第13講函數模型及其應用

知識梳理

1、幾種常見的函數模型:

函數模型函數解析式

一次函數模型f{x}=ax+b{a,Z?為常數且々。0)

反比例函數模型k

f(x)=—+b(k,。為常數且0)

X

二次函數模型/(%)=ax2+bx+c(a,b,c為常數且a。。)

x

指數函數模型/(x)=ba+c(a,b,。為常數，bwO,Q〉0,

Qw1)

對數函數模型

f(x)=b\ogax+c(a,b,c為常數，Q>0,

QW1)

幕函數模型/(x)=axn+b(a,b為常數,a。。)

2、解函數應用問題的步驟：

(1)審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識

建立相應的數學模型；

(3)解模：求解數學模型，得出結論；

(4)還原：將數學問題還原為實際問題.

必考題型全歸納

題型一：二次函數模型，分段函數模型

[例1](2024?全國?高三專題練習)汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續向前滑

行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要

依據.在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎

車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超

過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速ykm/h之間的關系為用=，尸-木，乙車的剎

車距離sm與車速ykm/h之間的關系為$乙=工丫2-±y.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速

現象()

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

【對點訓練11（2024?全國?高三專題練習）如圖為某小區七人足球場的平面示意圖,

為球門，在某次小區居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線5米的尸點處接球，此

時1曲/428=（，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點。處射門，為獲得最

佳的射門角度（即NAQ3最大），則射門時甲離上方端線的距離為（）

C.WA/2D.10A/3

【對點訓練2】（2024?云南?統考二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格:

一次購買件數5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價格37元32元30元27元25元

張師傅準備用2900元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這

種玩具（）

A.116件B.no件C.107件D.106件

【對點訓練3】（2024?全國?高三專題練習）某科技企業為抓住“一帶一路”帶來的發展機

遇，開發生產一智能產品，該產品每年的固定成本是25萬元，每生產x萬件該產品，需另

尤2+10無,0<尤440

投入成本0（x）萬元.其中0（x）=110000，若該公司一年內生產該產品全

71x+----------945,%>40

部售完，每件的售價為70元，則該企業每年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

【解題方法總結】

1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，

將各段的變化規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏.

題型二：對勾函數模型

[例2]（2024?全國?高三專題練習）某企業投入100萬元購入一套設備，該設備每年的

運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設

備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元.為使該設備年平均費用最低，該企業

需要更新設備的年數為（）

A.8B.10C.12D.13

【對點訓練4】（2024?全國?高三專題練習）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未

來一段時期內，成為商業的一個主要發展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1

月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發現，產品的月銷量

2

x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式x=3-一；.已知網店每月

固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為

“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利

潤是萬元.

【對點訓練5】（2024?全國?高三專題練習）迷你K7V是一類新型的娛樂設施，外形通

常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人

3

的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意圖，其中AB=AE=5，

ZA=ZB=ZE=90°,曲線段CO是圓心角為90。的圓弧，設該迷你K7V橫截面的面積為

S,周長為則菅的最大值為.（本題中取萬=3進行計算）

B

C

ED

【對點訓練6】(2024?全國?高三專題練習)磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術

形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形

截去同心扇形0AB所得部分.已知扇環周長=300cm,大扇形半徑OD=100cm,設

小扇形半徑。4=xcm,=0弧度，則

①e關于尤的函數關系式取幻=.

②若雕刻費用關于X的解析式為以x)=10x+1700,則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為

【解題方法總結】

1、解決此類問題一定要注意函數定義域；

b

2、利用模型/(x)=ax+—求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.

x

題型三：指數型函數、對數型函數、基函數模型

【例3】(2024?全國?高三專題練習)2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘

帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企

業響應政府號召，積極參與幫扶活動.該企業2021年初有資金150萬元，資金的年平均增

長率固定，每三年政府將補貼10萬元.若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，

資金的年平均增長率應為(參考值：^/L82-1.22,^73~1.2)()

A.10%B.20%C.22%D.32%

【對點訓練7】(2024?云南?高三云南師大附中校考階段練習)近年來，天然氣表觀消費

量從2006年的不到600xl()8m3激增到2021年的3726x1()8nA從2000年開始統計，記k

表示從2000年開始的第幾年，0＜左，左eN.經計算機擬合后發現，天然氣表觀消費量隨

時間的變化情況符合匕=%（1+幻:其中匕是從2000年后第左年天然氣消費量，匕是

2000年的天然氣消費量，又是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為

900xl08m3,2018年的天然氣消費量為2880xl08m3,根據擬合的模型，可以預測2024年

的天然氣消費量約為（）

222

（參考數據:2.883^2.02,3.2^?2.17,4?~2.52

A.5817.6x10'n?B.6249.6xl08m3

C.6928.2xl08m3D.7257.6xl08m3

【對點訓練81（2024?陜西咸陽?統考模擬預測）血氧飽和度是血液中被氧結合的氧合血

紅蛋白的容量占全部可結合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循

環的重要生理參數.正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于96%,否則為供養不足.在環

境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數模型：S（f）=S°ek描述血氧飽和度SQ）（單位％）

隨機給氧時間f（單位:時）的變化規律，其中5為初始血氧飽和度，k為參數.已知

S。=60,給氧1小時后，血氧飽和度為70,若使血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至

少還需要（）小時.（參考數據：ln5=1.61,ln6=1.79/n7=L95,ln8=2.07）

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

【對點訓練9】（2024?全國?高三專題練習）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交

配、警戒等信息的化學物質，是昆蟲之間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分

子語言，包括利它素、利己素、協同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信

息素、性信息素等.人工合成的昆蟲信息素在生產中有較多的應用，尤其在農業生產中的

病蟲害的預報和防治中較多使用.研究發現，某昆蟲釋放信息素/秒后，在距釋放處x米

的地方測得的信息素濃度》滿足其中比。為非零常數.已知釋放

信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為儂若釋放信息素4秒后，距釋

放處b米的位置，信息素濃度為羨，則^=（）

A.3B.4C.5D.6

【對點訓練10]（2024?全國?高三專題練習）異速生長規律描述生物的體重與其它生理

屬性之間的非線性數量關系通常以幕函數形式表示.比如，某類動物的新陳代謝率y與其

體重X滿足>=其中人和a為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重

增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則。為（）

A.-B.yC.-D.-

4234

【解題方法總結】

1、在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于1）的一

類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數模型.

2、在解決指數型函數、對數型函數、暴函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確

定函數解析式，再借助函數圖像求解最值問題.

題型四：已知函數模型的實際問題

【例4】（2024?全國?高三專題練習）牛頓曾經提出了常溫環境下的溫度冷卻模型：

e=（a其中r為時間（單位：min）,4為環境溫度，4為物體初始溫度，6

為冷卻后溫度），假設在室內溫度為2（rc的情況下，一桶咖啡由io（xc降低到6（yc需要

20min.則左的值為.

【對點訓練1。（2024?四川宜賓?統考模擬預測）當生物死亡后，它機體內碳14會按照

確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，照此規律，人們獲得了生物體內

t

碳14含量與死亡時間之間的函數關系式=k0^y°，（其中心為生物死亡之初體內的

碳14含量，，為死亡時間（單位：年），通過測定發現某古生物遺體中碳14含量為5%,

O

則該生物的死亡時間大約是年前.

【對點訓練12]（2024?全國?高三專題練習）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量了（無）

'5>20<x<l

（毫克/毫升）隨時間x（小時）變化的規律近似滿足表達式/（力=3flY《酒

—-—X>1

[5⑴

后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規定：駕駛員血液中酒精含量不得超過0.02毫克/毫

升此駕駛員至少要過小時后才能開車.（精確到1小時）

【對點訓練131（2024?全國?高三專題練習）能源是國家的命脈，降低能源消耗費用是

重要抓手之一，為此，某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準備

建造可以使用30年的隔熱層，據當年的物價，每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民

幣.又根據建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費用N（單

位：萬元）與隔熱層厚度〃（單位：厘米）滿足關系：=經測

算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣.設

尸伍）為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使產色）達到最小值時，

隔熱層厚度//=__________厘米.

【對點訓練14]（2024?全國?高三專題練習）某地在20年間經濟高質量增長，GDP的值

P（單位，億元）與時間r（單位：年）之間的關系為尸（。=《（1+10%）',其中■為r=0

時的P直假定兄=2,那么在仁10時，GZ）尸增長的速度大約是.（單位：億元

/年，精確到0.01億元/年）注：1.1晨2.59,當無取很小的正數時，ln（l+x）?x

【解題方法總結】

求解已知函數模型解決實際問題的關鍵

（1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數.

（2）根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.

（3）利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗.

題型五：構造函數模型的實際問題

[例5]（2024?浙江?高三專題練習）紹興某鄉村要修建一條100米長的水渠，水渠的過

水橫斷面為底角為120。的等腰梯形（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100

元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現有資金3萬元，當過水

橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數據：石°1.732）

120°

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

【對點訓練15]（2024?北京?高三北京市八一中學校考開學考試）某純凈水制造廠在凈

化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質減少50%,若要使水中雜質減少到原來的

5%以下，則至少需要過濾（）

（參考數據：1g27Q3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

【對點訓練161（2024?全國?高三專題練習）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現

人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸

需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系.為解決這個問題，發射了嫦娥

四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日乙點的軌道運行.4點是平衡點，位于地

月連線的延長線上.設地球質量為月球質量為地月距離為R,4點到月球的距

離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，/■滿足方程:

MMMr

右七+笠=（R+r）景?設由于a的值很小，因此在近似計算中

（/c+r）rRR

3CC^++Of5_3.、

（1+才⑸，則廠的近似值為（z）

【解題方法總結】

構建函數模型解決實際問題的步驟

（1）建模：抽象出實際問題的數學模型；

（2）推理、演算：對數學模型進行邏輯推理或數學運算，得到問題在數學意義上的解;

(3)評價、解釋：對求得的數學結果進行深入討論，作出評價、解釋、返回到原來的實際

問題中去，得到實際問題的解

第13講函數模型及其應用

知識梳理

1、幾種常見的函數模型:

函數模型函數解析式

一次函數模型f(x)=ax+b(a,b為常數且aw0)

反比例函數模型

f(X)=++b(k,人為常數且QWO)

X

二次函數模型f{x}=ax1+bx+c{a,b,。為常數且a。。)

指數函數模型/(x)=bax+c(a,b,。為常數，a〉0,

awl)

對數函數模型f(x)=b}ogax+c(a,b,c為常數，。w0,〃>0,

awl)

幕函數模型/(x)=axn+b(a,b為常數,

2、解函數應用問題的步驟：

(1)審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識

建立相應的數學模型；

(3)解模：求解數學模型，得出結論；

(4)還原：將數學問題還原為實際問題.

必考題型全歸納

題型一：二次函數模型，分段函數模型

[例1](2024?全國?高三專題練習)汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續向前滑

行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要

依據.在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎

車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超

過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速vkm/h之間的關系為用='/2一:”，乙車的剎

車距離sm與車速vkm/h之間的關系為5乙=工F-上v.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速

現象()

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

【答案】C

【解析】對于甲車，令擊聲一gPv2-10v-600?0

解得UP—20km/h（舍）或va30km/h,所以甲未超速；

對于甲車，4^v2-^v?10,§Pv2-10v-2000^0

解得uaYOkm/h（舍）或VQ50km/h,所以乙超速；

故選:C.

【對點訓練。（2024?全國?高三專題練習）如圖為某小區七人足球場的平面示意圖,

為球門，在某次小區居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線5米的尸點處接球，此

時tanZAM/，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點。處射門，為獲得最

佳的射門角度（即-AQ5最大），則射門時甲離上方端線的距離為（）

C.10V2D.10V3

【答案】B

【解析】設AB=x,并根據題意作如下示意圖，由圖和題意得：P"=25,BH=10,

fBH102，5

月f以tan/BPH=-----=—=-->>tanZAPB=—,

HP255-31

52

-----F—

3

所以tanZAPH=tan(ZAPB+/BPH)=315

152

1-----x—5

315

.AHAB+BHx+10Y+103

又tanZAPH=——=------------='所以百=丁解得x=5,即筋=5,

PHPH25

設QH=h,/7G[0,25],則4。=J。”?+AH?=8+15?，

BQ=y]QH2+BH2=yJh2+102,所以在AAQB中,

AQ2+BQ2_AB2?+150

有cosZAQB=

2AQxBQJ//+325//+22500

令加=r+150（150＜加＜775）,所以外=a一150,

cos/AQB二,；二?

所以y/(m-150)2+325(m-150)+22500J3750125M，

Nm2m

因為150W/〃W775,所以一1w,W工，則要使NAQB最大，

775m150

cosZAQB=,I_3750―?5

即375025，要取得最小值,即』-學+2+1取得最大值,

J——廠+—+1Vrn2m

Vmm

即-W3750+325+i在3ill上取得最大值，

mm775m150

1___1_

，

而，而/()=—3750/+251+1,

所以/⑺的對稱軸為：f=擊，所以/■⑺在《，上單調遞增，在看單調遞

減,

所以當"工時，/⑺取得最大值，即NAQ8最大，此時,=工，即加=300,

300m300

所以外=150,所以h=5爬,即為獲得最佳的射門角度（即/A。最大）,

則射門時甲離上方端線的距離為：5痣.

故選：B.

【對點訓練2】（2024?云南?統考二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格:

一次購買件數5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價格37元32元30元27元25元

張師傅準備用2900元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這

種玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】設購買的件數為x,花費為y元，

37x,l<x<10

32x,ll<x<50

貝1Jy=，30x,51<x<100,當x=107時，7=2889<2990,

27x,101<x<300

25x,x>300

當x=108時，^=2916>2900,所以最多可購買這種產品107件，

故選：C.

【對點訓練3】（2024?全國-高三專題練習）某科技企業為抓住“一帶一路”帶來的發展機

遇，開發生產一智能產品，該產品每年的固定成本是25萬元，每生產九萬件該產品，需另

x2+10x,0<x<40

投入成本0（x）萬元.其中0（x）={10000，若該公司一年內生產該產品全

71x+----------945,%>40

部售完，每件的售價為70元，則該企業每年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

【答案】C

70x-+10x+25),0<x<40

【解析】該企業每年利潤為/（%）=

70x-171尤+翌她-945+25),x>40

當0<xW40時，/(%)=—d+60x-25=-(%-30)2+875

在x=30時，/（x）取得最大值875；

10000<920-2^.^^=720

當九〉40時，/（x）=920-XH---------

X

（當且僅當x=100時等號成立），即在x=100時，“X）取得最大值720；

由875>720,可得該企業每年利潤的最大值為875.

故選：C

【解題方法總結】

1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，

將各段的變化規律分別找出來,再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏.

題型二：對勾函數模型

[例2]（2024?全國?高三專題練習）某企業投入100萬元購入一套設備，該設備每年的

運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設

備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元.為使該設備年平均費用最低，該企業

需要更新設備的年數為（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】設該企業需要更新設備的年數為x（xeN*）,設備年平均費用為y萬元，

則x年后的設備維護費用為2+4+6+…+2工=差戶=x（x+l）,

衣立g*中心100+0.5x+x（x+l）1003、J100343，?一、

所以x年的平均費用為了=-----------——^=尤+—+->2.x——+-=一（萬兀），

xx2Vx22

當且僅當％=10時，等號成立，

因此，為使該設備年平均費用最低，該企業需要更新設備的年數為10.

故選：B.

【對點訓練4】（2024?全國?高三專題練習）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未

來一段時期內，成為商業的一個主要發展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1

月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發現，產品的月銷量

2

x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式x=3-一；.已知網店每月

固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為

“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利

潤是萬元.

【答案】37.5

2

【解析】根據題意，得到--1,（1<%<3）,進而得到月利潤的表示，結合基本不等

3-x

式，即可求解.由題意，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用r萬元之間滿足

X—J,

t+1

2

即"-----l,(l<x<3),

3-x

所以月利潤為y=[32x1.5+二x-32x-3-t=16x---3=16x—

23-x2

=45.5-[16(3-x)+]<45.5-2屈=37.5,

3-x

當且僅當16(3-x)=?—時，即x=4■時取等號,

3-尤4

即月最低利潤為37.5萬元

故答案為：37.5.

【對點訓練5】（2024?全國?高三專題練習）迷你K7V是一類新型的娛樂設施，外形通

常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人

3

的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意圖，其中==

ZA=ZB=ZE=90°,曲線段是圓心角為90。的圓弧，設該迷你K7V橫截面的面積為

.（本題中取萬=3進行計算）

【答案】12-3^/15

【解析】設圓弧的半徑為x（0<x<：）,根據題意可得：3C=OE=A3-尤=

22

139萬尤2

S=AEDE+(AB-DE){AE-x)+-兀?￡=-x一JT2+-------

2J44

L=2AB+BC+DE+—=6-2x+—

42

Q_Y21

?.?乃=3/.S=^-,L=6——x

42

S_9-x2

L-24—2R

根據基本不等式，；+『2行^3岳，當卻僅當

即1=6小時取

6A/15G[21,24),.」=6^/^^時，|yj=12-3^/15

\LJmax

故答案為：12-3而.

【對點訓練6】（2024?全國?高三專題練習）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術

形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形

OCD截去同心扇形OAB所得部分.已知扇環周長=300cm,大扇形半徑O￡）=100cm,設

小扇形半徑。4=xcm,NAOB=6弧度，貝!J

①。關于X的函數關系式e（x）=.

②若雕刻費用關于X的解析式為以尤）=10元+1700,則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為

【答案】笠,(0,100)；3

100+x

【解析】由題意可知，ZAOB=0,OA=x,00=100,

所以AD=BC=l(X)-x,oc=100。，

扇環周長AB+Ar>+BC+DC=e-x+200-2x+1006=300,

解得6=.，尤e(0,100),

100+x

磚雕面積即為圖中環形面積，記為s,

貝1JS=S扇形。OC-S扇形AOBn:.ODDC--OAAB

=-xlOOxlOO^---%-^=5OOO6>--x2=f5OOO~—\*100+2^

222I2J100+x

即雕刻面積與雕刻費用之比為加，

_s_（10000-x2）（100+2x）_（100-x）（50+x）

'm~^00—2（100+x）（10x+1700）--10（x+170）-'

令t=x+170,則x=t-170,

（270-/）（/-120）-?+390r-120x270t12x270.

10/10t10t

<-2j--12><270+39=-36+39=3,當且僅當t=180時（即x=10）取等號，

Viot

所以磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為3.

故答案為：:坐21xe（0,100）；3

【解題方法總結】

1、解決此類問題一定要注意函數定義域；

b

2、利用模型/（x）=ax+—求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.

龍

題型三：指數型函數、對數型函數、塞函數模型

【例3】（2024?全國?高三專題練習）2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘

帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企

業響應政府號召，積極參與幫扶活動.該企業2021年初有資金150萬元，資金的年平均增

長率固定，每三年政府將補貼1。萬元.若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，

資金的年平均增長率應為（參考值：^/L82-1.22,^73?1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】由題意，設年平均增長率為了,貝IJ150（1+X）3+10=270,

所以尤=工-1B1.2-1=0.2,故年平均增長率為20%.

故選：B

【對點訓練7】（2024?云南?高三云南師大附中校考階段練習）近年來，天然氣表觀消費

量從2006年的不到600xl08m3激增到2021年的3726xl08m3.從2000年開始統計，記k

表示從2000年開始的第幾年，OM左，％eN.經計算機擬合后發現，天然氣表觀消費量隨

時間的變化情況符合匕=%（1+瑁二其中匕是從2000年后第左年天然氣消費量，匕是

2000年的天然氣消費量，〃是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為

900xl08m3,2018年的天然氣消費量為2880xl08m3,根據擬合的模型，可以預測2024年

的天然氣消費量約為（）

222

（參考數據：2.88^。2.02'3.2i~2.17,41。2.52

A.5817.6xl08m3B.6249.6xl08m3

C.6928.2xlO8m3D.7257.6xlO8m3

【答案】B

【解析】據題意％=%（1+必9=900x1013,唳=M（1+%尸=2880xK）8m3,兩式相除可得

（1+了=3.2,

2

又因為％=%（1+%?=2880xl08x（3.2戶?6249.6xlOsm3>

故選：B.

【對點訓練81（2024?陜西咸陽?統考模擬預測）血氧飽和度是血液中被氧結合的氧合血

紅蛋白的容量占全部可結合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循

環的重要生理參數.正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于96%,否則為供養不足.在環

境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數模型：義力=跖心描述血氧飽和度S⑺（單位％）

隨機給氧時間f（單位:時）的變化規律，其中S。為初始血氧飽和度，人為參數.已知

S0=60,給氧1小時后，血氧飽和度為70,若使血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至

少還需要（）小時.（參考數據：ln5=1.61,ln6=1.79,ln7=1.95,ln8=2.07）

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

【答案】D

【解析】由題意可得，60^=70,60/296,貝ljK=lna=ln7-ln6,>In—=In8-ln5,

6060

則使血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要2.875-1=1.875小時.

故選：D.

【對點訓練9】（2024?全國?高三專題練習）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交

配、警戒等信息的化學物質，是昆蟲之間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分

子語言，包括利它素、利己素、協同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信

息素、性信息素等.人工合成的昆蟲信息素在生產中有較多的應用，尤其在農業生產中的

病蟲害的預報和防治中較多使用.研究發現，某昆蟲釋放信息素f秒后，在距釋放處X米

1k

的地方測得的信息素濃度>滿足lny=-，lnf-勺尤2+a,其中鼠。為非零常數.已知釋放

信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為加；若釋放信息素4秒后，距釋

放處6米的位置，信息素濃度為5，則6=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由題意In加=-4-k+Q,In—=—In4—b2+a

224f

所以ln7n-lnT=-4女+a-1一；ln4-：Z72+〃）），

k

即一4左+；62=O.又心。,所以。2=16.

4

因為b>0,所以b=4.

故選：B.

【對點訓練101（2024?全國?高三專題練習）異速生長規律描述生物的體重與其它生理

屬性之間的非線性數量關系通常以幕函數形式表示.比如，某類動物的新陳代謝率丁與其

體重x滿足y=其中％和a為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重

增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則a為（）

A.-B.1C.-D.-

4234

【答案】D

【解析】設初始狀態為（項,%），則％=16占，丫2=8%,

又y2=kx°,即8%==左,16"砰，

8%hl6a普3

16a=8,24a=23,*=3,?=-.

%日：4

故選：D.

【解題方法總結】

1、在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于1）的一

類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數模型.

2、在解決指數型函數、對數型函數、幕函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確

定函數解析式，再借助函數圖像求解最值問題.

題型四：已知函數模型的實際問題

【例4】（2024?全國?高三專題練習）牛頓曾經提出了常溫環境下的溫度冷卻模型：

其中/為時間（單位：min）,4為環境溫度，4為物體初始溫度，e

為冷卻后溫度），假設在室內溫度為20（的情況下，一桶咖啡由io（rc降低到6（rc需要

20min.貝1]k的值為.

?小小、In2

【答案】三

【解析】由題意，把4=20,4=100,8=60,7=20代入。=（4一％卜力+4中，

得80eR+20=60,所以十。&="

所以一20女二—ln2,角軍得上二野.

故答案為：■

【對點訓練11]（2024?四川宜賓?統考模擬預測）當生物死亡后，它機體內碳14會按照

確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，照此規律，人們獲得了生物體內

t

碳14含量與死亡時間之間的函數關系式）=k。（gj嬴，（其中心為生物死亡之初體內的

碳14含量，，為死亡時間（單位：年），通過測定發現某古生物遺體中碳14含量為:心，

O

則該生物的死亡時間大約是年前.

【答案】17190

【解析】由題意，生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式=

因為測定發現某古生物遺體中碳14含量為，

O

令出廠=上可得所以品=3,解得-719。年.

故答案為：17190年.

【對點訓練12]（2024?全國?高三專題練習）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量f（x）

5>2O<X<1

(毫克/毫升)隨時間X(小時)變化的規律近似滿足表達式〃X)=3<1Y《酒

[-5-⑶-X>1

后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規定：駕駛員血液中酒精含量不得超過0.02毫克/毫

升此駕駛員至少要過小時后才能開車.(精確到1小時)

【答案】4

【解析】當OVxVl時，由0.02得5皿〈os,

解得xW2+log5().02=log50.5<0,舍去；

a1

當x>l時，由/(力<0。2得]?(/<0.02,即3修<0.1,

^#x>l-log30.1=l+log310,

因為3<l+log310<4,所以此駕駛員至少要過4小時后才能開車.

故答案為：4

【對點訓練131(2024?全國?高三專題練習)能源是國家的命脈，降低能源消耗費用是

重要抓手之一，為此，某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準備

建造可以使用30年的隔熱層，據當年的物價，每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民

幣.又根據建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費用N