2024-2025學年浙江省紹興市新昌縣西郊中學九年級（上）期中考數學

試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列事件中，是不可能事件的是（）

A.買一張電影票，座位號是奇數B.度量某個三角形的內角和，度數為185。

C.打開電視機，正在播放新聞D.射擊運動員射擊一次，命中9環

2.將二次函數?/=（2―1）2+2的圖象向上平移3個單位，得到的拋物線的函數表達式為（）

A.沙=（2+2）2-2B.y=（工—4）2+2C.y=（x—I）2—1D.y=（x—I）2+5

3.不透明的袋子中裝有1個紅球，3個綠球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個球，恰好是紅

球的概率是（）

1113

A.—B.—C.—D.—

4324

4.已知的半徑為4c〃z,點尸到圓心。的距離為3c〃z,則點P（）

A.在圓內B.在圓上C.在圓外D.不能確定

5.如圖，四邊形A8CD內接于00，點E在3c的延長線上.若/8。。=120°，則N0CE=（）

A.120°B.60°C.100°D.80°

6.已知AB=6,點P為線段N3的黃金分割點G4P〉BP），則/尸的長為（）

A.3\/5-3B.3A/5+3C.9-375D.9+375

7.若點4（—3,陰），BQ,,。（2,券）在二次函數V=/+24+1的圖象上，則勿，數，統的大小關系

是（）

A.yi<y\<姬B.y\</<52c.y\<yi<明D.胡〉為〉yi

第1頁，共18頁

8.如圖，在半徑為。的扇形0/8中，^A0B=90°，將扇形CUB沿過點8的直線折疊，點。恰好落在弧

9.如圖，N3是?O的直徑，AACD=ACAB，AD=2,47=4,則00的半徑為（）

10.如圖，等腰及△48。內接于圓。，直徑48=2血，。是圓上一動點，連接AD,。。，BD,且⑦交

AB于點G.下列結論：①。C平分NADB；?ADAC=ZAGC^③當AD=CD，四邊形NDBC的面積為

873；④當_8。=2時，四邊形AD3C的周長最大，正確的有（）

A.①②B.②③C.①②④D.①③④

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.正六邊形的每個內角等于°.

12.若二次函數g=/+3/的圖象經過點P（2,a）,則a的值為.

13.已知線段a=2,6=8.則。，6的比例中項線段長是.

第2頁，共18頁

9

14.如圖，直線直線/￡交A，/2,b于點、4C,E,直線BF交11，(2,Z3于點3，。，F.若7汨=：,

。七3

15.在半徑為5的圓。中4B,。。分別是它的兩條弦，豆ABHCD,其中43=8，CD=6,求此時這兩

條弦之間距離為.

16.已知二次函數V=x2-2nx+3(n>0),點A(m-2,a),B(4,6),C(m,a)都在這個二次函數的圖象上，

且a<b<3,則〃?的取值范圍是.

三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題8分)

已知x：y=2：3,求：

⑴一;的值；

山y

⑵若4+V=15,求x,y的值.

18.(本小題8分)

小明和小莉做化學實驗，紫色石蕊試劑是一種常用的酸堿指示劑，通常情況下石蕊試劑遇酸溶液變紅，遇

堿溶液變藍，遇中性溶液不變色.現有4瓶缺失標簽的無色液體：蒸儲水、白醋溶液、食用堿溶液、檸檬

水溶液，其中白醋溶液、檸檬水溶液是酸性，食用堿溶液是堿性，蒸儲水是中性，兩人各取了4個燒杯，

分別倒入這4種不同的無色液體.

(1)小明將石蕊試劑滴入任意一個燒杯，呈現藍色的概率是；

(2)小莉隨機取了兩個燒杯，滴入石蕊試劑，用畫樹狀圖法或列表法求一杯變紅、一杯變藍的概率.

19.(本小題8分)

已知拋物線沙=—X2+(m—1)/+m與y軸相交于點(0,3).

(1)求拋物線的函數表達式.

(2)當x取何值時，拋物線在x軸上方？

20.(本小題8分)

如圖，40、2C相交于點P,連接NC、BD,且/1=/2,AC=3-CP=2，DP=1,求AD的長.

第3頁，共18頁

21.(本小題8分)

如圖，在邊長為1的正方形網格中，△ABC的頂點在格點上，將繞點C順時針旋轉90°，得到

△CDE.

(1)在網格中作出△COE；

(2)求出線段3C掃過的面積.

22.(本小題8分)

為了落實勞動教育，某學校邀請農科院專家指導學生進行小番茄的種植，經過試驗，其平均單株產量y千

克與每平方米種植的株數以24/W8,且x為整數)構成一種函數關系.每平方米種植2株時，平均單株產

量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克.

(1)求y關于x的函數表達式.

(2)每平方米種植多少株時，能獲得最大的產量？最大產量為多少千克？

23.(本小題8分)

如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度48=60米，拱高產。=18米，

第4頁，共18頁

p

(1)求圓弧所在的圓的半徑r的長；

(2)當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE=4米是否要采取緊

急措施？

24.(本小題8分)

【發現問題】愛好數學的小明在做作業時碰到這樣的一道題目：如圖①，點O為坐標原點，。。的半徑為1,

點4(2,0).動點3在0O上，連結NS作等邊△480(4用。為順時針順序)，求0c的最大值.

圖①圖②

【解決問題】小明經過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接03,以為邊在03的

左側作等邊三角形連接AE.

(1)請你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；

(2)線段OC的最大值為.

(3)【靈活運用】如圖②，8。=4逐，點D是以3c為直徑的半圓上不同于3、C的一個動點，以BD為

邊在的右側作等邊求NC的最小值.

第5頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】根據隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：4買一張電影票，座位號是奇數，是隨機事件，故/不符合題意；

R度量某個三角形的內角和，度數為185°，是不可能事件，故3符合題意；

C打開電視機，正在播放新聞，是隨機事件，故C不符合題意；

D射擊運動員射擊一次，命中9環，是隨機事件，故。不符合題意；

故選：B.

2.【答案】D

【解析】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的規律是解答此題的關鍵.

根據二次函數圖象平移規律左加右減，上加下減，得出平移后解析式即可.

【詳解】解：將二次函數“=2的圖象向上平移3個單位長度，得到的拋物線相應的函數表達式

為：沙=(2一+5,

故選：D.

3.【答案】A

【解析】直接由概率公式求解即可.

【詳解】解：?.?袋子中裝有1個紅球，3個綠球，每個球被摸到的概率相同，

.?.從不透明的袋子中隨機摸出一個球，恰好是紅球的概率是」=；,

故選：A.

4.【答案】A

【解析】本題考查了點與圓的位置關系，設0O的半徑為r,點尸到圓心的距離OP=d,則有：①點P在

圓外0d〉r;②點尸在圓上0d=r;③點尸在圓內0

根據?0的半徑r和點尸到圓心的距離d的大小關系判斷即可.

【詳解】解：根據題意可得：。。的半徑為r=4cwz,點尸到圓心。的距離為d=3an,

?.?3<4,

：.d<r,

二.點尸在圓內，

第6頁，共18頁

故選：A.

5.【答案】B

【解析】根據一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，求得/4=60°，再根據圓內接四邊形的外

角等于它的內對角求解.

【詳解】解：?.?NBO0=12O°,

?.-ZA=1zBOD=60°,

ADCE=NA=60°.

故選：B.

6.【答案】A

【解析】根據黃金分割點的定義，代入數據即可得出NP的長.

【詳解】解：由于P為線段43=6的黃金分割點，

且NP是較長線段；

則AP=6x--=3\/5-3，

2

故選：A.

7.【答案】A

【解析】根據拋物線的對稱軸和開口方向，再由4,B,。三個點離對稱軸的遠近，即可解決問題.

【詳解】解：由題知，

拋物線g=/+2r+1的開口向上，且對稱軸是直線立=—1,

所以函數圖象上的點，離對稱軸越近，函數值越小.

又;一(T)<T-(-3)<2-(T),

所以續<yi<ya

故選：A.

8.【答案】C

【解析】由折疊的性質，可得。。=C。，BD=BO,則可得4。+。。=。4,又在扇形。N5中，

ZAOB=90°，半徑08=a，即可求得不力的長度，繼而求得陰影部分周長.

【詳解】解：根據折疊的性質，CD=CO,BD=BO,

：,OB=OA=BD=a,AC+CD=AC+OC=OA=a

又?.?"03=90°，

第7頁，共18頁

_90i

...矗的長度為：—?=-7ra,

則陰影部分的周長為：3a+2a.

故選：C.

9.【答案】B

【解析】先由直徑所對的角是直角得到=90°，再根據圓周角相等得到3。=40=2，最后在

H力△48。中，由勾股定理求出直徑即可得到答案.

【詳解】解：?二48是。。的直徑，

AACB=90°，

■：AACD=Z.CAB,

---AD=BC>則3。=4。=2，

在中，AC=4,5。=2,則由勾股定理可得+區02=?后

：,0。的半徑為:45=①，

故選：B.

10.【答案】C

【解析】證明40=48,公=矗，由圓周角定理以及三角形的外角性質即可證明①②正確；作“

交可延長線于證明BO=（\歷-1）40,利用勾股定理以及三角形面積公式即可證明③錯誤；當

40=30時，四邊形/D3C的周長最大，據此求解即可.

【詳解】解：?.?等腰放△/口。內接于圓。，且為直徑，

：,AC=AB,AC=AB>

;"ADC=4BDC，即DC平分NADB；故①正確；

-：AC=AB'

:.AADC=ACAB，

■：ADAC=ACAB+ADAB,AAGC=AADC+ADAB,

.-.ADAC^ZAGC；故②正確；

作M。！。。，交以延長線于M,

第8頁，共18頁

M-z：-"

\4

?.-Z1+Z3=9O°=Z1+Z2，

Z2=Z3,

4、C、B、。四點共圓，

Z4+ACAD=180°，ACAD+ACBD=180°，

:"4=NCBD，

：,ACBD^ACAM(ASA),

：,AM=BD,CM=CD,

?.?NMCD=90°，

△兒r。。是等腰直角三角形，

由勾股定理得：DM=MCD，

■;DM=ZX4+AM^DA+BD,

,-.BD+AD=&CD；

-：AD=CD,

：,BD=(^2-1)AD；

?.?直徑4B=2g，AD2+BD2AB2,AC2+BC2=AB2?

AD2+[(^2-1)叫2=(2四/，AC=BC=2,

A。2=」^=2(2+⑸

2-^2

四邊形4D8C的面積為gxACxBC+1xADxBD

=2+1xADx(\/2-1)AD

=2+—x2(2+\/2)(\/2—1)

=2+V2＞故③錯誤；

AC=BC=2,要使四邊形4D3C的周長最大，AD+要最大,

第9頁，共18頁

.?.當40=8。時，四邊形AD8C的周長最大，

此時，AD=BD=2,故④正確；

綜上，①②④正確；

故選：C

11.【答案】120

【解析】解：六邊形的內角和為：(6-2)x180°=720°,

72。°

二正六邊形的每個內角為：--=120°,

6

故答案為：120

12.【答案】10

【解析】直接把點P(2,a)代入到二次函數解析式中求解即可.

【詳解】解：?.?二次函數?/=/+32的圖象經過點P(2,a),

a=2?+3x2=4+6=10，

故答案為：10.

13.【答案】4

【解析】設線段。，6的比例中項為c,根據比例中項的定義可知，c2=ab=2x8,求得c的值，注意兩

條線段的比例中項為正數.

【詳解】解：設線段a,6的比例中項為c,

???c是長度分別為2、8的兩條線段的比例中項，

「.，=ab=2x8,

即c2=16>

；,c=4(負數舍去)，

故答案為：4.

14.【答案】12

【解析】根據平行線分線段成比例定理和比例性質求解即可.

【詳解】解：?.力〃引〃3，

AC_BD

''~CE^1DF，

第10頁，共18頁

.2_8

''3=DF，

：,DF=12,

故答案為：12.

15.【答案】1或7

【解析】本題考查了垂徑定理的知識，此題綜合運用了垂徑定理和勾股定理，解題的關鍵是分情況討論.

連接。C、OA,過點。作0EL4B于￡,交CD于F,則EFJ_CD,根據垂徑定理求出?！闍E,根據勾

股定理求出。￡、OF,即可得出答案.

【詳解】解：連接。4。。.過點。作。于￡,交CD于F,

當和CD在圓心的同側時，如圖所示，

-：AB//CD,OE1AB,

:.OF1CD,

■：OELAB,OF1CD,

：,AE=jylB=4,CF=|CD=3,

根據勾股定理，得0E=^AO2-AE2=佝-42=3,0F=\/0C2-CF2=^52-32=4,

則EF=OF—OE=1；

當和CO在圓心的兩側時，如圖所示，

-：AB//CD,OELAB,

.-.EFLCD，

■：OE1AB,OFLCD,

第11頁，共18頁

AE=|AB=4,CF=|cn=3,

根據勾股定理，得。E=y/AO2-AE2=，52—42=3,OF=s/OC2-CF2=^52-32=4-

則EF=OF+OE=7.

故答案為：1或7.

16.【答案】m>6或3<m<4

【解析】本題考查了二次函數性質，以及解一元一次不等式，解題的關鍵在于利用分類討論的思想分析不

同的可能性，先根據A(加一2,a),C(m,a)的縱坐標相等得到二次函數對稱軸，再根據a<b<3,結合二

次函數的增減性進行分類討論，建立不等式進行求解，即可解題.

【詳解】解：?.?4加―2,a),C(m,a)都在二次函數的圖象上，

.,.二次函數g—x2—2nx+3(n>0)的對稱軸為直線C=———；+771=m—1,

:.m-1>0,

解得m>1,

'：m-2<m,

」.4在對稱軸左側，C在對稱軸右側，

當①=0時，y=3,

.?.二次函數圖象與y軸交于(0,3),

：.(0,3)關于對稱軸對稱的坐標為(2m-2,3),

,,7<3,

.,.2m—2>4,解得m>3,

①當A(m-2,a),B(4,b)都在對稱軸左側時，

?.?a<b<3,y隨x的增大而減小，

m-2>4,解得m>6,

②當A(m-2,a)在對稱軸左側，5(4,均在對稱軸右側時，

■：a<b,

即A(m-2,a)到對稱軸距離小于B(4,與到對稱軸距離，

m-1-(m2)<4-(m-1),解得m<4,

即3<wz<4,

故答案為：？71〉6或3<m<4.

第12頁，共18頁

17.【答案】【小題1】

由x：y=2：3,設c=2k,y=3k

x2k

x—y2k—3k一’

【小題2】

由（1）可知，x=2k,n=3k

'：x+y=15

;.2k+3k=15

,-.fc=3

：,x=6，y=9.

【解析】1.

結合題意，設立=2k，4=3上代入代數式計算，即可得到答案；

2.

由（1）得立=2上y=3k,結合立+9=15,可計算得后的值，從而得到答案.

18.【答案】【小題1】

1

4

液（。）呈現紅色，故其中一杯變紅、一杯變藍的有4種結果,

、41

,一杯變紅、一杯變藍的概率為訪=了

JL/O

【解析】1.

第13頁，共18頁

本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果,

適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率=所求情況數與

總情況數之比.直接由概率公式求解即可；

【詳解】解：?.?小明和小莉兩人各取了4個燒杯，分別倒入這4種不同的無色液體，將石蕊試劑滴入，食

用堿溶液呈現藍色，

.?.小明將石蕊試劑滴入任意一個燒杯，呈現藍色的概率是:，

故答案為:

4

2.

列表得出共有12種等可能的結果，其中一杯變紅、一杯變藍的有4種結果，再由概率公式求解即可.

19.【答案】【小題1】

解：由題意將(0,3)代入解析式可得：m=3,

.?.拋物線為y=—x2+2x+3；

【小題2】

令?/=0，則一/+22+3=0，

解得：的=—1,X2=3,

.?.拋物線與x軸的交點為(一1,0),(3,0),

則：當—1</<3時，拋物線在x軸上方.

【解析】L

由已知點(0,3)代入y=-x2+(m-\)x+m即可求得m的值，即可求得拋物線的函數表達式；

2.

由解析式可知拋物線開口向下，令n=。，求得拋物線于x軸的交點坐標，即可判斷.

20.【答案】解：?.?N1=N2,AAPC=ABPD,

:4APCsABPD,

AC_CP

"^D=1JP，

c「DP-AC1x33

CP22

Q

：RD的長為了

第14頁，共18頁

Ar1「p

【解析】先證明△APCsABP。得蒜=諾，從而即可求解.

21.【答案】【小題1】

如圖，ACQE為所求作的圖形

【小題2】

BC=A/22+22=2V2，Z.BCE=90°

.?.在旋轉過程中，8c所掃過的面積為黑x（2四）==27r

【解析】1.

根據旋轉中心方向及旋轉角度找出點/、3的對應點。、E的位置，然后順次連接即可.

2.

利用勾股定理求出2C的長，2C所掃過的面積等于扇形2CE的面積，然后列式進行計算即可.

22.【答案】【小題1】

解：?.?每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克，

,-.y=4-0.5（2：-2）=-0.5?+5（2<2<8,且X為整數）；

【小題2】

解：設每平方米小番茄產量為少千克，

w—x（—0.5x+5）=—0.5/+5工=—0.5（2—5）2+12.5.

.,.當工=5時，w有最大值12.5千克.

答：每平方米種植5株時，能獲得最大的產量，最大產量為12.5千克.

【解析】1.

由每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克，即可得求得解析式；

第15頁，共18頁

2.

設每平方米小番茄產量為沙千克，由產量=每平方米種植株數x單株產量即可列函數關系式，由二次函數

性質可得答案.

23.【答案】【小題1】

連接。工,

由題意得：AD==30，OD