




版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
40第7章圓之內(nèi)外心綜合
一、單選題
1.10個(gè)大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內(nèi),A、B、C、D、E、。均是正六
邊形的頂點(diǎn).則點(diǎn)。是下列哪個(gè)三角形的外心().
A.AAEDB.Z\ABDC.ZxBCDD.AACD
2.已知等邊三角形ABC.如圖,
(I)分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點(diǎn);
2
(2)作直線MN交于點(diǎn)。;
(2)分別以點(diǎn)A,c為圓心,大于^AC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于“,L兩點(diǎn);
2
(3)作直線乩交AC于點(diǎn)E;
(4)直線MV與直線乩相交于點(diǎn)。;
(5)連接。1,OB,OC.
根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形,下列結(jié)論:①OB=2OE;?AB=2OA;③。4=OB=OC;④/。。£=120。,
正確的是()
3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),AAO3為尺公,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0),ZBAO=60°,把
心AAO5繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到處/必。?,則H/AAOE的外接圓圓心坐標(biāo)是()
ni+⑸
C.D.
2,2
\7
4.已知等邊三角形的周長(zhǎng)為6,則它的內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)面積為()
A.6兀B.3兀C.兀D.2兀
5.如圖,扇形A。。中,ZAOD=90°,Q4=6,點(diǎn)P為弧A。上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A和D重合),PQLOD
于Q,點(diǎn)/為△OP。的內(nèi)心,過(guò)O,/和。三點(diǎn)的圓的半徑為八則當(dāng)點(diǎn)P在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí),廠的值滿足
()
A.0<r<3B.r=3c.3<r<372D.r=342
二、填空題
6.如圖,。。是AABC的外接圓,ABAC=45°,AD,3c于點(diǎn)。,延長(zhǎng)AD交0。于點(diǎn)E,若BD=4,
CD=l,則。上的長(zhǎng)是.
7.△ABC內(nèi)接于O。,且A3=4。,點(diǎn)。到3c的距離為3,圓的半徑為5,則的長(zhǎng)是—.
8.如圖,AB是。。的直徑,且42=4,點(diǎn)C是半圓AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,8重合),CD平分NACB交。。
于點(diǎn)。,點(diǎn)/是AABC的內(nèi)心,連接BO.下列結(jié)論:
①點(diǎn)D的位置隨著動(dòng)點(diǎn)C位置的變化而變化;
②ID=BD;
③a的最小值為0—1;
@AC+BC=^2CD.
其中正確的是.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)
c
B
D
9.如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成,點(diǎn)A、B,C、在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為
(3,6),(-3,3),(7,—2),則△ABC內(nèi)心的坐標(biāo)為
10.若三角形的三邊長(zhǎng)分別是6、8、10,則這個(gè)三角形的內(nèi)心與外心之間的距離為
三、解答題
11.問題提出
(1)如圖①,在AABC中,AB=AC=IO,8c=12,點(diǎn)。是△ABC的外接圓的圓心,則的長(zhǎng)為
問題探究
(2)如圖②,已知矩形ABC。,AB=4,AZ)=6,點(diǎn)E為的中點(diǎn),以BC為直徑作半圓O,點(diǎn)尸為半圓
。上一動(dòng)點(diǎn),求£、尸之間的最大距離;
問題解決
(3)某地有一塊如圖③所示的果園,果園是由四邊形ABC。和弦C8與其所對(duì)的劣弧場(chǎng)地組成的,果園主
人現(xiàn)要從入口。到上的一點(diǎn)尸修建一條筆直的小路。P.已知AO〃BC,ZA£)B=45°,80=120夜米,
BC=160米,過(guò)弦BC的中點(diǎn)E作成U8C交BC于點(diǎn)孔又測(cè)得EF=40米.修建小路平均每米需要40
元(小路寬度不計(jì)),不考慮其他因素,請(qǐng)你根據(jù)以上信息,幫助果園主人計(jì)算修建這條小路最多要花費(fèi)多
少元?
12.如圖,ZA=ZB,=點(diǎn)。在AC邊上,Zl=Z2.
(1)求證:AAEC2ABED;
(2)若NC=75。,求NAEB的度數(shù);
(3)若NAEC=90°,當(dāng)AAEC的外心在直線QE上時(shí),CE=2,求AE的長(zhǎng).
13.如圖,半圓D的直徑AB=6,線段OA=10,。為原點(diǎn),點(diǎn)B在數(shù)軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B在數(shù)軸上
所表示的數(shù)為m.
(1)當(dāng)半圓D與數(shù)軸相切時(shí),求m;
(2)半圓D與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn),設(shè)另一個(gè)公共點(diǎn)為C,
①直接寫出m的取值范圍是;
②當(dāng)半圓D被數(shù)軸截得的弦長(zhǎng)為3時(shí),求半圓D在△AOB內(nèi)部的弧長(zhǎng);
(3)當(dāng)AAOB的內(nèi)心、外心與某一個(gè)頂點(diǎn)在同一條直線上時(shí),求cos/AOB的值.
14.如圖,在NDAM內(nèi)部做RSABC,AB平分/DAM,ZACB=90°,AB=10,AC=8,點(diǎn)N為BC的
中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)E由A點(diǎn)出發(fā),沿AB運(yùn)動(dòng),速度為每秒5個(gè)單位,動(dòng)點(diǎn)F由A點(diǎn)出發(fā),沿AM運(yùn)動(dòng),速度為
每秒8個(gè)單位,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),過(guò)A、E、F作。O.
備用圖1備用圖2
(1)判斷△AEF的形狀為,并判斷AD與。O的位置關(guān)系為;
(2)求t為何值時(shí),EN與。O相切,求出此時(shí)OO的半徑,并比較半徑與劣弧AE長(zhǎng)度的大小;
(3)直接寫出AAEF的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為;(注:當(dāng)A、E、F重合時(shí),內(nèi)心就是A點(diǎn))
(4)直接寫出線段EN與。O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),t的取值范圍為.
3324247
(參考數(shù)據(jù):sin37°=-,tan370=-,tan74°~—,sin74°--~■,cos74°=一)
5472525
15.如圖,已知△A6C,NA=60。,△ABC的內(nèi)切圓/分別切邊A5,AC于點(diǎn)直線。石分別與直線
5/,C/相交于點(diǎn)尸,G.求證:FG=-BC.
2
16.如圖,AB為。。的直徑,點(diǎn)C為AB下方的一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)0C,過(guò)點(diǎn)。作OOLOC交8C于點(diǎn)。,過(guò)
點(diǎn)C作的垂線,垂足為R交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:EC=ED.
(2)當(dāng)OE=OD,AB=4時(shí),求OE的長(zhǎng).
0E
(3)設(shè)---------XtanB=y.
ED
①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
②若△COD的面積是△80。的面積的3倍,求y的值.
17.如圖,。。為AA8C的外接圓,直線與。。相切于點(diǎn)C,眩BD〃MN,AC與8。相交于點(diǎn)E.
(1)求證:ZCAB=ZCBD;
(2)若8C=5,BD=8,求。。的半徑.
18.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,且對(duì)角線ACLBD,垂足為點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CFLAB于點(diǎn)F,交BD
于點(diǎn)G.
(1)如圖①,連接EF,若EF平分/AFG,求證:AE=GE;
3
(2)如圖②,連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H,若CH為/ACF的平分線,AD=3,且tan/FBG=—,求線
4
段AH長(zhǎng)
19.如圖,在AABC中,AB=AC。是底邊3c上一點(diǎn),E是線段AD上一點(diǎn),且
ZBED=2/CED=ZA.
求證:BD=2CD.
20.如圖所示,0。為△ABC的外接圓,BC為直徑,AD平分NBAC交。。于D,點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心,
DM=5&,AB=8,求0M的長(zhǎng).
40第7章圓之內(nèi)外心綜合
一、單選題
1.10個(gè)大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內(nèi),A、B、C、D、E、。均是正六
邊形的頂點(diǎn).則點(diǎn)。是下列哪個(gè)三角形的外心().
A.AAEDB.ZxABDC.ZxBCDD.AACD
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì),到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,可以依次判斷.
【詳解】答:因?yàn)槿切蔚耐庑牡饺切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)的距離相等,所以由正六邊形性質(zhì)可知,點(diǎn)O到A,B,
C,D,E的距離中,只有OA=OC=OD.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形外心的性質(zhì),即到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
2.已知等邊三角形A8C.如圖,
(I)分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點(diǎn);
2
(2)作直線交于點(diǎn)。;
(2)分別以點(diǎn)A,c為圓心,大于LAC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于H,L兩點(diǎn);
2
(3)作直線乩交AC于點(diǎn)E;
(4)直線MN與直線HL相交于點(diǎn)O;
(5)連接OA,OB,OC.
根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形,下列結(jié)論:①OB=2OE;②AB=20A;?OA=OB=OC-④NDOE=120°,
正確的是()
A.①②③④B.①③④C.①②③D.③④
【答案】B
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),三角形的外心,三角形的內(nèi)心的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】解:由作圖可知,點(diǎn)。是△ABC的外心,
,/AABC是等邊三角形,
點(diǎn)。是△ABC的外心也是內(nèi)心,
:.OB=2OE,0A=OB=OC,
ZBAC=6Q°,ZADO=ZA£O=90°,
AZDOE=180°-60°=120°,
故①③④正確,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖,線段的垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟
練掌握基本知識(shí),屬于中考常考題型.
3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),AAOB為咫A,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0),ZBAO=60°,把
HfAAOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到處AAOE,則&AACXB'的外接圓圓心坐標(biāo)是()
ni+⑸
D.
\27
【答案】A
【分析】取AB,中點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作PELx軸,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AB,,/BAB,=90。,ZB'O'A
=NBOA=90。,先說(shuō)明H/AAOE的外接圓圓心為點(diǎn)P,再利用點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0),ZBAO=60°,求
得AB長(zhǎng),進(jìn)而可得AB,的長(zhǎng),在求得/PAE=30。,在RtAPAE中,利用30。角的性質(zhì)及勾股定理即可求得
答案.
【詳解】解:如圖,取AB,中點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作PELx軸,垂足為點(diǎn)E,連接PO,,
:把如AAO5繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到RtAACfB',
.\AB=AB',ZBAB'=90°,ZB'O'A=ZBOA=90°,
;點(diǎn)P為AB,的中點(diǎn),
1
.\PA=PB'=PO'=—AB',
2
RiAAOB'的外接圓圓心為點(diǎn)P,
VZBAO=60°,ZAOB=90°,
???NABO=90。一NBAO=30。,
.*.OA=—AB,
2
???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),
AOA=1,
???AB'=AB=2OA=2,
APA=—ABf=l,
2
VZBAB'=90°,ZBAO=60°,
???ZPAE=180°-ZBAB'-ZBAO=30°,
11
.PE=_PA=—
2
.?.在RtAPEA中,AE=\IPA2-PE2=
(61、
???點(diǎn)p的坐標(biāo)為1+-^-?—
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理,直角三角形的外接圓等相關(guān)知識(shí),熟練掌握
含30。角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.
4.已知等邊三角形的周長(zhǎng)為6,則它的內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)面積為()
A.6兀B.3兀C.7iD.2兀
【答案】C
【分析】根據(jù)題意畫出圖形,由等邊三角形的周長(zhǎng)為6,可得BC=2,設(shè)點(diǎn)D為BC邊與內(nèi)切圓的切點(diǎn),連
接AD,則ADLBC,可得BD=DC=,BC=1,再根據(jù)勾股定理可得OB?-OD2=BD2=1,再根據(jù)S圓環(huán)
2
=S外接圓-S內(nèi)切圓即可得結(jié)論.
【詳解】解:如圖,
;等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為6,
:.BC=2,
設(shè)點(diǎn)D為BC邊與內(nèi)切圓的切點(diǎn),
連接AD,貝IJADLBC,
.*.BD=DC=—BC=1,
2
在RtABOD中,根據(jù)勾股定理,得
OB2-OD2=BD2=1,
,,S外接圓-S內(nèi)切g(shù)i
=OB2TT-0D?兀
=BD2兀
—n.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與內(nèi)切圓,掌握正三角形的外接圓與內(nèi)切圓半徑求算是解題關(guān)鍵.
5.如圖,扇形AOO中,Z4OD=90。,0A=6,點(diǎn)P為弧上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A和D重合),PQLOD
于Q,點(diǎn)/為△OPQ的內(nèi)心,過(guò)O,/和。三點(diǎn)的圓的半徑為廠.則當(dāng)點(diǎn)P在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí),廠的值滿足
ooD
A.0<r<3B.r=3C.3<r<372D.r=342
【答案】D
【分析】連OI,PI,DL由AOPH的內(nèi)心為I,可得到/PIO=18(r-/IPO-NIOP=:180。-^-(ZHOP+ZOPH)
2
=135°,并且易證△OPIg^ODL得到/DIO=NPIO=135。,所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦,并且所對(duì)的圓周角為
135。的一段劣弧上;過(guò)D、I、0三點(diǎn)作。0—如圖,連0D,0'0,在優(yōu)弧A0取點(diǎn)P,連PD,Pf0,可得
/DP'O=180°-135°=45°,得/D0'0=90°,0'0=3亞.
【詳解】解:如圖,連OLPLDL
,?AOPH的內(nèi)心為I,
AZI0P=ZI0D,ZIPO=ZIPH,
二ZPIO=180°-ZIPO-ZIOP=180°-—(ZHOP+ZOPH),
2
而PH_LOD,即NPHO=90。,
/.ZPIO=180°-—(ZHOP+ZOPH)=180°--(180°-90°)=135°,
22
在^OPI^AODI中,
IO=IO
<ZPOI=ZDOI,
OD=OP
.,.△OPI^AODI(SAS),
.\ZDIO=ZPIO=135°,
所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦,并且所對(duì)的圓周角為135。的一段劣弧上;
過(guò)D、I、O三點(diǎn)作。0、如圖,連0D,09,
在優(yōu)弧DO取點(diǎn)P,連PD,P,O,
VZDIO=135°,
ZDP,O=180°-135°=45°,
:.ZDO'O=90°,而OD=6,
.?.OO,=DCT=3萬(wàn)
,r的值為3亞,
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)
鍵.
二、填空題
6.如圖,。。是AABC的外接圓,ABAC=45°,AD,3c于點(diǎn)。,延長(zhǎng)AD交0。于點(diǎn)E,若5r)=4,
CD=l,則。石的長(zhǎng)是.
A
【答案]/二5
2
【分析】連結(jié)OB,OC,OA,過(guò)。點(diǎn)作OFLBC于F,作OG_LAE于G,根據(jù)圓周角定理可得/BOC=90。,
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得DG,AG,可求AD,再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求DE.
【詳解】解:連結(jié)OB,OC,0A,過(guò)。點(diǎn)作OF_LBC于F,作OG_LAE于G,
?.?OO是^ABC的外接圓,ZBAC=45°,
.,.ZBOC=90°,
,.?BD=4,CD=1,
ABC=4+1=5,
.?.OB=OC=^^,
2
5/95
???OA=^^,OF=BF=—,
22
3
ADF=BD-BF=-,
2
35
:.OG=-,GD=一,
22
在R3AGO中,AG=J(M2_OG2=典,
2
???AD=AG+GD=向+5,
2
連接BE,AD與BE相交于D,
;./BED=/ACD,ZBDE=ZADC,
.,.△BDE^AADC,
BDDE
AD—CD
“BDCD4x1歷—5
DE=----------=—1=——=-----------
ADa—52
2
故答案為:中
【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的外接圓與外心,勾股定理,圓周角定理,等腰直角三角形的性質(zhì),相似三角形的
判定和性質(zhì),解題的難點(diǎn)是求出AD的長(zhǎng).
7.△ABC內(nèi)接于O。,且A3=A。,點(diǎn)。到3c的距離為3,圓的半徑為5,則的長(zhǎng)是.
【答案】4亞或2亞
【分析】如圖(見解析),過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D,先根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得AD為BC的垂
直平分線,再根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)可知圓心點(diǎn)O在直線AD上,然后分AABC為銳角等腰三角形和鈍
角等腰三角形兩種情況,分別利用勾股定理即可得.
【詳解】如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD,3c于點(diǎn)D
-.-AB=AC
.?.△ABC為等腰三角形
.?.AD為BC的垂直平分線(等腰三角形的三線合一)
?.?△A3C內(nèi)接于0。
???圓心點(diǎn)O在直線AD上
由題意得:OD=3,OA=OB—5
根據(jù)AABC的形狀,分以下兩種情況:
(1)如圖1,AABC為銳角等腰三角形
:.AD=OD+OA=3+5=8,BD=y/OB"-OD1=752-32=4
在RtAABD中,Afi=ylAD2+BD2=782+42=475
(2)如圖2,AABC為鈍角等腰三角形
,AD=6M-8=5-3=2,BD=\/OB2-OD2=A/52-32=4
在RtAAB。中,AB=VAD2+BD2=A/22+42=2^/5
綜上,AB的長(zhǎng)為4君或2j?
故答案為:46■或2逐.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),利用三角形外
接圓的性質(zhì)得出圓心點(diǎn)0的位置是解題關(guān)鍵.
8.如圖,A2是。。的直徑,且48=4,點(diǎn)C是半圓AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,3重合),CD平分/ACB交。0
于點(diǎn)。,點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心,連接80.下列結(jié)論:
①點(diǎn)D的位置隨著動(dòng)點(diǎn)C位置的變化而變化;
②ID=BD;
③a的最小值為四—1;
@AC+BC=y/2CD.
其中正確的是.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)
【答案】②④
【分析】①在同圓或等圓中,根據(jù)圓周角相等,則弧相等可作判斷;
②連接小,根據(jù)點(diǎn)/是AABC的內(nèi)心,得到NAB/=NCB/,可以證得ZDBI=ADIB,即有m=
可以判斷②正確;
③當(dāng)01最小時(shí),C£)經(jīng)過(guò)圓心。,作花,3C,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理,可求出10=272-2,
可判斷③錯(cuò)誤;
④用反證法證明即可.
【詳解】解:?.?CD平分N4c8,A8是。。的直徑,
:.ZACD=ZBCD=45,
AD=BD'
QAB是0。的直徑,
二。是半圓的中點(diǎn),即點(diǎn)。是定點(diǎn);
故①錯(cuò)誤;
如圖示,連接/8,
丁點(diǎn)/是AA8C的內(nèi)心,
:.ZABI=ZCBI
又ZABD=ZACD=45。,
NDBI=ZABD+ZABI=45+ZABI
ADIB=NDCB+ZCBI=45°+ZABI
即有ND5/=ND/B
ID=BD,
故②正確;
如圖示,當(dāng)。/最小時(shí),CD經(jīng)過(guò)圓心。,
過(guò)/點(diǎn),作/E,3C,交BC于E點(diǎn)、
c
?.,點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心,CD經(jīng)過(guò)圓心0,
IO=IE,
???ZBCD=^5°
:.AW是等腰直角三角形,
又,:AB=4,
:.IC=2,
設(shè)/O=x,則7E=CE=x,IC=2-x,
'?%2+%2=(2-%)2,
解之得:x=2逝-2,
即:10=2垃-2,
故③錯(cuò)誤;
AC+BC>/2CD,
:點(diǎn)C是半圓AB上一動(dòng)點(diǎn),
則點(diǎn)C在半圓上對(duì)于任意位置上都滿足AC+BC^辰D,
如圖示,
c
當(dāng)CD經(jīng)過(guò)圓心。時(shí),AC=BC=2四,CD=4,
AC+BC=2五+2近=4五=&CD
與假設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立,
;?AC+BC=s/2CD
故④正確;
綜上所述,正確的是②④,
故答案是:②④
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)心的定義和性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),三角形外接圓有關(guān)的性
質(zhì),角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn),熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
9.如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成,點(diǎn)A、B,C、在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為
(3,6),(—3,3),(7,-2),則AABC內(nèi)心的坐標(biāo)為.
【答案】(2,3)
【分析】根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)建立如圖所示的坐標(biāo)系,計(jì)算出△ABC各邊的長(zhǎng)度,易得該三角形是直
角三角形,設(shè)BC的關(guān)系式為:y=kx+b,求出BC與x軸的交點(diǎn)G的坐標(biāo),證出點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于BD對(duì)稱,
射線BD是/ABC的平分線,三角形的內(nèi)心在BD上,設(shè)點(diǎn)M為三角形的內(nèi)心,內(nèi)切圓的半徑為r,在BD
上找一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MELAB,過(guò)點(diǎn)M作MFJ_AC,且ME=MF=r,求出r的值,在ABEM中,利用
勾股定理求出BM的值,即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo).
【詳解】解:根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)建立如圖所示的坐標(biāo)系,
根據(jù)題意可得:2222BC=22
AB=A/3+6=375>AC=74+8=4A/5>75+10=545'
AB-+AC2=BC。,
:.ZBAC=90°,
設(shè)BC的關(guān)系式為:y=kx+b,
代入B(—3,3),C(7,—2),
3=—3k+b
可得<
-2=7k+b
k=--
解得:\2,
b=-
[2
.13
?"BC:y=—x—,
.22
當(dāng)y=0時(shí),x=3,即G(3,0),
點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于BD對(duì)稱,射線BD是NABC的平分線,
設(shè)點(diǎn)M為三角形的內(nèi)心,內(nèi)切圓的半徑為r,在BD上找一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MELAB,過(guò)點(diǎn)M作MFLAC,
且ME=MF=r,
VZBAC=90°,
,四邊形MEAF為正方形,
SAABC二—ABxAC———ABxrH—ACxrH—BCxr,
2222
解得:r=5/5,
即AE=EM=V5>
:.BE=34后=2下,
BM=y]BE-+EM2=5,
VB(-3,3),
:.M(2,3),
故答案為:(2,3).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)心、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)的解析式、勾股定理和正方形的判定與性質(zhì)等
相關(guān)知識(shí)點(diǎn),把握內(nèi)心是三角形內(nèi)接圓的圓心這個(gè)概念,靈活運(yùn)用各種知識(shí)求解即可.
10.若三角形的三邊長(zhǎng)分別是6、8、10,則這個(gè)三角形的內(nèi)心與外心之間的距離為.
【答案】V5
【分析】先說(shuō)明三角形三邊是直角三角形,再根據(jù)直角三角形可確定三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)和直角三
角形內(nèi)切圓半徑公式確定內(nèi)切圓的半徑,然后用勾股定理解答即可.
【詳解】解:如圖::三角形的三邊長(zhǎng)為BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm
???三角形為直角三角形
,直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn),即AD=BD=-AB=5
2
由直角三角形內(nèi)切圓半徑公式:Q+Z?-C=6+8~10=2即OE=2
22
VOFXBC,OG±AC
.,.CF=CG=0F=0G=2,
;.BE=FB=4,BD=5
/.DE=BD-BE=1
在RtAODE中,DE=1,OE=2
???OD=y/DE2+OE2=A/F+2?=6?
故答案為b.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理、直角三角形外心與內(nèi)心有關(guān)知識(shí),根據(jù)直角三角形的性質(zhì)確定直角三
角形的內(nèi)心和外心是解答本題的關(guān)鍵.
三、解答題
11.問題提出
(1)如圖①,在AABC中,AB=AC=10,BC=12,點(diǎn)。是△ABC的外接圓的圓心,則08的長(zhǎng)為
問題探究
(2)如圖②,已知矩形ABC。,AB=4,AO=6,點(diǎn)E為的中點(diǎn),以BC為直徑作半圓。,點(diǎn)尸為半圓
。上一動(dòng)點(diǎn),求E、尸之間的最大距離;
問題解決
(3)某地有一塊如圖③所示的果園,果園是由四邊形ABC。和弦CB與其所對(duì)的劣弧場(chǎng)地組成的,果園主
人現(xiàn)要從入口。到上的一點(diǎn)尸修建一條筆直的小路。P己知AO〃2C,NADB=45。,加>=120夜米,
8C=160米,過(guò)弦3c的中點(diǎn)E作EFL8C交于點(diǎn)孔又測(cè)得EP=40米.修建小路平均每米需要40
元(小路寬度不計(jì)),不考慮其他因素,請(qǐng)你根據(jù)以上信息,幫助果園主人計(jì)算修建這條小路最多要花費(fèi)多
少元?
圖①圖②
【答案】(1)―;(2)E、尸之間的最大距離為7;(3)修建這條小路最多要花費(fèi)(800+4000)元.
【分析】(1)若AO交BC于K,則AK=8,在RtaBOK中,設(shè)OB=x,可得x2=6?+(8-x)2,解方程
可得OB的長(zhǎng);
(2)延長(zhǎng)EO交半圓于點(diǎn)P,可求出此時(shí)E、P之間的最大距離為OE+OP的長(zhǎng)即可;
(3)先求出8C所在圓的半徑,過(guò)點(diǎn)D作DGLBC,垂足為G,連接DO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,則DP為
入口D到8c上一點(diǎn)P的最大距離,求出DP長(zhǎng)即可求出修建這條小路花費(fèi)的最多費(fèi)用.
【詳解】(1)
/\
BKC
如圖,若AO交BC于K,
丁點(diǎn)0是△ABC的外接圓的圓心,AB=AC,
AAKXBC,BK=-BC=6,
2
?*-AK=^AB--AK2=8,
在RtABOK中,OB2=BK2+OK2,設(shè)OB=X,
x2—62+(8-x)2,
25
解得x=不,
4
25
???OB=——;
4
故答案為:—.
4
如圖,連接EO,延長(zhǎng)EO交半圓于點(diǎn)P,可求出此時(shí)E、P之間的距離最大,
;在是任意取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的P',連接OP',P'E,
EP=EO+OP=EO+OPr>EP\即EP>EP;
VAB=4,AD=6,
,EO=4,OP=OC=-BC=3,
2
.,.EP=OE+OP=7,
;.E、P之間的最大距離為7.
(3)
作射線FE交BD于點(diǎn)M,
VBE=CE,EF±BC,6c是劣弧,
BC所在圓的圓心在射線FE上,
假設(shè)圓心為0,半徑為r,連接OC,則OC=r,OE=r-40,BE=CE=-BC=80,
2
在RtAOEC中,r2=802+(r-40)2,
解得:r=100,
???OE=OF—EF=60,
過(guò)點(diǎn)D作DGLBC,垂足為G,
VAD//BC,NADB=45。,
.*.ZDBC=45O,
BD
在RtABDG中,DG=BG=~產(chǎn)二120,
V2
在RtABEM中,ME=BE=80,
AME>OE,
???點(diǎn)。在ABDC內(nèi)部,
???連接DO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)P,則DP為入口D到BC上一點(diǎn)P的最大距離,
?..在上任取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的點(diǎn)P',連接OP',P'D,
DP=OD+OP=OD+OP,>DP,,即DP>DP\
過(guò)點(diǎn)0作OH_LDG,垂足為H,則OH=EG=40,DH=DGHG=DG-OE=60,
?*-OD=>/OH2+DH2=20V13,
?*.DP=OD+r=20A/13+100,
,修建這條小路最多要花費(fèi)40x(20^/13+100)=(800W+4000)元.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的性質(zhì)與矩形性質(zhì)的綜合運(yùn)用,熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.
12.如圖,ZA=ZB,=點(diǎn)。在AC邊上,Zl=Z2.
(1)求證:AAEC貯ABED;
(2)若NC=75。,求NAEB的度數(shù);
(3)若NAEC=90°,當(dāng)AAEC的外心在直線。E上時(shí),CE=2,求AE的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)ZA£B=30°;(3)AE=243
【分析】(1)由三角形的外角的性質(zhì)可得ZDCE=ZBDE,由“A4S”可證ABDE絲AACE;
(2)由全等三角形的性質(zhì)可求DE=EC,ZBED=ZAEC,可得NEDC=NC=75°,即可求解;
(3)由直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn),可得點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),可證△ECD是等邊三角形,可得ZC=60°,
即可求解.
【詳解】證明:(1);ZADE=N1+NDCE=N2+NBDE,且N1=N2,
:.ZDCE=ABDE,
VZA^ZB,AE=BE,
:.AAEC^ABED(AAS)
(2)-.-AAEC^ABE£),
:.DE=EC,ZBED=ZAEC,
.-.Z£DC=ZC=75°,
.?.Zl=180°-2x75°=30°,
?:NBED=ZAEC,
:.ZAEB=Z1=30°;
(3)vZAEC=90°,
.△AEC的外心是斜邊AC的中點(diǎn),
?.?△AEC的外心在直線DE上,
二點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),
AD=CD=DE,
又;DE=EC,
CD=EC=DE,
.?.△ECD是等邊三角形,
,-.ZC=60°,
AE=J3EC=273.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓和外心,全等三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),等腰三角形
的判定和性質(zhì),靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.
13.如圖,半圓D的直徑AB=6,線段OA=10,0為原點(diǎn),點(diǎn)B在數(shù)軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B在數(shù)軸上
所表示的數(shù)為m.
(1)當(dāng)半圓D與數(shù)軸相切時(shí),求m;
(2)半圓D與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn),設(shè)另一個(gè)公共點(diǎn)為C,
①直接寫出m的取值范圍是;
②當(dāng)半圓D被數(shù)軸截得的弦長(zhǎng)為3時(shí),求半圓D在△AOB內(nèi)部的弧長(zhǎng);
(3)當(dāng)AAOB的內(nèi)心、外心與某一個(gè)頂點(diǎn)在同一條直線上時(shí),求cos/AOB的值.
【分析】(1)由切線的性質(zhì)得出ABLOB,由勾股定理即可得答案;
(2)①半圓D與數(shù)軸相切時(shí),只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)m=8,當(dāng)O、A、B三點(diǎn)在數(shù)軸上時(shí),m=16或m=4,
即可得出答案;
②連接DC,證△BCD為等邊三角形,得出NBDC=60。,則/ADC=120。,由弧長(zhǎng)公式即可得出答案;
(3)分兩種情況,由勾股定理和三角函數(shù)定義分別求解,即可得出答案.
【詳解】解:(1)當(dāng)半圓D與數(shù)軸相切時(shí),ABXOB,
由勾股定理得:m=VOA2-AB2=A/102-62=8,
故答案為:8;
(2)①???半圓D與數(shù)軸相切時(shí),只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)m=8,
當(dāng)O、A、B三點(diǎn)在數(shù)軸上時(shí),m=10+6=16或m=10-6=4,
二半圓D與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),m的取值范圍為:4WmW16且m,8,
故答案為:4勺把16且n#8;
②連接DC,如圖1所示:
圖1
當(dāng)BC=3時(shí),
;半圓D的直徑AB=6,
;.CD=BD=3,
AABCD為等邊三角形,
.\ZBDC=60°,
AZADC=120°,
nnr1OQy77-x3
半圓D在△AOB內(nèi)部的弧長(zhǎng)=j==2乃;
180180
(3)①當(dāng)OB=AB時(shí),內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)B在同一條直線上,
過(guò)點(diǎn)A作AHLOB于點(diǎn)H,如圖2所示:
設(shè)BH=x,
由勾股定理得:102一(6+X)2=62-X2,
7
解得:x=-,,
3
725
...OH=6+—=—
33
25
3_5;
cosZAOB==
OA106
②當(dāng)OB=OA時(shí),內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)O在同一條直線上,
過(guò)點(diǎn)A作AH_LOB于點(diǎn)H,如圖3所示:
設(shè)BH=x,
由勾股定理得:102_(10-x)』62-x2,
9
解得:X=-
941
???OH=10--=—
55
41
CH
cosZAOB=------
OA1050
5、41
綜上所述,cosZAOB的值為一或一.
65
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題目,考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股
定理、三角函數(shù)定義、三角形的內(nèi)心和外心以及弧長(zhǎng)公式等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),有一定難度.
14.如圖,在/DAM內(nèi)部做RSABC,AB平分NDAM,ZACB=90°,AB=10,AC=8,點(diǎn)N為BC的
中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)E由A點(diǎn)出發(fā),沿AB運(yùn)動(dòng),速度為每秒5個(gè)單位,動(dòng)點(diǎn)F由A點(diǎn)出發(fā),沿AM運(yùn)動(dòng),速度為
每秒8個(gè)單位,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),過(guò)A、E、F作。O.
備用圖1備用圖2
(1)判斷△AEF的形狀為,并判斷AD與。O的位置關(guān)系為
(2)求t為何值時(shí),EN與。O相切,求出此時(shí)。。的半徑,并比較半徑與劣弧AE長(zhǎng)度的大小;
(3)直接寫出AAEF的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為;(注:當(dāng)A、E、F重合時(shí),內(nèi)心就是A點(diǎn))
(4)直接寫出線段EN與。O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),t的取值范圍為.
3324247
(參考數(shù)據(jù):sin37°=—,tan37°=—,tan74°=—,sin74°~一,os74°=—)
54725C25
【答案】(1)等腰三角形,相切;(2)t=l,半徑為V,劣弧AE長(zhǎng)度大于半徑;(3)當(dāng)0;(4)
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)E作EHLAF于H,連接OA、OE、OH,由勾股定理求出BC=JAB?—AC?=6,設(shè)
AEAB
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3則AE=5t,AF=8t,證明AEAHs^BAC,得出——=——,求出AH=4t,則FH=AF-
AHAC
AH=4t,AH=FH,得出△AEF是等腰三角形,證明E、H、O三點(diǎn)共線,得出NOAF+NAOE=90。,由
AB平分NDAM,得出/DAE=NEAF=/EFA,由圓周角定理得出/AOE=2/EFA,則/DAF+/OAF=
90。=/DAO,即OAJ_AD,即可得出AD與。O相切;
(2)連接OA、OF、OE,OE于AC交于H,易證四邊形EHCN為矩形,得出EH=NC,由勾股定理得出
EH=JAE?-AH2=3t,則NC=3t,BC=2NC=6t,由BC=6,得出t=l,則AH=4,EH=3,設(shè)。。
257?4
的半徑為x,則OH=x-3,由勾股定理得出OA2=OH2+AH2,解得x=——,得出OH=-,tanZAOH=—,
667
得出NAOH=74。,由/AOH=60。時(shí),AAOE是等邊三角形,AE=OA,74°>60°,得出AE>OA,則劣
MAE長(zhǎng)度的大于半徑;
(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),t=2,AF=16,AE=EF=AB=10,此時(shí)△AEF的內(nèi)心記為G,當(dāng)A、E、F
重合時(shí),內(nèi)心為A點(diǎn),△AEF的內(nèi)心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為AG,作GPLAE于P,GQLEF于Q,連接AG、GF,
則CG=PG=NQ,SAAEF=—AF*BC=48,設(shè)CG=PG=NQ=a,貝!]SAAEF=SAAGF+SAAEB+SAFEG=
—AF?CG+—AE?PG+—EF?NQ=—x(16+10+10)a=48,解得a=§,由勾股定理得出AC2+CG2=AG2,
22223
得出AG=8⑩;
3
(4)分別討論兩種極限位置,①當(dāng)EN與。。相切時(shí),由(2)知,t=l;②當(dāng)N在。。上,即ON為。O
的半徑,連接OA、ON、OE,OE交AC于H,過(guò)點(diǎn)O作OKLBC于K,則四邊形OKCH為矩形,OA=
OE=ON,得出OH=CK,AH=4t,EH=3t,設(shè)。。的半徑為x,由勾股定理得出AH2+OH2=OA2,解得X
25773
=——t,則OH=CK=—t,由勾股定理得出OK2+KN2=ON2,解得t=一,即可得出結(jié)果.
6657
【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)E作EHLAF于H,連接OA、OE、OH,如圖1所示:
BC=7AB2-AC2=6,
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則AE=5t,AF=8t,
VZAHE=ZACB=90°,ZEAH=ZBAC,
AAEAH^ABAC,
.AEAB5t10
..----=----,即nn----=—,
AHACAH8
.*.AH=4t,
.*.FH=AF-AH=8t-4t=4t,
;.AH=FH,
VEHXAF,
...△AEF是等腰三角形,
E為4尸的中點(diǎn),ZEAF=ZEFA,
VAH=FH,
.".OHXAC,
;.E、H、O三點(diǎn)共線,
ZOAF+ZAOE=90°,
VAB平分/DAM,
/DAE=ZEAF=ZEFA,
ZAOE=2ZEFA,
ZAOE=ZDAE+ZEAF=ZDAF,
ZDAF+ZOAF=90°=ZDAO,即OAJ_AD,
:OA為。O的半徑,
;.AD與。O相切;
故答案為:等腰三角形,相切;
(2)連接OA、OF、OE,OE于AC交于H,如圖2所示:
由(1)知:EH±AC,
TEN與。0相切,
???NOEN=90。,
VZACB=90°,
???四邊形EHCN為矩形,
???EH=NC,
在RtAAHE中,EH=y/AE2-AH2=33
???NC=3t,
???點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),
???BC=2NC=6t,
???BC=
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 【正版授權(quán)】 CISPR PAS 39:2024 EN-FR Electromagnetic compatibility (EMC) - Conducted emission requirements on the low voltage AC mains port in the frequency range 9 kHz to 150 kHz for eq
- 2025至2030中國(guó)現(xiàn)場(chǎng)護(hù)理測(cè)試(POCT)行業(yè)產(chǎn)業(yè)運(yùn)行態(tài)勢(shì)及投資規(guī)劃深度研究報(bào)告
- 2025至2030中國(guó)玉米油行業(yè)發(fā)展趨勢(shì)分析與未來(lái)投資戰(zhàn)略咨詢研究報(bào)告
- 家校聯(lián)結(jié)科技鋪路
- 智慧城市基礎(chǔ)設(shè)施的智能化運(yùn)維策略
- 智慧城市公共空間LED照明的智能化管理
- 從文化交流角度看籃球教育的國(guó)際化
- 教育游戲化設(shè)計(jì)原則與挑戰(zhàn)共克
- 商業(yè)培訓(xùn)中LMS的效果評(píng)估與案例分享
- 增強(qiáng)教育行業(yè)的數(shù)據(jù)保護(hù)能力與技術(shù)創(chuàng)新研究
- 行車特種設(shè)備試題及答案
- 食品工廠5S管理
- 銀行崗前培訓(xùn)內(nèi)容
- 墨水制備研究
- “雙減”政策實(shí)施中的挑戰(zhàn)與機(jī)遇
- 酒店安全生產(chǎn)責(zé)任制清單
- 人工智能技術(shù)在供應(yīng)鏈管理中的應(yīng)用研究綜述
- EPC國(guó)際工程稅收爭(zhēng)議案例分析與風(fēng)險(xiǎn)防范策略
- 醫(yī)學(xué)ICU月膿毒血癥護(hù)理查房課件
- 3.5-跨學(xué)科實(shí)踐:探索廚房中的物態(tài)變化問題(課件)八年級(jí)物理上冊(cè)(人教版2024)
- 2023-2024學(xué)年上海市普陀區(qū)三年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論