專題06直線與圓、圓錐曲線

考點(diǎn)01直線的方程

1.(24-25高三上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末)己知直線儲(chǔ)〃氏+2y+2=0,l2：5x+(m-3)y-5=0,若4〃4,

則7〃=()

A.5B.2C.2或-5D.5或-2

【答案】A

【分析】根據(jù)直線平行，結(jié)合一般式方程建立方程，分別驗(yàn)根，可得答案.

【詳解】因?yàn)橹本€4：如+2y+2=0與直線如5x+(祖-3)y-5=0平行，

所以冽(m-3)=2x5,解得力=-2或m=5.

當(dāng)〃z=-2時(shí)，直線jx-y-l=0與直線心x-y-l=0重合，不符合題意；

當(dāng)〃z=5時(shí)，直線j5x+2y+2=0與直線乙：5x+2y—5=0平行，符合題意.

綜上，m=5.

故選：A.

易錯(cuò)分析：已知直線平行求參數(shù)時(shí)要注意直線重合與斜率不存在的情況.

2.”<7=]”是"直線尤+20_]=0和直線(a-l)x+沖一1=0平行”的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】由兩直線平行得出。的值，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若直線無+2?一1=0與直線(a-l)x+ay—1=0平行，

3

則有l(wèi)xa=2a.(a-l),解得a=0或a=],

當(dāng)a=0時(shí)，直線》+2毆-1=0即為彳-1=0,

直線(a—l)x+政一1=0,即為x+l=0,兩直線平行，符合題意；

3

當(dāng)a=5時(shí)，直線尤+2ay-l=0即為直線x+3y-l=0,

直線(a-l)x+ay-l=0,即為x+3y-2=0,兩直線平行，符合題意;

3

故兩直線平行時(shí)，。=0或。=；；，

2

所以是“直線無+2阪-1=0和直線(a-l)x+ay-1=0平行”的充分不必要條件，

故選；C.

3.已知直線/:2)x+5y—3=0,4:(a—2)x+金一5=0,貝!］"/J//?”是“q=2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由〃〃2可求出。的值，再由充分條件和必要條件的定義求解即可.

［詳解］若〃〃2貝|々(4_2)_5(?_2)=0,且30—25工0,所以0=5,或4=2,

所以“4〃夕'是“a=2”的必要不充分條件.

故選：B.

4.已知直線依+2y+6=0與直線尤+(。-1方+。2-1=0互相平行，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-2B.2或—1C.2D.-1

【答案】D

【分析】?jī)芍本€斜率存在時(shí)，兩直線平行則它們斜率相等，據(jù)此求出a的值，再排除使兩直線重合的a的值

即可.

【詳解】直線依+2y+6=0斜率必存在，

故兩直線平行，則-二=-一BPa2-a-2=Q,解得。=2或-1,

當(dāng)a=2時(shí)，兩直線重合，。=-1.

故選：D.

5.過點(diǎn)4(1,4)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4x-y=0或x+y-5=0D.4無-y=0或x-y+3=0

【答案】D

【分析】分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.

【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,滿足題意，

又因?yàn)橹本€過點(diǎn)A(l,4),所以直線的斜率為g=4,

1—0

所以直線方程為y=4x,即4元-y=0,

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為2+二=1,

a一〃

因?yàn)辄c(diǎn)人(1,4)在直線上，

14

所以—+—=1,解得a=-3,

a-a

所以直線方程為x-y+3=o,

故所求直線方程為4元-y=。或無-y+3=0.故D項(xiàng)正確.

故選：D

易錯(cuò)分析：在應(yīng)用直線方程的截距式時(shí)要判斷是否存在截距為零的情況.

6.(23-24高三下.浙江.開學(xué)考試)直線/過拋物線C:/=-4y的焦點(diǎn)，且在x軸與y軸上的截距相同，貝心的

方程是()

A.y=-x-lB.y=-x+l

C.y=x-lD.y-x+1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，求得拋物線C的焦點(diǎn)為歹(0,-1),設(shè)直線方程為x+y+加=。，代入直線方程求得優(yōu)的

值，即可求解.

【詳解】由拋物線C:/=-4y的焦點(diǎn)為尸(0,-1),

又由直線/在龍軸與y軸的截距相同，可得直線方程為彳+>+加=。，

將點(diǎn)打。,-1)代入x+V+m=0,可得〃2=1,所以直線/的長(zhǎng)為產(chǎn)-X—1.

故選：A.

7.直線x-2y-2=0在x軸上的截距為°,在y軸上的截距為b,貝U()

A.a=2,b=lB.a=2,b=—\

C.a——2,b=\D.a——2,b=—l

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由直線的方程，結(jié)合直線截距的定義計(jì)算，即可求解.

【詳解】由題意，直線x-2y—2=0,

令x=0,解得y=-l,故b=一1；令y=0,解得尤=2,所以4=2.

故選：B.

8.已知直線/：◎+、-2+a=0在x軸和y軸上的截距相等，貝I實(shí)數(shù)a的值是()

A.1B.-1C.2或1D.-2或1

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分別求得直線/在坐標(biāo)軸上的截距，列出方程，即可求解.

【詳解】由直線/：ax+y—2+a=0,顯然。片0,

當(dāng)x=0時(shí)，可得y=2-a,即直線/在y軸上的截距為2-。；

當(dāng)>=。時(shí)，可得了=二上，即直線/在x軸上的截距為三；

aa

2—CL

因?yàn)橹本€/在X軸和y軸上的截距相等，可得一=2-“，

a

即〃-30+2=0,解得a=2或。=1.

故選：C.

9.(24-25高三上?湖北隨州?階段練習(xí))已知點(diǎn)打2,-1),則過點(diǎn)尸且與原點(diǎn)的距離為2的直線/的方程

為.

【答案】》=2或力-4尸10=0

【分析】對(duì)直線/的斜率左分類討論，再利用點(diǎn)到直線的距離公式及其點(diǎn)斜式即可得出答案.

【詳解】①當(dāng)/的斜率%不存在時(shí)顯然成立，此時(shí)/的方程為x=2.

②當(dāng)/的斜率上存在時(shí)，

^l:y+l=k(x-2),即爪_>_2左一1=0,

I―2k-112

由點(diǎn)到直線的距離公式得，添臺(tái)=2,解得左=；,

/.1:3尤-4y-10=0.

故所求,的方程為x=2或3x-4y-10=0.

故答案為：x=2或3x-4y-10=0.

易錯(cuò)分析：設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)要檢驗(yàn)斜率不存在的情況是否滿足題意.

考點(diǎn)02圓的方程

1.(2024?吉林?三模)已知曲線C：x2+y2+2〃a-2y+2=0表示圓，則機(jī)的取值范圍是()

A.(-oo,-l)B.C.(-1,1)D.(^?,-l)u(l,+co)

【答案】D

【分析】將一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程后可求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(尤+根『+仃-1)2=機(jī)2-1,

故病＞1即7〃＜-1或加＞1,

故選：D.

易錯(cuò)分析：當(dāng)圓的一般方程中含有參數(shù)時(shí)要注意滿足。2+爐一4/＞0這一隱含條件.

2.（23-24高二上?貴州黔南?期中）已知圓C：x2+y2-4x-2my+m2+m=0,過點(diǎn)（U）可作兩條直線與圓C

相切，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.（2,-K?）B.（-1,2）

C.（-1,4）D.（YO,-1）52,4）

【答案】D

【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到4-機(jī)＞0,求出機(jī)的大范圍，再由點(diǎn)（U）在圓外，得到點(diǎn)

到圓心的距離大于半徑，從而求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】圓C：X2+y2-Ax-2my+m2+m=0,BP（x-2）2+（y-m）2=4—m,

則圓心為（2,半徑r=＜4-m,旦4一〃z＞0,則MI＜4,

又過點(diǎn)（LI）可作兩條直線與圓C相切，所以點(diǎn)（1』）在圓外，

所以.J。一2）'（1一加）＞4一在,解得2Vm＜4或加＜-1,

m＜4

綜上可得實(shí)數(shù)加的取值范圍是（F,T）U（2,4）.

故選：D

3.（2024.河北滄州.二模）若點(diǎn)4（2,1）在圓/+/-2小一2,+5=0（加為常數(shù)）外，則實(shí)數(shù)加的取值范圍

為（）

A.（—oo,2）B.（2,+co）C.（—co,—2）D.（―2,+co）

【答案】C

【分析】由點(diǎn)A在圓外代入圓的方程可得加＜2,再由圓的一般方程中。2+戌一4斤＞0可得加＜一2,最后求

交集即可.

【詳解】由題意知22+F-4m-2+5＞0,

故加＜2,

又由圓的一般方程尤2+9+瓜+硝+尸=(),

可得+石2_4尸>0,即(-2m)2+(-2)2-4x5>0,

即02<-2或>2,

所以實(shí)數(shù)7"的范圍為加<-2.

故選：C.

4.(2024高三.全國(guó).專題練習(xí))過點(diǎn)M(3,l)作圓/+丁.龍一6y+2=0的切線/,貝心的方程為()

A.x+y-4=0B.x+y-4=0或％=3

C.x-y-2=0D.x-y-2=0或x=3

【答案】C

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式判斷M在圓上，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可求解.

【詳解】.x2+y~—2%—6y+2=0,

二.(x-1)?+(y-3)2=8,圓心坐標(biāo)為(L3),

M(3,1),.-.(3-1)?+(1-3)2=8,即河在圓上，

則過M點(diǎn)的切線方程為(3-1乂尤-1)+(1-3)(y-3)=8,

整理得x-y-2=0.

故選：C

易錯(cuò)分析：求過某點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)應(yīng)先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，然后根據(jù)位置關(guān)系判

斷切線的條數(shù)，避免因?yàn)楹雎孕甭什淮嬖诘那闆r而漏解.

5.(24-25高二上?山東濰坊?開學(xué)考試)已知圓C:尤2+y2-2x=0,則過點(diǎn)尸(3,0)的圓C的切線方程是()

A.y=±g(x-3)B.y=±2(x-3)

C.y=±-^?(尤一3)D.y=+A/3(x—3)

【答案】C

【分析】首先說明點(diǎn)在圓外，再設(shè)點(diǎn)斜式方程，利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出即可.

【詳解】將P(3,o)代入圓方程得3?+()2.2X3=3>0,則該點(diǎn)在圓外，

C:x2+y2-2x=0,即C:(x—l)2+y2=l,則其圓心為(1,0),半徑為1,

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為x=3,顯然不合題意，故舍去,

則設(shè)切線方程為:y=k（x-3）,即至-y-3左=0,

則有占3=1,解得左=士亭，此時(shí)切線方程為〉=±￡"-3）.

故選：C.

6.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）過圓N+y2—4x=0上點(diǎn)尸（1,百）的圓的切線方程為（）

A.x+百?gòu)S4=0

B.括x—y=0

C.冗一6丁+2=0

D.x=l或x—出y+2=0

【答案】C

【詳解】

注意到尸（1,5）在圓N+y2—4x=0上，將點(diǎn)（1,#5）代入公式（加一2）（x—2）+&o—0）。-0）=4,得直線方程

x—^5y+2=O.

【考查意圖】過圓上一點(diǎn)的圓的切線.

7.（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）若直線/：血->=4被圓C:尤2+y2-2y-8=0截得的弦長(zhǎng)為4,則機(jī)的值

為（）

A.±2B.±4C.±0D.±2血

【答案】A

【分析】根據(jù)題目得到圓C的圓心和半徑，利用幾何法來表示弦長(zhǎng)即可求得結(jié)果.

【詳解】由題知，圓C的圓心為（0,1）,半徑為由產(chǎn)=3,

由弦長(zhǎng)為2,32-優(yōu)=*解得加=±2.

故選：A

8.（2024.甘肅蘭州.模擬預(yù)測(cè)）已知直線>=尤+6與圓（7:/+0-1）2=4相交于機(jī)"兩點(diǎn)，|頌|=9，則

b=（）

A.0或1B.1或一1C.1或2D.0或2

【答案】D

【分析】根據(jù)直線與圓相交，利用垂徑定理可求參數(shù)的值.

【詳解】

設(shè)圓心C(O,1)到直線>=無+6的距離為d,

2

則4二用1.由13MN|]+d=2\得)+(1)2=4,

V2J22

解得b=0或b=2.

故選：D

9.當(dāng)曲線y=l+47/與直線y=Mx-2)+4有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)人的取值范圍是().

A?[哈B.信+6C.Q,1]D.備工

【答案】D

【分析】首先確定曲線所表示的圖形，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出實(shí)數(shù)％的取值范圍.

【詳解】直線y=M尤一2)+4恒過點(diǎn)4(2,4),

由y=1+74-x2?1可得y-1=74-x2，等式兩邊平方得V+(y—I)?=4,

曲線yul+H'T'表示圓d+(y-l)2=4的上半圓，作出示意圖如下:

當(dāng)直線＞=%(%-2)+4與半圓相切時(shí)，即直線履-y-2左+4=0與半圓相切時(shí),

3-2左5

Wi^==2,解得左二2,

Jl+k212

a

當(dāng)直線y=Z（x-2）+4過c（-2,l）時(shí)，Tk+4=1,解得左=（,

要想曲線產(chǎn)1+4E與直線y=Mx-2）+4有2個(gè)相異交點(diǎn)，

數(shù)形結(jié)合得到：實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

（124J

故選：D.

易錯(cuò)分析：對(duì)曲線方程化簡(jiǎn)時(shí)要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性，避免因?yàn)榛?jiǎn)不等價(jià)而造成增根.

10.若直線/：＞=履+3-左與曲線C：y=的二了恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

A/*）B.g|［C.］。,3D.

【答案】B

【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)，以及直線和圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合作出圖象進(jìn)行研究即可.

【詳解】由/：＞=履+3-左知直線/過定點(diǎn)

由曲線C:y=7I二7,兩邊平方得丁+9=1。20）,

則曲線是以C（0,0）為圓心，1為半徑的上半圓（包含軸上的兩點(diǎn)），

當(dāng)直線過點(diǎn)4（-1,0）時(shí)，直線,與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

3

此時(shí)0=-左+3-左，解得長(zhǎng)=￡,

當(dāng)直線/與曲線相切時(shí)，直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，

/、一|3-4|,4

圓心C（0,0）到直線/：'=履+3-左的距離1=左m=1,解得左=：,

要使直線/：'=履+3-左與曲線c：y=J二巨恰有兩個(gè)交點(diǎn)，

43

則直線/夾在兩條直線之間，因此§＜女＜5，

即實(shí)數(shù)左的取值范圍為匕＜4，］3".

故選：B.

11.若直線依2=0與曲線=x_l有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

f4

D.-,+℃

【答案】A

【分析】畫出圖形，求出直線過定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合再由圓心到直線的距離等于半徑和斜率的定義求解即可;

【詳解】曲線=尤-1即為半圓:（尤一1）2+（＞—1）2=1（尤21）,

其圖象如圖所示，

曲線與X軸的交點(diǎn)為4（1,0）,而直線丘-y-2=。為過（0,-2）的動(dòng)直線,

左一34

當(dāng)直線/與半圓相切時(shí)，有+T=I,解得％=彳，

J1+女23

2

當(dāng)直線/過A時(shí)，有化=]=2,

4

因?yàn)橹本€/與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故§＜上工2,

故選：A.

12.（24-25高三上?黑龍江?期末）圓。：V+y=4與圓。：（*-2）2+（、+2）2=20的公切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，即可判斷出答案.

【詳解】易得圓。：/+y=4的圓心。（0,0）,半徑4=2,

圓O：（%-2）2+（y+2）z=20的圓心O'（2,-2）,半徑/=26\

＞\OO'\=272e（2^-2,25/5+2）,即圓O與圓°相交，

故其公切線條數(shù)為2.

故選：B.

13.（24-25高三上?遼寧遼陽?期末）若曲線y=與圓（》-3）2+（y-4成=戶（r＞0）相切，則r的值為（）

A.3B.2或7C.2D.3或7

【答案】A

【分析】依題意可得曲線＞="二7表示以。（0,0）為圓心，2為半徑的半圓（龍軸及x軸上方部分），再確

定圓心坐標(biāo)，從而得到廠的值.

【詳解】曲線y=則/0,又/+/=4,

所以曲線y=，4-f表示以。（0,0）為圓心,2為半徑的半圓（x軸及x軸上方部分），

圓（x-3r+（y—4）2=，什＞0）的圓心為“（3,4）,半徑為「，

X|OM|=V32+42=5，

若|OM|=r+2,即r=3時(shí)滿足曲線y=與圓（x—3）2+（,-4）2=戶（廠＞0）相切.

14.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在圓O:尤?+了2=4上，點(diǎn)A（-3,0）,3（0,4）,滿足族的點(diǎn)尸

的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示確定點(diǎn)P的軌跡，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（％y）,則/+V=4,且AP=（x+3,y）,族=（尤,y-4）,

由AP_L5P,^AP-BP=x(x+3)+y(y-4)=x2+y2+3x-4y=0,

即、+目+（—）2=?,

故點(diǎn)尸的軌跡為一個(gè)圓心為（-/2］，半徑為|■的圓，

則兩圓的圓心距為!■,半徑和為3+2=3,半徑差為二-2=:.

22222

159

因?yàn)?<=<：，所以兩圓相交，滿足這樣的點(diǎn)尸有2個(gè)

222

故選：B

15.（24-25高三上?遼寧大連?期中）已知圓。:一+丁=1,圓/：（尤一。）2+“一。+4）2=1.若圓M上存在點(diǎn)

P,過點(diǎn)尸作圓。的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,使得NAPB=60。，則。的取值范圍（)

2一%1B.C.2一字2+用D/2一孝,2+

A.2一

2

【答案】D

【分析】由題意畫出圖形，利用兩點(diǎn)間的距離關(guān)系求出O尸的距離，再由題意得到關(guān)于。的不等式求得答案.

【詳解】

如圖，圓。的半徑為1,圓河上存在點(diǎn)P,

過點(diǎn)尸作圓。的兩條切線，切點(diǎn)為AB,使得NAPB=60。,

則/APO=30。，在RtZ\P4O中，尸0=2,

又圓M的半徑等于1,圓心坐標(biāo)M（a,a-4）,

中°LTM?-1，|尸臉=|“。|+1,

卜M+g-4)2,

???由亞+(0一4『一I.24荷+(°-4)2+1,

解得：2一工aM2+絲,則。的取值范圍為

22

故選：D.

考點(diǎn)03圓錐曲線的定義

1.已知點(diǎn)4(—1,0),5(1,0),動(dòng)點(diǎn)尸(羽。滿足|網(wǎng)+|尸耳=1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()

A.橢圓B.直線C.線段D.不存在

【答案】D

【分析】根據(jù)|到+|陽與|的的關(guān)系判斷點(diǎn)的軌跡.

【詳解】由題設(shè)知|斜+|冏=1<|AB|=2,

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在.

故選：D

易錯(cuò)分析：根據(jù)橢圓的定義判斷曲線類型時(shí)要注意判斷動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和與兩定點(diǎn)間

距離大小的比較.

22

2.(24-25高三上?河北邯鄲?階段練習(xí))已知圓Q:x2+(y_l)2=25,O2:x+(y+l)=1,動(dòng)圓“與圓。|相

內(nèi)切，與圓O?相外切，則點(diǎn)M的軌跡方程為()

2,22,2

A.工-匕=1B.工+匕=1

8989

x2y21

C.工-二=1D.—+—=1

【答案】B

【分析】結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系與橢圓定義可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓〃的半徑為人根據(jù)題意得：\MO\=5-r,|MO2|=l+r,

所以|Mq|+|MQ|=6>|QO2|=2,

根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以。I、。2為焦點(diǎn)的橢圓，

22

設(shè)其方程為三+多=1(。〉0)，其中2a=6,a=3,

b2a2V7

2c=2,C=1f則人2=Q2一。2=8,

22

所以點(diǎn)M的軌跡方程為L(zhǎng)+匕=1,

89

故選：B

3.(2024高三.全國(guó)?專題練習(xí))如果點(diǎn)"(x,y)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式，7癡丁+病不于

=4石，那么點(diǎn)M的軌跡是()

A.不存在B.橢圓C.線段D.雙曲線

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.

【詳解】2+7x2+(y-3)2=473表示平面內(nèi)到點(diǎn)(0,-3),(0,3)的距離之和為4石的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)

的軌跡，由于3-(-3)=6<4石，所以點(diǎn)”的軌跡是橢圓.

故選：B.

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))與圓(尤+2)?+/=2外切，且與圓/+;/一敘=0內(nèi)切的圓的圓心在()

A.拋物線上B.圓上C.雙曲線的一支上D.橢圓上

【答案】C

【分析】由兩圓相切的條件得出動(dòng)點(diǎn)滿足的性質(zhì)，再利用雙曲線的定義可得.

【詳解】由題設(shè)，(X+2)2+9=2的圓心為4-2,0),半徑為五;x2+y2-4尤=0的圓心為8(2,0),半徑為

2,

半徑為r,由圖及已知條件易得廠>2,

則|AC|-忸。|=拒+2,

由雙曲線定義知，圓心C在以AB為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.

故選：C.

易錯(cuò)分析：雙曲線的定義要注意兩點(diǎn)：一是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為常數(shù)2a,二

是要2a<2c.

5.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）已知點(diǎn)4（0,2）,3（0,-2）,。（3,2）,若動(dòng)點(diǎn)”（蒼①滿足|他4|+|4。=|處|+忸。,

則點(diǎn)Af的軌跡方程為（）

丫2

A.=1

3

C.=l

3

【答案】B

【分析】根據(jù)|他4|+a。=附同+忸。中恒。,忸。為定值，故先化簡(jiǎn)村4+|4。=四耳+忸。再分析滿足的距

離關(guān)系即可.

【詳解】設(shè)M（x,y）,因?yàn)閨阿+|AC|=|MB|+怛。,

故\MA\+3=\MB\+^32+[2-(-2)]2，B|J|M4|-|M5|=2<4.

故點(diǎn)M&y）的軌跡是以4（0,2）,川0,-2）為焦點(diǎn)的雙曲線的下支,

且a=l,c=2,i^b2=c2-a2=3.

所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2-^=l（y<-l）.

故選：B.

6.（2024?河南濮陽?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,0）,以線段尸尸為直徑的圓與圓

O:Y+y2=3相切，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）

A.--^=1B.--/=]Dx2I

433C2畀163

【答案】B

【分析】分兩圓外切和內(nèi)切兩種情況，根據(jù)兩圓位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解.

【詳解】由題意可知：圓Od+yZ=3的圓心為。（0,0）,半徑廠=有,

設(shè)耳（-2,0）,以線段4為直徑的圓的圓心為M,半徑為R,

OM|=2（r+R）,\PF\^2R,

可得歸耳|_|尸尸］=2（，+尺）_2尺=2'=26；

若圓M與圓0內(nèi)切，則忸耳|=2|OM|=2（R—r）,\PF\=2R,

綜上所述：歸耳|-|尸尸］=2括,

可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以月,廠為焦點(diǎn)的雙曲線，且。=若,。=2,則b=A/C2—a2=1>

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為工-丁=1

3'

故選：B.

7.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知雙曲線C:二-亡=1的左、

右焦點(diǎn)分別是片，耳,點(diǎn)尸在雙曲線C上,

916

且|尸制=7,則%=（）

A.13B.16C.1或13D.3或16

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解.

f2

【詳解】由雙曲線C:二-匕v=1可得”=3,C=5.

916

因?yàn)閨P￡|=7<o+c,所以點(diǎn)尸在雙曲線C的左支上，

所以|至|-|尸耳|=2",則|%=閘+2。=7+6=13.

故選：A.

易錯(cuò)分析：雙曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都滿足|M|<a+c.

8.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若點(diǎn)尸到點(diǎn)尸（0,2）的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則點(diǎn)尸的軌跡方

程為（）

A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的定義即可寫出點(diǎn)P的軌跡方程.

【詳解】由題意，知P至IJ尸（0,2）的距離比它至Ijy+4=O的距離小2,

因此P到尸（0,2）的距離與到直線y+2=0的距離相等，

故P的軌跡是以下為焦點(diǎn)，>=-2為準(zhǔn)線的拋物線，

所以P的軌跡方程為V=8y.

故選：C

9.在平面直角坐標(biāo)系工分中，動(dòng)點(diǎn)P（x,y）到直線X=-1的距離比它到定點(diǎn)（3,0）的距離小2,則點(diǎn)P的軌跡

方程為（）

A.y2=6xB.y2=12%C.y2=-6xD.y2=-12x

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求解.

【詳解】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)PQ,y）到直線x=-3的距離與它到定點(diǎn)（3,0）的距離相等，

由拋物線的定義知，點(diǎn)尸的軌跡是以（3,0）為焦點(diǎn)，a=-3為準(zhǔn)線的拋物線，

所以P=6,點(diǎn)尸的軌跡方程為V=i2x.

故選：B.

10.點(diǎn)尸到點(diǎn)尸（3,0）的距離比它到直線/：彳=1的距離大4,則點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.以上都不對(duì)

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，按點(diǎn)尸在直線/及左側(cè)、右側(cè)兩種情況分類討論，結(jié)合拋物線定義判斷即得.

【詳解】由點(diǎn)P到點(diǎn)尸（3,0）的距離比它到直線/:x=l的距離大4,知點(diǎn)P既可以在直線/的左側(cè)，也可以在

直線/的右側(cè)，

當(dāng)點(diǎn)尸在直線/:x=1及左側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3,0）的距離等于它到直線x=5的距離，

則點(diǎn)P的軌跡是以p（3,0）為焦點(diǎn)，直線x=5為準(zhǔn)線的拋物線在直線/及左側(cè)部分；

當(dāng)點(diǎn)尸在直線/:x=1的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3,0）的距離等于它到直線x=-3的距離，

則點(diǎn)P的軌跡是以P（3,0）為焦點(diǎn)，直線》=-3為準(zhǔn)線的拋物線在直線/的右側(cè)部分，

所以點(diǎn)尸的軌跡包含以上兩部分，選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤，D正確.

故選：D

考點(diǎn)04圓錐曲線的方程及幾何性質(zhì)

22

1.（24-25高三上?福建泉州?期中）若方程「-----J=i表示橢圓，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

m+3m-1

A.（-1,3）B.（-3,1）

C.（-3,-l）._.（-l,l）D.（f-3）（1,+s）

【答案】C

【分析】先化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)橢圓方程性質(zhì)列不等式組計(jì)算即可求參.

22

【詳解】因?yàn)榉匠蘜+工=1表示橢圓，

m+31-m

fm+3>0“

所以<八且機(jī)+3與1-相不相等，

所以〃蚱（一3,-1）。（-1,1）.

故選：C.

m>0,

22

易錯(cuò)分析：方程'+匕=1表示橢圓的條件是〃〉0,，表示雙曲線的條件是根〃<0.

mn

m^n

22

2.（23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí)）方程+=1表示橢圓的充要條件是（）.

4+m2-m

A.-4<m<2B.l<m<2

C.-4<m<-lD.m>—1

【答案】B

【分析】借助橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與充要條件的定義計(jì)算即可.

V.2V2

【詳解】若^+“二=1表示橢圓，

4+m2-m

4+m>0

則<2-m>0,解得Tvmv-l或一1VMV2.

4+mw2-m

故選：B.

22

3.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)加，“小>2”是“方程」----J=i表示雙曲線”的（）

m+1m-2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的特征得到加的取值，再根據(jù)充分條件的判定即可得到結(jié)果.

22

【詳解】若方程-----J=1表示雙曲線，

m+1m-2

貝-2）>0,得根>2或機(jī)<一1,

22

則>2”是“方程」-----匚=1表示雙曲線”的充分不必要條件，

m+1m-2

故選：A.

4.（24-25高三上?江蘇無錫?期中）求長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且過點(diǎn)（3,-1）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）

22

22工+匕=1

A.土+匕=1B.8282-

182V

2xy1

C.±2+工=1或存+近=1D-。口

【答案】C

【分析】分析可知，a=3b,對(duì)橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出/的值,

即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由題意可知，a-3b,

22

若橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為++京=1,

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得舒9+a1=1,解得廿=2,

22

此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為±+乙=1；

182

22

若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為*1=1,

9b2b2

igQO

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得八萬+《=1,解得〃=},

9bb9

此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為京+金=1

~9

22）

綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匯=1或記+而=1.

182

故選：C.

易錯(cuò)分析：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟是先定位、再定量，即先確定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，然

后再求“力2的值，當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)要分情況討論.

5.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為月（-3,0）,耳（3,0）,尸為雙曲線上一點(diǎn)且

卜「片卜|「耳||=4,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

x222

AY9]yiry<,

A.-----------=1D.-----------=1C.-----------=1

455445

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義確定G6的值，即可得雙曲線方程.

【詳解】因?yàn)殁疃穦%|=4〈寓閶=6,

由雙曲線的定義可得c=3,2a=4,即”=2,62=02-4=9一4=5,且焦點(diǎn)在x軸上,

22

所以雙曲線的方程為

故選：A.

易錯(cuò)分析：已知圓錐曲線的方程和性質(zhì)求參數(shù)，要注意分析焦點(diǎn)位置.

22

6.（24-25高三上?河南南陽?期中）已知橢圓C：L+2T=1的短軸長(zhǎng)為4,則機(jī)=（）

mm

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)短軸長(zhǎng)求得〃=4,討論九/大小及橢圓定義求參數(shù).

【詳解】由C的短軸長(zhǎng)為4,得以=4,即b=2,則6=4,

若m＞"＞0=*0＜根＜1,貝蘇=4,顯然矛盾；

若用2＞機(jī)＞（）=＞機(jī)＞1,則m=4.

22

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)機(jī)=4時(shí)，橢圓C：L+J=1的短軸長(zhǎng)為4,

mm

故選：B

7.（2024.山東.一模）若橢圓C：《+f=1的離心率為亞，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

m23

A.20B.子或2#

C.2aD.20或2指

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的離心率求出與的值，對(duì)橢圓C的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，求出機(jī)的值，即可求得橢圓

a

C的長(zhǎng)軸長(zhǎng).

c1a2-b2ib1（行丫2g、1b21

【詳解】因?yàn)?2===——=1一一=—=-,所以，==一.

a2a2a27[3）3a23

序01

①若橢圓。的焦點(diǎn)在X軸上，貝!）勺=*=±,可得機(jī)=6,則4=標(biāo)=6，

此時(shí)，橢圓c的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2?；

②若橢圓c的焦點(diǎn)在y軸上，則與='=l，可得加=],則°=&,

a2233

此時(shí)，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20.

綜上所述，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20或2遍.

故選：D.

8.（2024?內(nèi)蒙古?三模）已知橢圓W—+與=1的離心率為且，則機(jī)=（）

m+2m3

A.±72B.±2C.±2萬D.±4

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的方程，結(jié)合離心率的定義和求法，列出方程，即可求解.

22

【詳解】由橢圓+==1,可得/=加+2,6=療，貝房=/一62=2,

m+2m

所以e?=J=—”,解得*士2.

a~m~+213J

故選：B.

22

9.(24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí))如圖所示，已知橢圓C:二+斗=1(°>6>0),O:x2+y2=b2A,

ab

尸分別是橢圓c的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是。上的動(dòng)點(diǎn)，且宵為定值，則橢圓C的離心率為()

IPF\

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓性質(zhì)以及圓的方程即可得片+62=幾卜2+廿),。=〃，構(gòu)造方程即可解得離心率.

【詳解】易知A(—"0),尸(―GO),設(shè)尸(和乂),

要使曙為定值，則有(網(wǎng)+4+靖=2[(占+。)2+H，4為常數(shù);

顯演2+y；=b?,因止匕a?++Z?2=412_|_2c%]+/??),

比較兩邊系數(shù)可得4+廿=X卜2+/)M=尬，

2

故+b，卜2+62),即c(“2+/)=〃(/+/),

整理可得2c"—"="3,即/_2￡+1=0,也即(e—l)(/+e—1)=0,

又0<e<l,解得e=避二L

2

故選：A

易錯(cuò)分析：圓錐曲線的離心率問題要注意橢圓離心率的范圍是(0,1),雙曲線的離心率范

圍是（L+°°）.

10.（24-25高三上?河北承德?階段練習(xí)）已知與，瑞是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，

且「可＞|尸閭，線段尸耳的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)歹2.記橢圓的離心率為，，雙曲線的離心率為％,則'+902的

e\

取值范圍是（）

A.（6,+oo）B.（12,+oo）C.（6,7）D.（5,+oo）

【答案】B

【分析】由題意可得|呀|=|耳耳|=2c,結(jié)合橢圓和雙曲線的定義得到，，q的關(guān)系式，根據(jù)e?的取值范圍，

通過分析函數(shù)單調(diào)性可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2卬，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2%,它們的公共焦距為2c,不妨設(shè)焦點(diǎn)在無軸上，點(diǎn)尸

在第一象限.

丁點(diǎn)F2在線段尸耳的垂直平分線上，.■.歸閶=|耳閶=2c.

由橢圓、雙曲線的定義得:|尸￡|+|尸閶=2弓，|尸￡|-|尸閭=羽，尸耳|=%-2c=2%+2c,整理得4-⑥=2e,

幺-皈