AB=4時(shí)，求OE的長(zhǎng).

0E

(3)設(shè)---------XtanB=y.

ED

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

②若△COD的面積是△80。的面積的3倍，求y的值.

17.如圖，。。為AA8C的外接圓，直線與。。相切于點(diǎn)C,眩BD〃MN,AC與8。相交于點(diǎn)E.

(1)求證：ZCAB=ZCBD；

(2)若8C=5,BD=8,求。。的半徑.

18.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,且對(duì)角線ACLBD,垂足為點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CFLAB于點(diǎn)F,交BD

于點(diǎn)G.

(1)如圖①，連接EF,若EF平分/AFG,求證：AE=GE；

3

(2)如圖②，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H,若CH為/ACF的平分線，AD=3,且tan/FBG=—,求線

4

段AH長(zhǎng)

19.如圖，在AABC中，AB=AC。是底邊3c上一點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn)，且

ZBED=2/CED=ZA.

求證：BD=2CD.

20.如圖所示，0。為△ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分NBAC交。。于D,點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心,

DM=5&，AB=8,求0M的長(zhǎng).

40第7章圓之內(nèi)外心綜合

一、單選題

1.10個(gè)大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內(nèi)，A、B、C、D、E、。均是正六

邊形的頂點(diǎn).則點(diǎn)。是下列哪個(gè)三角形的外心().

A.AAEDB.ZxABDC.ZxBCDD.AACD

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，可以依次判斷.

【詳解】答：因?yàn)槿切蔚耐庑牡饺切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以由正六邊形性質(zhì)可知，點(diǎn)O到A,B,

C,D,E的距離中，只有OA=OC=OD.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，即到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

2.已知等邊三角形A8C.如圖，

(I)分別以點(diǎn)A,B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)；

2

(2)作直線交于點(diǎn)。；

(2)分別以點(diǎn)A,c為圓心，大于LAC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于H,L兩點(diǎn)；

2

(3)作直線乩交AC于點(diǎn)E；

(4)直線MN與直線HL相交于點(diǎn)O；

(5)連接OA,OB,OC.

根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論：①OB=2OE；②AB=20A；?OA=OB=OC-④NDOE=120°,

正確的是()

A.①②③④B.①③④C.①②③D.③④

【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外心，三角形的內(nèi)心的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】解：由作圖可知，點(diǎn)。是△ABC的外心，

,/AABC是等邊三角形，

點(diǎn)。是△ABC的外心也是內(nèi)心，

：.OB=2OE,0A=OB=OC,

ZBAC=6Q°,ZADO=ZA￡O=90°,

AZDOE=180°-60°=120°,

故①③④正確，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AAOB為咫A,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0),ZBAO=60°,把

HfAAOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到處AAOE,則&AACXB'的外接圓圓心坐標(biāo)是()

ni+⑸

D.

\27

【答案】A

【分析】取AB，中點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作PELx軸，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AB，，/BAB，=90。，ZB'O'A

=NBOA=90。，先說(shuō)明H/AAOE的外接圓圓心為點(diǎn)P,再利用點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0),ZBAO=60°,求

得AB長(zhǎng)，進(jìn)而可得AB，的長(zhǎng)，在求得/PAE=30。，在RtAPAE中，利用30。角的性質(zhì)及勾股定理即可求得

答案.

【詳解】解：如圖，取AB，中點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作PELx軸，垂足為點(diǎn)E,連接PO，,

:把如AAO5繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到RtAACfB',

.\AB=AB',ZBAB'=90°,ZB'O'A=ZBOA=90°,

;點(diǎn)P為AB，的中點(diǎn)，

1

.\PA=PB'=PO'=—AB',

2

RiAAOB'的外接圓圓心為點(diǎn)P,

VZBAO=60°,ZAOB=90°,

???NABO=90。一NBAO=30。,

.*.OA=—AB,

2

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,

AOA=1,

???AB'=AB=2OA=2,

APA=—ABf=l,

2

VZBAB'=90°,ZBAO=60°,

???ZPAE=180°-ZBAB'-ZBAO=30°,

11

.PE=_PA=—

2

.?.在RtAPEA中，AE=\IPA2-PE2=

(61、

???點(diǎn)p的坐標(biāo)為1+-^-?—

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，直角三角形的外接圓等相關(guān)知識(shí)，熟練掌握

含30。角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

4.已知等邊三角形的周長(zhǎng)為6,則它的內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)面積為（）

A.6兀B.3兀C.7iD.2兀

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由等邊三角形的周長(zhǎng)為6,可得BC=2,設(shè)點(diǎn)D為BC邊與內(nèi)切圓的切點(diǎn)，連

接AD,則ADLBC,可得BD=DC=，BC=1,再根據(jù)勾股定理可得OB?-OD2=BD2=1,再根據(jù)S圓環(huán)

2

=S外接圓-S內(nèi)切圓即可得結(jié)論.

【詳解】解:如圖,

;等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為6,

：.BC=2,

設(shè)點(diǎn)D為BC邊與內(nèi)切圓的切點(diǎn)，

連接AD,貝IJADLBC,

.*.BD=DC=—BC=1,

2

在RtABOD中，根據(jù)勾股定理，得

OB2-OD2=BD2=1,

,,S外接圓-S內(nèi)切g(shù)i

=OB2TT-0D?兀

=BD2兀

—n.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與內(nèi)切圓，掌握正三角形的外接圓與內(nèi)切圓半徑求算是解題關(guān)鍵.

5.如圖，扇形AOO中，Z4OD=90。，0A=6,點(diǎn)P為弧上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A和D重合），PQLOD

于Q,點(diǎn)/為△OPQ的內(nèi)心，過(guò)O,/和。三點(diǎn)的圓的半徑為廠.則當(dāng)點(diǎn)P在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，廠的值滿足

ooD

A.0<r<3B.r=3C.3<r<372D.r=342

【答案】D

【分析】連OI,PI,DL由AOPH的內(nèi)心為I,可得到/PIO=18(r-/IPO-NIOP=：180。-^-(ZHOP+ZOPH)

2

=135°,并且易證△OPIg^ODL得到/DIO=NPIO=135。，所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對(duì)的圓周角為

135。的一段劣弧上；過(guò)D、I、0三點(diǎn)作。0—如圖，連0D,0'0,在優(yōu)弧A0取點(diǎn)P,連PD,Pf0,可得

/DP'O=180°-135°=45°,得/D0'0=90°,0'0=3亞.

【詳解】解：如圖，連OLPLDL

,?AOPH的內(nèi)心為I,

AZI0P=ZI0D,ZIPO=ZIPH,

二ZPIO=180°-ZIPO-ZIOP=180°-—(ZHOP+ZOPH),

2

而PH_LOD,即NPHO=90。，

/.ZPIO=180°-—(ZHOP+ZOPH)=180°--(180°-90°)=135°,

22

在^OPI^AODI中，

IO=IO

<ZPOI=ZDOI,

OD=OP

.,.△OPI^AODI(SAS),

.\ZDIO=ZPIO=135°,

所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對(duì)的圓周角為135。的一段劣弧上；

過(guò)D、I、O三點(diǎn)作。0、如圖，連0D,09,

在優(yōu)弧DO取點(diǎn)P,連PD,P，O,

VZDIO=135°,

ZDP,O=180°-135°=45°,

：.ZDO'O=90°,而OD=6,

.?.OO，=DCT=3萬(wàn)

，r的值為3亞，

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)

鍵.

二、填空題

6.如圖，。。是AABC的外接圓，ABAC=45°,AD,3c于點(diǎn)。，延長(zhǎng)AD交0。于點(diǎn)E，若5r)=4,

CD=l,則。石的長(zhǎng)是.

A

【答案］/二5

2

【分析】連結(jié)OB,OC,OA,過(guò)。點(diǎn)作OFLBC于F,作OG_LAE于G,根據(jù)圓周角定理可得/BOC=90。,

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得DG,AG,可求AD,再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求DE.

【詳解】解：連結(jié)OB,OC,0A,過(guò)。點(diǎn)作OF_LBC于F,作OG_LAE于G,

?.?OO是^ABC的外接圓，ZBAC=45°,

.,.ZBOC=90°,

,.?BD=4,CD=1,

ABC=4+1=5,

.?.OB=OC=^^,

2

5/95

???OA=^^,OF=BF=—,

22

3

ADF=BD-BF=-,

2

35

：.OG=-,GD=一,

22

在R3AGO中，AG=J(M2_OG2=典,

2

???AD=AG+GD=向+5,

2

連接BE,AD與BE相交于D,

；./BED=/ACD,ZBDE=ZADC,

.,.△BDE^AADC,

BDDE

AD—CD

“BDCD4x1歷—5

DE=----------=—1=——=-----------

ADa—52

2

故答案為：中

【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的

判定和性質(zhì)，解題的難點(diǎn)是求出AD的長(zhǎng).

7.△ABC內(nèi)接于O。，且A3=A。，點(diǎn)。到3c的距離為3,圓的半徑為5,則的長(zhǎng)是.

【答案】4亞或2亞

【分析】如圖（見解析），過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D,先根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得AD為BC的垂

直平分線，再根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)可知圓心點(diǎn)O在直線AD上，然后分AABC為銳角等腰三角形和鈍

角等腰三角形兩種情況，分別利用勾股定理即可得.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD,3c于點(diǎn)D

-.-AB=AC

.?.△ABC為等腰三角形

.?.AD為BC的垂直平分線（等腰三角形的三線合一）

?.?△A3C內(nèi)接于0。

???圓心點(diǎn)O在直線AD上

由題意得：OD=3,OA=OB—5

根據(jù)AABC的形狀，分以下兩種情況：

(1)如圖1,AABC為銳角等腰三角形

:.AD=OD+OA=3+5=8,BD=y/OB"-OD1=752-32=4

在RtAABD中，Afi=ylAD2+BD2=782+42=475

(2)如圖2,AABC為鈍角等腰三角形

,AD=6M-8=5-3=2,BD=\/OB2-OD2=A/52-32=4

在RtAAB。中，AB=VAD2+BD2=A/22+42=2^/5

綜上，AB的長(zhǎng)為4君或2j?

故答案為：46■或2逐.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，利用三角形外

接圓的性質(zhì)得出圓心點(diǎn)0的位置是解題關(guān)鍵.

8.如圖，A2是。。的直徑，且48=4,點(diǎn)C是半圓AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,3重合），CD平分/ACB交。0

于點(diǎn)。，點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心，連接80.下列結(jié)論：

①點(diǎn)D的位置隨著動(dòng)點(diǎn)C位置的變化而變化；

②ID=BD；

③a的最小值為四—1；

@AC+BC=y/2CD.

其中正確的是.（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

【答案】②④

【分析】①在同圓或等圓中，根據(jù)圓周角相等，則弧相等可作判斷；

②連接小，根據(jù)點(diǎn)/是AABC的內(nèi)心，得到NAB/=NCB/,可以證得ZDBI=ADIB,即有m=

可以判斷②正確；

③當(dāng)01最小時(shí)，C￡）經(jīng)過(guò)圓心。，作花，3C,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理,可求出10=272-2,

可判斷③錯(cuò)誤；

④用反證法證明即可.

【詳解】解：?.?CD平分N4c8,A8是。。的直徑，

:.ZACD=ZBCD=45,

AD=BD'

QAB是0。的直徑，

二。是半圓的中點(diǎn)，即點(diǎn)。是定點(diǎn);

故①錯(cuò)誤;

如圖示，連接/8,

丁點(diǎn)/是AA8C的內(nèi)心，

：.ZABI=ZCBI

又ZABD=ZACD=45。，

NDBI=ZABD+ZABI=45+ZABI

ADIB=NDCB+ZCBI=45°+ZABI

即有ND5/=ND/B

ID=BD,

故②正確；

如圖示，當(dāng)。/最小時(shí)，CD經(jīng)過(guò)圓心。,

過(guò)/點(diǎn)，作/E，3C,交BC于E點(diǎn)、

c

?.,點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心，CD經(jīng)過(guò)圓心0,

IO=IE,

???ZBCD=^5°

：.AW是等腰直角三角形，

又,:AB=4,

：.IC=2,

設(shè)/O=x,則7E=CE=x,IC=2-x,

'?%2+%2=（2-%）2,

解之得：x=2逝-2，

即：10=2垃-2,

故③錯(cuò)誤；

AC+BC>/2CD,

:點(diǎn)C是半圓AB上一動(dòng)點(diǎn)，

則點(diǎn)C在半圓上對(duì)于任意位置上都滿足AC+BC^辰D,

如圖示,

c

當(dāng)CD經(jīng)過(guò)圓心。時(shí)，AC=BC=2四,CD=4,

AC+BC=2五+2近=4五=&CD

與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，

；?AC+BC=s/2CD

故④正確；

綜上所述，正確的是②④，

故答案是：②④

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)心的定義和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形外接圓有關(guān)的性

質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成，點(diǎn)A、B,C、在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為

(3,6),(—3,3),(7,-2),則AABC內(nèi)心的坐標(biāo)為.

【答案】(2,3)

【分析】根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)建立如圖所示的坐標(biāo)系，計(jì)算出△ABC各邊的長(zhǎng)度，易得該三角形是直

角三角形，設(shè)BC的關(guān)系式為：y=kx+b,求出BC與x軸的交點(diǎn)G的坐標(biāo)，證出點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于BD對(duì)稱,

射線BD是/ABC的平分線，三角形的內(nèi)心在BD上，設(shè)點(diǎn)M為三角形的內(nèi)心，內(nèi)切圓的半徑為r,在BD

上找一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MELAB,過(guò)點(diǎn)M作MFJ_AC,且ME=MF=r,求出r的值，在ABEM中，利用

勾股定理求出BM的值，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】解：根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)建立如圖所示的坐標(biāo)系，

根據(jù)題意可得：2222BC=22

AB=A/3+6=375>AC=74+8=4A/5>75+10=545'

AB-+AC2=BC。，

：.ZBAC=90°,

設(shè)BC的關(guān)系式為：y=kx+b,

代入B(—3,3),C(7,—2),

3=—3k+b

可得＜

-2=7k+b

k=--

解得：\2,

b=-

[2

.13

?"BC：y=—x—,

.22

當(dāng)y=0時(shí)，x=3,即G(3,0),

點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于BD對(duì)稱，射線BD是NABC的平分線，

設(shè)點(diǎn)M為三角形的內(nèi)心，內(nèi)切圓的半徑為r,在BD上找一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MELAB,過(guò)點(diǎn)M作MFLAC,

且ME=MF=r,

VZBAC=90°,

，四邊形MEAF為正方形，

SAABC二—ABxAC———ABxrH—ACxrH—BCxr,

2222

解得：r=5/5，

即AE=EM=V5>

:.BE=34后=2下,

BM=y]BE-+EM2=5，

VB(-3,3),

：.M(2,3),

故答案為:(2,3).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)心、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)的解析式、勾股定理和正方形的判定與性質(zhì)等

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，把握內(nèi)心是三角形內(nèi)接圓的圓心這個(gè)概念，靈活運(yùn)用各種知識(shí)求解即可.

10.若三角形的三邊長(zhǎng)分別是6、8、10,則這個(gè)三角形的內(nèi)心與外心之間的距離為.

【答案】V5

【分析】先說(shuō)明三角形三邊是直角三角形，再根據(jù)直角三角形可確定三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)和直角三

角形內(nèi)切圓半徑公式確定內(nèi)切圓的半徑，然后用勾股定理解答即可.

【詳解】解：如圖：：三角形的三邊長(zhǎng)為BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm

???三角形為直角三角形

，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，即AD=BD=-AB=5

2

由直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：Q+Z?-C=6+8~10=2即OE=2

22

VOFXBC,OG±AC

.,.CF=CG=0F=0G=2,

；.BE=FB=4,BD=5

/.DE=BD-BE=1

在RtAODE中,DE=1,OE=2

???OD=y/DE2+OE2=A/F+2?=6?

故答案為b.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理、直角三角形外心與內(nèi)心有關(guān)知識(shí)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)確定直角三

角形的內(nèi)心和外心是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.問題提出

(1)如圖①，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,點(diǎn)。是△ABC的外接圓的圓心，則08的長(zhǎng)為

問題探究

(2)如圖②，已知矩形ABC。，AB=4,AO=6,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，以BC為直徑作半圓。，點(diǎn)尸為半圓

。上一動(dòng)點(diǎn)，求E、尸之間的最大距離；

問題解決

(3)某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形ABC。和弦CB與其所對(duì)的劣弧場(chǎng)地組成的，果園主

人現(xiàn)要從入口。到上的一點(diǎn)尸修建一條筆直的小路。P己知AO〃2C,NADB=45。，加＞=120夜米,

8C=160米，過(guò)弦3c的中點(diǎn)E作EFL8C交于點(diǎn)孔又測(cè)得EP=40米.修建小路平均每米需要40

元(小路寬度不計(jì))，不考慮其他因素，請(qǐng)你根據(jù)以上信息，幫助果園主人計(jì)算修建這條小路最多要花費(fèi)多

少元？

圖①圖②

【答案】(1)―；(2)E、尸之間的最大距離為7；(3)修建這條小路最多要花費(fèi)(800+4000)元.

【分析】(1)若AO交BC于K,則AK=8,在RtaBOK中，設(shè)OB=x,可得x2=6?+(8-x)2,解方程

可得OB的長(zhǎng);

(2)延長(zhǎng)EO交半圓于點(diǎn)P,可求出此時(shí)E、P之間的最大距離為OE+OP的長(zhǎng)即可；

(3)先求出8C所在圓的半徑，過(guò)點(diǎn)D作DGLBC,垂足為G,連接DO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，則DP為

入口D到8c上一點(diǎn)P的最大距離，求出DP長(zhǎng)即可求出修建這條小路花費(fèi)的最多費(fèi)用.

【詳解】(1)

/\

BKC

如圖，若AO交BC于K,

丁點(diǎn)0是△ABC的外接圓的圓心，AB=AC,

AAKXBC,BK=-BC=6,

2

?*-AK=^AB--AK2=8，

在RtABOK中，OB2=BK2+OK2,設(shè)OB=X,

x2—62+(8-x)2,

25

解得x=不，

4

25

???OB=——；

4

故答案為：—.

4

如圖，連接EO,延長(zhǎng)EO交半圓于點(diǎn)P,可求出此時(shí)E、P之間的距離最大,

;在是任意取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的P'，連接OP'，P'E,

EP=EO+OP=EO+OPr>EP\即EP>EP;

VAB=4,AD=6,

，EO=4,OP=OC=-BC=3,

2

.,.EP=OE+OP=7,

；.E、P之間的最大距離為7.

(3)

作射線FE交BD于點(diǎn)M,

VBE=CE,EF±BC,6c是劣弧,

BC所在圓的圓心在射線FE上，

假設(shè)圓心為0,半徑為r,連接OC,則OC=r,OE=r-40,BE=CE=-BC=80,

2

在RtAOEC中，r2=802+(r-40)2,

解得：r=100,

???OE=OF—EF=60,

過(guò)點(diǎn)D作DGLBC,垂足為G,

VAD//BC,NADB=45。，

.*.ZDBC=45O,

BD

在RtABDG中，DG=BG=~產(chǎn)二120,

V2

在RtABEM中，ME=BE=80,

AME>OE,

???點(diǎn)。在ABDC內(nèi)部,

???連接DO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)P，則DP為入口D到BC上一點(diǎn)P的最大距離,

?..在上任取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的點(diǎn)P'，連接OP',P'D,

DP=OD+OP=OD+OP,>DP,,即DP>DP\

過(guò)點(diǎn)0作OH_LDG,垂足為H,則OH=EG=40,DH=DGHG=DG-OE=60,

?*-OD=>/OH2+DH2=20V13,

?*.DP=OD+r=20A/13+100，

,修建這條小路最多要花費(fèi)40x（20^/13+100）=（800W+4000）元.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的性質(zhì)與矩形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.

12.如圖，ZA=ZB，=點(diǎn)。在AC邊上，Zl=Z2.

（1）求證：AAEC貯ABED；

（2）若NC=75。，求NAEB的度數(shù)；

（3）若NAEC=90°,當(dāng)AAEC的外心在直線。E上時(shí)，CE=2,求AE的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）ZA￡B=30°；（3）AE=243

【分析】（1）由三角形的外角的性質(zhì)可得ZDCE=ZBDE,由“A4S”可證ABDE絲AACE；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可求DE=EC,ZBED=ZAEC,可得NEDC=NC=75°,即可求解;

（3）由直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，可得點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，可證△ECD是等邊三角形，可得ZC=60°,

即可求解.

【詳解】證明：(1)；ZADE=N1+NDCE=N2+NBDE,且N1=N2,

:.ZDCE=ABDE,

VZA^ZB,AE=BE,

：.AAEC^ABED(AAS)

(2)-.-AAEC^ABE￡),

:.DE=EC,ZBED=ZAEC,

.-.Z￡DC=ZC=75°,

.?.Zl=180°-2x75°=30°,

?:NBED=ZAEC,

:.ZAEB=Z1=30°；

(3)vZAEC=90°,

.△AEC的外心是斜邊AC的中點(diǎn)，

?.?△AEC的外心在直線DE上，

二點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

AD=CD=DE,

又；DE=EC,

CD=EC=DE,

.?.△ECD是等邊三角形，

,-.ZC=60°,

AE=J3EC=273.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓和外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形

的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

13.如圖，半圓D的直徑AB=6,線段OA=10,0為原點(diǎn)，點(diǎn)B在數(shù)軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在數(shù)軸上

所表示的數(shù)為m.

（1）當(dāng)半圓D與數(shù)軸相切時(shí)，求m；

（2）半圓D與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)公共點(diǎn)為C,

①直接寫出m的取值范圍是；

②當(dāng)半圓D被數(shù)軸截得的弦長(zhǎng)為3時(shí)，求半圓D在△AOB內(nèi)部的弧長(zhǎng)；

（3）當(dāng)AAOB的內(nèi)心、外心與某一個(gè)頂點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求cos/AOB的值.

【分析】（1）由切線的性質(zhì)得出ABLOB,由勾股定理即可得答案；

（2）①半圓D與數(shù)軸相切時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)m=8,當(dāng)O、A、B三點(diǎn)在數(shù)軸上時(shí)，m=16或m=4,

即可得出答案；

②連接DC,證△BCD為等邊三角形，得出NBDC=60。，則/ADC=120。，由弧長(zhǎng)公式即可得出答案；

（3）分兩種情況，由勾股定理和三角函數(shù)定義分別求解，即可得出答案.

【詳解】解：（1）當(dāng)半圓D與數(shù)軸相切時(shí)，ABXOB,

由勾股定理得：m=VOA2-AB2=A/102-62=8，

故答案為：8；

（2）①???半圓D與數(shù)軸相切時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)m=8,

當(dāng)O、A、B三點(diǎn)在數(shù)軸上時(shí)，m=10+6=16或m=10-6=4,

二半圓D與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為：4WmW16且m，8,

故答案為：4勺把16且n#8；

②連接DC,如圖1所示：

圖1

當(dāng)BC=3時(shí)，

;半圓D的直徑AB=6,

；.CD=BD=3,

AABCD為等邊三角形，

.\ZBDC=60°,

AZADC=120°,

nnr1OQy77-x3

半圓D在△AOB內(nèi)部的弧長(zhǎng)=j==2乃;

180180

(3)①當(dāng)OB=AB時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)B在同一條直線上,

過(guò)點(diǎn)A作AHLOB于點(diǎn)H,如圖2所示：

設(shè)BH=x,

由勾股定理得：102一(6+X)2=62-X2,

7

解得：x=-,,

3

725

...OH=6+—=—

33

25

3_5；

cosZAOB==

OA106

②當(dāng)OB=OA時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)O在同一條直線上,

過(guò)點(diǎn)A作AH_LOB于點(diǎn)H,如圖3所示:

設(shè)BH=x,

由勾股定理得：102_(10-x)』62-x2,

9

解得：X=-

941

???OH=10--=—

55

41

CH

cosZAOB=------

OA1050

5、41

綜上所述，cosZAOB的值為一或一.

65

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題目，考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股

定理、三角函數(shù)定義、三角形的內(nèi)心和外心以及弧長(zhǎng)公式等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度.

14.如圖，在/DAM內(nèi)部做RSABC,AB平分NDAM,ZACB=90°,AB=10,AC=8,點(diǎn)N為BC的

中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E由A點(diǎn)出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)F由A點(diǎn)出發(fā)，沿AM運(yùn)動(dòng)，速度為

每秒8個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)A、E、F作。O.

備用圖1備用圖2

（1）判斷△AEF的形狀為，并判斷AD與。O的位置關(guān)系為

（2）求t為何值時(shí)，EN與。O相切，求出此時(shí)。。的半徑，并比較半徑與劣弧AE長(zhǎng)度的大小；

（3）直接寫出AAEF的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為；（注：當(dāng)A、E、F重合時(shí)，內(nèi)心就是A點(diǎn)）

（4）直接寫出線段EN與。O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為.

3324247

（參考數(shù)據(jù)：sin37°=—,tan37°=—,tan74°=—,sin74°~一，os74°=—）

54725C25

【答案】（1）等腰三角形，相切；（2）t=l,半徑為V，劣弧AE長(zhǎng)度大于半徑；（3）當(dāng)0；（4）

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EHLAF于H,連接OA、OE、OH,由勾股定理求出BC=JAB?—AC?=6,設(shè)

AEAB

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3則AE=5t,AF=8t,證明AEAHs^BAC,得出——=——，求出AH=4t,則FH=AF-

AHAC

AH=4t,AH=FH,得出△AEF是等腰三角形，證明E、H、O三點(diǎn)共線，得出NOAF+NAOE=90。，由

AB平分NDAM,得出/DAE=NEAF=/EFA,由圓周角定理得出/AOE=2/EFA,則/DAF+/OAF=

90。=/DAO,即OAJ_AD,即可得出AD與。O相切；

（2）連接OA、OF、OE,OE于AC交于H,易證四邊形EHCN為矩形，得出EH=NC,由勾股定理得出

EH=JAE?-AH2=3t,則NC=3t，BC=2NC=6t，由BC=6,得出t=l,則AH=4,EH=3,設(shè)。。

257?4

的半徑為x,則OH=x-3,由勾股定理得出OA2=OH2+AH2,解得x=——，得出OH=-,tanZAOH=—,

667

得出NAOH=74。，由/AOH=60。時(shí)，AAOE是等邊三角形，AE=OA,74°>60°,得出AE>OA,則劣

MAE長(zhǎng)度的大于半徑;

（3）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，t=2,AF=16,AE=EF=AB=10,此時(shí)△AEF的內(nèi)心記為G,當(dāng)A、E、F

重合時(shí)，內(nèi)心為A點(diǎn)，△AEF的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為AG,作GPLAE于P,GQLEF于Q,連接AG、GF,

則CG=PG=NQ,SAAEF=—AF*BC=48,設(shè)CG=PG=NQ=a,貝!]SAAEF=SAAGF+SAAEB+SAFEG=

—AF?CG+—AE?PG+—EF?NQ=—x(16+10+10)a=48,解得a=§,由勾股定理得出AC2+CG2=AG2,

22223

得出AG=8⑩；

3

（4）分別討論兩種極限位置，①當(dāng)EN與。。相切時(shí)，由（2）知，t=l；②當(dāng)N在。。上，即ON為。O

的半徑，連接OA、ON、OE,OE交AC于H,過(guò)點(diǎn)O作OKLBC于K,則四邊形OKCH為矩形，OA=

OE=ON,得出OH=CK,AH=4t,EH=3t,設(shè)。。的半徑為x,由勾股定理得出AH2+OH2=OA2,解得X

25773

=——t,則OH=CK=—t,由勾股定理得出OK2+KN2=ON2,解得t=一，即可得出結(jié)果.

6657

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)E作EHLAF于H,連接OA、OE、OH,如圖1所示：

BC=7AB2-AC2=6,

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則AE=5t,AF=8t,

VZAHE=ZACB=90°,ZEAH=ZBAC,

AAEAH^ABAC,

.AEAB5t10

..----=----,即nn----=—,

AHACAH8

.*.AH=4t,

.*.FH=AF-AH=8t-4t=4t,

；.AH=FH,

VEHXAF,

...△AEF是等腰三角形，

E為4尸的中點(diǎn)，ZEAF=ZEFA,

VAH=FH,

.".OHXAC,

；.E、H、O三點(diǎn)共線，

ZOAF+ZAOE=90°,

VAB平分/DAM,

/DAE=ZEAF=ZEFA,

ZAOE=2ZEFA,

ZAOE=ZDAE+ZEAF=ZDAF,

ZDAF+ZOAF=90°=ZDAO,即OAJ_AD,

：OA為。O的半徑，

；.AD與。O相切；

故答案為：等腰三角形，相切；

(2)連接OA、OF、OE,OE于AC交于H,如圖2所示:

由（1）知：EH±AC,

TEN與。0相切，

???NOEN=90。，

VZACB=90°,

???四邊形EHCN為矩形，

???EH=NC,

在RtAAHE中，EH=y/AE2-AH2=33

???NC=3t,

???點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，

???BC=2NC=6t,

???BC=