2025年中考數學總復習《圓與函數綜合》專項檢測卷附答案

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9

1.如圖，拋物線y="2+1X+c經過點A(-1,0)和點C(0,3)與x軸的另一交點為點

8,點/是直線8C上一動點，過點M作MP〃y軸，交拋物線于點尸.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在一點。，使得AQC。是等邊三角形？若存在，求出點。的坐標;

若不存在，請說明理由；

(3)以M為圓心，為半徑作。當。M與坐標軸相切時，求出。M的半徑.

2.如圖，拋物線y=0-2ax+c與無軸分別交于點A、2(點8在點A的右側)，與y軸交于點

C,連接BC,點(J,3)在拋物線上.

/4

(1)求C的值；

(2)已知點。與C關于原點。對稱，作射線8。交拋物線于點E,若BD=DE,①求拋物

線所對應的函數表達式；②過點2作8FLBC交拋物線的對稱軸于點P,以點C為圓心,

以6的長為半徑作0C,點T為。C上的一個動點，求5ZB+7F的最小值.

3.己知如圖，二次函數y=a/+bx+2的圖象經過A(3,3),與x軸正半軸交于B點，與y

軸交于C點，△ABC的外接圓恰好經過原點。.

（1）求8點的坐標及二次函數的解析式；

（2）拋物線上一點Q（加，機+3）,（機為整數），點M為AABC的外接圓上一動點，求線段

長度的范圍；

（3）將AAOC繞平面內一點P旋轉180。至△4077（點。，與。為對應點），使得該三角形

的對應點中的兩個點落在丫=潑+法+2的圖象上，求出旋轉中心尸的坐標.

4.在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為r（r>l）,點尸是圓內與圓心C不重合的點，?C

的“完美點”的定義如下：過圓心C的任意直線CP與。C交于點A,B,若滿足|B4-P2|=2,

則稱點尸為。C的“完美點”，如圖點P為。C的一個“完美點

（1）當。。的半徑為2時

①點,0）_____Q0的“完美點”，點（-也，-1）_____QO的“完美點”；（填“是”或者“不

22

是"）

②若。。的“完美點”P在直線y=:x上，求PO的長及點P的坐標；

⑵設圓心C的坐標為（s,。，且在直線y=-2x+l上，OC半徑為r,若y軸上存在。C的“完

美點”，求f的取值范圍.

備用圖

12

5.如圖，拋物線y=7(x-3)--l與X軸交于A,2兩點(點A在點2的左側)，與V軸交于

點C,頂點為D

(1)求點A,B,。的坐標；

(2)連接CD過原點。作OELCZ),垂足為X,。￡交拋物線的對稱軸于點E,連接AE、

AD.求證：ZOEA=ZADC；

(3)以(2)中的點E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側的拋物線上有一動點P,過點

P作。E的切線，切點為Q,當尸。的長最小時，求點尸的坐標，并直接寫出點。的坐標.

6.如圖，在平面直角坐標系中,頂點為(4,-1)的拋物線交y軸于A點，交x軸于B,C兩點(點B

在點C的左側)，已知A點坐標為(0,3).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A,C兩點之間，問：當點P運動到什么位

置時，△PAC的面積最大?并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積；

(3)過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D,如果以點C為圓心的圓與直線BD相切,

請判斷拋物線的對稱軸/與有怎樣的位置關系，并給出證明.

V

7.如圖所示，在△ABC中，AB=AC=2,NA=90。，0為BC的中點，動點E在BA邊上

移動，動點F在AC邊上移動.

(1)當點E,F分別為邊BA,AC的中點時，求線段EF的長；

⑵當/EOF=45°時，

①設BE=x,CF=y,求y與x之間的函數解析式；

②若以O為圓心的圓與AB相切(如圖)，試探究直線EF與。O的位置關系，并證明你的結

論.

(1)求拋物線的解析式；

⑵點M是拋物線上位于直線2C下方的一個動點，過點M作軸交BC于點N,計算

線段"N的最大值；

(3)若點P是拋物線上一動點，則是否存在點P,使NPAB=ZACB.若不存在，請說明理由；

若存在，請求出點P的坐標.

9.如圖1,在平面直徑坐標系中，拋物線y=o?+bx-2與x軸交于點A(-3,0).B(1,

0),與y軸交于點C.

(1)直接寫出拋物線的函數解析式；

(2)以OC為半徑的。。與y軸的正半軸交于點E,若弦CD過48的中點試求出。C

的長；

(3)將拋物線向上平移!?個單位長度(如圖2)若動點P(x,y)在平移后的拋物線上，且

點P在第三象限，請求出APDE的面積關于x的函數關系式，并寫出△2￡>￡面積的最大值.

10.已知拋物線%=6?+笈-4("0)與x軸交于點A(-1,0)和點2(4,0).

(1)求拋物線％的函數解析式；

(2)如圖①，將拋物線為沿x軸翻折得到拋物線內，拋物線內與y軸交于點C,點。是線

段上的一個動點，過點。作。E〃y軸交拋物線％于點E,求線段。E的長度的最大值；

(3)在(2)的條件下，當線段。E處于長度最大值位置時，作線段BC的垂直平分線交。E

于點尸，垂足為H,點P是拋物線為上一動點，OP與直線8C相切，S.SOP：SADFH=2TI,

求滿足條件的所有點P的坐標.

11.如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（2,-1）的拋物線交y軸于A點，交x軸于2、

C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0,3）,連接A8.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點2作線段AB的垂線交拋物線于點。，如果以點C為圓心的圓與直線2。相切，

請判斷拋物線的對稱軸/與。C有怎樣的位置關系，并給出證明；

（3）已知點尸是拋物線上的一個動點，且位于A,C兩點之間，問：當點P運動到什么位

置時，Aaic的面積最大？并求出此時P點的坐標和AB4c的最大面積.

12.如圖，二次函數>=內2-2以-3a（a<0）的圖象與x軸交于A,8兩點（點8在點A的

右側），與y軸的正半軸交于點C,頂點為D若以30為直徑的經過點C.

⑴請直接寫出C,。的坐標(用含a的代數式表示)；

(2)求拋物線的函數表達式；

(3)M上是否存在點E,使得N￡D3=NCaD?若存在，請求出所滿足的條件的E的坐標;

若不存在，請說明理由.

13.如圖，在平面直角坐標系中，頂點為(4,1)的拋物線交y軸于點A,交x軸于B,C

兩點(點B在點C的左側)，已知C點坐標為(6,0).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A,C兩點之間.問：當點P運動到什么位

置時，△PAC的面積最大？求出△PAC的最大面積；

(3)連接AB,過點B作AB的垂線交拋物線于點D,以點C為圓心的圓與拋物線的對稱

軸1相切，先補全圖形，再判斷直線BD與。C的位置關系并加以證明.

14.如圖，拋物線y=辦?+bx+c的頂點為C(0,—6)，與x軸交于點A、B,連接AC、

BC,得等邊△ABC.T點從B點出發，以每秒1個單位的速度向點A運動，同時點S從

點C出發，以每秒指個單位的速度向y軸負方向運動，TS交射線BC于點D,當點T到達

A點時，點S停止運動.設運動時間為t秒.

(1)求二次函數的解析式；

(2)設ATSC的面積為S,求S關于t的函數解析式；

(3)以點T為圓心，TB為半徑的圓與射線BC交于點E,試說明：在點T運動的過程中,

線段ED的長是一定值，并求出該定值.

15.已知二次函數;心的圖像經過點P(0,-：)、A(5,0)、B(1,0).

(1)求該二次函數的解析式；

(2)點C在該二次函數的圖像上，當△ABC的面積為12時，求點C坐標；

(3)在(2)的條件下，求△ABC外接圓圓心點D的坐標.

參考答案

1.(1)y=-入+{+3；⑵不存在，理由見解析；⑶OM的半徑為，5，與，匕

444343

9一

【分析】(1)已知拋物線y=ax2+jx+c經過點A(-1,0)和點C(0,3),利用待定系數法即可

求得拋物線解析式；

(2)在拋物線上找到一點Q,使得AQC。是等邊三角形，過點Q作OMLOB于點M,過

點Q作QNLOC于點N,根據AQC。是等邊三角形，求得Q點坐標，再驗證Q點是否在拋

物線上；

(3)分四種情況①當。M與y軸相切，如圖所示，令M點橫坐標為t,PM=t,將PM用t

表示出來，列出關于t的一元二次方程，求得t,進而求得半徑；②。M與x軸相切，過點

M作MNLOB于N,如圖所示，令M點橫坐標為m,因為PN=2MN,列出關于m的一元

二次方程，即可求出m,同理③④種情況，進而求得。M的半徑.

9

【詳解】(1)..,拋物線y=ax2+—x+c經過點A(-1,0)和點C(0,3)

9

Cl-----FC=0

：.\4

c=3

’__3

解得＜4

c=3

39

???該拋物線的解析式為：y=-4X2+4X+3

44

3Q

故答案為：y=-4X2+4X+3

44

(2)在拋物線上找到一點Q,使得AQC。是等邊三角形，過點Q作QMLOB于點M,過

點Q作QNLOC于點N

?「△QCO是等邊三角形，OC=3

3

：.CN=-

2

???NQ=^CQ2-CN2=J一/=乎

即Q(更

22

*3右葉33A/3QQ粗心277333,3

當x二——時，y=——x(—2—)2+—X—2—+3=——--------豐一

24v2428162

???Q(隹1)不在拋物線上

22

39

y=x2+—x+3

J44

故答案為：不存在，理由見解析

(3)①。M與y軸相切，如圖所示

39

Vy=x2+—x+3

’44

39

當y=0時，--x2+-x+3=o

解得xi=-l,X2=4

AB(4,0)

令直線BC的解析式為y=kx+b

/4左+/?=0

[b=3

\=_l

解得|-4

b=3

3

?,?直線BC的解析式為y=-片+3

令M點橫坐標為t

\?MP〃y軸,(DM與y軸相切

393

：.t=--t2+-t+3-(一一r+3)

444

Q

解得t=]

②。M與x軸相切，過點M作MNLOB于N,如圖所示

令M點橫坐標為m

VPN=2MN

393

'?——m2+—m+3=2(——m+3)

444

339

——m+3=一一+3=-

444

③當"與x軸相切時，如圖3：

圖3

點夕與點A重合時

x=-l

半徑r=?

4

④當“與y軸相切時如圖4：

圖4

設「3亨+++3),小-1+3)

393

貝|]9=_彳2__x-3,Affi?=_x_3因==x

444

解得占=§,x2=0(舍去)

綜上所述：M的半徑為%|,y,y

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，是二次函數的綜合題，涉及了二次函數

與幾何問題，二次函數與圓的問題，其中考查了圓切線的性質.

2.(1)c=—3；(2)①拋物線的解析式為y=-?x-3；②弧

o4

【分析】（1）將（：一：。一3:弋入y=aY-2ax+c中即可求得c的值;

（2）①根據題意，設點3（祖,0）,則點E（-〃?,6）,將兩點坐標代入、=內2_2以-3中即可求

得a的值，進而即可求得函數解析式;

②根據題意，令y=0求出05=4,再由AFQB三ABOC及勾股定理求得的=3C=5,接著

由AGCTSATCB得到7G=@TB,再根據當點RT,G三點共線時，@7B+TF的值最

55

小，最小值為線段G尸的長進而即可求得最小值.

【詳解】解：（1）\?點在拋物線上

（2）①如圖，由題意，得點。（0,-3）

點。與點C關于原點。對稱

點。（0,3）

BD=DE

設點則點石（一加,6）

將B（m,0）,石（一加,6）代入拋物線y=ax2-2ax-3

am2-2am—3=0

得（2o

[am+2am-3=6

3

解得。=：

o

a3

二拋物線的解析式為y=-=x-3；

84

②：拋物線產/一%—3=|（xT）2一1

，拋物線的對稱軸為直線X=1

3,?7

令y=o,貝匕（無一1）一彳=0

88

解得玉=-2或々=4

..03=4

如圖，設直線1=1與％軸的交點為。，則“。5=90。

/.ZQFB+ZQBF=90°

BF±BC

.,.NFBC=90。

ZOBC+ZQBF=90°

：.ZQFB=ZOBC

50=4-1=3,OC=3

/.BQ=OC

又ZFQB=ZBOC=90°

：.\FQB=\BOC

:.BF=BC

在MABOC中，03=4,0C=3,由勾股定理得3C=5

..BF=BC=5

在CB上截取，CG=1,取G5=5—1=4

CG_1y/5CTA/5

CT~y/5~5'~CB~~5

.CGCT

又二ZGCT=ZTCB

..AGCT^ATCB

CGCTTG_45

§PTG=—TB

5

\—TB+TF=TG+TF

5

點尸（1,4）為定點

「?當點RT,G三點共線時，好T8+獷的值最小，最小值為線段G廠的長

5

在RfAGBF中,GB=4,BF=5,由勾股定理得：GF=V42+52=A/41.

【點睛】本題主要考查了二次函數及圓的幾何綜合，熟練掌握函數解析式的求解方法，三角

形全等及相似的性質與判定，幾何最值問題的求解方法等相關內容是解決本題的關鍵.

(1328、(35、

3.(1)(4,0)；y=--x2+—x+2；(2)-7?<QM<V10+75；(3)—

66)

【分析】(1)過點A作AD，y軸于點D,AELx軸于點E,求證△ACD0AABE,進而求

得點B坐標，再將A、B兩點坐標代入二次函數解析式，即可解答；

(2)將點Q(m,/M+3)代入二次函數解析式，求得m的值，進而且得點Q坐標，根據圓

的性質得到BC是圓N的直徑，利用勾股定理即可求得BC,進而求得N的坐標，再利用勾

股定理求得QN的長，確定取值范圍即可；

(3)分兩種情況：當點A的對稱點4,點。的對稱點。'在拋物線上時，利用旋轉180。可

知，O'C〃OC,設點。'的橫坐標為m,則點4的橫坐標為m-3,利用y。-3=%列出式

子，即可求得m的值，利用旋轉中心和線段中點的特點，即可求得旋轉中心尸的坐標；當

點A的對稱點4,點C的對稱點。在拋物線上時，設點。的橫坐標為m,則點4的橫坐

標為m-3,同理可求得m的值以及旋轉中心尸的坐標.

【詳解】(1)解：如圖，過點A作ADLy軸于點D,AELx軸于點E,

ZADC=ZAEB=90°

?.,二次函數y=o?+灰+2與y軸交于點C,

點C坐標為(0,2)

???點A坐標(3,3)

.*.DA=AE=3

ZDAC+ZCAE=90°

ZEAB+ZCAE=90°

???NDAC=NEAB

AAACD^AABE

.\EB=CD=3-2=1

OB=3+1=4

???點B的坐標為(4,0)

將A(3,3)B(4,0)代入二次函數y=o?+區+2中

f3=9a+36+2

得?1

10=16。+40+2

f5

a=——

解得：f

b=—

I6

517

二次函數的解析式為：＞=x+2

66

S17

(2)將點Q(m,m+3)代入二次函數解析式得：m+3=--m2+--m+2

66

6

mi=l；m2=-(舍)

m=l

???點Q坐標為(1,4)

由勾股定理得：BC=20

設圓的圓心為N

:圓經過點O,且NCOB=90。

；.BC是圓N的直徑，

圓N的半徑為百，N的坐標為(2,1)

由勾股定理得，QN=V10

半徑r=?，則石WQMWJHJ+6

(3)當點A的對稱點4,點O的對稱點0,在拋物線上時，如圖

設點0'的橫坐標為m,則點4的橫坐標為m-3

%-3=匕

517S17

得：——m2H----m+2—3=——(m—3)2-\(m—3)+2

6666

13

解得：m=-

一211

的坐標為（—1百）

（11型）

???旋轉中心P的坐標為[10,15）

當點A的對稱點4,點C的對稱點。在拋物線上時，如圖

設點。的橫坐標為m,則點4的橫坐標為m-3

517517

得：——m2H----m+2-l=——（m-3）2H-----（m-3）+2

6666

解得：m=3

???4的坐標為（0,3）

旋轉中心P的坐標為［，|）

綜上所述，旋轉中心P的坐標為之,或及高

【點睛】本題為二次函數綜合題，難度大，屬于中考必考壓軸題，考點涉及了全等三角形的

判定及性質、待定系數法求函數解析式、圓的性質、動點問題等，熟練掌握各個知識點是解

題關鍵.

4343—

4.（1）①不是，是；②尸。的長為1,點尸的坐標為（不，M）或（-二，-W）；（2）f的取值范圍

為-1</<3.

【分析】（1）①利用圓的“完美點”的定義直接判斷即可得出結論.②先確定出滿足圓的“完美

點”的OP的長度，然后分情況討論計算即可得出結論；（2）先判斷出圓的“完美點”的軌跡，

然后確定出取極值時OC與y軸的位置關系即可得出結論.

【詳解】解：⑴①：點0）,

...設。。與無軸的交點為A,B,

:。。的半徑為2,

.?.取A(-2,0),8(2,0),

33

：.\MA-MB|=|(-+2)-(2-萬)|=3先,

點M不是。。的“完美點”，

同理：點(-",-；)是。。的“完美點

22

故答案為不是，是.

②如圖1,

：.\OP+2-(2-OP)\=2,

：.OP=1.

若點尸在第一象限內，作尸。，工軸于點

3

?.?點尸在直線y=］X上，OP=1,

43

OQ=~,PQ=-.

43

若點尸在第三象限內，根據對稱性可知其坐標為(-彳，--).

綜上所述，尸o的長為1,點尸的坐標為(：4］3)或(-］4，-3())?

(2)對于。。的任意一個“完美點”P都有陷-PB\=2,

：.\CP+r-(r-CP)\=2.

：.CP=1.

，對于任意的點P,滿足。P=1,都有|。尸+一("。尸)|=2,

AIM-PB\=2,故此時點尸為。C的“完美點”.

因此，0c的“完美點”是以點C為圓心，1為半徑的圓.

當。C移動到與y軸相切且切點在點D的上方時，f的值最大.

設切點為E，連接CE,

:。C的圓心在直線y=-2x+l上，

.,.此直線和y軸，x軸的交點。(0,1),0),

：.OF=W，OD=1,

'：CE//OF,

:ADOFS^DEC,

.OPOF

"DE~CE'

.1_1

DE~2，

：.DE=2,

：.OE=3,

r的最大值為3,

當。C移動到與y軸相切且切點在點D的下方時，f的值最小.

同理可得r的最小值為-1.

綜上所述，/的取值范圍為-1SE3.

【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了新定義，相似三角形的性質和判定，直線和圓的位

置關系，解本題的關鍵是理解新定義的基礎上，會用新定義，是一道比中等難度的中考常考

題.

5.(1)A點坐標(3-夜，0),點5坐標(3+行，0)；(2)詳見解析；(3)。點坐標為

IQ13

（3,1）或（—^―,

【分析】（1）根據二次函數性質，求出點A、B、D的坐標；

（2）如何證明/AEO=NADC?如答圖1所示，我們觀察到在小EFH與△ADF中：/EHF=90。,

有一對對頂角相等；因此只需證明NEAD=90。即可，即AADE為直角三角形，由此我們聯

想到勾股定理的逆定理.分別求出△ADE三邊的長度，再利用勾股定理的逆定理證明它是

直角三角形，由此問題解決；

（3）依題意畫出圖形，如答圖2所示.由OE的半徑為1,根據切線性質及勾股定理，得

PQ2=EP2-1,要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP2最小.利用二次函數性質求出

EP2最小時點P的坐標，并進而求出點Q的坐標.

【詳解】（1）頂點D的坐標為（3,-1）,

令y=。，得萬（x-3）-i=o,

解得=3+A/2,x2=3-A/2,

??,點A在點B的左側，

?'A點坐標（3-及，0）,點B坐標（3+血，0）；

（2）過D作DG_Ly軸，垂足為G,

則G(0,-1),GD=3,

7

令x=0,貝Uy=w，

7

???C點坐標為(0,—),

2

79

GC=--(-1)=—，

22

設對稱軸交x軸于點M.,

VOEXCD,

,ZGCD+ZCOH=90°,

VZEOM+ZCOH=90°,

.?.ZEOM=ZGCD,

又：ZCGD=ZOME=90°,

.'.△DCG^AEOM,

9

.CGDG—,

..——=——，即Hn23,

OMEM-=-----

3EM

；.EM=2,即點E坐標為(3,2),ED=3,

由勾股定理，得AE2=6,AD2=3,

AE2+AD2=6+3=9=ED2.

.?.△AED是直角三角形，即/DAE=90。.

設AE交CD于點F,

AZADC+ZAFD=90°,

又ZOEA+ZHFE=90°,ZAFD=ZHFE,

ZOEA=ZADC；

(3)如圖:

由。E的半徑為1,根據勾股定理可，得切線長PQ?=EP2-1,要使PQ長最小，只需EP長

最小即可

設P坐標為(x,y),

由勾股定理，得EP2=(x-3)2+(y-2)\

Vy=y(x-3)2-l,

(x-3)2=2y+2,

AEP2=2y+2+y2-4y+4=(y-l)2+5,

當y=i時，EP?最小值為5,

11

把y=i代入y=］（x-3）9'i,得萬9=

解得X1=1,X2=5,

又??,點P在對稱軸右側的拋物線上，

?，?X1=1舍去,

???點P坐標為（5,1）,

一1913

此時Q點坐標為（3,1）或（-丁，-丁）.

【點睛】本題是二次函數壓軸題，涉及考點眾多，難度較大.第（2）問中，注意觀察圖形，

將問題轉化為證明4ADE為直角三角形的問題，綜合運用勾股定理及其逆定理、三角函數

（或相似形）求解；第（3）問中，解題關鍵是將最值問題轉化為求EP2最小值的問題，注

意解答中求EP2最小值的具體方法.

6.（1）y=；/-2x+3；（2）P點的坐標為；（3）相交.證明解解析.

【詳解】分析：（1）己知拋物線的頂點坐標，可用頂點式設拋物線的解析式，然后將A點

坐標代入其中，即可求出此二次函數的解析式；

（2）過尸作y軸的平行線，交AC于Q易求得直線AC的解析式，可設出產點的坐標，進

而可表示出P、。的縱坐標，也就得出了PQ的長；然后根據三角形面積的計算方法，可得

出關于叢C的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出B4c的最

大面積及對應的P點坐標.

（3）根據拋物線的解析式，易求得對稱軸/的方程及8、C的坐標，分別求出直線AB、BD、

CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可；

詳解：（1）設拋物線為y=a（x-4）2-l,

:拋物線經過點A（0,3）,

3=<7（0—4）2—1,a=—；

11

.,?拋物線為y=一9_］干。2+3；

（2）如圖，過點尸作平行于y軸的直線交AC于點。；

設P點的坐標為[丸;蘇-2wt+3)

則。點的坐標為根+3)

1(1,、1,3

PQ=——m+3-—m-2m+3=——m+—m.

2(4J42

](]3、3227

,?*SAPACUSVAQ+SMCQMIXI-W機機)x6=一^(根—3)+彳；

27

.**當m=3時，PAC的面積最大為二；

4

此時，尸點的坐標為[3,-』.

國—2,%?=6.

A(0,3)以2,0),。(6,0),

對稱軸x=4,

:?OB=ZAB=M-￥=屈,BC=4，

'：AB±BDf

：.ZOAB+AOBA=90°,AOBA+ZEBC=90°,

2AoBs2BEC,

：."=%即巫=2,解得CE=M1

BCCE4CE13

?.8a一

?--->z

13

???拋物線的對稱軸/與。C相交.

點睛：屬于二次函數綜合題，考查待定系數法求二次函數解析式，二次函數的最值問題，相

似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識?此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線

的作法，注意數形結合思想的應用.

2

7.(1)72(2)①y=—(l<x<2)②直線EF與。。相切

【詳解】試題分析：(1)當E、F分別為BA、AC中點時，EF為三角形ABC中位線，在

直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的長，即可確定出EF的長；

(2)①根據題意利用等式的性質得到一對角相等，再由一對角為45。，利用兩對角相等的

三角形相似得到三角形BOE與三角形OCF相似，由相似得比例列出y與x間的函數解析式，

并求出x的范圍即可；

②EF與圓O相切，理由為：由①得出的三角形BOE與三角形COF相似，得比例，把CO

換為B0,變形后利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形BEO與三角形

OEF相似，利用相似三角形對應角相等得到/BEO=/FEO,利用角平分線定理得到。到

EB、EF的距離相等，而AB與圓O相切，可得出/OFE=90。，即OF與AC垂直，且OF

為半徑，即可確定出EF與圓0相切.

試題解析：

⑴在△ABC中，

AB=AC=2,/A=90°,

根據勾股定理,

得BC=后6=26

:點E,F分別為邊BA,AC的中點,

.,.EF是△ABC的中位線.

?'?EF=V2

(2)①在△OEB和4FOC中，

：AB=AC,NA=90°,；./B=45°.

VZEOB+ZFOC=135°,ZEOB+ZOEB=135°,

???NFOC=NOEB.

又??,NB=NC,

.'.△OEB^AFOC.

.BEBO

**CO-FC'

VBE=x,CF=y,OB=OC=&,

???；=1,即y=2,(l<x<2.)(不寫范圍不扣分).

Y2yx

②直線EF與。O相切，

理由：VAOEB^AFOC,

.OE_BE

??而一石，

.OE_BEOE_FO

??,Rn.

FOBOBEBO

又：/B=NEOF=45。，

.?.ABEO^AOEF.

.?.ZBEO=ZOEF.

...點O到AB和EF的距離相等.

VAB與。O相切，

...點O到EF的距離等于。O的半徑.

直線EF與。O相切.

【點睛】圓綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，勾股定理，三角形中位線定

理，以及直線與圓相切的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

8.(1)y=x2-4x+3；

9

(2)MN的最大值為了；

4

⑶點P的坐標為［I，-：］或.

【分析】(1)先求得C(0,3),8(3,0),設拋物線的解析式為y=a(x-D(x-3),利用用待

定系數法求解即可；

(2)設/(加,療-4〃?+3),N(m,-m+3),用加表示出ACV,再利用二次函數的性質求解

即可;

（3）連接AC,作AH，3c于點求得ABH是等腰直角三角形，利用三角函數再求得

twZACB=—=^=~,設網〃,/一4〃+3）,作PKLx軸于點K,由題意得到

CH2。22

n-l=2bi2-4/1+3,再分別求解即可.

【詳解】（1）解：對于直線y=-x+3,

令尤=0,貝!|>=3,令y=0,則x=3,

.-.C（0,3）,3（3,0）,

設拋物線的解析式為y=,

將C（0,3）代入得3=a（0—1）（0—3）,

解得a=l,

；?拋物線的解析式為y=（尤一l）（x-3）=f—4x+3；

（2）解：設/一4〃?+3）,N（m,-m+3）,其中0＜根＜3,

MN=—m+3—（m2—4機+3）=—m2+3m

m-|

,/-l＜0,

39

.?.當他=彳時，MV有最大值，最大值為二;

24

（3）解:連接AC,作A”,3c于點H,

VC（0,3）,3（3，。），

O3=OC=3,

AZOBC=45°,AB=3-1=2,BC=M+k=36，

..「ABH是等腰直角三角形，

AH=BH=AB-sin45。=也,

CH=BC-BH=2y/2，

AtanZACB=—=^=-1,

CH2722

設尸(〃,〃2一4〃+3),作PK_LX軸于點K,

2

.*?AK=n—lJPK=|H—4n+3|

NPAB=ZACB,

PK1

tan/PAK==—,

AK2

：.AK=2PK,

n—1—2/I?—4〃+3

當"-l=2（〃2-4〃+3）時,

整理得2〃2-9"+7=0,

7

解得”=1(舍去)或”=3,

，點P的坐標為ri;

當〃-1=-2僅2一4〃+3）時,

整理得2〃2-7〃+5=0,

解得〃=1(舍去)或〃=g,

點尸的坐標為

5_3

綜上,點尸的坐標為2，-4或

【點睛】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法、等腰直角三角形的判定和性質、銳

角三角函數等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題.

222

9.(1)y=-x+-x-2.(2)蛀；(3)SAPDE=--x--x+2(~-^<x<0),且

3351532

△尸。石面積的最大值為三53.

【詳解】試題分析：(1)由點A、8的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

(2)令拋物線解析式中％=0求出點C的坐標，根據點A、8的坐標即可求出其中點M的坐

標，由此即可得出CM的長，根據圓中直徑對的圓周角為90。即可得出△COMS/XCOE,根

據相似三角形的性質即可得出洽=等，代入數據即可求出0c的長度；

(3)根據平移的性質求出平移后的拋物線的解析式，令其y=0,求出平移后的拋物線與x

軸的交點坐標，由此即可得出點尸橫坐標的范圍，再過點P作尸軸于點P,過點。作

軸于點。，通過分割圖形求面積法找出&PDE關于x的函數關系式，利用配方結合

而成函數的性質即可得出△PDE面積的最大值.

0=9a—36—2

試題解析：解：(1)將點A(-3,0)、3(1,0)代入丁=以2+版-2中，得:

0=a+b-2

2

a=-

374

解得：j，拋物線的函數解析式為尸產+1%-2.

b=-

3

24

(2)令>中x=0,貝！|y=-2,：,C(0,-2),：.OC=2,CE=4.

-3,0),3(1,0),點M為線段AB的中點，-1,0),CM=7(-l-O)2+[0-(-2)]2

=45.

為。。的直徑，ZCDE=90°,SCOMs^CDE,：.DC=^~.

DCCE5

2943941

(3)將拋物線向上平移!■個單位長度后的解析式為>=彳無2+々》-2+;=?/+^尤一3,令

'=：x2+：苫_：中y=0,gp|x2+1%-|=0,解得：XL2-近,%=-2+近.

33233222

:點P在第三象限，；?一2-占<尤〈().

2

過點P作PP」y軸于點P,過點。作軸于點。，如圖所示.

在R3CDE中，CD=正,CE=4,DE=y]cE2-CD2=—>smZDCE=-=^.在

55CE5

RSCD。'中，C￡>=述，ZCD'D=90°,：.DD'=CD-smZDCE=-,CD'=-DDa=—>

555

ARAA9zl19Al

OD,=CDr-OC--9.*./)(—,—。'(0,—).丁P(x,—x2H—x—),Pr(0,—x2H—x—),

5555332332

，SAPDE=SADDE+S梯形DDPP-SAEPP，=gDD'?ED'+g(DD&PP)?D,Pf-^PP^EP^

X2X

__8_--+2(-2--22

<x<0).-：SAPDE=--x--x+2=--(x+-)+—f

~1532153158242

V-，5V0,???當4-，5時，S.PDE取最大值，最大值為三53.

故：△產/定的面積關于X的函數關系式為S/PnE=q/T+2(-2丁<x<0),且

點睛：本題是二次函數的綜合題，解題的關鍵是：(1)利用待定系數法求出函數解析式；(2)

根據相似三角形的性質找出邊與邊之間的關系；(3)利用分割圖形求面積法找出&PDE關

于x的函數關系式.本題屬于中檔題，難度不大，但數據稍顯繁瑣，本題巧妙的利用了分割

圖形法求不規則的圖形面積，給解題帶來了極大的方便.

10.(1)J7!=x2—3x—4；(2)9；(3)(2+\[6,-A/6),(2—y/6,岳),(2+>/2，4—A/2)，

(2-72，4+0).

【分析】(1)將點A(-1,0)和點8(4,0)代入％=依2+桁-4即可得到結論；

(2)由對稱性可知，得到拋物線”的函數解析式為%=-/+3x+4,求得直線BC的解析

式為：y=-x+4,設。(m,-m+4),E(m,m2-3/77-4),其中0S"S4,得到DE=-7"+4

-(m2-3m-4)+9,即可得到結論;

(3)由題意得到ABOC是等腰直角三角形，求得線段8c的垂直平分線為廣尤，由(2)知，

直線。E的解析式為x=l,得到五(2,2),根據5。尸：SADFH=2H,得到『四，由于。尸

與直線BC相切，推出點尸在與直線BC平行且距離為0的直線上，于是列方程即可得到

結論.

【詳解】解：(1)將點A(-1,0)和點8(4,0)代入％=0?+--4得:

[0=16a+46-4[Z?=—3

，拋物線〃的函數解析式為：％=，—3x-4；

2

(2)由對稱性可知，拋物線”的函數解析式為：y2=-x+3x+4,

：.C(0,4),

設直線BC的解析式為：y=kx+q,

把8(4,0),C(0,4)代入得，k=-1,q=4,

...直線BC的解析式為：y=-x+4,設。(m,-m+4),E(m,m2-3m-4),其中

DE=-m+4-(m2-3m-4)=~(m-1)2+9,

0<77?<4,

當m=i時，DEmax=9;

此時，D(1,3),E(1,-6)；

(3)由題意可知，ABOC是等腰直角三角形，

；?線段8C的垂直平分線為：產x,由(2)知，直線QE的解析式為：x=l,

：.F(1,1),

是BC的中點，

：.H(2,2),

:.DH=Q,FH=y/2,

：.SADFH=1,設。尸的半徑為廠，

VSQP：SADFH=2H