40第7章圓之內外心綜合

一、單選題

1.10個大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內，A、B、C、D、E、。均是正六

邊形的頂點.則點。是下列哪個三角形的外心().

A.AAEDB.Z\ABDC.ZxBCDD.AACD

2.已知等邊三角形ABC.如圖，

(I)分別以點A,B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點；

2

(2)作直線MN交于點。；

(2)分別以點A,c為圓心，大于^AC的長為半徑作弧，兩弧相交于“，L兩點；

2

(3)作直線乩交AC于點E；

(4)直線MV與直線乩相交于點。；

(5)連接。1,OB,OC.

根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論：①OB=2OE；?AB=2OA；③。4=OB=OC；④/。?！?120。,

正確的是()

3.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，AAO3為尺公，點A的坐標是（1,0）,ZBAO=60°,把

心AAO5繞點A按順時針方向旋轉90°后，得到處/必。？，則H/AAOE的外接圓圓心坐標是（）

ni+⑸

C.D.

2，2

\7

4.已知等邊三角形的周長為6,則它的內切圓和外接圓組成的圓環面積為（）

A.6兀B.3兀C.兀D.2兀

5.如圖，扇形A。。中，ZAOD=90°,Q4=6,點P為弧A。上任意一點（不與點A和D重合），PQLOD

于Q,點/為△OP。的內心，過O,/和。三點的圓的半徑為八則當點P在弧上運動時，廠的值滿足

（）

A.0<r<3B.r=3c.3<r<372D.r=342

二、填空題

6.如圖，。。是AABC的外接圓，ABAC=45°,AD，3c于點。，延長AD交0。于點E,若BD=4,

CD=l,則。上的長是.

7.△ABC內接于O。，且A3=4。，點。到3c的距離為3,圓的半徑為5,則的長是—.

8.如圖，AB是。。的直徑，且42=4,點C是半圓AB上一動點（不與A,8重合），CD平分NACB交。。

于點。，點/是AABC的內心，連接BO.下列結論：

①點D的位置隨著動點C位置的變化而變化;

②ID=BD；

③a的最小值為0—1；

@AC+BC=^2CD.

其中正確的是.（把你認為正確結論的序號都填上）

c

B

D

9.如圖所示的網格由邊長為1個單位長度的小正方形組成，點A、B,C、在直角坐標系中的坐標分別為

(3,6),(-3,3),(7,—2),則△ABC內心的坐標為

10.若三角形的三邊長分別是6、8、10,則這個三角形的內心與外心之間的距離為

三、解答題

11.問題提出

(1)如圖①，在AABC中，AB=AC=IO,8c=12,點。是△ABC的外接圓的圓心，則的長為

問題探究

(2)如圖②，已知矩形ABC。，AB=4,AZ)=6,點E為的中點，以BC為直徑作半圓O,點尸為半圓

。上一動點，求￡、尸之間的最大距離；

問題解決

(3)某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形ABC。和弦C8與其所對的劣弧場地組成的，果園主

人現要從入口。到上的一點尸修建一條筆直的小路。P.已知AO〃BC,ZA￡)B=45°,80=120夜米,

BC=160米，過弦BC的中點E作成U8C交BC于點孔又測得EF=40米.修建小路平均每米需要40

元（小路寬度不計），不考慮其他因素，請你根據以上信息，幫助果園主人計算修建這條小路最多要花費多

少元？

12.如圖，ZA=ZB,=點。在AC邊上，Zl=Z2.

(1)求證：AAEC2ABED；

（2）若NC=75。，求NAEB的度數;

（3）若NAEC=90°,當AAEC的外心在直線QE上時，CE=2,求AE的長.

13.如圖，半圓D的直徑AB=6,線段OA=10,。為原點，點B在數軸的正半軸上運動，點B在數軸上

所表示的數為m.

（1）當半圓D與數軸相切時，求m；

（2）半圓D與數軸有兩個公共點，設另一個公共點為C,

①直接寫出m的取值范圍是；

②當半圓D被數軸截得的弦長為3時，求半圓D在△AOB內部的弧長;

（3）當AAOB的內心、外心與某一個頂點在同一條直線上時，求cos/AOB的值.

14.如圖，在NDAM內部做RSABC,AB平分/DAM,ZACB=90°,AB=10,AC=8,點N為BC的

中點，動點E由A點出發，沿AB運動，速度為每秒5個單位，動點F由A點出發，沿AM運動，速度為

每秒8個單位，當點E到達點B時，兩點同時停止運動，過A、E、F作。O.

備用圖1備用圖2

（1）判斷△AEF的形狀為,并判斷AD與。O的位置關系為；

（2）求t為何值時，EN與。O相切，求出此時OO的半徑，并比較半徑與劣弧AE長度的大小；

（3）直接寫出AAEF的內心運動的路徑長為；（注：當A、E、F重合時，內心就是A點）

（4）直接寫出線段EN與。O有兩個公共點時，t的取值范圍為.

3324247

（參考數據：sin37°=-,tan370=-,tan74°~—,sin74°--~■,cos74°=一）

5472525

15.如圖，已知△A6C,NA=60。，△ABC的內切圓/分別切邊A5,AC于點直線。石分別與直線

5/,C/相交于點尸,G.求證：FG=-BC.

2

16.如圖，AB為。。的直徑，點C為AB下方的一動點，連結0C,過點。作OOLOC交8C于點。，過

點C作的垂線，垂足為R交。。的延長線于點E.

(1)求證：EC=ED.

(2)當OE=OD,AB=4時，求OE的長.

0E

(3)設---------XtanB=y.

ED

①求y關于x的函數表達式;

②若△COD的面積是△80。的面積的3倍，求y的值.

17.如圖，。。為AA8C的外接圓，直線與。。相切于點C,眩BD〃MN,AC與8。相交于點E.

(1)求證：ZCAB=ZCBD；

(2)若8C=5,BD=8,求。。的半徑.

18.如圖，四邊形ABCD內接于。O,且對角線ACLBD,垂足為點E,過點C作CFLAB于點F,交BD

于點G.

(1)如圖①，連接EF,若EF平分/AFG,求證：AE=GE；

3

(2)如圖②，連接CO并延長交AB于點H,若CH為/ACF的平分線，AD=3,且tan/FBG=—,求線

4

段AH長

19.如圖，在AABC中，AB=AC。是底邊3c上一點，E是線段AD上一點，且

ZBED=2/CED=ZA.

求證：BD=2CD.

20.如圖所示，0。為△ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分NBAC交。。于D,點M為△ABC的內心,

DM=5&，AB=8,求0M的長.

40第7章圓之內外心綜合

一、單選題

1.10個大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內，A、B、C、D、E、。均是正六

邊形的頂點.則點。是下列哪個三角形的外心().

A.AAEDB.ZxABDC.ZxBCDD.AACD

【答案】D

【分析】根據三角形外心的性質，到三個頂點的距離相等，可以依次判斷.

【詳解】答：因為三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，所以由正六邊形性質可知，點O到A,B,

C,D,E的距離中，只有OA=OC=OD.

故選：D.

【點評】此題主要考查了三角形外心的性質，即到三角形三個頂點的距離相等.

2.已知等邊三角形A8C.如圖，

(I)分別以點A,B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點；

2

(2)作直線交于點。；

(2)分別以點A,c為圓心，大于LAC的長為半徑作弧，兩弧相交于H,L兩點；

2

(3)作直線乩交AC于點E；

(4)直線MN與直線HL相交于點O；

(5)連接OA,OB,OC.

根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論：①OB=2OE；②AB=20A；?OA=OB=OC-④NDOE=120°,

正確的是()

A.①②③④B.①③④C.①②③D.③④

【答案】B

【分析】根據等邊三角形的性質，三角形的外心，三角形的內心的性質一一判斷即可.

【詳解】解：由作圖可知，點。是△ABC的外心，

,/AABC是等邊三角形，

點。是△ABC的外心也是內心，

：.OB=2OE,0A=OB=OC,

ZBAC=6Q°,ZADO=ZA￡O=90°,

AZDOE=180°-60°=120°,

故①③④正確，

故選：B.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，線段的垂直平分線的性質，等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟

練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

3.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，AAOB為咫A,點A的坐標是(1,0),ZBAO=60°,把

HfAAOB繞點A按順時針方向旋轉90°后，得到處AAOE,則&AACXB'的外接圓圓心坐標是()

ni+⑸

D.

\27

【答案】A

【分析】取AB，中點P,過點P分別作PELx軸，根據旋轉的性質可得AB=AB，，/BAB，=90。，ZB'O'A

=NBOA=90。，先說明H/AAOE的外接圓圓心為點P,再利用點A的坐標是(1,0),ZBAO=60°,求

得AB長，進而可得AB，的長，在求得/PAE=30。，在RtAPAE中，利用30。角的性質及勾股定理即可求得

答案.

【詳解】解：如圖，取AB，中點P,過點P分別作PELx軸，垂足為點E,連接PO，,

:把如AAO5繞點A按順時針方向旋轉90°后，得到RtAACfB',

.\AB=AB',ZBAB'=90°,ZB'O'A=ZBOA=90°,

;點P為AB，的中點，

1

.\PA=PB'=PO'=—AB',

2

RiAAOB'的外接圓圓心為點P,

VZBAO=60°,ZAOB=90°,

???NABO=90。一NBAO=30。,

.*.OA=—AB,

2

???點A的坐標為（1,0）,

AOA=1,

???AB'=AB=2OA=2,

APA=—ABf=l,

2

VZBAB'=90°,ZBAO=60°,

???ZPAE=180°-ZBAB'-ZBAO=30°,

11

.PE=_PA=—

2

.?.在RtAPEA中，AE=\IPA2-PE2=

(61、

???點p的坐標為1+-^-?—

【點評】本題考查了含30。角的直角三角形的性質、勾股定理，直角三角形的外接圓等相關知識，熟練掌握

含30。角的直角三角形的性質及勾股定理是解決本題的關鍵.

4.已知等邊三角形的周長為6,則它的內切圓和外接圓組成的圓環面積為（）

A.6兀B.3兀C.7iD.2兀

【答案】C

【分析】根據題意畫出圖形，由等邊三角形的周長為6,可得BC=2,設點D為BC邊與內切圓的切點，連

接AD,則ADLBC,可得BD=DC=，BC=1,再根據勾股定理可得OB?-OD2=BD2=1,再根據S圓環

2

=S外接圓-S內切圓即可得結論.

【詳解】解:如圖,

;等邊三角形ABC的周長為6,

：.BC=2,

設點D為BC邊與內切圓的切點，

連接AD,貝IJADLBC,

.*.BD=DC=—BC=1,

2

在RtABOD中，根據勾股定理，得

OB2-OD2=BD2=1,

,,S外接圓-S內切gi

=OB2TT-0D?兀

=BD2兀

—n.

故選：C.

【點評】本題考查三角形的外接圓與內切圓，掌握正三角形的外接圓與內切圓半徑求算是解題關鍵.

5.如圖，扇形AOO中，Z4OD=90。，0A=6,點P為弧上任意一點（不與點A和D重合），PQLOD

于Q,點/為△OPQ的內心，過O,/和。三點的圓的半徑為廠.則當點P在弧上運動時，廠的值滿足

ooD

A.0<r<3B.r=3C.3<r<372D.r=342

【答案】D

【分析】連OI,PI,DL由AOPH的內心為I,可得到/PIO=18(r-/IPO-NIOP=：180。-^-(ZHOP+ZOPH)

2

=135°,并且易證△OPIg^ODL得到/DIO=NPIO=135。，所以點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為

135。的一段劣弧上；過D、I、0三點作。0—如圖，連0D,0'0,在優弧A0取點P,連PD,Pf0,可得

/DP'O=180°-135°=45°,得/D0'0=90°,0'0=3亞.

【詳解】解：如圖，連OLPLDL

,?AOPH的內心為I,

AZI0P=ZI0D,ZIPO=ZIPH,

二ZPIO=180°-ZIPO-ZIOP=180°-—(ZHOP+ZOPH),

2

而PH_LOD,即NPHO=90。，

/.ZPIO=180°-—(ZHOP+ZOPH)=180°--(180°-90°)=135°,

22

在^OPI^AODI中，

IO=IO

<ZPOI=ZDOI,

OD=OP

.,.△OPI^AODI(SAS),

.\ZDIO=ZPIO=135°,

所以點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135。的一段劣弧上；

過D、I、O三點作。0、如圖，連0D,09,

在優弧DO取點P,連PD,P，O,

VZDIO=135°,

ZDP,O=180°-135°=45°,

：.ZDO'O=90°,而OD=6,

.?.OO，=DCT=3萬

，r的值為3亞，

故選D.

【點評】本題考查的是三角形的內切圓與內心，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關

鍵.

二、填空題

6.如圖，。。是AABC的外接圓，ABAC=45°,AD,3c于點。，延長AD交0。于點E，若5r)=4,

CD=l,則。石的長是.

A

【答案］/二5

2

【分析】連結OB,OC,OA,過。點作OFLBC于F,作OG_LAE于G,根據圓周角定理可得/BOC=90。,

根據等腰直角三角形的性質和勾股定理可得DG,AG,可求AD,再根據相似三角形的判定和性質可求DE.

【詳解】解：連結OB,OC,0A,過。點作OF_LBC于F,作OG_LAE于G,

?.?OO是^ABC的外接圓，ZBAC=45°,

.,.ZBOC=90°,

,.?BD=4,CD=1,

ABC=4+1=5,

.?.OB=OC=^^,

2

5/95

???OA=^^,OF=BF=—,

22

3

ADF=BD-BF=-,

2

35

：.OG=-,GD=一,

22

在R3AGO中，AG=J(M2_OG2=典,

2

???AD=AG+GD=向+5,

2

連接BE,AD與BE相交于D,

；./BED=/ACD,ZBDE=ZADC,

.,.△BDE^AADC,

BDDE

AD—CD

“BDCD4x1歷—5

DE=----------=—1=——=-----------

ADa—52

2

故答案為：中

【點評】考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，等腰直角三角形的性質，相似三角形的

判定和性質，解題的難點是求出AD的長.

7.△ABC內接于O。，且A3=A。，點。到3c的距離為3,圓的半徑為5,則的長是.

【答案】4亞或2亞

【分析】如圖（見解析），過點A作于點D,先根據等腰三角形的判定與性質可得AD為BC的垂

直平分線，再根據三角形外接圓的性質可知圓心點O在直線AD上，然后分AABC為銳角等腰三角形和鈍

角等腰三角形兩種情況，分別利用勾股定理即可得.

【詳解】如圖，過點A作AD,3c于點D

-.-AB=AC

.?.△ABC為等腰三角形

.?.AD為BC的垂直平分線（等腰三角形的三線合一）

?.?△A3C內接于0。

???圓心點O在直線AD上

由題意得：OD=3,OA=OB—5

根據AABC的形狀，分以下兩種情況：

(1)如圖1,AABC為銳角等腰三角形

:.AD=OD+OA=3+5=8,BD=y/OB"-OD1=752-32=4

在RtAABD中，Afi=ylAD2+BD2=782+42=475

(2)如圖2,AABC為鈍角等腰三角形

,AD=6M-8=5-3=2,BD=\/OB2-OD2=A/52-32=4

在RtAAB。中，AB=VAD2+BD2=A/22+42=2^/5

綜上，AB的長為4君或2j?

故答案為：46■或2逐.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質、三角形外接圓的性質、勾股定理等知識點，利用三角形外

接圓的性質得出圓心點0的位置是解題關鍵.

8.如圖，A2是。。的直徑，且48=4,點C是半圓AB上一動點（不與A,3重合），CD平分/ACB交。0

于點。，點/是△ABC的內心，連接80.下列結論：

①點D的位置隨著動點C位置的變化而變化；

②ID=BD；

③a的最小值為四—1；

@AC+BC=y/2CD.

其中正確的是.（把你認為正確結論的序號都填上）

【答案】②④

【分析】①在同圓或等圓中，根據圓周角相等，則弧相等可作判斷；

②連接小，根據點/是AABC的內心，得到NAB/=NCB/,可以證得ZDBI=ADIB,即有m=

可以判斷②正確；

③當01最小時，C￡）經過圓心。，作花，3C,根據等腰直角三角形的性質和勾股定理,可求出10=272-2,

可判斷③錯誤；

④用反證法證明即可.

【詳解】解：?.?CD平分N4c8,A8是。。的直徑，

:.ZACD=ZBCD=45,

AD=BD'

QAB是0。的直徑，

二。是半圓的中點，即點。是定點;

故①錯誤;

如圖示，連接/8,

丁點/是AA8C的內心，

：.ZABI=ZCBI

又ZABD=ZACD=45。，

NDBI=ZABD+ZABI=45+ZABI

ADIB=NDCB+ZCBI=45°+ZABI

即有ND5/=ND/B

ID=BD,

故②正確；

如圖示，當。/最小時，CD經過圓心。,

過/點，作/E，3C,交BC于E點、

c

?.,點/是△ABC的內心，CD經過圓心0,

IO=IE,

???ZBCD=^5°

：.AW是等腰直角三角形，

又,:AB=4,

：.IC=2,

設/O=x,則7E=CE=x,IC=2-x,

'?%2+%2=（2-%）2,

解之得：x=2逝-2，

即：10=2垃-2,

故③錯誤；

AC+BC>/2CD,

:點C是半圓AB上一動點，

則點C在半圓上對于任意位置上都滿足AC+BC^辰D,

如圖示,

c

當CD經過圓心。時，AC=BC=2四,CD=4,

AC+BC=2五+2近=4五=&CD

與假設矛盾，故假設不成立，

；?AC+BC=s/2CD

故④正確；

綜上所述，正確的是②④，

故答案是：②④

【點評】此題考查了三角形的內心的定義和性質，等腰直角三角形的判定與性質，三角形外接圓有關的性

質，角平分線的定義等知識點，熟悉相關性質是解題的關鍵.

9.如圖所示的網格由邊長為1個單位長度的小正方形組成，點A、B,C、在直角坐標系中的坐標分別為

(3,6),(—3,3),(7,-2),則AABC內心的坐標為.

【答案】(2,3)

【分析】根據A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，計算出△ABC各邊的長度，易得該三角形是直

角三角形，設BC的關系式為：y=kx+b,求出BC與x軸的交點G的坐標，證出點A與點G關于BD對稱,

射線BD是/ABC的平分線，三角形的內心在BD上，設點M為三角形的內心，內切圓的半徑為r,在BD

上找一點M,過點M作MELAB,過點M作MFJ_AC,且ME=MF=r,求出r的值，在ABEM中，利用

勾股定理求出BM的值，即可得到點M的坐標.

【詳解】解：根據A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，

根據題意可得：2222BC=22

AB=A/3+6=375>AC=74+8=4A/5>75+10=545'

AB-+AC2=BC。，

：.ZBAC=90°,

設BC的關系式為：y=kx+b,

代入B(—3,3),C(7,—2),

3=—3k+b

可得＜

-2=7k+b

k=--

解得：\2,

b=-

[2

.13

?"BC：y=—x—,

.22

當y=0時，x=3,即G(3,0),

點A與點G關于BD對稱，射線BD是NABC的平分線，

設點M為三角形的內心，內切圓的半徑為r,在BD上找一點M,過點M作MELAB,過點M作MFLAC,

且ME=MF=r,

VZBAC=90°,

，四邊形MEAF為正方形，

SAABC二—ABxAC———ABxrH—ACxrH—BCxr,

2222

解得：r=5/5，

即AE=EM=V5>

:.BE=34后=2下,

BM=y]BE-+EM2=5，

VB(-3,3),

：.M(2,3),

故答案為:(2,3).

【點評】本題考查三角形內心、平面直角坐標系、一次函數的解析式、勾股定理和正方形的判定與性質等

相關知識點，把握內心是三角形內接圓的圓心這個概念，靈活運用各種知識求解即可.

10.若三角形的三邊長分別是6、8、10,則這個三角形的內心與外心之間的距離為.

【答案】V5

【分析】先說明三角形三邊是直角三角形，再根據直角三角形可確定三角形的外心在斜邊的中點和直角三

角形內切圓半徑公式確定內切圓的半徑，然后用勾股定理解答即可.

【詳解】解：如圖：：三角形的三邊長為BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm

???三角形為直角三角形

，直角三角形的外心是斜邊的中點，即AD=BD=-AB=5

2

由直角三角形內切圓半徑公式：Q+Z?-C=6+8~10=2即OE=2

22

VOFXBC,OG±AC

.,.CF=CG=0F=0G=2,

；.BE=FB=4,BD=5

/.DE=BD-BE=1

在RtAODE中,DE=1,OE=2

???OD=y/DE2+OE2=A/F+2?=6?

故答案為b.

【點評】本題主要考查了勾股定理、直角三角形外心與內心有關知識，根據直角三角形的性質確定直角三

角形的內心和外心是解答本題的關鍵.

三、解答題

11.問題提出

(1)如圖①，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,點。是△ABC的外接圓的圓心，則08的長為

問題探究

(2)如圖②，已知矩形ABC。，AB=4,AO=6,點E為的中點，以BC為直徑作半圓。，點尸為半圓

。上一動點，求E、尸之間的最大距離；

問題解決

(3)某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形ABC。和弦CB與其所對的劣弧場地組成的，果園主

人現要從入口。到上的一點尸修建一條筆直的小路。P己知AO〃2C,NADB=45。，加＞=120夜米,

8C=160米，過弦3c的中點E作EFL8C交于點孔又測得EP=40米.修建小路平均每米需要40

元(小路寬度不計)，不考慮其他因素，請你根據以上信息，幫助果園主人計算修建這條小路最多要花費多

少元？

圖①圖②

【答案】(1)―；(2)E、尸之間的最大距離為7；(3)修建這條小路最多要花費(800+4000)元.

【分析】(1)若AO交BC于K,則AK=8,在RtaBOK中，設OB=x,可得x2=6?+(8-x)2,解方程

可得OB的長;

(2)延長EO交半圓于點P,可求出此時E、P之間的最大距離為OE+OP的長即可；

(3)先求出8C所在圓的半徑，過點D作DGLBC,垂足為G,連接DO并延長交于點P，則DP為

入口D到8c上一點P的最大距離，求出DP長即可求出修建這條小路花費的最多費用.

【詳解】(1)

/\

BKC

如圖，若AO交BC于K,

丁點0是△ABC的外接圓的圓心，AB=AC,

AAKXBC,BK=-BC=6,

2

?*-AK=^AB--AK2=8，

在RtABOK中，OB2=BK2+OK2,設OB=X,

x2—62+(8-x)2,

25

解得x=不，

4

25

???OB=——；

4

故答案為：—.

4

如圖，連接EO,延長EO交半圓于點P,可求出此時E、P之間的距離最大,

;在是任意取一點異于點P的P'，連接OP'，P'E,

EP=EO+OP=EO+OPr>EP\即EP>EP;

VAB=4,AD=6,

，EO=4,OP=OC=-BC=3,

2

.,.EP=OE+OP=7,

；.E、P之間的最大距離為7.

(3)

作射線FE交BD于點M,

VBE=CE,EF±BC,6c是劣弧,

BC所在圓的圓心在射線FE上，

假設圓心為0,半徑為r,連接OC,則OC=r,OE=r-40,BE=CE=-BC=80,

2

在RtAOEC中，r2=802+(r-40)2,

解得：r=100,

???OE=OF—EF=60,

過點D作DGLBC,垂足為G,

VAD//BC,NADB=45。，

.*.ZDBC=45O,

BD

在RtABDG中，DG=BG=~產二120,

V2

在RtABEM中，ME=BE=80,

AME>OE,

???點。在ABDC內部,

???連接DO并延長交BC于點P，則DP為入口D到BC上一點P的最大距離,

?..在上任取一點異于點P的點P'，連接OP',P'D,

DP=OD+OP=OD+OP,>DP,,即DP>DP\

過點0作OH_LDG,垂足為H,則OH=EG=40,DH=DGHG=DG-OE=60,

?*-OD=>/OH2+DH2=20V13,

?*.DP=OD+r=20A/13+100，

,修建這條小路最多要花費40x（20^/13+100）=（800W+4000）元.

【點評】本題主要考查了圓的性質與矩形性質的綜合運用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.

12.如圖，ZA=ZB，=點。在AC邊上，Zl=Z2.

（1）求證：AAEC貯ABED；

（2）若NC=75。，求NAEB的度數；

（3）若NAEC=90°,當AAEC的外心在直線。E上時，CE=2,求AE的長.

【答案】（1）見解析；（2）ZA￡B=30°；（3）AE=243

【分析】（1）由三角形的外角的性質可得ZDCE=ZBDE,由“A4S”可證ABDE絲AACE；

（2）由全等三角形的性質可求DE=EC,ZBED=ZAEC,可得NEDC=NC=75°,即可求解;

（3）由直角三角形的外心是斜邊的中點，可得點。是AC的中點，可證△ECD是等邊三角形，可得ZC=60°,

即可求解.

【詳解】證明：(1)；ZADE=N1+NDCE=N2+NBDE,且N1=N2,

:.ZDCE=ABDE,

VZA^ZB,AE=BE,

：.AAEC^ABED(AAS)

(2)-.-AAEC^ABE￡),

:.DE=EC,ZBED=ZAEC,

.-.Z￡DC=ZC=75°,

.?.Zl=180°-2x75°=30°,

?:NBED=ZAEC,

:.ZAEB=Z1=30°；

(3)vZAEC=90°,

.△AEC的外心是斜邊AC的中點，

?.?△AEC的外心在直線DE上，

二點。是AC的中點，

AD=CD=DE,

又；DE=EC,

CD=EC=DE,

.?.△ECD是等邊三角形，

,-.ZC=60°,

AE=J3EC=273.

【點評】本題考查了三角形的外接圓和外心，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形

的判定和性質，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

13.如圖，半圓D的直徑AB=6,線段OA=10,0為原點，點B在數軸的正半軸上運動，點B在數軸上

所表示的數為m.

（1）當半圓D與數軸相切時，求m；

（2）半圓D與數軸有兩個公共點，設另一個公共點為C,

①直接寫出m的取值范圍是；

②當半圓D被數軸截得的弦長為3時，求半圓D在△AOB內部的弧長；

（3）當AAOB的內心、外心與某一個頂點在同一條直線上時，求cos/AOB的值.

【分析】（1）由切線的性質得出ABLOB,由勾股定理即可得答案；

（2）①半圓D與數軸相切時，只有一個公共點，此時m=8,當O、A、B三點在數軸上時，m=16或m=4,

即可得出答案；

②連接DC,證△BCD為等邊三角形，得出NBDC=60。，則/ADC=120。，由弧長公式即可得出答案；

（3）分兩種情況，由勾股定理和三角函數定義分別求解，即可得出答案.

【詳解】解：（1）當半圓D與數軸相切時，ABXOB,

由勾股定理得：m=VOA2-AB2=A/102-62=8，

故答案為：8；

（2）①???半圓D與數軸相切時，只有一個公共點，此時m=8,

當O、A、B三點在數軸上時，m=10+6=16或m=10-6=4,

二半圓D與數軸有兩個公共點時，m的取值范圍為：4WmW16且m，8,

故答案為：4勺把16且n#8；

②連接DC,如圖1所示：

圖1

當BC=3時，

;半圓D的直徑AB=6,

；.CD=BD=3,

AABCD為等邊三角形，

.\ZBDC=60°,

AZADC=120°,

nnr1OQy77-x3

半圓D在△AOB內部的弧長=j==2乃;

180180

(3)①當OB=AB時，內心、外心與頂點B在同一條直線上,

過點A作AHLOB于點H,如圖2所示：

設BH=x,

由勾股定理得：102一(6+X)2=62-X2,

7

解得：x=-,,

3

725

...OH=6+—=—

33

25

3_5；

cosZAOB==

OA106

②當OB=OA時，內心、外心與頂點O在同一條直線上,

過點A作AH_LOB于點H,如圖3所示:

設BH=x,

由勾股定理得：102_(10-x)』62-x2,

9

解得：X=-

941

???OH=10--=—

55

41

CH

cosZAOB=------

OA1050

5、41

綜上所述，cosZAOB的值為一或一.

65

【點評】本題是圓的綜合題目，考查了切線的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股

定理、三角函數定義、三角形的內心和外心以及弧長公式等知識；本題綜合性強，有一定難度.

14.如圖，在/DAM內部做RSABC,AB平分NDAM,ZACB=90°,AB=10,AC=8,點N為BC的

中點，動點E由A點出發，沿AB運動，速度為每秒5個單位，動點F由A點出發，沿AM運動，速度為

每秒8個單位，當點E到達點B時，兩點同時停止運動，過A、E、F作。O.

備用圖1備用圖2

（1）判斷△AEF的形狀為，并判斷AD與。O的位置關系為

（2）求t為何值時，EN與。O相切，求出此時。。的半徑，并比較半徑與劣弧AE長度的大??；

（3）直接寫出AAEF的內心運動的路徑長為；（注：當A、E、F重合時，內心就是A點）

（4）直接寫出線段EN與。O有兩個公共點時，t的取值范圍為.

3324247

（參考數據：sin37°=—,tan37°=—,tan74°=—,sin74°~一，os74°=—）

54725C25

【答案】（1）等腰三角形，相切；（2）t=l,半徑為V，劣弧AE長度大于半徑；（3）當0；（4）

【分析】（1）過點E作EHLAF于H,連接OA、OE、OH,由勾股定理求出BC=JAB?—AC?=6,設

AEAB

運動時間為3則AE=5t,AF=8t,證明AEAHs^BAC,得出——=——，求出AH=4t,則FH=AF-

AHAC

AH=4t,AH=FH,得出△AEF是等腰三角形，證明E、H、O三點共線，得出NOAF+NAOE=90。，由

AB平分NDAM,得出/DAE=NEAF=/EFA,由圓周角定理得出/AOE=2/EFA,則/DAF+/OAF=

90。=/DAO,即OAJ_AD,即可得出AD與。O相切；

（2）連接OA、OF、OE,OE于AC交于H,易證四邊形EHCN為矩形，得出EH=NC,由勾股定理得出

EH=JAE?-AH2=3t,則NC=3t，BC=2NC=6t，由BC=6,得出t=l,則AH=4,EH=3,設。。

257?4

的半徑為x,則OH=x-3,由勾股定理得出OA2=OH2+AH2,解得x=——，得出OH=-,tanZAOH=—,

667

得出NAOH=74。，由/AOH=60。時，AAOE是等邊三角形，AE=OA,74°>60°,得出AE>OA,則劣

MAE長度的大于半徑;

（3）當點E運動到B點時，t=2,AF=16,AE=EF=AB=10,此時△AEF的內心記為G,當A、E、F

重合時，內心為A點，△AEF的內心運動的路徑長為AG,作GPLAE于P,GQLEF于Q,連接AG、GF,

則CG=PG=NQ,SAAEF=—AF*BC=48,設CG=PG=NQ=a,貝!]SAAEF=SAAGF+SAAEB+SAFEG=

—AF?CG+—AE?PG+—EF?NQ=—x(16+10+10)a=48,解得a=§,由勾股定理得出AC2+CG2=AG2,

22223

得出AG=8⑩；

3

（4）分別討論兩種極限位置，①當EN與。。相切時，由（2）知，t=l；②當N在。。上，即ON為。O

的半徑，連接OA、ON、OE,OE交AC于H,過點O作OKLBC于K,則四邊形OKCH為矩形，OA=

OE=ON,得出OH=CK,AH=4t,EH=3t,設。。的半徑為x,由勾股定理得出AH2+OH2=OA2,解得X

25773

=——t,則OH=CK=—t,由勾股定理得出OK2+KN2=ON2,解得t=一，即可得出結果.

6657

【詳解】（1）過點E作EHLAF于H,連接OA、OE、OH,如圖1所示：

BC=7AB2-AC2=6,

設運動時間為t,則AE=5t,AF=8t,

VZAHE=ZACB=90°,ZEAH=ZBAC,

AAEAH^ABAC,

.AEAB5t10

..----=----,即nn----=—,

AHACAH8

.*.AH=4t,

.*.FH=AF-AH=8t-4t=4t,

；.AH=FH,

VEHXAF,

...△AEF是等腰三角形，

E為4尸的中點，ZEAF=ZEFA,

VAH=FH,

.".OHXAC,

；.E、H、O三點共線，

ZOAF+ZAOE=90°,

VAB平分/DAM,

/DAE=ZEAF=ZEFA,

ZAOE=2ZEFA,

ZAOE=ZDAE+ZEAF=ZDAF,

ZDAF+ZOAF=90°=ZDAO,即OAJ_AD,

：OA為。O的半徑，

；.AD與。O相切；

故答案為：等腰三角形，相切；

(2)連接OA、OF、OE,OE于AC交于H,如圖2所示:

由（1）知：EH±AC,

TEN與。0相切，

???NOEN=90。，

VZACB=90°,

???四邊形EHCN為矩形，

???EH=NC,

在RtAAHE中，EH=y/AE2-AH2=33

???NC=3t,

???點N為BC的中點，

???BC=2NC=6t,

???BC=