2024-2025學(xué)年吉林省長春市東北師大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.直線x+2y—1=0的斜率是（）

11

A.2B.-2C.-D.——

2.兩男兩女站成一排照相，女生相鄰的所有排列種數(shù)為（）

A.3B.6C.12D.24

3.若直線/的方向向量為2=60,1）,平面a的法向量為7=（—2,0,-4）,則（）

A.l//aB./1aC.1uaD」與a斜交

4.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.211_.985口「985_”985,.984

cc

A.C1196—C1196C2O25—2024+2024

C.C^+Cl+Cl+Cl+C^=16D.clll=9856股

5.已知點P是OC：/+產(chǎn)+2%-8=0上的動點，點4（1,0）,4P的垂直平分線交CP于點M,則點M的軌跡

方程是（）

6.冬奧會組委會要從甲、乙等五位候選參賽者中隨機選取2人進行比拼，記事件4="甲被選乙不被選

上”，則事件4發(fā)生的概率為（）

A.0.3B,0.4C,0.5D,0.6

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知4（—2,0）,B（l,0）,點P滿足|PA|=2|PB|,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.點P的軌跡方程為N+y2-4x=0B.AP4B最大面積為3

C.直線24斜率的取值范圍是［-道,8］D.|PB|的取值范圍是［1,3］

8.已知點Fi，&是橢圓的與雙曲線。2的公共焦點，P是它們的一個公共點，且NFiPF2=60°,若雙曲線C2

的離心率的取值范圍是［孥孚］,則橢圓的的離心率的取值范圍為（）

4Z

A.［*,爭B.由爭C.吟事D.格1）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.同時擲紅、藍兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件力表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5"，事件B表示“紅色骰子的

點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件。表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”，貝1（）

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A.A與C互斥B.B與。對立C.A與。相互獨立D.B與C相互獨立

10.設(shè)(1+3%)九=劭++效/+…+冊久九，若@5=。6，則下列結(jié)論正確的是()

A.n=7B.n=11

n

C.CLQ—+。2—。3+…+(—l)cin=-128D.=35

11.拋物線c：y2=2px(p>0)上的點到直線八久-y+2=0的最小距離為孝，直線2B經(jīng)過C的焦點F,交C

于8(%2，、2)兩點，則下列結(jié)論正確的是()

A.p=2B.p=6

C.(2照|+\FB\)max=3+2*D.(|F川-嵩)mm=2*-2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.圓/+)2一4=0與圓/+丫2一4刀+4y—12=0的公共弦的長為.

13.某名校為落實教育幫扶“深耕計劃”，選派了4名教師到4B,C三個縣城學(xué)校進行教育幫扶指導(dǎo).每個

學(xué)校至少派1人，不同的安排方式共有種(用數(shù)字解答).

14.已知雙曲線C:*噲=l(b>a>0)的一個焦點為凡。為坐標(biāo)原點，點4B在雙曲線上運動，以4B為直徑

的圓過點。，且|瓦？+布||不|W|耐||布|恒成立，則C的離心率的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

2345

已知(碑x—1)5=a0+xai+xa2+xa3+xa4+xa5.

(1)求|。1|+(2l+(3I+(4I+El的值;

(2)求+2(12+2J^Cl3+4&4+4，^a5的值.

16.(本小題15分)

直線l經(jīng)過兩直線小3x+4y-2=0和％：2x+y+2=0的交點.

(1)若直線/與直線3x+y-l=0垂直，求直線/的方程；

(2)若直線I與圓(x—3尸+(y—l)2=25相切，求直線I的方程.

17.(本小題15分)

已知雙曲線C:白噲=1(。>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為率。的右焦點F到該漸近線的距離為2

?

(1)求C的方程；

(2)若過F的直線與C的左、右支分別交于點4B,與圓。：x2+y2=q2交于與4B不重合的M,N兩點.

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(i)求直線4B斜率的取值范圍;

5)求|2B|?|MN|的取值范圍.

18.(本小題17分)

如圖1,在直角梯形2BCD中，AB//CD,AABC=90°,AB=2DC=2BC=4,E為力B的中點，將△ADE

沿DE折起，使得點4到達點P的位置，且平面PDE1平面BCDE,如圖2,M為PB的中點，N是8c上的動點

(與點B、C不重合)，F(xiàn)是PC上的動點(與點P、C不重合).

(1)證明：EM_L平面8MN；

(2)若點“在平面PBE內(nèi)，當(dāng)C//+FH最小時，求CF；

(3)是否存在點N,使得平面EMN與平面BCDE的夾角余弦值為卓？若存在，確定點N的位置；若不存在,

6

請說明理由.

圖1圖2

19.(本小題17分)

已知橢圓C:*+卷=l(a>6>0)的左、右焦點分別為％,F2,離心率為，經(jīng)過點%且傾斜角為

6(0<9<芻的直線I與橢圓交于4B兩點(其中點4在x軸上方)，且△AB&的周長為8,將平面久。y沿x軸向

上折疊，使二面角力-B為直二面角，如圖所示，折疊后4B在新圖形中對應(yīng)點記為A,B'.

折桂前折疊后

(1)當(dāng)。=即寸，

①求證：A'O1B'F2-,

②求平面和平面4次&所成角的余弦值;

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(2)是否存在。(0<9使得折疊后△48'尸2的周長為孕若存在，求加加的值；若不存在，請說明理

由.

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參考答案

1.D

2.C

3.5

4.D

5.B

6.A

7.C

8.C

9.AD

10.AC

11.AD

12.2"

13.36

14.(",匕更］

15.解：(1)("K一1戶的展開式中，當(dāng)久=0時，a0--1,

因為。0，。2，。4E(—8,0),。1，。3，。5E(0,+8),

所以+|^1|+|^21+|^31+|^41+|^51=—+—。2+。3—04+05，

當(dāng)久=一1時，CLQ—CLI+做一03+。4=(一,

所以+|。2|+1的1+1a41+*1=(V2+1)5—1=29^/2+40；

(2)根據(jù)題意，令％=得(2-1)6=。0++2。2+2\/^。3+4。4+4yj^as，

由(1)知,CLo——1,

所以+2。2+2"的+4%+4&的=1—(—1)=2.

16.解：(1)直線匿過兩直線小3%+4y-2=0和%：2%+y+2=0的交點，

聯(lián)立兩直線，i：3%+4y—2=0和%：2%+y+2=0,

解得％=-2,y=2,即交點坐標(biāo)為(一2,2),

直線3%+丫-1=0的斜率為-3,

因為直線，與直線3汽+y-1=0垂直，

所以直線/的斜率為今

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所以直線2的方程為y—2=|(x+2),即x—3y+8=0；

(2)若直線/與圓(x—3)2+(y—1)2=25相切，

當(dāng)直線I的斜率不存在時，直線/的方程為尤=-2,圓心到直線的距離d=5=r,符合題意;

當(dāng)直線】的斜率存在時，設(shè)直線方程為：y—2=k(x+2),即依—y+2k+2=0,

根據(jù)題意得：圓心到直線的距離d=第*=5,解得k=卷,

所以直線/的方程為：12x-5y+34=0；

綜上：直線/的方程為x=-2或12x-5y+34=0.

17.解：(1)因為雙曲線的一條漸近線的傾斜角為全

即\=tan^-=y/3,

即b=y[3a,貝!Jc?=b2+a2=4a2,即c=2a,

所以右焦點F(2a,0)到漸近線px-y=0的距離為J(拶;丁=28，

解得a=2,b=2平，

所以C的方程為：1一經(jīng)=1；

41，

(2)(i)由⑴知，尸(4,0),設(shè)2(小,月),B(x2,y2),

由題意可得直線2B的斜率存在且不為零，

設(shè)直線4B的方程為x=my+4(m0),

與亨一，=1聯(lián)立得：(3m2—l)y2+24my+36=0,

所以3m2一140,j=I44(m2+1)>0,

且以+及=一獲H"2=荻H

又48兩點在X軸同一側(cè)，所以y02>。，

此時3m2一1>o,即政>

4

又圓。的方程為%2+y2=4,點。到直線48的距離d=的中

由dV2得租2>3,

21

m>-

3

2

m>3得62>3,所以m>8或m<一避;

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(九)由(i)及弦長公式|4B|=/+m2.羚\)2—4?+1),

73m2—13m2—13m2—1

由垂徑定理得|MN|=2產(chǎn)殍=4相W，

所以|陰"MN|,

其中血2>3,設(shè)力=3m2—1,t>8,

2

則|4B|-|MN|=167(t+4)(t-8)=1616J-32(1+i)+|e(0,16).

所以|48|?|MN|的取值范圍是(0,16).

18.解：(1)證明：???PE1DE,BE1DE,DE1平面PBE,

???DE/IBC,；.BC1平面PBE,因為MEu平面P8E,

BC1ME,

BE=PE,M是PB中點，???ME1PB,

???BCCtPB=B,BC,PBu平面BMN,ME1面BMN.

(2)延長CB至點Q,使得BQ=BC,由(1)可知，DE1平面PBE,又DEu平面8CDE,

平面PBE_L平面BCDE,CH=QH,

Q

???CH+FH=QH+FH>QF,

.?.當(dāng)QF1CP,且QFCPB=H時，CH+FH最小，

又BC—4,PC=yJPE2+EC2-+(2斕)2—2^/3,

???CF=2BC-coszFCB=2BC~=

3

(3)假設(shè)存在點N滿足題意，???平面PDE1平面BCDE,PE1DE,

平面PDEC平面8CDE=DE,PEu平面PDE,PE1平面BCDE,

??.如圖所示建系，

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f/、/

I//、

%...\乙

EBx

：.F(0,0,0),P(0,0,2),M(1,O,1),設(shè)N(2,zn,0)(0<zn<2),前=(1,0,1),麗=(2,m,0),

設(shè)平面EMN法向量為元=Q,y,z),

(n-EM—0fx+z=0口-

"[n-￡W=0,即12K+my=0'取幾=(m-2,-m),

又平面BCDE的法向量為而=(0,0,2),

???cos舒溫=嬴=72^+4=圣二m=T滿足。<m<2-

即此時N為線段8c上靠近點8的四等分點.

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19.解：⑴①證明:由橢圓定義可知+M尸21=2。，舊尸1|+/尸2l=2a,

所以△ABF2的周長乙=4a=8,所以a=2,因為離心率為寺，故？二寺，解得c=1,

則爐=。2一。2=3,由題意，橢圓的焦點在X軸上，

所以橢圓方程為今+9=1,

當(dāng)。二將時，直線，的方程為y—0=tan^--(%+1),即心y=避(％+1),

聯(lián)立竽+4=1得15%2+24X=0,解得x=0或一|,

當(dāng)汽—。時，y-^/3x(0+1)=y/3,當(dāng)％=—葭時，y=x(―晟+1)=-3^^，

因為點/在汽軸上方，所以4(0,8)，8(-|,-珞，

DJ

故/。1尸1尸2，折疊后有4。1F1F2-

因為二面角4—F1F2—B為直二面角，即平面4尸/2，%F29，交線為F1&，

A'Ou平面尸2,所以4。1平面FI&B',

因為「2夕u平面FF2B',所以4。1F2B'；

②以。為坐標(biāo)原點，折疊后的y軸負(fù)半軸為x軸，原X軸為y軸，原y軸正半

軸為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：Q

則Fi(0T0)A(0,0,我，夕(涪一部)，F(xiàn)2(0,l,0),:

宿=(0,1,-?跖=(一坐架,0),

其中平面4FF2的法向量為E=(1,0,0)，

設(shè)平面的法向量為而=?y,z),

國"A'F2=y—通z=0

則無=一述x+—y=0，

zz55z

令丫=平,得久=竽，Z=1,故無=(9/J),

設(shè)平面4992與平面4尸1尸2的夾角為仍

口IIn-nI1(1。。),(芋平，DII?/205

則COS0=即伍,初=號擊J：；

故平面4B'F2與平面力'F1尸2的夾角的余弦值為玲篙.

(2)設(shè)折疊前4(打,月),B(x2,y2),折疊后對應(yīng)的4(右,九0),B'(x2,0,-y2),

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設(shè)直線昉程為my=x+1,將直線電橢圓方程芋+4=1聯(lián)立得，