重難點08立體幾何中的外接球與內(nèi)切球

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預(yù)測

該難點以選擇題、填空題為主，重點考有幾何體的外接球可能延續(xù)多面體外接球計算，重點關(guān)注組合體（如直

半徑或表面積計算。高頻考點包括直棱柱外接球（需確定三棱柱與球體的結(jié)合）或動態(tài)幾何問題，需強化典型

球心位置及勾股定理人正四面體外接球（通過補形為正方題型訓(xùn)練，提升空間思維與計算效率

體求半徑）圓錐/圓柱模型（結(jié)合體積公式推導(dǎo)）

重難點題型解讀

題型1正（長）方體、柱體的外接球

1I----------------

①長（正）方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半,即R三年+b2+c2

②.柱體模型：外接球半徑公式：7?=^|J+r2（力為柱體的高，「為底面（外接）圓的半徑）

匚7而工W篙三工Z海崩茉黃熊萬1信藤七浮’廠苗至芳裱的，灌球;網(wǎng)蕭萬商芮贏而箭標標麗二

2.（2022?北京?三模）一個底面積為1的正四棱柱的頂點都在同一球面上，若此球的表面積為20兀，則該四

棱柱的高為（）

A.y/3B.2C.30D.V19

3.（2025屆高三下學期天津市三校緩適性交流練習數(shù)學試題）直三棱柱ABC-A4G的各條棱長均為2,D

為棱耳G中點，則點。到直三棱柱ABC-A4G的外接球球心的距離是（）

A739R2A/3rV21N2A/2

3333

4.（2022?陜西西安?模擬預(yù)測）長方體的過一個頂點的三條棱長分別是2,4,4,則該長方體外接球的表面

積為（）

A.9nB.187rC.36萬D.48萬

5.（2025屆高三下學期東北三省部分高中聯(lián)盟聯(lián)合調(diào)研模擬數(shù)學試題）如圖，宮燈又稱宮廷花燈，是中國

彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一.現(xiàn)制作一件三層六角宮燈模型，三層均為正六棱柱（內(nèi)部全空）,

其中模型上、下層的底面周長均為120cm,高為5cm.現(xiàn)在其內(nèi)部放入一個體積為36戒0?的球形燈，且球形

燈球心與各面的距離不少于9cm.則該模型的側(cè)面積至少為

題型2補成長方體模型

模型1:三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直

模型2：有一側(cè)棱垂直于底面，底面為直角三角形的三棱錐

模型3：若三棱錐的對棱兩兩相等，則每條對棱為長方體的面對角線，如圖，則外接球直徑公式為

2RIC"（其中辦〃，夕為三組對棱的長度）

1.（2024?甘肅白銀?一模）在三棱錐P-ABC中，上4=P3=PC,上4,尸B,PC兩兩垂直，且該三棱錐外接球的

表面積為9兀，則該三棱錐的體積為（）

A.立B."C.73D.更

422

2.（2023?北京?模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉席.已知鱉膈A8CD

的四個頂點均在表面積為36兀的球面上，則該鱉席體積的最大值為（）.

A.2A/3B.4A/3C.2D.4

3.（2024?陜西商洛?一模）在四棱錐尸-ABCZ）中，平面ABC。，四邊形ABC。是正方形，

AB=20PA=3,則四棱錐P-ABCD外接球的體積是（）

4.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，AB=2版a，BC=4a,E為3C的中點，將△相￡和ACDE

分別沿AE,OE折起，使點3與點C重合，記為點P,若三棱錐尸-ADE的四個頂點都在球。的球面上，

則球。的表面積為（）

222

A.36anB.20anC.9anD.4a?兀

5.（2024?海南海口?模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形ABCD中，AC與30交于點0,且AC13D,OA=1,

OB=OC=OD=2,剪去ACOD,將△AOD沿。1翻折，ABOC沿翻折，使點C與點。重合于點尸，

則翻折后的三棱錐尸-AQB外接球的表面積為（）

A.57tB.8兀C.9兀D.13兀

題型3線面垂直模型（補成柱）

I00@式

線面垂直模型一般可補成柱體模型進行求解

1.（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知三棱錐尸-ABC的四個頂點均在球。上，/BAC=1,ZACB=JAC=6,PB_L

26

平面ABC.若tan/PAB=2百，則球。的體積為（）

4兀-16兀-32兀―64兀

A.——B.——C.——D.——

3333

2.（2024?河北?三模）已知三棱錐S-ABC,SA_L平面A3C,AB=AC=2fZBAC=120°,若三棱錐外接

球的表面積為28兀，則此三棱錐的體積為（）

s

C.3D.4

3.（2024?福建廈門?模擬預(yù)測）已知三棱錐A—5co中，ABmBCD,\AB\^2f\BC\=3f\CD\=4f\BD\=5f

則該三棱錐外接球的表面積為（）

2919

A.—兀B.—兀C.29兀D.38兀

42

4.（2024?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?二模）如圖，平面四邊形AD2C中，AB工BC,AB=5BC=,4ABD為等邊

三角形，現(xiàn)將△ABD沿48翻折，使點。移動至點P,且則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積

5.（2024?貴州貴陽?三模）在三棱錐P-ABC中，叢_L面ABC,PA=AC=2,ZABC=30°,則三棱錐P-ABC

的外接球的表面積為.

題型4正錐體模型

0O

正錐體模型解題步驟取底面AABC的外心。則尸,。,。三點共線；②先算出圓。的半徑AQ=r（利

用正弦定理），再算出錐體的高POi=h③在利用勾股定理：OV=。A?+002n&=（丸-A）?+/,

解出R.

1.（2024?廣西來賓?模擬預(yù)測）圓錐的頂點為S,AB為底面直徑，若==則該圓錐的外接球

的表面積為（）

也R則「16扃口32岳

33327

2.（202425高三上?江蘇南京?開學考試）若正四棱錐的高為8,且所有頂點都在半徑為5的球面上，則該正

四棱錐的側(cè)面積為（）

A.24B.32C.96D.128

3.（2024?四川?一模）己知正四棱錐P-ABC。的各頂點都在同一球面上，且該球的體積為36兀，若正四棱

錐尸-ABCZ）的高與底面正方形的邊長相等，則該正四棱錐的底面邊長為（）

A.16B.8C.4D.2

4.（2024?江西?模擬預(yù)測）已知正四面體S-ABC棱長為4,半徑為1■的球與側(cè)面&4B、&4C,BAC都相切，

則該球心到棱AB的距離為（）

A.在B.BC."D.亞

3232

5.（202324高三下?江西?開學考試）在正四面體中，M為外邊的中點，過點M作該正四面體外接

球的截面，記最大的截面半徑為R,最小的截面半徑為7■，則￡=_______；若記該正四面體和其外接球的

R

題型5面面垂直模型

若兩個平面垂直，則分別找出兩垂直多邊形的外接圓圓心，然后分別作過圓心的垂直線，交點即球心

/GG去湎力灌而三穆5五三棱雁萬二耘5前蘋新麗工宰茴嬴?法方為頷三葡工宜以赤二防;

AB=2若,AC=4,N3AC=90。，則三棱錐尸—71BC外接球的表面積為（）

A.32兀B.64兀C.80TID.128兀

2.（2024?江西?一模）在體積為12的三棱錐A—5c。中，AC1AD,BC1BD,平面ACD，平面BCD,

jrjr

AACD=~,NBCD=?若點4瓦C,。都在球。的表面上，則球。的表面積為（）

34

A.12TIB.16TIC.32兀D.48兀

3.（2024?福建南平?模擬預(yù)測）某雕刻師在切割玉料時，切割出一塊如圖所示的三棱錐型邊料，測得在此三

棱錐A—BCD中，側(cè)面ABC,底面BCD,且A6=AC=￡>8=￡>C=A￡>=2cm,該雕刻師計劃將其打磨成

一顆球形玉珠，則磨成的球形玉珠的直徑的最大值為（）

B.25/3cm

C.2V2（2-73）cmD.V2（2-V3）cm

4.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測）將下列平面四邊形ABCD中的△ABD沿對角線即翻折成AABD,使二面角

為直二面角，其中四面體A8CD的外接球的半徑不等于2的是（）

A

3

5.（2024?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測）在體積為彳的三棱錐A-38中，ACLAD,BCLBD,平面ACDL平

2

■rrTT

面3C。，ZACD=~,ZBCD=~,若點A、B、C、￡）都在球。的表面上，則球。的表面積為_____.

64

題型6二面角模型

i'運’

i

I多是可以借助外心垂線相交法來計算解決：①等邊三角形中心（即外心）做面垂線，必過球心；②直角三

角形斜邊中點（即外心）做面垂線，必過球心；

注意：外心垂線夾角與二面角相等或者互補.

工「7而。蔭茜至海三薄T海己寫兀痂說其揚'轉(zhuǎn)浮5葡X三番花…淞莢近茄驕富炭%6：缸三面葡,“

若點a,B,c,。在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

2.（202324高三上?山東德州?期末）在三棱錐P-ABC中，VA3C是以AC為斜邊的等腰直角三角形，APAC

是邊長為2的正三角形，二面角尸-AC-3的大小為150。，則三棱錐尸-ABC外接球的表面積為（）

.28兀52兀2801兀c52而兀

392781

3.（2025?山西?一模）菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,對角線AC交8。于點0,沿對角線8。將VA3C

折起，使二面角A-BD-C的大小為120。，則不正確的是（）

A.BD1平面AOCB.平面AOC_L平面3C￡>

C.點A到△BCD所在平面的距離為JD.四面體A-BCD的外接球的表面積是28兀

4.（2024?陜西咸陽?二模）已知三棱錐。-ASC中，AB=4,AC=3,BC=5,三角形DBC為正三角形，若二

面角D-3C-A為120。，則該三棱錐的外接球的體積為.

5.（2023-24高三上?海南?階段練習）已知VABC是邊長為4的正三角形，AD是8C邊上的中線.現(xiàn)將

2兀

沿/⑦折起，使二面角3-AD-C等于才，則四面體外接球的表面積為.

題型7臺體模型

［「蒼蒼茂音備W蕾富麗矯事黯7定W連吝菽匕芬?而蘇已蔚蕩5而瀛及冠后;向法超

臺的外接球半徑為（）

A.3B.5C.3拒D.6

2.（2023?河北?三模）已知正四棱臺A3CD—AB'C'。'，其高為2遍,48=8,49=4,則止匕正四棱臺外接球的

直徑為（）

A.8B.8A/2C.873D.16

37

3.（2024?廣東佛山?一模）已知圓臺的高為1,下底面的面積16兀，體積為:兀，則該圓臺的外接球表面積

為（）

A.647rB.8171C.IOOTTD.1217r

4.（2024?湖南?模擬預(yù)測）如圖，在正四棱臺4BCD-AB1GR中，AD=2A1B1,為上底面ABCD的對角

線，且下底面ABCA的面積和側(cè)面BCC4的面積分別為20和15亞，則該正四棱臺ABCD-A與G2外接

球的表面積是（）

A.285兀B.255KC.210兀D.I8O71

5.（2023?福建漳州?模擬預(yù)測）已知正四棱臺ABCD-^QD,的上底面的邊長為行，下底面的邊長為2a，

記該正四棱臺的側(cè)面積為跖，其外接球表面積為§2,則當S?取得最小值時，裳的值是.

題型8內(nèi)切球模型

|00O0

1

內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，故可用等體積法：為幾何體的體積，S為多面體的表

5

II

面積，廠為內(nèi)切球的半徑）

II

:二7?算蒜春麗二崔薇預(yù)如5商行寫囪錐的麗玉凝尊「而向藍誦尊■「百自行訪篙說胃與7麗麗而筋

球半徑為（）

A.3-6B.2-73

C.6-3括D.4-273

2.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）把邊長為行的正方形A8CD沿對角線AC折起，當以A,B,C,O四點為

頂點的三棱錐體積最大時，則四面體A8CD的內(nèi)切球的半徑為（）

A.73+1B.73-1C.2-5/3D.3-73

3.（2025?湖南永州?模擬預(yù)測）正三棱臺ABC-A與G的上、下底邊長分別為6,18,該正三棱臺內(nèi)部有一

個內(nèi)切球（與上、下底面和三個側(cè)面都相切），則正三棱臺的高為（）

A.3B.4C.5D.6

4.（2024?山西太原?二模）已知圓錐的頂點為P,底面圓的直徑48=20，tan/AP8=VL則該圓錐內(nèi)切球

的體積為（）

A.生質(zhì)B.生國C.—D.47t

2793

5.（202324高三上?安徽?階段練習）已知一個圓錐的軸截面為銳角三角形，它的內(nèi)切球體積為匕，外接球

體積為匕，則J的最大值為（）

題型9外接球的最值問題

1.（2025?福建?模擬預(yù)測）在三棱錐尸-ABC中，已知24,平面ABC,PA=^5,AC=2,AB+8C=4,則三

棱錐尸-ABC的外接球的表面積的最小值為（）

A.8兀B.10KC.12兀D.16K

2.（2024?河北唐山?二模）已知長方體的一條棱長為2,體積為16,則其外接球表面積的最小值為（）

A.5兀B.12兀C.20兀D.80K

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）在直三棱柱ABC-4BG中，44c=60。，側(cè)面灰匕瓦的面積為2vL則直三棱

柱4BC-4B|G外接球的表面積的最小值為（）

A.4nB.8兀C.4G兀D.86兀

4.（202324高三上?河南?階段練習）在三棱錐P-ABC中，VABC是等邊三角形，PAL平面ABC,PA=4,

AB=2日。是AC的中點，球。為三棱錐尸-ABD的外接球，G是球。上的一點，則三棱錐G-PDC體

積的最大值是.

5.（2024?山西太原?一■模）已知圓錐SO的母線5A=5,側(cè)面積為15兀，若正四面體A-瓦GA能在圓錐SO內(nèi)

任意轉(zhuǎn)動，則正四面體A-4GA的最大棱長為（）

L3L

A.1B.y/6C.-D.73

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球。的球面上，PA=PB=PC=4,

AB=BC=2,AC=26,則球。的表面積為（）

.64兀r40兀一27Ttr217t

A.-----B.C.——D.——

3342

32

2.（2024?福建?模擬預(yù)測）已知正四棱臺下底面邊長為4形,若內(nèi)切球的體積為三兀，則其外接球表面積是

（）

A.49兀B.56兀C.65兀D.130兀

3.（2024?海南?模擬預(yù)測）已知正方體ABCO-ABCQ的棱長為2,點N為側(cè)面四邊形CDDG的中心，則

四面體NC瓦G的外接球的表面積為（）

A.2兀B.4兀C.6兀D.8兀

4.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）如圖，VA3C是邊長為4的正三角形，。是8c的中點，沿將VA3C折

疊，形成三棱錐A-BCD.當二面角3-相＞-C為直二面角時，三棱錐A-38外接球的體積為（）

AA

A.5TIB.20KC.2匝D.史叵

63

5.（2024?青海?二模）如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCZ）為等腰梯形，BC//AD,

P￡）=2AT>=43C=4,底面積為^,PDLAD且尸8=曬，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為（）

A.97tB.12A/3TTC.39兀D.20兀

6.（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測）在△ABC中，AB=BC=5AC=2,將△ABC沿AC旋轉(zhuǎn)，當點8到達

點3,的位置時，平面B'ACL平面3AC,則三棱錐3'-ABC外接球表面積為.

7.（2023?北京?模擬預(yù)測）“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的

幾何模型.如圖1,正方體的棱長為2,用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向

和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）.已知這個牟合方蓋與正方體外接球的