2024-2025學年北京市西城區育才學校九年級（下）開學數學試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

1.□（2分）如圖□是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

A.圓柱B.球C.三棱柱D.長方體

2.（2分）春節期間，電影《哪吒之魔童鬧海》票房表現亮眼，截止到2月16日，據相關數據顯示，電影

《哪吒之魔童鬧海》平均票價為每張50元（）

A.1.15X1O10B.115X108C.2.3X108D.2.3億

3.（2分）七巧板是我國的一種傳統智力玩具，下列用七巧板拼成的圖形中，是軸對稱圖形的是（）

4.（2分）如圖是一個可以自由轉動的轉盤，轉盤分成4個大小相同的扇形，顏色分為灰、白二種顏色，

轉動的轉盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置（指針指向兩個扇形的交線時，當作指

向右邊的扇形）（）

A.AB.Ac.3D.1

424

5.（2分）若正多邊形的一個外角是60°,則該正多邊形的邊數是（）

A.6B.5C.4D.3

6.（2分）實數〃與b在數軸上對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）

ba

???1tI.1??a

-5-4-3-2-1012345

A.a<QB.a<bC.6+5>0D.\a\>\b\

7.（2分）已知x=l是不等式2x-b<0的解，。的值可以是（）

A.4B.2C.0D.-2

8.（2分）如圖，AB是O。直徑，點C窟分成相等的三段弧，點「在玄篇上且/4鼻2=115°,則點。

所在的弧是（）

A.APB.PCC.CDD.DB

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.（2分）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是.

10.（2分）方程組（x'-m的解為______________________.

{2x-y=6

11.（2分）如圖，在一束平行光線中插入一張對邊平行的紙板.如果圖中N1是70：那么N2的度數

是.

12.（2分）若我+a的值為有理數，請你寫出一個符合條件的實數。的值______________________.

211

13.（2分）計算：（工—-工）?二_=.

X-lX-lx+1

14.（2分）已知關于x的方程7-（加+2）x+4=0有兩個相等的實數根，則根的值是.

15.（2分）圖1中的直角三角形有一條直角邊長為3,將四個圖1中的直角三角形分別拼成如圖2,圖3

所示的正方形1,S2,則S1-S2的值為

Si

也、7UkJ

圖1圖2圖3

16.（2分）圖1是一個2X2正方形網格，兩條網格線的交點叫做格點，甲、乙兩人在網格中進行游戲

游戲規則

a.兩人依次在網格中畫線段，線段的起點和終點均為格點；

b.新畫線段的起點為前一條線段的終點，且與任意已畫出線段不能有其他公共點；

c.已畫出線段的所有端點中，任意三個端點不能在同一條直線上；

d.當某人無法畫出新的線段時，則另一人獲勝.

如圖2,甲先畫出線段乙隨后畫出線段BC.若這局游戲繼續進行下去（填“甲”，“乙

或“不確定”）.

圖1圖2

三、解答題（本題共48分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.（10分）計算：|-V2I-2cos45°+（Tt-1）°+V12.

4（x+l）》x+7

18.（10分）解不等式組：,3X+2、-

4*

19.（10分）如圖，點B,E,C,廠在一條直線上，AB=DE,BE=CF.求證：ZA=ZD.

20.（10分）已知/+。-1=0,求代數式（。+2）（a-2）+a（a+2）

21.（10分）如圖，矩形ABO中，點E在上

（1）求證：△ABEs—CD；

（2）尸為AE延長線上一點，滿足所=AE,連接。尸交于點G.若42=2,求GC的長.

22.(10分)我國是世界上最早發明歷法的國家之一.《周禮》中記載：壘土為圭，立木為表，測日影，定

四時.如圖1,圭是地面上一根水平標尺，表是一根垂直于地面的桿.正午，表的日影(即表影)，根

據表影的長度可以測定節氣.

在一次數學活動課上，要制作一個圭表模型.如圖2,地面上放置一根長21n的桿AB,在BC上取點D,

測得3￡>=1.5m

(1)判斷:這個模型中AB與BC是否垂直.答:(填"是”或“否”你的理由是:.

(2)某地部分節氣正午時分太陽光線與地面夾角a的值，如下表：

節氣夏至秋分冬至

太陽光線與地面夾角a74°50°27°

①記夏至和冬至時表影分別為和BN,利用上表數據，在射線BC上標出點M和點N的位置;

②記秋分時的表影為3P,推測點尸位于.

A.線段中點左側

B.線段中點處

C.線段中點右側

夏至，

冬至

圖1圖2

23.(10分)已知直線/：y=kx(kWO)經過點A(-1,2).點尸為直線/上一點，與函數丫=匡(x>0)

x

的圖象交于點Q.

(1)求上的值；

(2)①求點。的坐標(用含的式子表示)；

②若△POQ的面積大于3,直接寫出點P的橫坐標m的取值范圍.

24.(10分)如圖，AB為。。的直徑，點C在A3的延長線上，過點&作BE〃C。交。。于點E,連接

AD,ZEAD=22.5°.

(1)求的度數；

25.(8分)品味詩詞之美，傳承中華文明，央視節目《中國詩詞大會》備受大眾歡迎.節目規則如下：由

100位詩詞愛好者組成的百人團與挑戰者共同答題，如挑戰者答對，則百人團答錯的人數即為選手該輪

得分，則該輪不得分，且停止答題.每輪比賽的得分之和即為挑戰者的總得分.現有甲、乙、丙三人作

為挑戰者參加節目答題

a.甲、乙兩人參加比賽的得分統計圖如圖1,每個點的橫坐標與縱坐標分別表示甲、乙二人在相同輪

次的得分；

b.丙參加比賽的得分統計圖如圖2；

根據以上信息，回答下列問題：

(1)已知點A的坐標為(26,18),則此輪比賽中：甲的得分為,與甲同場答題的百人團中，

有人答對；

(2)這五輪比賽中，甲得分高于乙得分的比賽共有輪；甲、乙、丙三人中總得分最高的為；

(3)設甲參加的第一輪至第五輪比賽時百人團答對人數的方差為sj,乙參加的第一輪至第五輪比賽時

圖1圖2

2024-2025學年北京市西城區育才學校九年級（下）開學數學試卷

參考答案與試題解析

題號12345678

答案ACABACAD

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

1.（2分）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

□□

A.圓柱B.球C.三棱柱D.長方體

【解答】解：由幾何體的主視圖和左視圖都是寬度相等的長方形，

故該幾何體是一個柱體，

又：俯視圖是一個圓，

故該幾何體是一個圓柱.

故選：A.

2.（2分）春節期間，電影《哪吒之魔童鬧海》票房表現亮眼，截止到2月16日，據相關數據顯示，電影

《哪吒之魔童鬧海》平均票價為每張50元（）

A.1.15X1O10B.115X108C.2.3X108D.2.3億

【解答】解：115億元=1.15X1010元，

1.15X1O104-50=6.023X1010=2.3X108（人），

故選：C.

3.（2分）七巧板是我國的一種傳統智力玩具，下列用七巧板拼成的圖形中，是軸對稱圖形的是（）

A.B.

c.D.

【解答】解：4是軸對稱圖形；

B、不是軸對稱圖形；

C、不是軸對稱圖形；

D、不是軸對稱圖形.

故選：A.

4.（2分）如圖是一個可以自由轉動的轉盤，轉盤分成4個大小相同的扇形，顏色分為灰、白二種顏色，

轉動的轉盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置（指針指向兩個扇形的交線時，當作指

向右邊的扇形）（）

A.AB.Ac.2D.1

424

【解答】解：???轉盤分成4個大小相同的扇形，顏色分為灰，

???指針指向白色區域的概率是2=工，

72

故選：B.

5.（2分）若正多邊形的一個外角是60°,則該正多邊形的邊數是（）

A.6B.5C.4D.3

【解答】解：???正多邊形的外角和為360°,正多邊形的每個外角是60°,

.?.邊數為：360^_

60°°

故選：A.

6.（2分）實數。與6在數軸上對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）

ba

[i.iii]ii.iii?

-5-4-3-24012345

A.a<0B.a<bC.Z?+5>0D.\a\>\b\

【解答】解：A.V2<a<3,答案A不符合題意；

B.V4<a<3,：.a>b；

C....答案C符合題意；

D.V2<a<3,/.\a\<b\.

故選：C.

7.（2分）已知x=l是不等式2r-6<0的解，b的值可以是（）

A.4B.2C.0D.-2

【解答】解：：x=l是不等式法-6<2的解，

：.2-b<Q,

；.6>8,

故選：A.

8.（2分）如圖，AB是。。直徑，點C源分成相等的三段弧，點尸在菽右上且115°,則點。

A.APB.PCC.CDD.DB

【解答】\'ZAPQ=U5°,

ZAPQ所對應優弧氤，

根據圓周角定理易知優弧前所對圓心角為230°,

則劣弧APQ所對應圓心角/4?。=130°,

VC>D為彘,

：.ZAOD=120°

故。應位于笳上，

故選：D.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.（2分）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是G1.

【解答】解：要使代數式底!有意義，

解得：入21.

故答案為：x28.

10.（2分）方程組上燈=3的解為」x=3

[2x-y=6Iy=0

【解答】解：卜~吸，

2x-y=3②

①+②，得

3x=9,

解得x=3,

把x=3代入①，得

3+尸5,

解得y=0，

???原方程組的解是1x=3.

1y=4

11.（2分）如圖，在一束平行光線中插入一張對邊平行的紙板.如果圖中N1是70。，那么N2的度數是

【解答】解：如圖所示，由題意可知/〃八

/.Z1+Z3=18O°（兩直線平行，同旁內角互補），

又?；/4=70°,

.?.Z3=110°,

.-.Z2=Z2=110°（兩直線平行，內錯角相等）.

故答案為：110°.

12.（2分）若6+a的值為有理數，請你寫出一個符合條件的實數a的值-J5（答案不唯一）

【解答】解：：、歷+。的值為有理數，

符合條件的實數。的值可以為：-圾（答案不唯一）.

故答案為：-、歷（答案不唯一）.

211

13.（2分）計算：（^―1.

X-lX-lx+1

211

【解答】解：原式

x-4x+1

=（:x+5j（x-l）

（x+1）（x-8）

=1,

故答案為：1.

14.（2分）已知關于x的方程7-（秋+2）x+4=0有兩個相等的實數根，則m的值是2或-6.

【解答】解：???方程（〃計2）x+2=0有兩個相等的實數根，

A=0,即（m+5）2-4X7=0,

解得：%=2或"?=-5,

故答案為：2或-6.

15.（2分）圖1中的直角三角形有一條直角邊長為3,將四個圖1中的直角三角形分別拼成如圖2,圖3

所示的正方形1,S2,則S|-S2的值為9.

.,.SI=82+Z?2=7+Z?2,S2=鏟,

：.Si-52=4,

故答案為9.

16.（2分）圖1是一個2X2正方形網格，兩條網格線的交點叫做格點，甲、乙兩人在網格中進行游戲

游戲規則

a.兩人依次在網格中畫線段，線段的起點和終點均為格點；

b.新畫線段的起點為前一條線段的終點，且與任意已畫出線段不能有其他公共點；

c.已畫出線段的所有端點中，任意三個端點不能在同一條直線上；

d.當某人無法畫出新的線段時，則另一人獲勝.

如圖2,甲先畫出線段AB,乙隨后畫出線段2C.若這局游戲繼續進行下去乙（填“甲”，“乙”或

“不確定”）.

圖1圖2

【解答】解：如圖2中，甲只能畫2次線段,

CA

用

D

所以，乙一定能獲勝.

故答案為：乙.

三、解答題（本題共48分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.（10分）計算：|-&|-2cos45°+（IT-1）

【解答】解：原式=歷-2乂叵弧

2

=V6-&+1+2近

=1+773.

4（x+l）》x+7

18.（10分）解不等式組：，3X+2、

-A-

4

【解答】解：解不等式4（x+1）2x+2,得：

解不等式3x+4

4

則不等式組的解集為lWx<8.

19.（10分）如圖，點B,E,C,尸在一條直線上，AB=DE,BE=CF.求證：ZAND.

B

E

【解答】證明：?；A3〃￡>E,

：.ZB=ZDEF,

,:BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,即BC=EF,

在△ABC和△￡(■中，

'AB=DE

"ZB=ZDEF-

BC=EF

:.AABC注ADEF(SAS),

ZA=ZD.

20.(10分)已知q2+a-i=o,求代數式(a+2)(a-2)+a(a+2)

【解答】解：,??/+4-1=3,

?**a2+a=11

原式=/-4+/+7a

=2a2+6tz-4

=2(a7+a)-4,

當/+a=4時，原式=2-4=-6.

21.(10分)如圖，矩形ABCD中，點E在BC上

(1)求證：AABEsAECD；

(2)尸為AE延長線上一點，滿足所=AE,連接DF交3c于點G.若AB=2,求GC的長.

---------------------------

【解答】證明：(1)'：AE±DE,

：.ZA￡D=9O°=ZB=ZC,

：.ZAEB+ZDEC=ZAEB+ZBAE,

：.ZBAE=ZDEC,

：.AABEsAECD；

(2)?：△ABEsAECD,

?ABBE

??----=1，

ECCD

???2Z12—>

EC7

：.EC=4,

；AE=EF,ZAED=90°,

:.AD=DF,

又：/AED=90°,

/ADE=NFDE,

\'AD//BC,

：.ZADE=ZDEC=ZFDE,

：.DG=EG,

'：DG2=DCS+GC2,

：.（4-GO2=4+GC2,

GC=A.

2

22.（10分）我國是世界上最早發明歷法的國家之一.《周禮》中記載：壘土為圭，立木為表，測日影，定

四時.如圖1,圭是地面上一根水平標尺，表是一根垂直于地面的桿.正午，表的日影（即表影），根

據表影的長度可以測定節氣.

在一次數學活動課上，要制作一個圭表模型.如圖2,地面上放置一根長2m的桿AB,在BC上取點D,

測得8。=1.5祖

（1）判斷：這個模型中AB與BC是否垂直.答：是（填"是”或“否”）；你的理由是：勾股定

理的逆定理.

（2）某地部分節氣正午時分太陽光線與地面夾角a的值，如下表：

節氣夏至秋分冬至

太陽光線與地面夾角a74°50°27°

①記夏至和冬至時表影分別為和BN,利用上表數據，在射線BC上標出點M和點N的位置;

②記秋分時的表影為3尸，推測點尸位于A.

A.線段MN中點左側

B.線段中點處

C.線段中點右側

【解答】解：(1),：AB=2m,BD=L8m,

AAZ)2=6.25,AB6+BDr=6.25,

：.AD4=AB2+BD2,

：.ZABD=90°,

...△ABD是直角三角形.

故答案為：是，勾股定理的逆定理.

圖2

②觀察圖象可知，點P在線段的中點的左側,

故選A,

故答案為：A.

23.(10分)已知直線/：y=kx1/0)經過點A(-1,2).點P為直線/上一點，與函數(x>0)

x

的圖象交于點Q.

(1)求上的值；

(2)①求點Q的坐標(用含根的式子表示)；

②若△PO。的面積大于3,直接寫出點P的橫坐標m的取值范圍.

【解答】解：（1）將點A的坐標代入y=Ax得：2=-k,

即k=-2；

（2）①由（1）知，y=-3x,

設點P的坐標為（m,~2m）,

xm

故點Q的坐標為（—-,-8m）；

m

由函數y=2(x>8),

x

故m<-1.

24.（10分）如圖，A8為。。的直徑，點。在A5的延長線上，過點3作3E〃C。交。。于點E,連接

AD,ZEAD=22.5°.

（1）求NE48的度數；

（2）若3。=2&-2，求3石的長.

【解答】解：（1）證明：連接。。，交3E于點R

???CD與。。相切于點。，

：.ODLCD,

???NODC=90°,

*：BE//CD,

：.ZOFB=90°,

：.OD±BE,

???希=而，

/EAD=NDAB,

VZEAD=22.5°,

AZEAB=ZEAD^-ZDAB=45°；

(2)解：:AB是直徑，

AZAEB=9Q°,

VZEAB=45°,

AZABE=ZEAB=45°,

U：BE//CD,

：.ZC=ZABE=45

，AODC是等腰直角三角形，

設OD=OB=r,貝ljOC=42r,

：.BC=OC-OB=-/^)r-廠=26,

:.r=8,

/.BF=OB?cos45°=、歷，

'SOD1BE,

：.EF=FB,

：.BE=2BF=5y/2-

25.(8分)品味詩詞之美，傳承中華文明，央視節目《中國詩詞大會》備受大眾歡迎.節目規則如下：由

100位詩詞愛好者組成的百人團與挑戰者共同答題，如挑戰者答對，則百人團答錯的人數即為選手該輪

得分，則該輪不得分，且停止答題.每輪比賽的得分之和即為挑戰者的總得分.現有甲、乙、丙三人作

為挑戰者參加節目答題

a.甲、乙兩人參加比賽的得分統計圖如圖1,每個點的橫坐標與縱坐標