2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓錐曲線》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案

（考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

22

I.已知直線>=氐是雙曲線二-二=1（">08>0）的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（）

ab

A.逅B.75C.瓜D.叵

55

2.若拋物線x=4y2上一點(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（）

1517

A.—B.—C.0D.2

1616

3.若動(dòng)點(diǎn)尸在y=2/+1上移動(dòng)，則點(diǎn)p與點(diǎn)。（0,-1）連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（）

A.y=412B.y=2x2

C.y=4x2+1D.y=2x2-1

4.已知拋物線C:/=6x,過點(diǎn)A（4,2）的直線/與拋物線C交于兩點(diǎn)，若涼=麗，則直線/的斜率

是（）

A.-B.-C.-D.-

3432

2222

5.已知耳是橢圓G：土+匕=1和雙曲線C2：=-與=l（a>0,b>0）的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，

122ab

TT

且尸8=],則雙曲線C2的離心率為（）

A.正B.75C.叵D.M

22

6.已知PG，%）是/：尤+丁-6=0上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓O：f+/=16的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則

當(dāng)直線A8與/平行時(shí)，直線AB的方程為（）

A.x+y=4B.x+y=8

C.3x+3y=16D.3%+3y=8

7.已知雙曲線V-X=1的左右焦點(diǎn)分別為K，匕尸為雙曲線在第一象限上的「點(diǎn)，若cos/"用=：’

3

則可巨祗=（）

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A.715B.2厲C.14D.15

22

2222

8.橢圓點(diǎn)+方=l(a>0,6>0,awb)任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：x+y=a+b,這個(gè)圓稱

2

為橢圓的蒙日?qǐng)A.在圓(x-4)2+(y-3)2=/(r>0)上總存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P能作橢圓V+2_=1的兩條相

互垂直的切線，貝卜的取值范圍是()

A.[1,7]B.[1,9]C.[3,7]D.[3,9]

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳卜2血,0),工(20,0),且滿足條件"，可以解得雙曲線C的方程為

/-產(chǎn)=4,則條件。可以是()

A.實(shí)軸長為4B.雙曲線C為等軸雙曲線

C.離心率為走D.漸近線方程為y=±x

2

2-

10.已知圓G：/+;/=9,C2:(x-l)+(y+l)=16,貝!]()

A.直線GG的方程為y=-x

B.過點(diǎn)(-3,-3)作圓G的切線有且僅有2條

C.兩圓相交，且公共弦長為典

4

D.圓C2上到直線y=x的距離為2的點(diǎn)共有3個(gè)

11.已知拋物線口丁=2「宜「>0)的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為過點(diǎn)加且斜率為左的直線/與拋

物線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A2,則下列說法正確的有()

A.當(dāng)p=2,左=g時(shí)，|冏+但因=16

B.左

C.若直線AF,族的傾斜角分別為d6，則a+6=兀

D.若點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,則直線A3必恒過定點(diǎn)

12.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長

線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知

分別為雙曲線C:1-y2=i的左，右焦點(diǎn)，過C右支上一點(diǎn)4(無。,％)(毛>君)作雙曲線的切線交工軸

于點(diǎn)”，交y軸于點(diǎn)N,則()

第2頁共22頁

A.平面上點(diǎn)磯4,1),|A閶+|/回的最小值為收'一26

B.直線MN的方程為*0-3與0=3

C.過點(diǎn)匕作耳AM,垂足為則|。引=2(。為坐標(biāo)原點(diǎn))

D.四邊形A耳叫面積的最小值為4

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知圓O:f+y2=4,過作圓。的切線/,則直線/的傾斜角為.

22

14.已知橢圓C:鼻+當(dāng)=l(a>6>0)的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,B,直線A3與直線％=-2。相交于點(diǎn)。，

ab

且點(diǎn)。到％軸的距離為。，則。的離心率為.

22

15.已知雙曲線E:「-1=1(a>0,6>0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳，「2,過左焦點(diǎn)寫作直線/與雙曲線交于A,

ab

B兩點(diǎn)(B在第一象限)，若線段AB的中垂線經(jīng)過點(diǎn)F?,且點(diǎn)F?到直線/的距離為氐，則雙曲線的離心率

為.

22_

16.已知雙曲線C：=-2=1(。>6>0)的焦距為2而，過雙曲線C上任意一點(diǎn)P作直線4分別平行于

ab

兩條漸近線,且與兩條漸近線分別交于點(diǎn)M,N.若四邊形Q0PN的面積為g，則雙曲線C的方程為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.(10分)

已知點(diǎn)直線依->+4=。及圓C：Q-if+O2)2=4.

⑴若直線以7+4=0與圓C相切，求“的值.

(2)求過M點(diǎn)的圓C的切線方程.

18.（12分）

設(shè)橢圓石:1+%=1(">。>0)經(jīng)過點(diǎn)：,半，且其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-L0).

(1)求橢圓的方程;

第3頁共22頁

（2）對(duì)角線互相垂直的四邊形ABQ5的四個(gè)頂點(diǎn)都在E上，且兩條對(duì)角線均過E的右焦點(diǎn)，求|AC|+忸。的最

小值.

19.（12分）

已知F是拋物線及丁=2處（p>0）的焦點(diǎn)，/（七,4）是拋物線E上一點(diǎn)，N（0,7）與點(diǎn)尸不重合，點(diǎn)廠關(guān)

于點(diǎn)Mr的對(duì)稱點(diǎn)為P,且標(biāo)?而=0.

（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)（0,2）的直線與拋物線E交于A,B兩點(diǎn)，求麗?麗的最大值.

20.（12分）

在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線Y=4y與直線/：y=履+。（。>0）交于M,N兩點(diǎn).

（1）若M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,求拋物線在“點(diǎn)處的切線方程；

⑵探究丁軸上是否存在點(diǎn)尸，使得當(dāng)上變動(dòng)時(shí)，總有NOPM=/OPN?若存在，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

21.（12分）

已知雙曲線C：￡-1=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,且|耳閶=4,C的一條漸近線與直線/：

ab

y=一^^］垂直.

3

第4頁共22頁

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)，直線加片，“分別交C于不同的兩點(diǎn)A,B(均異于點(diǎn)M),且礪=4用,

而及=質(zhì)^,問:九+〃是否為定值？若為定值，求出該定值，請(qǐng)說明理由.

22.(12分)

設(shè)拋物線E:y2=2Px(p>0),過焦點(diǎn)F的直線與拋物線E交于點(diǎn)&(和％)、臺(tái)優(yōu)，%).當(dāng)直線AB垂直于無軸

時(shí)，|的=2.

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵已知點(diǎn)P(LO),直線AP、3P分別與拋物線E交于點(diǎn)C、。.求證：直線。過定點(diǎn).

參考答案

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

22

1.已知直線>=區(qū)是雙曲線=-*=l(a>0,6>0)的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為()

cib

A.逅B.75C.屈D.叵

55

【答案】D

第5頁共22頁

【解析】由題意可知：=君，所以e，

ba

故選：D.

2.若拋物線x=4y2上一點(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是（）

1517

A.—B.—C.0D.2

1616

【答案】A

【解析】工=4y化為標(biāo)準(zhǔn)形式為〉2=人故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（J,。],準(zhǔn)線方程為x=

4116716

由焦半徑可得辱+1=1,解得”善.

1616

故選：A

3.若動(dòng)點(diǎn)尸在y=2/+i上移動(dòng)，則點(diǎn)尸與點(diǎn)。（0,-1）連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（）

A.y=4.r2B.j=lx1

C.y=4x2+]D.y=2尤2-1

【答案】A

【解析】設(shè)p。的中點(diǎn)為M（x,y）,P（%,%）,

x+0

x=-n----

x0=2x

y0=2y+l

即P（2x,2y+1）,又點(diǎn)P在曲線y=2/+l上,

所以2y+l=2（2x>+l,即y=4尤,，

所以P。的中點(diǎn)的軌跡方程為了=41.

故選:A

4.已知拋物線C：V=6x,過點(diǎn)A（4,2）的直線/與拋物線C交于兩點(diǎn)，若麗4=麗，則直線/的斜率

是（）

A.-B.-C.-D.-

3432

【答案】D

【解析】設(shè)”（凡,為）,吹吃,%），則解=6%,瓷=6%2,

因?yàn)榉轿?麗，所以A（4,2）為MN的中點(diǎn)，

第6頁共22頁

所以y+%=4,

.二％一%二%一%二6二3

故直線I的斜率%yfyly+%2.

~6~~6

2222

5.已知居,8是橢圓G：工+工=1和雙曲線C2：「-當(dāng)一Ma〉。山〉。）的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),

122ab

TT

且/月PR=1,則雙曲線C2的離心率為（）

A.好B.y/5C.叵D.而

22,

【答案】A

【解析】因?yàn)楹停海?9=1,有朋=3,依題意，由橢圓及雙曲線的定義得:

附|+「局=46』尸周一歸劇=2即閨詞2=閥『+|尸局2=40,

由（閥1+1*y+（閥日咽y=2（閥「+附>80,

解得a=2應(yīng)，而。=亞，所以雙曲線C?的離心率e=￡=少=@.

a2,22

故選：A.

6.已知P（%,%）是/：元+丁-6=0上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓。：/+y=16的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則

當(dāng)直線AB與/平行時(shí)，直線A3的方程為（）

A.x+y=4B.x+y=8

C.3x+3y=16D.3x+3y=8

【答案】c

22

【解析】因?yàn)橐浴Ｊ瑸橹睆降膱A的方程為。-尹+（〉苫）2=匕匕

又圓。：x2+y2=16,兩圓方程相減可得兩切點(diǎn)所在直線AB的方程為x/+y°y=16,

第7頁共22頁

%+%-6=0

*=：,即得直線AB的方程為3尤+3y=16.

由“1，可得

---------二—i%=3

、%。

故選：c.

21

7.己知雙曲線尤2一（=1的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)],尸為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，若cosN尸耳片=1,

則初時(shí)=（）

A.V15B.2A/15C.14D.15

【答案】C

【解析】依題意，橢圓長半軸長a=l,短半軸長方=石，半焦距c=2,則|尸耳|=2+|尸囚，

|w8|cos

在4PF島中，|尸片『=|尸入『卡月『一？?PF2/尸耳片,

即有(1尸61+2)2=|尸6F+42-2|PFJX4X；,解得|帆|=2,則|尸耳|=4,即△尸耳鳥是等腰三角形,

J\P■麗耳扉11麗|cosNPFpz=4x4cos(7T-2APF2FX)=-16cos2ZPF2Fl

=-16(2cos2NPF/i-1)=-16[2x(1)2-1]=14.

故選：C

22

8.橢圓r亍v+方=1（。>0,6>0,。Wb）任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：x2+y2=a2+b2,這個(gè)圓稱

為橢圓的蒙日?qǐng)A.在圓紅-4）2+行-3）2=/任>0）上總存在點(diǎn)尸，使得過點(diǎn)產(chǎn)能作橢圓/+[=1的兩條相

互垂直的切線，則廠的取值范圍是（）

A.[1,7]B.[1,9]C.[3,7]D.[3,9]

【答案】C

2

【解析】根據(jù)題意可知橢圓/+匕=1的蒙日?qǐng)A方程為一+丁=4,圓心為原點(diǎn)，半徑為2,

3

圓。一4）2+（丁-3）2=/?>0）的圓心為（4,3）,半徑為小

第8頁共22頁

貝U圓（X-4）2+（y-3）2=/r>0）與/+丁=4必有交點(diǎn)才符合題意,

即兩圓圓心距1=J(4-0『+(3-0)2=5,

貝！]|—2|4dv|r+2|n/e[3,7].

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳卜2虛,0）,名（2血,0）,且滿足條件。，可以解得雙曲線C的方程為

*-9=4,則條件「可以是（）

A.實(shí)軸長為4B.雙曲線C為等軸雙曲線

C.離心率為正D.漸近線方程為1=土無

2

【答案】ABD

22

【解析】設(shè)該雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為=-當(dāng)=1,貝UC=2A/L

ab

對(duì)于A選項(xiàng)，若實(shí)軸長為4,貝熊=2,.“'。2-標(biāo)二心符合題意；

對(duì)于B選項(xiàng)，若該雙曲線為等軸雙曲線，貝！Ja=8,又c=20,a2+b2=c2=8,

可解得/=〃=4,符合題意；

對(duì)于C選項(xiàng)，由雙曲線的離心率大于1知，不合題意；

對(duì)于D選項(xiàng)，若漸近線方程為1=±乙則。=6,結(jié)合/+。2=°2=8,可解得/=》2=4,符合題意，

故選：ABD.

222

10.已知圓G：/+y=9,C2:(x-l)+(y+l)=16,貝!]()

A.直線GG的方程為丁=一了

B.過點(diǎn)（-3,-3）作圓C1的切線有且僅有2條

第9頁共22頁

C.兩圓相交，且公共弦長為反

4

D.圓C2上到直線'=尤的距離為2的點(diǎn)共有3個(gè)

【答案】AB

【解析】由題知，G（O，°），C2（I，T），

則直線GC2的方程為曠=-％,所以A正確；

因?yàn)镚（o,o）,圓q半徑為3,

過點(diǎn)（-3,-3）作圓G的切線有》=-3,'=-3兩條，所以B正確；

X4-3<|C1C2|=A/1+T=A/2<4+3,

公共弦所在直線/為2x-2y+5=O,

圓心G至U/的距離為5L=述，

V4+44

所以公共弦長為2“9-（逑］=迤，所以C錯(cuò)誤；

4

VIJ2

圓心C?到直線y=x的距離為&,4-a>2,

所以圓G上到直線y=X距離為2的點(diǎn)有4個(gè)，所以D錯(cuò)誤.

故選：AB

11.已知拋物線。:丁2=20匹0>0）的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為過點(diǎn)M且斜率為左的直線/與拋

物線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)則下列說法正確的有（）

A.當(dāng)p=2次=g時(shí)，|網(wǎng)+|FB|=16

B.^e（-l,l）

C.若直線A尸,8F的傾斜角分別為??，則a+￡=n

D.若點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,則直線AB必恒過定點(diǎn)

【答案】ACD

【解析】設(shè)4（演,％），3（巧,%）.

對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)。=2時(shí)，拋物線方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為：尸-1,點(diǎn)M（TO）.

當(dāng)A=g時(shí)，過點(diǎn)〃的直線/方程為y=；（x+l）.

第10頁共22頁

聯(lián)立方程組,整理得:x2—14%+1=0,

則%+%=14.

所以由拋物線的定義可得：|出+|EB|=(占+1)+(9+1)=16,故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)左=0時(shí)，直線/為無軸，此時(shí)直線/和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)B不正確;

對(duì)于選項(xiàng)C：由C:y2=2內(nèi)(p>O)可得：點(diǎn)JF《,oJ,準(zhǔn)線方程為x=/，點(diǎn)加[，,0

則直線/：y={x+^|J.

聯(lián)立方程組I2),整理得：k2x2+(k2p-2p)x+^=0,

y2=2px

k1p-2p

x+x=-

i2k2

則O

%一°

因?yàn)長=tana%

2-l2-I

所以無"+%BF='V1+%

YP

占一5%一萬

所以夕+￡=無，故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)辄c(diǎn)AQ,%)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A'(x“_y),

f#+幻+j小2+|]小+^

KA'F—_—__2__一，KBF--一

演-￡西-￡J^-PX2-P%上

12124%2-222

所以直線AF與BF的傾斜角相同，即A,F,B三點(diǎn)共線.

所以直線A3必恒過定點(diǎn)尸，故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

12.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長

線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知

月，入分別為雙曲線丁=1的左，右焦點(diǎn)，過C右支上一點(diǎn)4(龍”。乂無。>⑹作雙曲線的切線交x軸

第11頁共22頁

于點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)N,則（）

A.平面上點(diǎn)3（4,1）,|伍|+|四|的最小值為用_26

B.直線MN的方程為%-3y%=3

C.過點(diǎn)與作耳”LAM,垂足為則|。”|=2（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

D.四邊形面積的最小值為4

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,由雙曲線定義得|A耳H4圖=2a=26，且耳（-2,0）,

貝U|Ag|+1A邳=|A司+1A邳一2指N忸周一2/=42如=質(zhì)一2/，

所以的最小值為歷一2■.故A正確；

對(duì)于B,設(shè)直線即V的方程為V-%=Q-M）,k力士與,

2

聯(lián)立方程組j'UJ"；一"‘）’消去y整理得，（1-3/卜2+（6kx0-6ky0）x-3左飛+6日。％-3北-3=。,

.?.△=0,化簡整理得9y/2-6X。%左+其=。，解得％=白，

“0

可得直線M2V的方程為>-%=并（彳-%）,BPxox-3yoy=3,故B正確；

對(duì)于C,由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，AM平分N￡A&,延長久”與A工的延長線交于點(diǎn)石，

則A”垂直平分月E,即|明|=|的，H為月E的中點(diǎn)，

又。是久居中點(diǎn)，所以|0川=3優(yōu)4=；傳E|一恒工|）=（仍用一|4刃）=4=出，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由直線M2V的方程為升了-3%、=3,令*=0,得>=--則

>01%J

+

%耳a=Sv—+Sv/2=]x|片用Xbo||^-|>-x4x2/|70|-|—|-=4,

當(dāng)且僅當(dāng)民卜亡，即%=±1時(shí)等號(hào)成立，

所以四邊形A耳叫面積的最小值為4,故D項(xiàng)正確.

故選：ABD.

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第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知圓。:/+9=4,過貝1,@作圓。的切線/,則直線/的傾斜角為.

5兀

【答案】三（或?qū)憺?50。）

O

【解析】因?yàn)镕+（6『=4,所以，點(diǎn)/在圓。上，直線。河的斜率為七=g2=6,

由圓的幾何性質(zhì)可知，OMLI,則直線/的斜率為無=-」=-3=-且,

k°MA/33

設(shè)直線/的傾斜角為夕，貝1]04。＜兀，則tanc=-且，故。=毛.

36

即直線/的傾斜角為57T?（或150。）.

6

5兀

故答案為：~（或?qū)憺?50。）.

0

22

14.已知橢圓cj+方=1（。＞"0）的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,B,直線A3與直線x=-2a相交于點(diǎn)D,

且點(diǎn)D到無軸的距離為a,則C的離心率為.

【答案】迥自正

33

【解析】設(shè)直線x=-2。與x軸的交點(diǎn)為E,如下圖所示：

則四=a,A（a,0）,B（0,b）,^\OB\=b,\OA\=a,

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易知V：VAR則D正E=而AE，所以z/>—a—（—2。）=3,

即2=(,所以e=￡

a3a

故答案為：逆.

3

22

15.已知雙曲線E:十方=1（八0,6>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，用，過左焦點(diǎn)寫作直線/與雙曲線交于4

B兩點(diǎn)（B在第一象限），若線段AB的中垂線經(jīng)過點(diǎn)Fz，且點(diǎn)F?到直線/的距離為氐，則雙曲線的離心率

設(shè)雙曲線E的半焦距為c,c>0,忸閭=|傷|,根據(jù)題意得忸娟-忸閭=2a,

又|你卜|秋|=忸巴卜期仁勿，即卜1明1=4環(huán)設(shè)AB的中點(diǎn)為C,

22

在中，\CF2\=y/5a,\AC\^2a,\AF2\=^（2a）+（V5a）=3a,

則|A團(tuán)=a,|Cf；|=3a,根據(jù)|C￡『+|/「=|甲珠，

可知（3a>+（扃『=（2C）2,；e=￡=半.

故答案為：畫.

2

16.已知雙曲線C：=-}=l（a>b>0）的焦距為2面，過雙曲線C上任意一點(diǎn)尸作直線4，4分別平行于

ab

兩條漸近線,且與兩條漸近線分別交于點(diǎn)M,N.若四邊形OMPN的面積為&,則雙曲線C的方程為.

【答案】--^=1

42

【解析】因?yàn)殡p曲線。的焦距為2?，所以4+〃=6.

b

雙曲線漸近線方程為y=±-％,即以土ay=O,

a

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設(shè)尸■，%),4&分另51為點(diǎn)尸至1&￥-紗=。和法+@=。的距離，

則尸到兩條漸近線的距離之積

dd_\bxo+ayo\一今()|_k飛一°.；|_|飛一。2y寺_a2b2

12-/a2+b2'4a2+b2~y[a2+bT~/a1+bT~'

又ZMON=71-ZPNO=兀一ZPMO，

sinZPMO=,sinZPNO=幺,

PMPN

所以sinZMON=,sinZMON=&-,

PMPN

../“A—.-…八一.一二2sinZMOxcosZMOx

又smZMON=sin2ZMOx=2smZMOxcosZMOx=——-------------------------

sin2ZMOx+cos2ZMOx

2tanZMOxa_lab_lab

tan2ZMOx+1行+]a2+b2c2

aJ

22

所以PM?PN=——&——d2_ab

sinZMONsinZMON~c2sin2AMON

所以S'moMPN=PM.PN.sinZMON=—.—=-ab=^.

所以qb=2\/2-

因?yàn)閍>〃，所以/=4,/=2.

所以雙曲線c的方程為

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.（10分）

已知點(diǎn)M（3,l）,直線“x-y+4=0及圓C:（x-l）2+（y-2f=4.

⑴若直線依-丫+4=0與圓C相切，求。的值.

(2)求過M點(diǎn)的圓C的切線方程.

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【解析】(1)圓心坐標(biāo)C(l,2),半徑廠=2,

若直線以-y+4=0與圓C相切，

一,〃+24

則圓心到直線的距離d=匕T=2,解得。=0或。=；.

yjl+a23

4

所以a=0或。=§.

(2)圓心坐標(biāo)C(l,2),半徑廠=2,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3,

由圓心C(l,2)到直線尤=3的距離d=3-1=2=廠知，直線與圓相切.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程y-l=k(x-3),即辰->+1-3左=0.

由題意知^~,",解得々J

yjl+k24

即直線方程為y-l=即3x-4y-5=0.

綜上所述，過M點(diǎn)的圓的切線方程為x=3或3x-4y-5=0.

18.(12分)

設(shè)橢圓E-.^+^=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)j半，且其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).

(1)求橢圓的方程；

(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在E上,且兩條對(duì)角線均過E的右焦點(diǎn)，求|AC|+忸q的最

小值.

【解析】(1)因?yàn)闄E圓E的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(TO),

所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),c=L

又橢圓E經(jīng)過點(diǎn)［'I，2，),

所以2〃=+Jg+=4,?—C2=y/3.

—2寸

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（2）①當(dāng)直線AC,血中有一條直線的斜率不存在時(shí)，|AC|+忸。=7.

②當(dāng)直線AC的斜率存在且不為0時(shí)，

設(shè)直線AC的方程x=a+l,A（%,yi）,C（X2，y2），

由1得（3人以2+6衿9=。，

rI-6/—9

則%+必=門'乂%二門’

12（12+1

\AC\=yJl+t2-

3產(chǎn)+4

設(shè)直線.的方程為-%+1,同理得忸q=骼?

,,,,84（Z2+1V

所以AC+忸。=/2\J，

111（3產(chǎn)+4）（3+4產(chǎn)）

設(shè)加=r+1,則R>1,

2

111K『ci84m848448

AC+\BD\=------------------?=--——-------=--------------5------->—

則????（3m+l）（4m-l）_J_+1+12_O_0\497,

點(diǎn)m一（『/J+彳

AQ

所以m=2時(shí)，忸力有最小值戶.

AQ

綜上，|AC|+忸q的最小值是;.

已知E是拋物線E：d=2py（p>0）的焦點(diǎn)，M5,4）是拋物線E上一點(diǎn)，N（0,7）與點(diǎn)尸不重合，點(diǎn)F關(guān)

于點(diǎn)Mr的對(duì)稱點(diǎn)為P,且而?.標(biāo)=0.

（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)（0,2）的直線與拋物線E交于A,8兩點(diǎn)，求可.而的最大值.

【解析】（1）:標(biāo)?格=0，點(diǎn)N與點(diǎn)F不重合，...■ZVF_L7VP,%=6=7.

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?.,點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為P,

，2y“=小+%,（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）.

2x4=7+^,得p=2,

二拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.

(2)由(1)知產(chǎn)(0,1),

2

易知直線A8的斜率存在，設(shè)直線A8的方程為>=丘+2,代入/=4y,整理得，x-4fcv-8=0,

A=(T4-4X(-8)=16k2+32>0,

設(shè)4(%,%),3(%,%)，則%+9=4左=-8.

麗=(芯,％_：1),麗=(%，%_1)，

1

FA-FB=XjX2+(%—1)(%—1)=玉尤2+(例+1)(辰2+1)=(k+1)%赴+左(％,+尤2)+1

=-8(^2+l)+4A:2+l=^2-7,

當(dāng)上=0時(shí)，麗.而取得最大值，為-7.

20.（12分）

在直角坐標(biāo)系X0V中，拋物線爐=4y與直線/：、=丘+4（。＞0）交于M,N兩點(diǎn).

（1）若M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,求拋物線在〃點(diǎn)處的切線方程；

⑵探究y軸上是否存在點(diǎn)尸，使得當(dāng)上變動(dòng)時(shí)，總有NOPM=NORV?若存在，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）由已知，得M（4,4）,因?yàn)閥=所以/=斜率左=；x4=2,

因止匕切線方程為y_4=2（x—4）,BP2x-y-4=0.

（2）存在符合題意的點(diǎn)尸（0,-。），理由如下：

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設(shè)點(diǎn)P（o,3為符合題意的點(diǎn)，M（占,%）4（心％），直線的斜率分別為

y=kx+a

聯(lián)立方程,X2，得％2-4履一4a=0,

[y=-4

因?yàn)椤ā?,則A=16嚴(yán)+16〃>0,可得石=4%,%々=一4〃,

從而k_丁15+%8_丘1+〃一萬+丘2+〃8

.X]x2X]x2

Q

2kxxx2+(a—Z?)(^+x2)一83+4A(—Z?)k(a+b)

2~^aa

因?yàn)榕缓銥?,可知當(dāng)且僅當(dāng)辦=-〃時(shí)，恒有勺+左2二。，

則直線與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故/OPM=/OPN,

所以點(diǎn)尸（0,-。）符合題意.

22

已知雙曲線C：點(diǎn)-卓=1（。>0,"0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,且閨詞=4,C的一條漸近線與直線/：

y=一且x垂直.

3

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)，直線加耳，加瑞分別交C于不同的兩點(diǎn)A,B（均異于點(diǎn)M）,且函=2不，

而（=豆，問：2+〃是否為定值？若為定值，求出該定值，請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）因?yàn)殚|司=2c=4,所以c=2,

因?yàn)殡p曲線C的漸近線與直線/：>無垂直，

3

所以2=君，②

a

又。2=/+凡③

解得4=1,b=6，

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2

所以雙曲線C的方程為爐-匕=1.

3