熱點(diǎn)03函數(shù)的概念與性質(zhì)

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

2024年分段函數(shù)、函數(shù)的奇偶性

2023年函數(shù)的值域，函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)與方函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用、函數(shù)與方程的應(yīng)用

程的應(yīng)用

2022年抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用、函數(shù)的定義域及其求

法

熱點(diǎn)題型解讀

醒5函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷題型1函數(shù)的定義域及其求法

題型6單調(diào)性與胡禺14^題致函數(shù)或

函數(shù)的概念與性質(zhì)

型7抽象函數(shù)及其應(yīng)用題型3函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷

題型8函數(shù)恒成立問(wèn)題題型4函數(shù)的最值及其幾何意義

題型1函數(shù)的定義域及其求法

求函數(shù)的定義域應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)

，①要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準(zhǔn)則一般有：（i）分式的分母不為0;（ii）

偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；（iii）y=x°要求xWO.

:②不對(duì)解析式化簡(jiǎn)變形，以免定義域變化.

；③當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的

公共部分的集合.

1.（2022?上海）下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）

￡

A.y=x^B.y=x~'C.y=x^D.y=戶(hù)

2.(2024?松江區(qū)校級(jí)模擬)若函數(shù)/。)=尤-",2，"+3(加?2)的定義域?yàn)??,且/(x+l)=f(-x-l),則實(shí)數(shù)機(jī)

的值為—.

3.(2021?上海)已知函數(shù)/(x)=J|x+a|-a-x.

(1)若a=l,求函數(shù)的定義域；

(2)若4/0,若/■(◎)="有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍；

(3)是否存在實(shí)數(shù)*使得函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出。的取值范圍.

題型2函數(shù)的值域

\00@0

ii

求函數(shù)值域的方法

ii

(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到.

(2)配方法：此方法是求“二次函數(shù)類(lèi)”值域的基本方法，即把函數(shù)通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方

法.

ii

(3)圖象法：利用已知一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)的圖象寫(xiě)出函數(shù)的值域.

ii

(4)分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類(lèi)”的形式，便于求值域.

(5)換元法：對(duì)于一些無(wú)理函數(shù)(如y=ax±b±\[cx±d)f通過(guò)換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)

求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域.

ii

1.(2023?上海)已知函數(shù)=，則函數(shù)/(尤)的值域?yàn)開(kāi)______.

[2,%>0

4元2

2.(2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)/(x)=二J,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)/(%)的值域是()

2%+1

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

3.(2024?嘉定區(qū)二模)函數(shù)y=|x-l|+|x-4|的值域?yàn)?

4.(2024?松江區(qū)校級(jí)模擬)函數(shù)/■(尤)=|x-a|+cosx在[0,句上的值域?yàn)閇-1,紅]，則的值為_(kāi)_____.

2a

5.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椤＃艉瘮?shù)/(x)滿(mǎn)足條件：存在[a,b\^D,使了(無(wú))

在卬切上的值域?yàn)橛谂c，則稱(chēng)〃x)為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)小)=*(2?)為“倍縮函數(shù)”，則，的

范圍為?

6.(2022?上海)設(shè)函數(shù)/(尤)滿(mǎn)足/(x)=/(一一)對(duì)任意xe[0,+00)都成立，其值域是A-已知對(duì)任何滿(mǎn)

1+X

足上述條件的/(幻都有{y|y=/(x),0效ka}=Af,則。的取值范圍為.

題型3函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

ii

(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，若所給函數(shù)是常見(jiàn)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，可根據(jù)其單調(diào)性寫(xiě)出函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若所給函數(shù)不是上述函數(shù)但函數(shù)圖象容易作出，可作出其圖象，根據(jù)圖象寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間.

j(2)一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“U”連接兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，而要用“和”連接或用

“，”分開(kāi).

：2.由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的處理方法

，(1)由函數(shù)解析式求參數(shù)

若為二次函數(shù)——判斷開(kāi)口方向與對(duì)稱(chēng)軸——利用單調(diào)性確定參數(shù)滿(mǎn)足的條件.

若為一次函數(shù)——由一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定單調(diào)性.

ii

若為分段函數(shù)——數(shù)形結(jié)合，每一段的函數(shù)的單調(diào)性均要考慮，并注意臨界值的大小.探求參數(shù)滿(mǎn)足的條

件.

；(2)當(dāng)函數(shù)40的解析式未知時(shí)，欲求解不等式，可以依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，將符號(hào)“尸去掉，列

出關(guān)于自變量的不等式(組)，然后求解，此時(shí)注意函數(shù)的定義域.

3.利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

：(1)取值并規(guī)定大小：設(shè)尤1,X2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且無(wú)I<%2.

;(2)作差變形：作差共制)一/(&)(或/(X2)-/U1)),并通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等方法，轉(zhuǎn)化為易判

斷正負(fù)的關(guān)系式.

j(3)定號(hào)：確定/(X1)—/(無(wú)2)(或人X2)—Axi))的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，進(jìn)行分類(lèi)討論.

ii

;(4)結(jié)論：根據(jù)定義確定單調(diào)性.

ii

1.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)/(x)=山上，則/(/)+/(幻<0的解集是________________.

2-x

2.(2024?閔行區(qū)校級(jí)三模)設(shè)t>0,函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽.若對(duì)滿(mǎn)足馬/的任意玉、%,均

有“與)-/a)>f*則稱(chēng)函數(shù)y=/(X)具有“尸⑺性質(zhì)

(1)在下述條件下，分別判斷函數(shù)y=/(x)是否具有尸(2)性質(zhì)，并說(shuō)明理由；

3

①/(彳)=5尤；

②/(x)=l°sin2i；

(2)已知%)=辦3,且函數(shù)y=/(x)具有尸(1)性質(zhì)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(3)證明："函數(shù)y="尤)-x為增函數(shù)”是“對(duì)任意，>0,函數(shù)y=f(x)均具有尸⑺性質(zhì)”的充要條件.

3.(2024?寶山區(qū)校級(jí)四模)已知A、3為實(shí)數(shù)集R的非空子集，若存在函數(shù)y=/(x)且滿(mǎn)足如下條件：①

y=/(x)定義域?yàn)锳時(shí)，值域?yàn)?；②對(duì)任意占、X,eA,均有3二也口>0.則稱(chēng)/(乃是集

玉一工2

合A到集合3的一個(gè)“完美對(duì)應(yīng)”.

(1)用初等函數(shù)構(gòu)造區(qū)間［0,1)到區(qū)間［0,+oo)的一個(gè)完美對(duì)應(yīng)/(%)；

(2)求證：整數(shù)集Z到有理數(shù)集。之間不存在完美對(duì)應(yīng)；

(3)若八》=/_爪2+1,kwR,且/(x)是某區(qū)間A到區(qū)間［-3,2］的一個(gè)完美對(duì)應(yīng)，求上的取值范圍.

題型4函數(shù)的最值及其幾何意義

1.圖象法求函數(shù)最值的一般步驟

作出函數(shù)圖象|

i"

在圖象上找到最高點(diǎn)和最

低點(diǎn)的縱坐標(biāo)___________

確定函數(shù)的最大(小)值1

2.利用單調(diào)性求最值的一般步驟

1①判斷函數(shù)的單調(diào)性.②利用單調(diào)性寫(xiě)出最值

；(2)函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系

①若函數(shù)在閉區(qū)間m，切上單調(diào)遞減，則八功在團(tuán)，川上的最大值為次孫最小值為人

②若函數(shù)在閉區(qū)間m，切上單調(diào)遞增，則小)在他，句上的最大值為人匕)，最小值為人。).

③求最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開(kāi)閉，若是開(kāi)區(qū)間，則不一定有最大(小)值.

1.(2024?靜安區(qū)二模)已知實(shí)數(shù)ae(0,6),記/(x)=?(x-a).若函數(shù)y=/(尤)在區(qū)間[0,2]上的最小值

為-2,則a的值為.

2.(2024?青浦區(qū)校級(jí)模擬)已知玉，尤2是實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足d+8考-4占9=8，當(dāng)|百|(zhì)取得最大值時(shí)，

I玉+%21=?

3.(2024?松江區(qū)二模)已知函數(shù)/O)=|log2xl，若/(%)=/區(qū))(%，貝九4玉+%2的最小值為.

4.(2024?松江區(qū)二模)已知0<a<2,函數(shù)y=4"：：)x+4a+l,則實(shí)數(shù)。的

-[2ax-\x>2-

取值范圍是?

5.(2024?金山區(qū)二模)已知函數(shù)y=/(x)與y=g(x)有相同的定義域。.若存在常數(shù)a(aeR),使得對(duì)于

任意的為6D,都存在%eD,滿(mǎn)足/(%,)+g(x2)=a,則稱(chēng)函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=/(x)關(guān)于。的"S函數(shù)

(1)若/(x)=/nx,g(x)=e*,試判斷函數(shù)y=g(x)是否是y=/(x)關(guān)于0的"S函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)y=/(x)與y=g(x)均存在最大值與最小值，且函數(shù)y=g(x)是y=/(x)關(guān)于。的"S函數(shù)"，

y=/(x)又是y=g(無(wú))關(guān)于。的"S函數(shù)"，證明："(切而,+兇⑴]y=a；

(3)已知/■(XHx-ll,g(x)=?,其定義域均為[0,1].給定正實(shí)數(shù)f,若存在唯一的a,使得y=g(x)

是y=/(尤)關(guān)于。的“S函數(shù)”，求f的所有可能值.

題型5函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

1.判斷函數(shù)奇偶性的方法

(1)定義法：

(2)圖象法:

AX關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))~「/U)為奇函數(shù))

的

圖

象-(關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng))——?(八x)為偶函數(shù))

2.巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問(wèn)題

(1)依據(jù)：奇函數(shù)=圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)=圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可以解決諸如求值、比較大小及解不等式問(wèn)題.

3.利用奇偶性求值的常見(jiàn)類(lèi)型

(1)求參數(shù)值：若解析式含參數(shù)，則根據(jù)八一%)=-/(功或五-x)=/(x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解;

若定義域含參數(shù)，則根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用區(qū)間的端點(diǎn)和為0求參數(shù).

(2)求函數(shù)值：利用y(—X)=—大彳)或負(fù)-x)=/(x)求解，有時(shí)需要構(gòu)造奇函數(shù)或偶函數(shù)以便于求值.

4.用奇偶性求解析式的步驟：

如果已知函數(shù)的奇偶性和一個(gè)區(qū)間團(tuán)，燈上的解析式，求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)區(qū)間［—6,—a］上的解析式，其

解決思路為

(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè).

(2)利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.

(3)利用"r)的奇偶性寫(xiě)出一/(—x)或八一x),從而解出兀r).

1.(2023?上海)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

A.y=sinxB._y=cosxC.y-x3D.y=2X

2.(2024?浦東新區(qū)三模)已知8。)=卜3+2'-1，”"°為偶函數(shù)，若，⑷=口，貝伯=

V?,x<0

3.(2024?閔行區(qū)校級(jí)二模)已知函數(shù)〃x)=a2+與是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)。的值;

+1

（2）若對(duì)任意xcH,都有成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

k

函數(shù)/（尤）=*+（"+l）x+c

4.（2023?上海）已知a,CGR,

x+a

（1）若4=0,求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在C使得了（X）是奇函數(shù)，說(shuō)明理由;

（2）若函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1,3）,且函數(shù)/（無(wú)）與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求此時(shí)c的值和。的取值范圍.

題型6單調(diào)性與奇偶性綜合

■-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I00?百

ii

1.比較大小的求解策略

ii

（1）若自變量在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；

：（2）若自變量不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，然后利用單

調(diào)性比較大小.

2.利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式，一般有兩類(lèi)

ii

（1）利用圖象解不等式.

ii

i（2）轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式求解.

[①利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為八XI）勺（X2）或八XI）次尤2）的形式.

:②根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反，去掉不等式中的“尸轉(zhuǎn)

化為簡(jiǎn)單不等式（組）求解.

特別提醒：列不等式（組）時(shí)不要忘掉函數(shù)的定義域.

II

T;々祇?工藩3,百策誦藪耳5芮適父諼%至父藁答帝17nz,:嚏€百最）;『（短五:37:塞

使得1]的所有/（x）中，下列成立的是（）

A.存在了（乃是偶函數(shù)

B.存在/(x)在x=2處取最大值

C.存在了(元)為嚴(yán)格增函數(shù)

D.存在了(X)在x=-l處取到極小值

2.(2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬)已知了(%)是定義在尺上的偶函數(shù)，若\/占、x2e[0,+oo)且占wx2時(shí)，

"立)一〃尤2)>2(占+無(wú)2)恒成立,且/(2)=8,則滿(mǎn)足/(療+加),,2(加+加)2的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(

玉—x2

)

A.[-2,1]B.[0,1]C.[0,2]D.[-2,2]

3.(2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模)已知函數(shù)y=/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=log2x,若/(a)>1,

則實(shí)數(shù)，的取值范圍為.

題型7抽象函數(shù)及其應(yīng)用

石法T：蒲策薪反費(fèi)反稹擬)、巨如函數(shù)定義域?yàn)?二宜7々*(丫)-7(y)gW=7(x-y),

gWg(y)-/W/(y)=g(x-y),g(o)/。，則下列結(jié)論正確的是()

①若/(1)+g(1)=1,貝iJf(2024)-g(2024)=l；

②若/⑴~g(1)=1，則〃2024)+g(2024)=L

A.②B.①C.①②D.都不正確

2.(2024?寶山區(qū)校級(jí)四模)已知函數(shù)y=/(無(wú))具有以下的性質(zhì)：對(duì)于任意實(shí)數(shù)。和6,都有

f(a+b)+f(a-b)=2f(a)-f(b),則以下選項(xiàng)中，不可能是/(1)值的是()

A.-2B.-1C.0D.1

3.(2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則下列說(shuō)法正確的

有.

①"0)=0：

②/(1)=0；

③/(x)是偶函數(shù)；

④尤=0為了⑺的極小值點(diǎn)

4.(2020?上海)已知非空集合函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)任意/eA且xeO,不等式

/'(x),J(x+f)恒成立，則稱(chēng)函數(shù)/(%)具有A性質(zhì).

(1)當(dāng)4={-1},判斷〃x)=-x、g(x)=2x是否具有A性質(zhì)；

(2)當(dāng)A=(0,l),/(x)=x+—,xe[t?,+co),若/(x)具有A性質(zhì)，求a的取值范圍；

(3)當(dāng)4={-2,機(jī)),meZ,若。為整數(shù)集且具有A性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的m的

值.

題型8函數(shù)恒成立問(wèn)題

1.分離參數(shù)法解決恒(能)成立問(wèn)題的策略

⑴分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

(2)a2"x)恒成立2?r)max;

a恒成立W?￥)min；

a能成立=4，/a)min；

a勺⑴能成立04Wy(X)max.

2.根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解.

3.“雙變量”的恒(能)成立問(wèn)題一定要正確理解其實(shí)質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進(jìn)行等價(jià)變換，常見(jiàn)的等價(jià)

變換有

對(duì)于某一區(qū)間/

(1)VX1,尬金/,Xxi)>g(X2)?/(X)min>^(X)max.

(2)VX1^Z1,y(Xl)>g(X2)^/(X)min>g(X)min.

3X2^/2,(

(3)V%2e/2,?Xl)>g(X2)仔/a)max>g(%)max.

1.(2024?黃浦區(qū)二模)設(shè)函數(shù)/(x)=[一5+“*+2°，-4'尤,0,若/(無(wú))>()恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(

[ax-2x4-3,0<x<4.

)

A.(1,+?)B.(0i)C.信,1)D.4,1)

3163

2>21>

2.(2024?閔行區(qū)二模)對(duì)于任意的％、X2GR,且尤。，不等式|e*-玉|+|江々-尤。恒成立，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為.

3.(2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模)設(shè)teR,若在區(qū)間(1,2)上，關(guān)于x的不等式2*>―匚有意義且能恒成立，則f

x+t

的取值范圍為.

4.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)若存在實(shí)數(shù)r對(duì)任意的xe[0,s],不等式(2彳-左一)(1_—頊,0恒成立.則

正數(shù)s的取值范圍是.

5.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)/(x)=<%''若對(duì)+00),/(X),,|%|恒成立，

—f+2%—.0?

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

6.(2024?虹口區(qū)模擬)若不等式(依-4)(尤2一切..0對(duì)任意的*e(0,a)恒成立，貝+揚(yáng)的最小值

為.

7.(2024?寶山區(qū)三模)如果y=/(x)(x￡[0,1])同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：

◎⑴=1;

②對(duì)任意xRO,1],f(x)20成立；

③當(dāng)尤120,尤2>0,無(wú)1+X1W1時(shí)，總有了(尤1)4/(x2)勺(尤1+尤2)成立，貝！I稱(chēng)y=f(x)為"理想函數(shù)".

有下列兩個(gè)命題：

命題a：若y=/(x)為"理想函數(shù)"，則存在xi,彳2日0,1]且xi<x2,使/(xi)>f(%2)成立；

命題仇若y=/(x)為“理想函數(shù)”，則對(duì)任意尤曰0,1],都有了(無(wú))W2x成立.

則下列說(shuō)法正確的是()

A.命題a為假命題，命題0為真命題

B.命題a為真命題，命題0為假命題

C.命題a、命題P都是真命題

D.命題a、命題0都是假命題

8.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)y=/(x),xeO,如果存在常數(shù)M,對(duì)任意滿(mǎn)足再<當(dāng)<<加<當(dāng)

的實(shí)數(shù)w，x2,,x『i,xn,其中玉，x2,,尤"T,x,cD,都有不等式￡"(七)-/(41)],M恒成

z=2

立，則稱(chēng)函數(shù)y=〃x),xeO是“絕對(duì)差有界函數(shù)”

(1)函數(shù)/(*)=媽,X.2是“絕對(duì)差有界函數(shù)”，求常數(shù)M的取值范圍；

xe

(2)對(duì)于函數(shù)y=/*(%),xe[a,b],存在常數(shù)左，對(duì)任意的玉，x2e[a,切，有|/(%)一/(%2)1，，左I玉一工21

恒成立，求證：函數(shù)y=/(x),xe[tz,切為“絕對(duì)差有界函數(shù)”；

(3)判斷函數(shù)/(x)=」c°s“，°〈為，1是不是“絕對(duì)差有界函數(shù)”？說(shuō)明理由.

0,x=0

9.(2021?上海)已知玉，x?eR,若對(duì)任意的9-尤1eS,/(%)-/(玉)eS,則有定義：/(元)是在S關(guān)聯(lián)

的.

(1)判斷和證明/'(x)=2x-l是否在[0,+8)關(guān)聯(lián)？是否有[0,1]關(guān)聯(lián)？

(2)若/(幻是在⑶關(guān)聯(lián)的，/(x)在xe[0,3)時(shí)，f(x)=x2-2x,求解不等式：2期(幻3.

(3)證明：/(元)是｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在[0,+oo)關(guān)聯(lián)的，當(dāng)且僅當(dāng)“/(x)在口，2]是關(guān)聯(lián)的”.

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：60分鐘）

一、填空題

Ilux尤〉0

1.（2024?上海徐匯?一模）已知函數(shù)>=，（無(wú)），其中〃無(wú)）=_；尤<0，則〃D=-

2.（2024?上海楊浦?一模）己知函數(shù)y=f+“x+l是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為.

3.（25-26高三上,上海?單元測(cè)試）已知函數(shù)y=/（x）,其中f（x）=x（x+］（x+2碩x—3左）,且八0）=6,

貝U后二.

4.（2024?上海徐匯?一模）設(shè)。力?11,/（%）=三+35加+6.若函數(shù)'=，（%）是定義在［-4,24-1］上的奇函數(shù),

則a+b=.

5.（2024?上海寶山?一模）已知。/為實(shí)數(shù)，且函數(shù)y=%2+〃％+1,%￡［44］是偶函數(shù)，則。-/?=.

2x,x>0,

6.（2024?上海?三模）若機(jī)eR,〃彳）=1，則滿(mǎn)足〃■（m+3）的機(jī)的最大值為_(kāi)___.

—,x<0

12“

7.（2024,上海?三模）設(shè)fwR,若在區(qū)間（1,2）上，關(guān)于x的不等式2工>占有意義且能恒成立，貝卜的取值

范圍為.

a?3”一x+JC—1x>0

271'八為奇函數(shù)，則〃+b+c=____.

（x+Z7x+c-l,x<0

9.（2024?上海靜安?一模）記〃同=尤2+（/+62-1卜+/+2"一吐若函數(shù)3/=/（￡）是偶函數(shù)，則該函數(shù)圖

象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為.

10.（2024?上海青浦,一模）已知函數(shù)y=〃x）的定義域?yàn)閧-2,-1,1,2},值域?yàn)閧-2,2},則滿(mǎn)足條件的函數(shù)

y=F（x）最多有個(gè).

11.（2024?上海嘉定?一模）已知〃x）=ln（x+l）,g（x）=x<0，貝Ug（x）>x+2-e的解集為.

12.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）若存在實(shí)數(shù)f,對(duì)任意的xe［0,s］,不等式（2x-尤?恒成立.則正數(shù)

s的取值范圍是.

二、單選題

13.(2024?上海崇明?一模)下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是嚴(yán)格增函數(shù)的是()

A.y=%3B.y=exC.y=lgxD.y=sinx

_v-2y-jYI2(")4<無(wú)<0

2cIei=，若/(X)>。恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范

{ax2-2x+3,0<x<4

圍是()

15.(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))定義集合加川京不一出武-雙陶/尤人"與)｝,在使得的所有

f(x)中，下列成立的是()

A.存在/(無(wú))是偶函數(shù)

B.存在/'(x)在尤=2處取最大值

C.存在/(x)嚴(yán)格增

D.存在/(x)在x=-l處取到極小值

16.(2024?上海青浦?一模)已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，

/(x)=(x-l)(x-3)+0.01,則關(guān)于函數(shù)y=〃x)在R上的零點(diǎn)的說(shuō)法正確的是().

A.有4個(gè)零點(diǎn)，其中只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(-3,-1)上

B.有4個(gè)零點(diǎn)，其中兩個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(-3,-1)上，另外兩個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)上

C.有5個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)正零點(diǎn)中一個(gè)在區(qū)間(0,1)上，一個(gè)在區(qū)間(3,+8)上

D.有5個(gè)零點(diǎn)，都不在(0,1)上

三、解答題

17.(2024?上海黃浦?二模)設(shè)aeR,函數(shù)/(x)=￡i3.

2X-1

(1)求。的值，使得y=/(x)為奇函數(shù)；

(2)若/(2)=。，求滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)x的取值范圍.

18.(2024?上海寶山?二模)函數(shù)y=g(x)的表達(dá)式為g(x)=sin(0X)(0>O).

(1)若。=1,直線(xiàn)/與曲線(xiàn)y=g(x)相切于點(diǎn)(。1),求直線(xiàn)/的方程；

(2)函數(shù)y=g(x)的最小正周期是2兀，令h(x)=x-g(x)-]nx,將函數(shù)y=/?(%)的零點(diǎn)由小到大依次記為

xt,x2,-,xn,(n>l,neN),證明：數(shù)列｛sin/｝是嚴(yán)格減數(shù)列；

⑶己知定義在R上的奇函數(shù)y=〃x)滿(mǎn)足〃x+2a)=-/(x)(a>0),對(duì)任意花［0,2旬,當(dāng)x/a時(shí),都有

/■(■^〈/■⑷且7⑷曰百己/⑴=/⑴+4%),6(X)=〃力+8，+；］.當(dāng)0=萬(wàn)時(shí)，是否存在國(guó),當(dāng)eR，

使得尸(%)=G(%)+4成立？若存在，求出符合題意的士,超;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(2024?上海?三模)設(shè)f>0,函數(shù)>=/(尤)的定義域?yàn)镽.若對(duì)滿(mǎn)足三-%>>的任意再、x2,均有

f(x2)-f(X1)>t,則稱(chēng)函數(shù)y=/(元)具有"P⑺性質(zhì)

⑴在下述條件下，分別判斷函數(shù)y=/(x)是否具有尸(2)性質(zhì)，并說(shuō)明理由；

3

①/(x)=］X；②/(x)=10sin2x；

(2)已知/(x)=or3,且函數(shù)y=/(x)具有尸(1)性質(zhì)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶證明："函數(shù)>=fix)-無(wú)為增函數(shù)"是"對(duì)任意t>0,函數(shù)y=/(%)均具有尸⑺性質(zhì)”的充要條件.

20.(202牛上海?模擬預(yù)測(cè))設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=/(%)在R上可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為丫=/0).若區(qū)間/及實(shí)數(shù)f

滿(mǎn)足："%+/"人/'(尤)對(duì)任意xe/成立，則稱(chēng)函數(shù)y=/(乃為/上的"M(。函數(shù)".

(1)判斷y=Y+3尤是否為(0,+8)上的/⑴函數(shù)，說(shuō)明理由；

TT

(2)若實(shí)數(shù)f滿(mǎn)足：y=s加為0,-上的/⑴函數(shù)，求t的取值范圍；

⑶己知函數(shù)y=/(x)存在最大值.對(duì)于：P：對(duì)任意xeRJ'(x)WO與/(力20恒成立，Q：對(duì)任意正整數(shù)

5y=/(x)都是R上的M(〃)函數(shù)，問(wèn)：P是否為。的充分條件？P是否為。的必要條件？證明你的結(jié)論.

21.(2024?上海靜安?一模)如果函數(shù)y=〃x)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件，我們就稱(chēng)函數(shù)y=〃x)為U型函數(shù).

①對(duì)任意的xe[0,l],有〃X)2L〃1)=3；

②對(duì)于任意的羽ye[0,1],若x+yVl,貝l]/'(x+y)\y(x)+/(y)-L

求證：

(l)y=3*是。型函數(shù)；

(2)。型函數(shù)y=〃x)在[0,1]上為增函數(shù)；

⑶對(duì)于U型函數(shù)y"(x),有1(〃為正整數(shù)).

熱點(diǎn)03函數(shù)的概念與性質(zhì)

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

2024年分段函數(shù)、函數(shù)的奇偶性

2023年函數(shù)的值域，函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)與方函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用、函數(shù)與方程的應(yīng)用

程的應(yīng)用

2022年抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用、函數(shù)的定義域及其求

法

熱點(diǎn)題型解讀

醒5函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷題型1函數(shù)的定義域及其求法

題型6單調(diào)性與胡禺14^題致函數(shù)或

函數(shù)的概念與性質(zhì)

型7抽象函數(shù)及其應(yīng)用題型3函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷

題型8函數(shù)恒成立問(wèn)題題型4函數(shù)的最值及其幾何意義

題型1函數(shù)的定義域及其求法

求函數(shù)的定義域應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)

，①要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準(zhǔn)則一般有：（i）分式的分母不為0;（ii）

偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；（iii）y=x°要求xWO.

:②不對(duì)解析式化簡(jiǎn)變形，以免定義域變化.

；③當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的

公共部分的集合.

1.（2022?上海）下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）

￡

A.y=x^B.y=x~'C.y=x^D.y=戶(hù)

【分析】化分?jǐn)?shù)指數(shù)累為根式，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域得答案.

1

【解答】解:y=x5，定義域?yàn)閧%|%>0},

>=無(wú)一=工，定義域?yàn)閧x|xwO},

X

y=X3=l!x,定義域?yàn)镠,

y=x?=6,定義域?yàn)閧x|x..O}.

1

.?.定義域?yàn)镽的是y=/.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題.

2.（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）若函數(shù)/（刈=/扇+2m+3（/?JeZ）的定義域?yàn)镽,且/（*+1）=〃_尤一1）,則實(shí)數(shù)機(jī)

的值為—.

【分析】由已知可得關(guān)于機(jī)的不等式，求解加的范圍，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)求解機(jī)值.

【解答】解：函數(shù)/。）=f'"小川（mwZ）的定義域?yàn)镽,

-m2+2m+3>0,解得一1<〃工<3,

又Z?J=O,1,2,

ffi]/（x+1）=/（-%-1）,可知/（x）為偶函數(shù)，

則m=1.

，實(shí)數(shù)機(jī)的值為1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

3.（2021?上海）已知函數(shù)/（無(wú)）=J|x+a|-a-尤.

（1）若“=1,求函數(shù)的定義域；

（2）若。/0,若/■（辦）=。有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)/（功在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出。的取值范圍.

【分析】（1）把a(bǔ)=l代入函數(shù)解析式，由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于。求解絕對(duì)值的不等式得答案；

（2）/（at）=a<a>y]\ax+a\-a=ax+a,設(shè)方+a=t..O,得。=￡-『，t..O,求得等式右邊關(guān)于f的函數(shù)的

值域可得。的取值范圍；

（3）分x…-a與彳<-。兩類(lèi)變形，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)/（尤）在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的。的

范圍.

【解答】解：（1）當(dāng)。=1時(shí)，f（x）=y/\x+l\-l-x,

由|%+1|-1..0,得|兄+1|..1,解得工，一2或x..O.

.,.函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-2]^|[0,+oo)；

(2)f(ax)=y]\ax+a\-a-ax,

于(ax)=〃oAJIax+a\-a=ax+a,

設(shè)依+a=Z;.0,「.1t-a=1有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,整理得〃力.0,

「.〃=_Q_；)2+；,r..O,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，

又awO,的取值范圍是(0,；)；

(3)當(dāng)工…—Q時(shí)，/(x)=J\x+a\-a-x=4x-x=-(y[x-—)2+—,在[L+8)上單調(diào)遞減，

244

此時(shí)需要滿(mǎn)足-a…—，即④—，函數(shù)/(%)在[-a,+8)上遞減；

44

當(dāng)時(shí)，/(%)=y/\x+a\-a-x=y/-x-2a-x,在(一oo,-2Q]上遞減，

a,,--<0,:.-2a>-a>0,即當(dāng)④一工時(shí)，函數(shù)/(尤)在(-oo,-a)上遞減.

44

綜上，當(dāng)ae(-8,-；]時(shí)，函數(shù)/(x)在定義域R上連續(xù)，且單調(diào)遞減.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)定義域的求法，考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)單調(diào)性的判定及其應(yīng)用，

考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題.

題型2函數(shù)的值域

I00與式

ii

求函數(shù)值域的方法

ii

;(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到.

：(2)配方法：此方法是求“二次函數(shù)類(lèi)”值域的基本方法，即把函數(shù)通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方

法.

：(3)圖象法：利用已知一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)的圖象寫(xiě)出函數(shù)的值域.

；(4)分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類(lèi)”的形式，便于求值域.

(5)換元法：對(duì)于一些無(wú)理函數(shù)(如y=ax±b±\jcx±d),通過(guò)換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)

!求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域.

ii

1.(2023?上海)已知函數(shù)/'axF'：'。'，則函數(shù)了(無(wú))的值域?yàn)開(kāi)_______.

2%,x>0

【分析】分段求出了(尤)的值域，再取并集即可.

【解答】解：當(dāng)用,0時(shí)，八元)=1，

當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=2%>1,

所以函數(shù)/(尤)的值域?yàn)榭冢?00).

故答案為：[1,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)/(》)的值域是()

2尤~+1

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【分析】分x=0和xwO兩種情況討論，可得/(x)的值域.

【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=0,

411

當(dāng)x片0時(shí)，f(x)=...-，因?yàn)?>0,所以2H■—->2，

9X"X

所以0<」r<L

2+g

所以/(x)e(0,2),

綜上所述：F(x)的值域?yàn)閇0,2).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的值域的求法及分類(lèi)討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2024?嘉定區(qū)二模)函數(shù)y=|x-l|+|x-4|的值域?yàn)?

【分析】先對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，作出函數(shù)圖象

2x-5,x>4

【角軍答】角和y=|x—l|+|x—4|={3,l<x<4,

-lx+5,x<1

其大致圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)有最小值3,沒(méi)有最大值.

故答案為：[3，+oo).

X

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)值域的求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

377h

4.(2024?松江區(qū)校級(jí)模擬)函數(shù)/(%)=|x-a|+cosx在[0,切上的值域?yàn)閇-1,3],則士的值為_(kāi)_____.

2a

【分析】先由絕對(duì)值、余弦函數(shù)的有界性以及/(0)求出〃，分類(lèi)討論求出即可求解.

【解答】解：因?yàn)閏osx...-L

所以當(dāng)且僅當(dāng)I%—a|=0且cosx=—1時(shí)/(%)=-1,

所以1=%=萬(wàn)+2k?i，keN,

又/(0)=|a|+le[-l,《-],所以。="，

所以/(x)=|x-萬(wàn)|+cosx,易知/(無(wú))在(0,下)上單調(diào)遞減，在(匹+oo)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)萬(wàn)時(shí)，f(X)?f(0)=7T+l,不滿(mǎn)足題意；

QTT37T

當(dāng)6＞萬(wàn)時(shí)，因?yàn)?⑺…所以f(b)=b-7r-^-cosZ?=—,

注意至Uy(?)=與，且/(x)在(巴-)單調(diào)遞增，

所以6=包，

2

所以？=*.

a2

故答案為：—.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

5.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镺,若函數(shù)/(%)滿(mǎn)足條件：存在[〃，bkD,使/(%)

在卬口上的值域?yàn)間,與，則稱(chēng)〃X)為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)〃x)=bgC+,)為“倍縮函數(shù)”，則，的

范圍為.

【分析】由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0,求出f的取值范圍.

【解答】解:.函數(shù)/(無(wú))=1蜂(2'+。為“倍縮函數(shù)”，

且滿(mǎn)足存在[a,b]^D,使/(x)在團(tuán)，切上的值域是