專題18簡單的不定方程、方程組

閱讀與思考

如果方程(組)中，未知數的個數多于方程的個數，那么解往往有無窮多個，不能唯一確定，這樣的

方程(組)稱為不定方程(組)．

對于不定方程(組)，我們常常限定只求整數解，甚至只求正整數解．加上這類限制后，解可能唯一

確定，或只有有限個，或無解．這類問題有以下兩種基本類型：

1．判定不定方程(組)有無整數解或解的個數；

2．如果不定方程(組)有整數解，求出其全部整數解．

二元一次不定方程是最簡單的不定方程，一些不定方程(組)常常轉化為二元一次不定方程求其整數

解．

解不定方程(組)，沒有固定的方法可循，需具體問題具體分析，經常用到整數的整除、奇數偶數、

因數分解、不等式分析、窮舉、分離整數、配方等知識與方法．根據方程(組)的特點進行適當變形，并

靈活運用相關知識與方法是解不定方程(組)的基本思路．

例題與求解

【例1】滿足19982m219972n2(0＜m＜n＜1998)的整數對(m，n)共有_______對．

(全國初中數學聯賽試題)

解題思路：由方程特點，聯想到平方差公式，利用因數分解來解答．

【例2】電影票有10元，15元，20元三種票價，班長用500元買了30張電影票，其中票價為20元的

比票價為10元的多()．

A．20張B．15張C．10張D．5張

(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：設購買10元，15元，20元的電影票分別為x，y，z張．根據題意列方程組，整體求

出的z－x值．

【例3】某人家中的電話號碼是八位數，將前四位數組成的數與后四位數組成的數相加得14405，將前

三位數組成的數與后五位數組成的數相加得16970，求此人家中的電話號碼．

(湖北省武漢市競賽試題)

解題思路：探索可否將條件用一個式子表示，從問題轉換入手．

【例4】一個盒子里裝有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最終盒內都剩一

粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?

(重慶市競賽試題)

解題思路：無論怎樣取，盒子里的棋子數不變。恰當設未知數，把問題轉化為求不定方程的正整數解．

【例5】甲組同學每人有28個核桃，乙組同學每人有30個核桃，丙組同學每

人有31個核桃，三組的核桃總數是365個．問：三個小組共有多少名同學?

(海峽兩岸友誼賽試題)

解題思路：根據題意，列出三元一次不定方程，從運用放縮法求取值范圍入手．

【例6】某中學全體師生租乘同類型客車若干輛外出春游，如果每輛車坐22人，就會余下1人；如果開

走一輛空車，那么所有師生剛好平均分乘余下的汽車．

問：原先租多少輛客車和學校師生共多少人?(已知每輛車的容量不多于32人)

解題思路：設原先租客車x輛，開走一輛空車后，每輛車乘坐k人，根據題意列出方程求解，注意

排除不符合題設條件的解．

能力訓練

A級

5

1．若a24b2a4b0，則ab＝__________．

4

2x23y26z2

2．已知4x3y6z0，x2y7z0(xyz≠0)，則的值等于________．

x25y27z2

3．1998年某人的年齡恰等于他出生的公元年數的數字和，那么他的年齡是_________歲．

(“希望杯”邀請賽試題)

4．已知a，b，c為整數，且ab2006，ca2005．若a＜b，則abc的最大值為_____．

(全國初中數學競賽試題)

5．x，y都是質數，則方程xy1999共有()．

A．1組解B．2組解C．3組解D．4組解

(北京市競賽試題)

6．如圖，在高速公路上從3千米處開始，每隔

4千米設一個速度限制標志，而且從10千米處開

始．每隔9千米設一個測速照相標志，則剛好在

19千米處同時設置這兩種標志，問下一個同時設

置這兩種標志的地點的千米數

是()．

A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米

7．給出下列判斷：

x3t

①不定方程2x3y0的整數解可表示為(t為整數)．

y2t

②不定方程2x4y5無整數解．

③不定方程2x3y1無整數解．

其中正確的判斷是()．

A．①②B．②③C．①③D．①②③

8．小英在郵局買了10元的郵票，其中面值0.10元的郵票不少于2枚，面值O.20元的郵票不少于5枚，

面值0.50元的郵票不少于3枚，面值2元的郵票不少于1枚，則小英最少買了()枚郵票．

A．17B．18C．19D．20

(“五羊杯”邀請賽試題)

9．小孩將玻璃彈子裝進兩種盒子，每個大盒子裝12顆，每個小盒子裝5顆，若彈子共有99顆，所用

大小盒子多于10個，問這兩種盒子各有多少個?

10．中國百雞問題：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞．問雞翁、雞母、

雞雛各幾何?

(出自中國數學家張丘建的著作《算經》)

11．已知長方形的長、寬都是整數，且周長與面積的數值相等，求長方形的面積．

(“希望杯”邀請賽試題)

5x4y7

12．已知k是滿足1910k2010的整數，并且使二元一次方程組有整數解．問：這樣

4x5yk

的整數k有多少個？

（“華羅庚金杯”競賽試題）

B級

2

1．如果a，b，c滿足a22b22c22ab2bc6c90，那么abc＝__________．

(“祖沖之杯”邀請試題)

2．已知x，y為正偶數，且x2yxy296，則x2y2＝_________．

3．一個四位數與它的四個數字之和等于1991．這個四位數是__________．

(重慶市競賽試題)

4．城市數學邀請賽共設金、銀、銅三種獎牌，組委會把這些獎牌分別裝在五個盒中，每個盒中只裝一

種獎牌．每個盒中裝獎牌枚數依次是3，6，9，14，18．現在知道其中銀牌只有一盒，而且銅牌枚數是

金牌枚數的2倍．則有金牌_____枚，銀牌______枚，銅牌_____枚．

5．若正整數x，y滿足x272y2，則這樣的正整數對(x，y)的個數是()．

A．1個B．2個C．3個D．4個

6．有甲、乙、丙3種商品，單價均為整數，某人若購甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若購甲4件、

乙10件、丙l件共需33元，則此人購甲、乙、丙各1件共需()元．

A．6元B．8元C．9元D．10元

xyz0

7．在方程組中，，，是不相等的整數，那么此方程組的解的組數為()．

333xyz

xyz36

A．6B．3C．多于6D．少于3

(“希望杯”邀請賽試題)

8．一個兩位數中間插入一個一位數(包括0)，就變成一個三位數，有些兩位數中間插入某個一位數后變

成的三位數是原來兩位數的9倍，這樣的兩位數有()個．

A．1B．4C．10D．超過10

9．李林在銀行兌換了一張面額為l00元以內的人民幣支票，兌換員不小心將支票上的元與角、分數字看

倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按著錯的數字支付，李林將其款花去3．50元之后，

發現其余款恰為支票面額的兩倍，于是急忙到銀行將多領的款額退回，問：李林應退回的款額是多少元?

(“五羊杯”邀請賽試題)

10．某人乘坐的車在公路上勻速行駛，從他看到的某個里程碑上的數是一個兩位數時起，一小時后他看

到的里程碑上的數恰好是第一次看到的數顛倒了順序的兩位數，再過一小時。他看到的里程碑上的數又

恰好是第一次看到的兩位數之間添上一個零的三位數，問這三塊里程碑上的數各是多少?

(“勤奮杯”競賽試題)

11．已知四位數abcd滿足a3b3c3d3110cd，求這樣的四位數．

(“《數學周報》杯”全國初中數學競賽試題)

1115

12．求方程的正整數解．

xyz6

(“希望杯”邀請賽試題)

專題18簡單的不定方程、方程組

例13提示：(n-m)(n+m)=3995=1×5×17×47，(n-m)與(n+m)奇偶性相同，對3995的任一正整數分

解均可得到一個(m，n).

xyz30①

例2C設購買10元，15元，20元的電影票分別為x，y，z張.則，②-①

10x15y20z500②

×15得5(z-x)=50，解得z-x=10.

例3設此8位數為abcdefgh，將abc記為x，d記為y，efgh記為z.x，y，z均為自然數.即電話號碼是100

000x+10000y+z，且100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，

y1

10xyz14405

則，得1111y–x=285，由100≤x≤999，y≥0，得x826，

x10000yz16970

z6144

故電話號碼是82616144.

例4提示：設盒子里共有x(x≤200)粒棋子，

則12a-1=11b=x(a、b為正整數)，

解得a=10，b=11，x=121.

例5設甲組學生a人，乙組學生b人，丙組學生c人，由題意得28a+30b+31c=365.

365

因28（a+b+c）＜28a+30b+31c=365.得a+b+c＜＜13.04，所以a+b+c≤13.

28

365

因31（a+b+c）＞28a+30b+31c=365.得a+b+c＞＞11.7，所以a+b+c≥12

31

因此a+b+c=12或13.

當a+b+c=13時，得2b+3c=1，此方程無正整數解；當a+b+c=12時，符合題意.

例6設原先租客車x輛，開走一輛空車后，每輛車乘坐k人，顯然x≥2，23≤k≤32.依題意有：22x+1=k(x-1).

22x122x22232323

則k22.因為k為自然數，所以必是自然數，但23是質數，因數只

x1x1x1x1

有1和23，且x≥2，∴x-1=1或x-1=23.如果x-1=1，則x=2，k=45，不符合k≤32的題設條件.如果x-1=23，

則x=24，k=23，符合題意.這時旅客人數等于k(x-1)=23×23=529人.

A級

1

1..2.1

4

x8

3.18提示：設某人出生于19xy，則199819xy10xy，即11x+2y=88，解得.

y0

4.5013提示：由題中條件得a+b+c=a+4011，又因為a+b=2006，a＜b.故2a＜2006，a＜1003.又因為a

為正整數，故a的最大值為1002，于是a+b+c的最大值為5013.

5.B

6.C設置限速標志、照相標志的千米數分別表示為3+4x，10+9y（x、y為自然數），將問題轉換為求

79yy3x13

不定方程3+4x=10+9y的正整數解，則x2y1，4｜（y+3），為所求的解.

44y5

7.A8.A9.大小盒子分別為2個，15個.

xyz100

10.設雞翁、雞母、雞雛數目分別為x、y、z.則有z，消去z，得7x+4y=100，顯然（0，

5x3y100

3

x4t

25）是方程的一個特解，所以方程的通解為（t為整數）.于是z=100-x-y=100+4t-25-7t=75-3t.

y257t

4t0

由x、y、z≥0且t為整數得257t0，解得t0,1,2,3，將t的值代入通解，得四組解為（x，y，

753t0

z）=（0，25，75），（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）．（0，25，75）應舍去．

2x2x244

11．設長方形的長寬高分別為x，y，則xy2x2y，y2，x2|4，

x2x2x2

x3或4或6，y6或4或3，故長方形面積為18或16．

354k

x

41354k41m

12．由方程組得，當①（其中m，n是整數）時，方程有整數解．消去上

5k285k2841n

y

41

m34t

面方程的k，得：5m4n7②，由②得：（其中t為整數）③將③代入①得

n25t

220

354k123164t，k2241t．解不等式19102241t2010，得：46t48，故有２

4141

個ｋ的值使原方程組有整數解．

B級

222

1．144提示：abbcc30．

2．10提示：xyxy96

3．1972設這個四位數為abcd，則1000a100b10cdabcd1991，

即1001a101b11c2d1991，a1，從而101b11c2d990，又11c2d最大為99+18=117．故

101b990117873，即b9，得11c2d81，進一步得c7,d2，故這個四位數為1972．

4．121424提示：由題目中“通牌枚數是金牌枚數的2倍”得知金牌與銅牌數的和為3的倍數．因

為銀牌只有一盒，所以銅牌數和金牌數的和應為3，6，9，14，18中四個數的和．因此銀牌數為14枚，

1

金牌數為（3+6+9+18）=12枚，銅牌數為24枚．

3

5．C提示：xyxy17223641861289．

6．A

7．A提示：有方程組得：xyz12．

8．B提示：設兩位數為10a+b，中間插入的一位數為m，則9(10a+b)=100a+10m+b，10(a+m)=8b

9．原來支票的面額是14.32元，兌換員看錯成了32.14元，應退回32.14-14.32=17.82元．

10．設第一次看到的兩位數為xy，則以后兩次看到的數分